Aperire sectionem principem

Caterva (aut gruppus aut grex)[1] est structura algebraica: est copia cum operatione inter bina copiae elementa invertibili et associativa. Unum catervae elementum est idemfactor, hoc est, operatio inter idemfactorem et quodlibet aliud elementum hoc elementum facit. Esto e idemfactor et a aliud elementum; deinde e + a = a. Caterva clauditur sub operatione; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b est elementum. Theoria catervarum est pars mathematicae quae de catervis tractat.

Caterva Abeliana est caterva cuius operatio commutativa sit; hoc est, si a et b sunt elementa catervae, deinde a + b = b + a. Nomen honorem dat Niels Henrik Abel, mathematicus norvegius.

Evaristus Galois francogallus primus nomen "catervam" dedit his structuris.

DefinitioRecensere

Caterva est copia   cum operatione   inter bina elementa eius. Haec operatio quoque haec axiomata habet:

ClausitasRecensere

Pro omnia elementa   in caterva,   quoque in caterva est.

AssociativitasRecensere

Pro omnia elementa   in caterva, haec identitas est apta:  .

Elementum IdemfactorRecensere

Est elementum catervae, "idemfactor" vocatur (et saepe   scribitur), quod omnia alia elementa catervae sub operatione non mutat. In alia verba, haec identitas est apta:  

Elementum InversumRecensere

Pro omnia elementa   in caterva, est alium elementum,  , cum ita sit  

Caterva numerorumRecensere

Numeri integri, cum additione, sunt caterva Abeliana. Nam si a et b sunt integri, a + b quoque integer est; 0 est idemfactor; et -a est elementum inversum elementi a.

Caterva matricum, vel caterva linearisRecensere

Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, cum additione, sunt caterva Abeliana. Matrices quadratae, eaedem magnitudinis, quae inversas habent, sunt caterva sub operatione multiplicatione, sed haec non est caterva Abeliana: A × B ≠ B × A.

Caterva symmetricaRecensere

Transformationes figurae quaedam in plano, ut rotatio et reflectio, symmetriae dictae, catervam faciunt. Operatio catervae est compositio: hoc est, si a et b sunt transformationes, a + b est transformatio nova ubi facimus b, dein a. Operatio non est commutativa.

Si figura est quadrata, nomen huius catervae est caterva dihedralis. Haec sunt elementa:

 
idemfactor: omnia puncta manent
 
r1: rotatio 90° ad dexteram partem
 
r2: rotatio 180°
 
r3: rotation 270° ad dexteram, vel 90° ad sinistram partem
 
fv: reflexio verticalis
 
fh: reflexio horizontalis
 
fd: reflexio in uno diagonale
 
fc: reflexio in altero diagonale
Transformationes quadratae: elementa caterva dihedralis.

NotaeRecensere

  1.   Fons nominis Latini desideratur (addito fonte, hanc formulam remove)

BibliographiaRecensere

  • Saunders MacLane and Garret Birkhoff, Algebra. New York: Macmillan, 1979.
  • David S. Dummit and Richard S. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition. Wiley and Sons Inc., 2004.