Usor:Toadino2/Harenarium/5

Medietas est numerus, quo distributiones statisticae valore effinguntur singulo. Multa sunt genera medietatum, quae ita subdividi solent:

• Medietates analyticae eae appellantur, quae adhibitis operationibus computentur cunctis characteris valoribus consideratae distributionis;
• Medietates laxae, quibus soli subcopiae valorum operationes illae adhibentur. In eas insunt medietates positionis, tamquam mediana quantiliaque.

Exempli gratia, medietas arithmetica analytica est, sed quantile est laxum. Cum solorum characterum quantitativorum distributionibus analyticae adhibeantur medietates, medietatibus positionis etiam characteribus qualitativis ordinatis utimur.

Definendae medietati ratio

Duae usitatae sunt rationes, quibus functionem appellari medietatem constituamus.

Prima est ratio chisiniana, qua medietas est functio quae, cum adhibita sit ad copiam exemplorum cardinalitate N, eundem producat valorem M, quasi adhibeatur ipsa ad aliam copiam numerum N complectentem valorum M:

$f(M,M,M...M)=f(x_{1},x_{2},x_{3}...x_{N})=M$

Secunda est ratio minimae amissionis, qua medietas est numerus quo functio amissionis quaedam minima sit. Exempli gratia, dicamus esse amissionem formulam $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-M|^{r}$, ubi littera M medietatem significat: si litteram $r$ pro numerum 2 valere decreverimus, constat minimam esse amissionem, cum littera M medietatem arithmeticam significet.

Medietas arithmetica

Medietas arithmetica, quae usitatissima ac notissima ex omnibus statisticis rebus est, ita definitur:

$\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

Verbis posse dici medietatem arithmeticam esse elementorum summam valorum, in numerum N partium divisam.

Non modo medietas arithmetica in numerum unum proficit exempla cohibens, sed etiam iuvat ut aliae res statisticae definiantur, tamquam indices varietatis.

Pariter ita definitur differentia elementi a medietate arithmetica: $x_{i}-\mu$.

Proprietates medietatis arithmeticae

1. Inter extrema comprehenditur quarumque distributionum: numeris scriptu, si $x_{(i)}$ est elementum in loco i-esimo distributionis ordinatae, $x_{(1)}\leq \mu \leq x_{(N)}$. In extrema enim ita incidit, si ipsa duo aequalia sunt, ergo si aequale est quidque elementum.
2. Summa elementorum est N-upla medietas arithmetica; Chisinianam igitur rationem explet: $\sum _{i=1}^{N}x_{i}=N\mu$. Id confestim ex definitione medietatis arithmeticae excipimus, cum duo membra N-ies multiplicaverimus.
3. Summa omnium differentiarum a medietate arithmetica nulla est: $\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )=0$.
4. Summa differentiarum elementorum a numero quodam c ad secundam potentiam dignatarum, minima fit si ipse est medietas arithmetica: $argmin_{c}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{2}=\mu$. Ob eam dici rem potest, melius medietatem hanc solam elementa effigere, cum sit eius "distantia" ab eis minima, quod minimae amissionis rationem explet.
5. Linearitas: si nova elementa $y_{i}=a+bx_{i}$ fiunt, appellata signo $\mu _{X}$ medietate elementorum $x_{i}$, medietas arithmetica elementorum $y_{i}$ ita computatur: $\mu _{Y}=a+b\mu _{X}$. Ex quo consequitur ut medietas etiam sit translativa, quia cum numerus a quoque elemento subtractus sit, sic a medietate isdem numerus est subtrahendus; atque homogenea, quia quotiens elementa si multiplicentur, totiens medietas multiplicanda est.
6. Associativitas: si est numerus L copiarum quarundam cardinalitatibus $N^{(1)}...N^{(L)}$ medietatibusque $\mu ^{(1)}...\mu ^{(L)}$, ipsarum unionis medietas ita computatur: $\mu ={\frac {\sum _{i=1}^{L}\mu ^{(i)}N^{(i)}}{\sum _{j=1}^{L}N^{(j)}}}$. Itaque cum subcopiarum medietates solarum cognoscantur, copiae ipsa potest duci.

Medietas harmonica

Casibus quibusdam, non oportet medietate arithmetica uti.

Exempli gratia, sit autocinetum quod spatium quinquaginta chiliometrorum bis transivit, primum hora octogenis chilometris, secundum quadragenis. Tametsi arithmetica est medietas sexagena chilometra hora, amplius oportet medietatem computare, spatium totale dividendo transitum tempore totali consumpto:

${\frac {2\times 50km}{t_{1}+t_{2}}}$

Cum sciamus velocitatem significare quotiens sit tempus transitionis in spatio transito, ita quoque id scribi posse:

${\frac {2\times 50km}{{\frac {50km}{80km/h}}+{\frac {50km}{40km/h}}}}=53.3km/h$

quod patet haud aequale medietati arithmeticae.

Rite scribitur:

$\mu _{a}={\frac {N}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

Proprietates medietatis harmonicae

1. Sicut medietas arithmetica, inter extremis comprehenditur distributionis cuiusque: $x_{(1)}\leq {\mu _{a}}\leq x_{(N)}$.
2. Ratio chisiniana expletur: elementorum enim reciprocorum summa aequalis est eorum cardinalitati medietate harmonica divisae: $\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{x_{i}}}={\frac {N}{\mu _{a}}}$.
3. Homogeneitas: quicque elementum si $b$-ies multiplicatur, cum $b$ numerus nullus non sit, medietas enim harmonica nova in $b$-ies medietatem priorem commutat.
4. Associativitas: cum subcopiarum quarundam medietates harmonicae cognoscantur, illarum unionis medietas harmonica ita computari posse: $\mu _{a}={\frac {\sum _{i=1}^{L}N^{(i)}}{\sum _{j=1}^{L}{\frac {N^{(j)}}{\mu _{a}^{(j)}}}}}$.

Medietas geometrica

Casus alius quo uti medietate arithmetica non oportet, ille est, quo elementa non magnitudem rei effingunt, sed mutationem eius.

Exempli gratia, sit summa pecuniae, cui post annum unum decimum (110% fit) addetur, anno secundo dimidium (150%), anno tertio quartum (125%). Medietas additionis anni unius non est medietas arithmetica ${\frac {1.10+1.50+1.25}{3}}\approx 1.28$; si esset, tum haberetur post annum tertium $1.28^{3}=2.09\neq 1.10\times 1.50\times 1.25$. Quare oportet medietate geometrica uti, quae sic definitur:

$\mu _{g}=(\prod _{i=1}^{N}x_{i})^{1/N}$

quod est ${\frac {1}{N}}$-esima radix elementorum multiplicatorum.

Proprietates medietatis geometricae

1. Ut medietates arithmetica atque harmonica, inter extrema comprehenditur distributionis: $x_{(1)}\leq \mu _{g}\leq x_{(N)}$.
2. Expletur ratio chisiniana: elementa enim multiplicata sunt dignata ad N-esimam potentiam medietas geometrica: $\prod _{i=1}^{N}x_{i}=\mu _{g}^{N}$.
3. Homogeneitas: quicque elementum si $b$-ies multiplicatur, cum sit $b$ numerus positivus, sic medietas geometrica $b$-ies est multiplicanda.
4. Logarithmus medietatis geometricae est medietas arithmetica logarithmorum elementorum: $ln\mu _{g}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}ln(x_{i})$. Ex eo consequitur ut ipsa medietas etiam sic scribi possit: $\mu _{g}=exp({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}ln(x_{i}))$.
5. Associativitas: eadem notatione ac priorum medietatum: $\mu _{g}=(\prod _{i=1}^{L}(\mu _{g}^{(i)})^{N^{(i)}})^{\frac {1}{\sum _{i=1}^{L}N^{(i)}}}$.

Medietas quadratica

Medietas ista praecipue adhibetur cum omnia elementa positiva facere oporteat.

Rite ita definitur: $\mu _{q}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}$, immo radice quadrata medietatis arithmetica elementorum ad secundam potentiam dignatorum.

Ut priores medietates, medietas quadratica inter extrema comprehenditur, rationem chisinianam explet ($\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}=N\mu _{q}^{2}$), est homogenea et associativa ($\mu _{q}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{L}[N^{(i)}\times (\mu _{q}^{(i)})^{2}]}{\sum _{i=1}^{L}N^{(i)}}}}$).

Medietates potentiae

Supradictae medietates (arithmetica, harmonica, geometrica, quadratica) omnes classi medietatum una cohibentur, quae medietates potentiae appellantur. Rite dicitur medietas potentiae r-esimi ordinis sic definiri:

$\mu ^{(r)}=({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{r})^{\frac {1}{r}},\mathrm {\textvisiblespace} r\in \mathbb {R}$

Ita patet esse medietatem potentiae secundi ordinis medietatem quadratica, primi ordinis arithmeticam, negativi primi ordinis harmonicam.

Alius existus quoque demonstratus est, quod limite numeri $r$ ad infinitatem negativam fit medietas potentiae valor minimus ($r\rightarrow -\infty \Rrightarrow \mu ^{(r)}=x_{(1)}$), ad zerum medietas geometrica ($r\rightarrow 0\Rrightarrow \mu ^{(r)}={\mu _{g}}$), ad infinitatem positivam valor maximus ($r\rightarrow +\infty \Rrightarrow \mu ^{(r)}=x_{(N)}$).

Etiam demostratum numero $r$ esse medietatem potentiae functionem crescentem, ita ut:

$x_{(1)}\leq ...\leq \mu ^{(-1)}\leq \mu ^{(0)}\leq ...\leq x_{(N)}$

ex quo patet omnes medietates potentiae inter elementum minimum maximumque comprehendi, et istum medietatum supra descriptarum esse ordinem:

${harmonica}\leq {geometrica}\leq {arithmetica}\leq {quadratica}$

Medietates analyticae distributionibus frequentiarum

Distributionibus frequentiarum adhibendae medietates supradictae parum mutantur ea ratione, quod si cui valori est frequentia quaedam, necesse est habere inter elementa numerum eius valoris frequentiae aequalem. Exempli gratia, si distributioni inscriptum est valori "2" esse frequentiam "3" et valori "4" frequentiam "2", constat adesse quinque elementa, quibus medietatem computabimus: $\{2,2,2,4,4\}$.

Itaque, appellata $n_{i}$ frequentia valoris $x_{i}$, cum sit $k$ numerus valorum, ita supradictae medietates computantur:

$\mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}n_{i}$

$\mu _{a}={\frac {N}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {n_{i}}{x_{i}}}}}$

$\mu _{g}={\sqrt[{N}]{\prod _{i=1}^{k}x_{k}^{n_{k}}}}$ vel $\mu _{g}=exp({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}ln(x_{i}))$

$\mu _{q}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}n_{i}}}$

Medietates distributionum in classes subdivisarum

Si frequentiae in classes subdivisae sunt, cuiusque classis elementorum singulae medietates arithmeticae computandae sunt. Exempli gratia, si classis prima est $[0,5)$ ac secunda $[5,10]$, insuntque primae elementa $\{1,2,3\}$ secundaeque $\{7,9\}$, primae classi est medietas 2 secundaeque 8. Si $k$ numerum habemus classium appellamusque $\mu _{i}$ signo medietatem classis $i$, quasvis medietates cunctae copiae possunt computari, cum in valorum locum classium medietates subdantur. Itaque fit media arithmetica:

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}n_{i}$

Classium autem medietates cum saepe non cognoscamus, quia sola distributio valoribus subdivisis praebita sit, licet cuique subdere eius classis valor centralis: $\mu _{i}\approx {\bar {x}}_{i}={\frac {c_{1}+c_{2}}{2}}$, appellatis $c_{1}$ et $c_{2}$ classis extremis. Videtur tamen is valor centralis aequalis esse classis medietati, si uniformiter elementa in classem distribuuntur.

Medietates analyticae ponderatae

Aliquando medietas est computandae copiae elementorum, quae non omnia aequaliter gravia sunt. Si exempli gratia homines quidam tres examinationes subeunt, primaque est gravissima trium, non oportet medietate arithmetica uti ut soletur, at pondus maius quoddam primae examinationi imponere.

Appellemus pondera illa litteris $w_{i}$, quae sint numero $k$, eorumque summam littera $W$. Tum medietas arithmetica ponderata sic definitur:

$\mu _{w}={\frac {1}{W}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}w_{i}$

Ei medietati eaedem proprietates valent et medietati arithmeticae simplici, cum in locum valorum subdatur eorum multiplicatio cum ponderibus. Ita etiam patet medietatem distributionis frequentiarum inter medietates ponderatas comprehendi, cum pondera frequentiae sint.

Aliae medietates sic transferuntur:

$\mu _{wa}={\frac {W}{\sum _{i=1}^{k}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}$

$\mu _{wg}={\sqrt[{W}]{\prod _{i=1}^{k}x_{i}^{w_{i}}}}$

$\mu _{wq}={\sqrt {{\frac {1}{W}}\sum _{i=1}^{k}x_{i}^{2}w_{i}}}$

Mediana

Mediana est potissima inter medietates laxas. Ei computandae, necesse est distributionis elementa ordinari.

Si est distributio ordinata $x_{(1)},x_{(2)}...x_{(N)}$, sic rite mediana definitur:

$m={\begin{cases}x_{({\frac {N+1}{2}})}{\text{ N impari}}\\{\frac {x_{(N/2)}+x_{(N/2+1)}}{2}}{\text{ N pari}}\end{cases}}$

vel verbis, elementum centrale distributionis ordinatae si N impar est, medietasque arithmeticae duorum elementorum centralium si N par est.

Inter eius proprietates, mediana quoque inter extrema comprehenditur ut medietates analyticae supradictae, atque est linearis ut medietas arithmetica. Ad eas id accedit, quod mediana amissionem absolutam minimam facit: si in locum litterae $c$ hic subditur mediana $m$, minimus est iste numerus:

$\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-c|$

Quantilia empirica

Cave: ea quantilia empirica eadem non sunt ac probabilitatis distributionum quantilia.

Quantilia dici possunt medianam expandere, ut non modo in duas partes elementa aeque magnas subdividantur, sed etiam in tres, quattuor, decem, vel in quemcumque partium numerum ea velimus subdividere.

Rite, computando $q$-ili $l$-esimo copiae elementorum, ubi litteris $q$ et $l=1,...q-1$ designentur numerus partium efficiendarum et quod quantile inter illa effecta producendum sit, huic formulae aptum numerum $h$ adipiscimur:

$h-1\leq {\frac {Nl}{q}}<h$

Si membrum centrale huius disaequationis exacte aequale est primo, tunc quantile est ista medietas arithmetica:

${\frac {x_{(h-1)}+x_{(h)}}{2}}$

Nisi est, simpliciter accipitur elementum $x_{(h)}$.

Patet medianam inter quantilia comprehendi, cui elementa in solas duas partes subdividuntur ($q=2$).

Facile quantilia ad frequentiarum distributiones adaptantur: sola disaequatione subduntur priore in locum membrorum $h-1$ et $h$ frequentiae cumulatae $N_{h-1}$ atque $N_{h}$.

Quantilia distributionum frequentiarum in classes subdivisarum

Difficilius autem est ut quantilia computemus, cum frequentiarum distributio in classes subdividerimus. Hic primum explicabimus, quomodo computetur mediana et postea alia quantilia.

Ad medianam adipiscendam, primum computanda classis mediana est, classis cui elementum medianum inest. Exempli gratia, sit haec distributio:

Classis	[0,10)	[10,20)	[20,30]
Frequentia	3	10	2

Amplissime liquet medianam esse, inter viginti et quinque elementa ordinata, elementum tertium decimum; quod id $x_{(13)}$ secundae classi valoribus [10,20) instat, ipsa est classis mediana.

Nunc ita appellemus extrema classis medianae: $[c_{h(sx)},c_{h(dx)}]$. Si ultro verum id habeamus, quod elementa in classi mediana uniformiter distribuantur, possit sic medianam definiri:

$m=c_{h(sx)}+{\frac {N/2-N_{h-1}}{N_{h}-N_{h-1}}}(c_{h(dx)}-c_{h(sx)})$

Idque finaliter ad omnia quantilia adhiberi potest, cum pro fractione $N/2$ supponatur ea ${\frac {Nl}{q}}$, neque inferatur classis mediana, sed classis cui $q$-ile $l$-esimum instat.

Aliae medietates laxae

Valor centralis

Minime medietas arithmetica valori centrali confundere decet, qui sola est medietas arithmetica extremorum distributionis, vel rite:

$\mu _{c}={\frac {x_{(1)}+x_{(N)}}{2}}$

Is valor tamen medietati arithmeticae competit, cum distributionis cuncta elementa ordinata inter se differant eandemque distantiam inter se habeant.

Moda

Moda valor est distributione frequentiarum, cuius maxima est frequentia, vel alterna vice, qui maximo est numero elementorum; cum distributio in classes subdivisa sit, maxima classis frequentia classis modalis appellatur.

Medietatum corroboratio

Cum distributio statistica aliquando comprehendat valores abnormes vel anomalos, medietatibus analyticis uti non oportet sic ut sunt, sed eas abnormalibus adaptari ad medietates robustas.

Adaptari solet medietas arithmetica in duas medietates novas, medietatem excisam et medietatem excisam cum substitutionibus.

Medietas excisa

Medietati excisae computandae, simpliciter computatur medietas arithmetica cunctorum elementorum, excepto numero quodam minimorum maximorumque. Exempli gratia, si distributio est $\{3,4,5,7,8\}$, medietas 1-excisa est: ${\frac {4+5+7}{3}}\approx 5,3$, quod primum elementum minimum primumque maximum excepta sunt.

Rite scribi potest ita medietas k-excisa:

$\mu _{t,k}={\frac {1}{N-2k}}(\sum _{i=k+1}^{N-k}x_{(i)})$

Medietas excisa cum substitutionibus

Huic medietati computandae non excipiuntur elementa extrema, sed in eorum locum interiora elementa substituuntur, demum in minimorum locum quam ea maiora elementa, in maximorum locum quam ea minora.

Exempli gratia, sit denuo distributio $\{3,4,5,7,8\}$: tum medietate 1-excisa cum substitutionibus, minimum elementum excipitur et secundum additur, maximumque excipitur et additur quartum: ${\frac {4+4+5+7+7}{5}}=5,2$. Rite:

$\mu _{wi,k}={\frac {1}{N}}(k*x_{(k+1)}+\sum _{i=k+1}^{N-k}x_{(i)}+k*x_{(N-k)})$

Medietates laxae robustae

Cum etiam mediana videtur medietas robusta, sunt aliae duae, per quartilia computatae, quibus uti possumus, ita definitae:

$\mu _{q_{1}}={\frac {q_{1}+q_{3}}{2}}$

$\mu _{q_{2}}={\frac {q_{1}+2q_{2}+q_{4}}{4}}$

ubi $q_{k}$ littera k-esimum quartile significat.

Utendae delectus medietatis

Cum pateat esse medietatem arithmeticam usitatissimam inter omnes, eaque oportere uti pluribus casibus nisi liqueat aliam medietatem magis praestare, ipsa aliquando non aptior est. Exempli gratia, si volumus medietatem reciprocorum elementorum computare, magis idonea medietas harmonica est; ac medietati elementorum quae mutationem rei significent, idonea est medietas geometrica. Alias hac uti oportet, cum abnormales puntantur inesse valores distributioni, quod hanc minus abnormalia afficiunt; vel cum logaritmi elementorum distributionem normalem efficiant, quare saepe ipsa biologi oecologique utuntur. Cum non omnia elementa aeque gravia sunt, saepe medietates haec ponderatas efficiuntur.

Parum medietas quadratica investigationibus prodest, sed saepe ex ipsa definiuntur alii indices statistici ut deviatio canonica.

Medietates positionis autem saepe prosunt cum valores abnormales distributioni insint. Exempli gratia ponamus tres has distributiones:

$A=\{2,4,5,8,10,11,15,16,16\}$

$B=\{0,1,5,8,10,11,15,50,60\}$

$C=\{0,0,5,7,10,15,15,120,130\}$

His eadem mediana est, quamquam autem ter medietas arithmetica mutatur.

Denique sape moda utimur, quod sola inter medietates computari potest, si character qualitativus est neque ordinatus.