Continuitas (mathematica)

Continuitas in topologia est functio realis dominii super intervallo reali continua est, si graphum functionis stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.

Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:

Definitio pro functionis realibusRecensere

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

  1. Regula Epsilon-Delta[1]:  continua in   est, si
    omnibus   est  , ut omnibus numeris dominii  , qui obtemperent
     , valeat  .
  2. Regula sequentiarum[2]:   est continua in  , si, cum quaelibet sequentia     posita est, quae ad   convergit, etiam   ad   convergit.

Functio appellatur continua in  , si est continua in locis omnibus dominii.

Si est  , ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

ExemplaRecensere

  • Functiones   et   continuae sunt in  .
  • Functio signi  
    in omnibus locis   continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes   non est.
  • Functio Dirichlet
     
ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

Definitio pro functionis spatiorum topologicorumRecensere

Est defintio usitata:

  1. Regula copiarum apertarum: Sint  et  spatia topologica,   functio et  .  continua in  est, si pro qualibet circumiecta   a  est circumiecta  a  , ut   sit.[3]

TheoremataRecensere

  • Si functiones   et   continuae in dominio communi   sunt, tum et   et   et   continuae super   sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus   ut  ) sint, tum et   continua est.
  • Compositio   duarum functionum continuarum est continua.
  • Continuitas functionis inversae:
Si   est intervallum in   et   est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli   sub   est intervallum  ,
  est biiectiva, et functio inversa   est continua.
  • Theorema valorum omnium acceptorum:
Si   est functio continua, cui   et   valet, tum omnibus numeris   est  , ut   valeat.
Item in casu   et  .
  • Theorema extremitatum acceptarum:
Si   est functio continua, tum sunt numeri  , ut
  omnibus numeris   valeat.

Nexus interni

NotaeRecensere

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
  2. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212
  3. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage, Teubner 2012. ISBN 3-835-10208-7, pagina 230

Nexus externiRecensere