Theorema Ultimum Fermatianum

Theorema Ultimum Fermatianum est theorema vel coniectura theoriae numerorum, quam Petrus Fermatius in margine editionis Diophanti anno 1637 scripsisse dicitur:

Petrus Fermatius.

Andreas Wiles de theoremate anno 1995 Bostoniae loquitur.

Liber Diophanti Arithmetica cum notatione illius Fermatii.

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Hoc theorema est denique anno 1995 ab Andrea Wiles mathematico Britannico demonstratum, 358 annis post annum quo coniectatum erat. Tantumdem enuntiatum theorematis est: Si n est numerus integer magnopere duobus, aequatio aⁿ + bⁿ = cⁿ non habet solutiones integras positivas.

Si n = 2, aequatio $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ numerum infinitum solutionum habet; hoc est Theorema Pythagorae.

Historia theorematis

Fermatius dicit se demonstrationem habere, sed paene numquam demonstrationes theoremata edidit. Fortasse illam "demonstrationem" mox repudiavit; nescimus, quid fuerit. Demonstravit autem duos casus disertos, ubi n = 3 et n = 4.

Leonhardus Euler saeculo duodevicensimo quoque casus n = 3 demonstrationem praebuit. Quamquam falsa fuit, corrigi potest, argumentis utens quae Euler sciebat.

Possumus duos casus theorematis nominare. Primus Casus: n non metitur ullum numerum x, y, z. Secundus Casus: n unum numerum metitur, alios non metitur. Nam hoc lemma habemus: sit n numerus primus impar, ut 2n + 1 sit primus; tunc $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ implicat n metiri unum ex x, y, z numeris (unum tantum, non duos).

Sophia Germain theorema magni momenti demonstravit:

Sit n numerus primus impar. Si est alius numerus primus p ut:

1. $x^{n}+y^{n}+z^{n}\equiv 0$ secundum modulum p implicat $x\equiv 0$ vel $y\equiv 0{\pmod {p}}$, et
2. $x^{n}\equiv n{\pmod {p}}$ non potest esst,

tunc Primus Casus theorematis verum est pro numero n.

Iohannes Petrus Gustavus Lejeune Dirichlet et Hadrianus Maria Legendre quoque partes theorematis demonstraverunt.

Demonstratio illius Wiles est perdifficilis.

Bibliographia

• Cornell, Gary, Joseph H. Silverman, et Glenn Stevens. 1997. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. Novi Eboraci: Springer. ISBN 0-387-94609-8.
• Edwards, Harold M. 1977. Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Novi Eboraci: Springer. ISBN 0-387-90230-9.
• Mozzochi, C. J. 2000. The Fermat Diary. Providentiae: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2670-0.
• Van der Poorten, Alf. 1996. Notes on Fermat's Last Theorem. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. Novi Eboraci: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-06261-8.
• Wiles, Andrew. 1995. "Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem." Annals of Mathematics 141: 443–551.