Euleri identitas

In complexorum numerorum analysi, Euleri identitas

Identitas Euleri tam clara est ut in graffito scribat.

$e^{i\pi }=-1\,\!$

aequatio est, in quo

$e$ Numerus Euleri, logarithmi naturalis basis, est

$i$ Unus Imaginarius, complexus numerus cuius radix -1, est

$\pi$ Pi Graecus, circuli diametri cum eius circumscriptione ratio, est

Aliquando Euleri identitas scribitur etiam:

$e^{i\pi }+1=0\,\!$

ut relationem ex his quinque praecipuis mathematicis constantibus elementis illustret.

Origo

In Introductione, in Lausanna anno 1748 divulgata, Leonhardus Eulerus hanc aequationem scripsit. Euleri identitas generalis Euleri formulae singularis casus est

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\qquad \forall x\in \Re \!$

Si $x=\pi$, tum

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!$

inde, ex definitione

$\cos \pi =-1\,$

et

$\sin \pi =0\,$

ergo

$e^{i\pi }=-1\,\!$

Identitatis Comprehensio

Beniaminus Peirce, undevicesimo saeculo mathematicus et in Harvardi doctor, postquam in schola identitatem argumentis confirmavit, inquit: "Vos qui audite, haec identitas certe vera, sed maxime admiramibilis est; hanc comprehendere non possumus, nec quid significet scimus. At hanc demonstravimus, et ob eam rem hanc veritatem esse debere scimus."

Richardus Feynman Euleri formulam (ex quo Euleri identitas deducitur) "maximam formulam in mathematica" definivit. Feynman plurimique alii mathematici hanc identitatem notabilem putant quia aliquae mathematica constantia elementa iungit:

• Numerus 0, per summam identitatis elementum ($\forall a,\,a+0=0+a=a$).
• Numerus 1, per multiplicationem identitatis elementum ($\forall a,\,a\cdot 1=1\cdot a=a$).
• Numerus π trigonometriae, Euclidis geometriae analyseosque praecipuum constans elementum.
• Numerus e logarithmorum studiorum analyseosque praecipuum constans elementum (e.g.: in incrementi functionum descriptione vel in discriminum simplicis aequationis explicatione).
• Numerus Unus Imaginarius i (i² = −1), complexorum numerorum numerus. Unus Imaginarius facultatem nobis solvendi omnes polynomiales aequationes in complexorum numerorum regione dat.

Postremo, omnes praecipui arithmetici signi sunt: aequalitas, summa, multiplicatio, elatio.

Bibliographia

• Conway, John H., et Richard K. Guy. 1996. The Book of Numbers. Springer. ISBN 978-0-387-97993-9. Google Books.
• Crease, Robert P. 2004. "The greatest equations ever. Physics World, 10 Maii 2004. Editio interretialis.
• Dunham, William. 1999. Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3.
• Euler, Leonhard. 1922. Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus. Lipsiae: B. G. Teubneri. Editio interretialis.
• Kasner, Edward, et James R. Newman. 1940. Mathematics and the Imagination. Novi Eboraci: Simon & Schuster.
• Maor, Eli. 1998. e: The Story of a number. Princeton University Press. ISBN 0-691-05854-7.
• Nahin, Paul J. 2006. Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Paulos, John Allen. 1992. Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin Books. ISBN 0-14-014574-5.
• Reid, Constance. From Zero to Infinity. Mathematical Association of America.
• Sandifer, C. Edward. 2007. Euler's Greatest Hits. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8. Google Books.
• Stipp, David. 2017. A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics. Basic Books.
• Wells, David. 1990. "Are these the most beautiful?" The Mathematical Intelligencer 12 (3): 37–41. doi:10.1007/BF03024015.
• Wilson, Robin. 2018. Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics. Oxoniae: Oxford University Press.
• Zeki, S., J. P. Romaya, D. M. T. Benincasa, et M. F. Atiyah. 2014. "The experience of mathematical beauty and its neural correlates." Frontiers in Human Neuroscience 8: 68. doi:10.3389/fnhum.2014.00068. PMC 3923150. PMID 24592230.