Aperire sectionem principem
Grex fundamentalis circuli

Topologia algebraica, in mathematica, est pars topologiae quae modis et instrumentis algebrae utitur. Notiones magni momenti sunt multiplex, grex fundamentalis, et homologia[1]. Topologia algebraica quantitates invariabiles invenit, quae ad spatium topologicum quodam cohaerent, similes dimensioni in geometria.

HomotopiaRecensere

Homotopia est relatio inter functiones in spatio topologico. Sit f et g functiones continuae e spatio X in spatio Y:   Sit I intervallum [0, 1]. Tunc f et g homotopicae dicuntur si exstat functio   ubi:

 

Functio F est homotopia inter f et g; est quasi familia functionum inter X et Y.

Nunc, si X et Y sunt idem spatium (hoc est, si X = Y), functio continua   dicitur iter; si  , f est iter ab x0 ad x1. Homotopia itinerum est notio similis homotopiae sed robustior. Sit   talis functio:

 
 
 
 

Tunc F est homotopia itinerum inter f et g.[2]

Grex fundamentalisRecensere

Grex fundamentalis (vel caterva fundamentalis) spatii topologici X est grex cuius elementa sunt itinera quaedam in X (non autem omnia itinera: vide infra) et cuius operatio est compositio itinerum.

Compositio haec est: Sit f iter in X ab x0 ad x1, et sit g iter ab x1 ad x2. Tunc:

 
 

Nova functio f * g est iter ab x0 ad x2. Quia   (quod ambo sunt itinera),  , quia  

Idemfactor compositionis est iter "constans":   Si f est iter ab x0 ad x1, tunc   Notandum est tantos idemfactores esse quantae sunt puncta in spatio X.

Si autem in mente habemus itinera quae in eodem puncto initium et finem habent, hae itinera sunt grex.

Grex fundamentalis spatii X ad punctum x0 ergo est copia itinerum ab x0 ad x0, sub operationem compositionem antea definitam, cum idemfactore id0. (Etiam "primus grex homotopicus" nominatur.)

Etiamsi definitio gregis fundamentalis ab electione puncti pendet, omnes hi greges inter se isomorphici sunt.[3]

MultiplicesRecensere

Multiplex (vel fortasse manifoldum vel varietas) dimensionis N est spatium Hausdorff ubi omne punctum vicinium habet homeomorphicum copiae inferioris   Multiplex dimensionis N dicitur etiam N-multiplex. 1-multiplexus est flexus et 2-multiplex est superficies.[4]

HomologiaRecensere

Grex fundamentalis est primus grex homotopicus; sunt alii, qui quasi plures dimensiones praebent. Similis gregi homotopico est grex homologicus; spatium topologicum X series habet gregum abelianorum homologicorum.[5]

Utilitas topologiae algebraicaeRecensere

Demonstratio simplicissima theorematis fundamentalis algebrae topologia algebraica utitur.

NotaeRecensere

  1. Haec appellatio a Vicipaediano e lingua indigena in sermonem Latinum conversa est. Extra Vicipaediam huius locutionis testificatio vix inveniri potest.
  2. Munkres p. 318ff
  3. Munkres, p. 326ff
  4. Munkres p. 222 ff
  5. Massey p. 237ff

BibliographiaRecensere

  • Gowers, Timothy, June Barrow-Green, Imre Leader, edd. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-11880-2
  • Massey, W. S. Algebraic Topology: An Introduction. Novi Eboraci et Heidelbergae: Springer Verlag, 1967. ISBN 0-387-90271-6
  • Munkres, James. Topology: A First Course. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1975. ISBN 0-13-925495-1

Nexus ExterniRecensere

  Vicimedia Communia plura habent quae ad topologiam algebraicam spectant.
  Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!