Series (mathematica)

Series, in mathematica, est summa sequentiae. Hoc est, si sequentiam habemus $a_{0},a_{1},a_{2},...$, possumus seriem facere: $a_{0}+a_{1}+a_{2}+...$ Littera graeca sigma seriem significat: $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}=a_{0}+a_{1}+a_{2}...$

Tres series geometricae

Series finita est additio: $\sum _{i=1}^{i=5}i=1+2+3+4+5=15$. Series infinita autem potest summam finitam aut infinitam habere. Si summa est finita, dicimus seriem ad limitem appropinquare vel vergere. Si summa est infinita, series non vergit.

Summa partialis seriei est summa primorum membrorum. Sit series $\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$. Tunc prima summa partialis est $a_{0}$, altera est $a_{0}+a_{1}$, tertia est $a_{0}+a_{1}+a_{2}$, quarta est $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}$, et similiter. Summae partiales sunt numeri, et fiunt sequentia.

Summa seriei infinitae (per definitionem) est limes sequentiae summarum partialium. Hoc est, sit $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n}$ Si sequentia ${s_{j}}$ limitem habet, haec limes est summa seriei; si autem limitem non habet, series summam non habet.

Ecce exemplum. Series $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}...$ habet summas partiales: 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, .... Haec sequentia ad limitem 1 vergit; 1 est ergo summa seriei.

Sed series $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=1+1/2+1/3+1/4...$ divergit, quod summae partiales sine limite crescunt: 1, 3/2, 11/6, 25/12, .... Series ergo nullam limitem habet. Nomen seriei est series harmonica.

Series cuius forma est $\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{r^{i}}}$ dicitur series geometrica et r est ratio communis, quod est ratio membri cuiusdam et sequentis membri: ${\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}=r$ Series geometrica ad limitem ${\frac {1}{1-r}}$ vergit cum r < 1, et aliter divergit.

Nexus interni

• Anellus
• Series Fourieriana

Nexus externi

Vicimedia Communia plura habent quae ad seriem spectant.

• De Seriebus apud Wolfram MathWorld

References

• Behnke, H., F. Bachmann, K. Fladt, et W. Süss, eds. Fundamentals of Mathematics, vol 1: Foundations of Mathematics: The Real Number System and Algebra. Convertit S. H. Gould. Cantabrigiae Massachusettae: MIT Press: 1974.
• Hardy, G. H. A Course in Pure Mathematics, ed. 10 (1992). Cantabrigiae: 1952. ISBN 0-521-09227-2.