Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:

Continuitas in topologia est functio realis dominii super intervallo reali continua est, si graphum functionis stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria."

Definitio pro functionis realibusRecensere

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

  1. Regula Epsilon-Delta[1]:  continua in   est, si
    omnibus   est  , ut omnibus numeris dominii  , qui obtemperent
     , valeat  .
  2. Regula sequentiarum[2]:   est continua in  , si, cum quaelibet sequentia     posita est, quae ad   convergit, etiam   ad   convergit.

Functio appellatur continua in  , si est continua in locis omnibus dominii.

Si est  , ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

ExemplaRecensere

  • Functiones   et   continuae sunt in  .
  • Functio signi  
    in omnibus locis   continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes   non est.
  • Functio Dirichlet
     
ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

Definitio pro functionis spatiorum topologicorumRecensere

Est defintio usitata:

  1. Regula copiarum apertarum: Sint  et  spatia topologica,   functio et  .  continua in  est, si pro qualibet circumiecta   a  est circumiecta  a  , ut   sit.[3]

TheoremataRecensere

  • Si functiones   et   continuae in dominio communi   sunt, tum et   et   et   continuae super   sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus   ut  ) sint, tum et   continua est.
  • Compositio   duarum functionum continuarum est continua.
  • Continuitas functionis inversae:
Si   est intervallum in   et   est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli   sub   est intervallum  ,
  est biiectiva, et functio inversa   est continua.
  • Theorema valorum omnium acceptorum:
Si   est functio continua, cui   et   valet, tum omnibus numeris   est  , ut   valeat.
Item in casu   et  .
  • Theorema extremitatum acceptarum:
Si   est functio continua, tum sunt numeri  , ut
  omnibus numeris   valeat.

Nexus interni

NotaeRecensere

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. Definition 34.6
  2. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212
  3. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 14. Auflage, Teubner 2012. ISBN 3-835-10208-7, pagina 230

Nexus externiRecensere