Arithmetica modularis

Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.

Horologium tempus monstrat secundum modulum 12.

Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notatione

$$a\equiv b{\pmod {m}}$$

denotamus.

Proprietates

Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:

• ${\textstyle a\equiv a}$
• Si ${\textstyle a\equiv b}$, erit ${\textstyle b\equiv a}$
• Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle b\equiv c}$, erit ${\textstyle a\equiv c}$
• Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle c\equiv d}$, erit ${\textstyle a+c\equiv b+d}$
• Si ${\textstyle a\equiv b}$ et ${\textstyle c\equiv d}$, erit ${\textstyle ac\equiv bd}$
• Si ${\textstyle a\equiv b}$, erit ${\textstyle a^{k}\equiv b^{k}}$(ubi ${\textstyle k\geq 0}$)

At si ${\textstyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$, poterunt a et b esse incongrui.

• Si autem ${\textstyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}$ et k ad m est primus, erit ${\textstyle a\equiv b}$.

Si ${\textstyle a\equiv b{\pmod {m}}}$, poterunt ${\textstyle c^{a}}$et ${\textstyle c^{b}}$esse incongrui secundum modulum m.

• Si autem ${\textstyle a\equiv b{\pmod {\varphi (m)}}}$ (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem ${\textstyle c^{a}\equiv c^{b}{\pmod {m}}}$ (theorema Euleri).

Exemplum

Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus ${\textstyle 5+8\equiv 1{\pmod {6}}}$, quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.

Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:

Additio secundum modulum 6

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:

Multiplicatio secundum modulum 6

+	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad arithmeticam modularem spectant.

• De arithmetica modulari apud Wolfram MathWorld

Bibliographia

Gauss, Carolus Fridericus. 1801. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.