Relativitas specialis

Relativitas specialis sive theoria relativitatis specialis est theoria physica de natura spatii temporisque ab Alberto Einstein die 30 Iunii anno 1905 edita. Theoria leges electromagneticas Maxwellianas accurate adservat, sed multas aequationes Newtonianas commutat, notiones Newtonianas de spatio ac tempore exauctorans.

Ortus solis monstratus in tempore accelerato. Ab antiquitate tempus motu Solis Lunaeque demonstratum et symbolizatum est. Theoria relativitatis Einsteiniana autem magnopere temporis ideam saeculo vicensimo commutatura erat. Simul eadem theoria quomodo sol noster per reactiones nucleares lucem et energiam producat explicatura erat.

Theoria "specialis" vocatur quia ea sola adamussim idonea est, ubi effectus gravitatis ignorabiles sunt. Decem annis post, Einstein theoriam relativitatis generalis edidit, quae etiam gravitationem comprehendit.

Relativitas specialis Einsteiniana similis est theoriae aetheris ab Henrico Lorentz prius anno 1904 editae, sed discrepat interpretatione naturae spatii temporisque, modo formulationis mathematicae, variisque conclusionibus experimentis pertinentibus.

Conclusio praeclara theoriae ab Alberto Einstein factae fuit aequatio:

$E=\gamma mc^{2}\,$,

ubi E est energia, m massa et c celeritas luminis. Haec aequatio, quae fundamentum energiae nuclearis dat, monstrat generaliter quomodo massa m in energiam E transformari possit. Quae aequatio etiam, si E est completa energia corporis interna, quoque dat totam massam, quam particula cohibet.

Prima theoria relativitatis a Galilaeo concepta

Galilaeus Galilei circum annum 1605, qui primam theoriam relavitatis instituit.

Prima theoria relativitatis concepta est a Galilaeo Galilaei in libro eius Dialogus de Duobus Systematis Maximis Mundani anno 1632 edita. Salviatus, persona illius libri, invitat Simplicium, alteram personam, ad experimentum in parte magnae navis inferiore faciendum, ut motum detegat ipsius navis, quae velocitate constanti in mari aequo sine fluctuatione movet. Simplicius autem non potest, neque possumus hodie, motum detegere, quod navis velocitas per se non producit effectus mensurabiles, et sola navis acceleratio producit illos. Experimenta similia etiam possumus hodie facere in aëroplanibus autocinetisque velocitatibus constantibus. Et possumus animadvertere exemplum Telluris nostrae circum solem velocitate 30 km/s volantis, cuius motum non possumus detegere ob accelerationem eius debilissimam.

Transformationes Galileanae

Post repperta Newtoniana saeculo septimo decimo, principium relativitatis Galilaei modo novo adhibitum est in aequationibus quae sinunt transformare inter systemata coordinatorum inertialia (id est systemata velocitatum constantium quae inter se velocitate discrepant). Hae aequationes dicuntur transformationes Galileanae.

Ut transformationes scribamus, coordinata spatialia $\left(x',y',z'\right)$ et tempus $t'$ coniunctim putamus definere systema coordinatorum $\left(x',y',z',t'\right)$ primum velocitate ${\vec {V}}=V_{o}\,{\hat {x}}$ constante relativa systemati coordinatorum $\left(x,y,z,t\right)$ alteri movens. Tunc, secundum Newtonum tempus est idem ubiquaque, ut habeamus $t'=t$.

Tempus Absolutum, verum, et mathematicum, in se et natura sua sine relatione ad externum quodvis, aequabiliter fluit, alioque nomine dicitur Duratio: Relativum, apparens, et vulgare est sensibilis et externa quaevis Durationis per motum mensura (seu accurata seu inaequabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.

– Isaacus Newtonus, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Definitio VIII, Scholium, p.7., 1687.

Proin, cum ${\vec {V}}$ constans sit, integrando continuo potiamur:

$x'=x-V_{o}t$

$y'=y$

$z'=z$

$t'=t$.

Secundum has transformationes velocitas $(v_{x},v_{y},v_{z})$ in systemate altero quaedam in systemate primo est:

$v'_{x}=v_{x}-V_{o}$

$v'_{y}=v_{y}$

$v'_{z}=v_{z}$.

Quid experimenta a Michelson et Morely facta demonstraverint

Albertus Michelson anno 1923, qui experimentum celeberrimaum fecit, aetherem indetegibilem esse demonstrans.

Theoria electromagnetica a Maxwell et Lorentz facta putabat materiam totum spatium complentem nomine aetheris esse necessariam, ut undae electromagneticae a sole propagare possunt. Secundum hanc theoriam lux propagat celeritate luminis aetheri relativa

$c=299\,792\,458\;\mathrm {m} /\mathrm {s}$.

Experimenta, autem, quae Albertus Michelson et Edwardus Morely anno 1887 fecerunt, inter experimenta quae umquam quisquam fecit celeberrima, demonstraverunt aethera non posse detegi. Celeritas luminis erat eadem, ubique omnibus directionibus et omnibus temporibus, etsi scientifici in Tellure circum sole movente eam attente mensi sunt. Haec repperta transformationes Galileanas plane contradixerunt, quod secundum eas, si Tellus in eadem directione lucis moveat, celeritas luminis apparens $c'=c-V$.

De theoria aetheris a Lorentz concepta

Ad experimenta Michelson et Morely facta explicanda, Georgius Fitzgerald anno 1889 et Hendricus Lorentz anno 1892, independenter contemplaverunt omnia corpora physica se contrahunt secundum cursum suum per aethera. Tandem anno 1904 Lorentz proposuit novam theoriam aetheris comprehensivam, omnia experimenta adhuc explicans, ubi si corpus quoddam velocitatem ${\vec {V}}=V_{o}{\hat {x}}$ aetheri relativam habet:

• Longitudo corporis $L$ se contrahit secundum cursum corporis per aethera, ut nova longitudo $L'$ movens detur

$L'=L{\sqrt {1-\left({\frac {V_{o}}{c}}\right)^{2}}}$;

• Horologium omne ad corpus affixum segnius factum est, ut omne secundum $T'$ eo designatum relativum durationi secundi $T$ horologii quiescentis sit

$T'={\frac {T}{\sqrt {1-\left({\frac {V_{o}}{c}}\right)^{2}}}}$.

Hendricus Lorentz anno 1916, qui transformationes Lorentzianas, ut dicuntur, invenit.

Quamobrem novae transformationes inter systemata coordinatorum definiendae sunt, quas Lorentz per multa argumenta enarrata facessit:

$x'=\gamma (x-V_{o}t)\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=\gamma \left(t-{\frac {V_{o}x}{c^{2}}}\right)$

ubi $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {V_{o}}{c}}\right)^{2}}}}\,$ dicitur factor Lorentzianus. Cum $V_{o}\ll c$, hae transformationes Lorentzianae novae ad transformationes Galileanas veteres reducuntur.

Secundum theoriam Lorentzianam solum illud systema quiescens relativum aetheri est "verum" et "absolutum", et omnia systemata relativa aetheri moventia sunt "apparentia" et "relativa". Transformationum Lorentzianarum natura autem effecit, ut fieri non possit detegere, utrum quiescens vel movens sit systema quoddam solo utendo effectibus electromagneticis. Motum aetheri relativum detegere possumus, secundum hanc theoriam, solum per effectus non-electromagneticos.

Nova theoria axiomatica ab Einstein proposita

Einstein anno 1921.

Anno 1905 Albertus Einstein novam theoriam proposuit. Quamquam Lorentz suas transformationes per tanta argumenta perplicata deduxit, Einstein simpliciter de axiomatis inferis potuit omnes eas transformationes derivare.

1. Axioma primum (principium relativitatis Galileanum)

   In systemate intertiale (velocitatis constantis), est impossibilis per experimenta motum systematis ipsis detegere. Vel, equivalenter: omnes leges physicae sunt aequales in omnibus systematis.

2. Axioma alterum (constantia celeritatis luminis)

   Celeritas luminis in vacuo, quae saepe c abbreviatur, eadem est in omnibus systematis inertialibus, ut demonstratum est a experimentis a Michelson et Morely factis.

Haec theoria Einsteiniana a theoria Lorentziana discrepat, non solum quod secundum Einstein luminis celeritas est maxima celeritas possibilis in universo, re vera et non solum in apparentia, nec solum quod omnia coordinata, secundum Einstein, sunt relativa, ut superflua sit hypothesis Lorentziana, aetheris existentiam praedicens, quam nemo umquam potest verificare. Demagis theoria Einsteiniana leges motus Newtonianas magnopere emendari necesse esse demonstravit, tantum ut novae definitiones motus energiaeque corporis quaerendae sunt.

Quo modo Einstein transformationes Lorentzianas nanctus sit

Einstein incipit suam derivationem scribendo axioma alterum in forma differentiali

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}=0$

Quoniam in hac aequatione tempus est sicut quarta dimensio, possumus definire novum coordinatum

Angulum θ relativum axi w = ict quod transformationem Lorentzianam definit.

$w=ict$

numero imaginario i utendo, ut

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dw^{2}=0$.

Haec aequatio nunc describit vectorem abstractam longitudinis zeri. Tunc Einstein semet rogavit: quae transformationes omnes vectorum longitudines asservant? Responsum quippe fuit: rotationes! Et pro rotatione in planum x-w simpliciter habemus

$x'=x\,cos\theta -w\,sin\theta$

$y'=y$

$z'=z$

$w'=x\,sin\theta +w\,cos\theta$

Hoc in instante autem cautela quaedam est necessaria, quod angulum $\theta$ axi w relativum est numerus imaginarius, ubi $tan\theta =x/w=-iV/c$, ut

$sin\theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+w^{2}}}}={\frac {-iV/c}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}\;$

et

$cos\theta ={\frac {w}{\sqrt {x^{2}+w^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(V/c)^{2}}}}$.

Hos valores supponiendo super, continuo obtinemus illas transformationes Lorentzianas.

De aequivalentia inter energiam et massam

Celeritas electronum versus eorum energiam cineticam. Linea curva theoriam Einsteinianam repraesentante, circuli monstrant puncta experimentalia quae Guilielmus Bertozzi anno 1964 commetitur, theoriam confirmans.

Bomba atomica cuius energia e fissione atomica secundum formulam Einsteinianam provenit.

Axioma Alberti Einstein primum requirit omnes leges physicas esse identicas in omnibus systematis inertialibus, sed transformationibus Lorentzianis asservati sunt soli quattuor dimensionum vectores, vel quantitates scalares, vel tensores ex talibus vectoribus facti. Quoniam in physica Newtoniana habemus quantitates fundamentales sicut positio ${\vec {x}}$ et velocitas ${\vec {v}}$, quae soli trium dimensionum vectores sunt, tales ideae magnopere emendandae sunt, ut omnes leges physicae primum axioma satisfaciant.

Quod ut perficeret, Einstein docuit quo modo possumus 4-vectorem velocitatis $v_{\mu }$ definire ex 4-vectore positionis $x_{\mu }=(x,y,z,ict)$ legibus Lorentzianis transformante, differentiando respectu illi tempori invariabili

$\tau =c^{-1}{\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}=t{\sqrt {1-({\frac {V}{c}})^{2}}}$,

ut

$v_{\mu }={\frac {dx_{\mu }}{d\tau }}={\frac {\left(v_{x},v_{y},v_{z},ic\right)}{\sqrt {1-({\frac {V}{c}})^{2}}}}$.

Tunc 4-motus $p_{\mu }$ definitur ut

$p_{\mu }=m\,v_{\mu }={\frac {\left(mv_{x},mv_{y},mv_{z},imc\right)}{\sqrt {1-({\frac {V}{c}})^{2}}}}$.

Pars spatialis huius 4-vectoris est motus relativisticus

${\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-({\frac {V}{c}})^{2}}}}$

et pars temporalis celeritate luminis multiplicata est energia relativistica

$E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-({\frac {V}{c}})^{2}}}}=mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}+...$

quae cohibet, ut super series monstrat, energiam intra particulam $mc^{2}$ inertam et energiam ob particulae motum cineticam. Haec praeclarissima aequatio a Einstein concepta, callide postea confirmata, hodie est fundamentum energiae nuclearis, et scientiae solis. His in duobus exemplis energia provenit secundum $E=mc^{2}$ quia elementorum intialium massa excedit massam elementorum finalium.

Paradoxum geminorum celeberrimum

Figura paradoxum geminorum monstrans: geminus (ruber) qui iter facit redit iuvenior gemine (viridi) qui Tellure manet. Ruber rucheta vivit 30+20=50 annos, dum Viridis simul Tellure vivit 60+20=80 annos.

Paradoxum geminorum accidit ob effectum dilatationis temporalis relativisticum cum geminus, qui iter ad astrum distans facit, redit postilla multum iuvenior gemine altero qui Tellure manet.

Haec dilatatio temporalis ob corporis motum, quam aequationes Lorentzianae praecinunt, cotidie Tellure verificata est, cum physici periti particulas impellunt ad celeritates paene luminales, ut particulae, quae quiescentes haud microsecunda vivunt, acceleratae diutius fere 30 microsecunda permanant. Effectus etiam verificatus est experimentis ubi aëroplana horologiis atomicis instructa itinera circum orbem terrarum faciunt.

Dilatatio observata nullum paradoxum patefacit in theoria Lorentziana, quia in illa theoria Tellus fere non movet aetheri relativus, ut sola ruchetae horologia segnia sint. Paradoxum autem videtur in theoria Einsteiniana, quia, secundum axioma primum theoriae, ambo systemata coordinatorum sunt valida. Quia est impossibile certe, ut simul et ruchetae horologia segnia Telluris horologiis sint, et Telluris horologia segnia ruchetae, ecce paradoxum!

Resolutionem huius paradoxi habemus, ut Einstein docuit, quia rucheta Tellurem reditura, postquam ad astrum distans eat, est acceleranda. Et, cum rucheta distans accelerat, Tellus lapsum temporalem $\Delta t=\Delta x\,V/c^{2}$ transformationibus Lorentzianis supris datam patitur, ut exactiter omnes contradictiones possibiles ruchetae relativae solvantur.

Effectus Geminorum, qui dicitur, seu Effectus Horologii partem conspicuam habet in multis pelliculis cinematographicis et mythistoriis rerum futurarum, exempli gratia pellicula Planeta Simiorum, in qua astronautae iter longum in spatium facientes mysterio redeunt longe in futuro quando simii Tellurem regnant et homines sunt eorum servi.

De natura spatii temporisque secundum Einstein

Einstein anno 1905 imprimis peraccessit in faciendo tempus spatiumque res physicas de qua leges physicae possunt tractare. Proporro, in legibus Einsteinianis, tempus est dimensio par spatii. Hae ideae ducturae erant Albertum Einstein ad novum reppertum anno 1915: theoriam relativitatis generalis, secundum quam gravitas est ob curvationem rei spatio-temporalis.

Geometria spatio-temporis

Spatia Euclidianum et Minkowskianum comparata

Orthogonalitas et rotatio systematum coordinatarum comparatae (a sinistra) in spatio Euclidiano per angulum circularem φ et (a dextra) in spatio Minkowskiano per angulum hyperbolicum φ (lineis rubris c notatis ut lineas mundi signi luminosi denotent; vector est sibi ipsi orthogonalis si in hac linea iacet).

Relativitas specialis "plano" spatio Minkowskiano quattuor dimensionum, exemplo spatio-temporis, utitur. Spatio-tempus Minkowskianum persimile normali spatio Euclidiano trium dimensionum videtur, sed spatia insigniter inter se differunt quod ad tempus attinet.

In spatio trium dimensionum, differentialis distantiae (elementum lineae) ds sic definitur:

$ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},$

ubi dx = (dx₁, dx₂, dx₃) sunt differentiales trium dimensionum spatialium. In geometria Minkowskiana est alia dimensio cum coordinata X⁰ a tempore derivata, ut distantia differentialis hanc aequationem exsequatur:

$ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},$

ubi dX = (dX₀, dX₁, dX₂, dX₃) sunt differentiales quattuor dimensionum spatio-temporis. Ex his nova notio theoretica sequitur, quod relativitas specialis est tantum symmetria rotationalis spatio-temporis nostri, symmetriae rotationali spatii Euclidiani similis (vide imaginem dextram). Sicut spatium Euclidianum metrico Euclidiano metrico Minkowskiano utitur. Itaque, relativitas specialis dici potest ( "invariantia intervalli spatio-temporis"hoc est distantia quattuor dimensionum inter quaelibet duo eventa), cum a quolibet systemate relationis inertiali visitur. Omnes aequationes et effectus relativitatis specialis ab hac symmetria rotationali (caterva Poincaré) spatio-temporis Minkowskiani deduci possunt.

Theoriae relativitatis et mechanica quantica

Relativitas specialis cum mechanica quantica in mechanica quantica relativistica coniungi potest, sed quomodo relativitas generalis cum mechanica quantica coniungi possit manet solvendum, quod theoriis recentibus gravitatis quanticae et omnium rerum poscitur.

In formula atomica Bohr-Sommerfeld rationibus relativitatis specialis et primitivae mechanicae quanticae structura tenuis atomorum metallorum alcalinorum explicatum est.

Anno 1928 Paulus Dirac aequationem undarum, nunc aequationem Dirac appellatam, construxit, quae omnino cum relativitate speciali et versione finali theoriae quanticae convenit. Non solum volubilitatem, intrinsecum momentum angulare electronum, explicavit, sed etiam duxit ad praedictionem positronis, electronis antiparticulae, et structura tenuis solum relativitate specialis omnino explicari potuit. Hoc fuit principium mechanicae quanticae relativisticae, quia in mechanica quantica non relativistica, volubilitas est res phaenomenologica quae non explicari potest.

Altera parte, quia antiparticulae sunt, scimus mechanicam quanticam relativisticam non satis esse ad accuratiorem theoriam interactionum particularum formandam. Potius necesse fuit theoriam particularum ut camporum quantizatorum creare, theoriam camporum quanticorum dictam, in qua particulae per spatium et tempus creari et deleri possint.

Nexus interni

• E=mc²
• Gravitas (physica)
• Iter transtemporale
• Paradoxum geminorum

Nexus externi

• Theoria Specialis Relativitatis sc. "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" Opus originalis apud Annales Physicae, Berna, 1905.(Theodisce)
• Wikisource: Albert Einstein, Relativity: the Special and General Theory,1923 (Anglice)
• N. David Mermin, Space and Time in Special Relativity, McGraw Hill, Inc, 1968. (Anglice)
• Index Experimentorum quae theoriam relativitatis probant. (Anglice)

Bibliographia

Latine

• Berard, Stephanus. (2004). De Philosophia Quantali deque Institutione Publica. Melissa. Bruxellis: Archetypum Latinum.
• Borges de Meneses, Ramirus Delius. (2015). "Specialis relativitatis theoria: de invariantia ad valorem". Społeczeństwo i edukacja 18 (3).
• Hoenen, Petrus. (1956). Cosmologia (pdf). Editio quinta recognita. Romae: apud aedes Pont. Universitatis Gregorianae.

Enchiridia

• Einstein, Albert. 1920. Relativity: The Special and General Theory.
• Einstein, Albert. 1996. The Meaning of Relativity. Fine Communications. ISBN 1-56731-136-9.
• Logunov, Anatoly A. 2005. Henri Poincaré and the Relativity Theory (ex Russico a G. Pontocorvo et V. O. Soleviev conversus, a V. A. Petrov compositus) Moscuae: Nauka.
• Misner, Charles, Kip Thorne, et John Archibald Wheeler. 1971. Gravitation. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-0334-3.
• Post, E. J. (1962) 1997. Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications.
• Rindler, Wolfgang. 1991. Introduction to Special Relativity, ed. secunda. Oxoniae: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0; ISBN 0-19-853952-5.
• Brown, Harvey R. 2005. Physical relativity: space–time structure from a dynamical perspective. Oxoniae: Oxford University Press. ISBN 0-19-927583-1; ISBN 978-0-19-927583-0.
• Qadir, Asghar (1989). Relativity: An Introduction to the Special Theory. Singapurae: World Scientific Publications. p. 128. ISBN 9971-5-0612-2. 
• Silberstein, Ludwik. 1914. The Theory of Relativity.
• Lawrence Sklar (1977). Space, Time and Spacetime. University of California Press. ISBN 0-520-03174-1 
• Lawrence Sklar (1992). Philosophy of Physics. Westview Press. ISBN 0-8133-0625-6 
• Taylor, Edwin, et John Archibald Wheeler. 1992. Spacetime Physics, ed. secunda. W.H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-2327-1
• Tipler, Paul, et Llewellyn, Ralph. 2002. Modern Physics, ed. quarta. W. H. Freeman & Co. ISBN 0-7167-4345-0.

Commentationes in periodicis

• Alvager, T.; Farley, F. J. M.; Kjellman, J.; Wallin, L. (1964). "Test of the Second Postulate of Special Relativity in the GeV region". Physics Letters 12 (3): 260 
• Darrigol, Olivier (2004). "The Mystery of the Poincaré–Einstein Connection". Isis 95 (4): 614–26 
• Wolf, Peter; Petit, Gerard (1997). "Satellite test of Special Relativity using the Global Positioning System". Physical Review A 56 (6): 4405–09 
• Special Relativity Scholarpedia
• Special relativity: Kinematics Wolfgang Rindler, Scholarpedia, 6(2):8520. doi:10.4249/scholarpedia.8520