Symmetria (statistica)

Distributio frequentiarum, quae character quantitativum discretum in statistica metiatur, symmetrica dicitur, cum binis valoribus $x_{i},x_{N+1-i}$ omnibus, ubi $N$ littera cardinalitatem distributionis designet, sit eadem distantia a mediana eademque frequentia; vel distributione in classes subdivisa, sit binis eisdem classibus eadem distantia a mediana eademque densitas frequentiae. Vel rite, appellatis $m$ littera mediana et $n_{i}$ signo frequentiis absolutis:

${\text{N par}}\rightarrow \delta =0,{\text{ N impar}}\rightarrow \delta =1$

$(x_{i}-m)=-(x_{N+1-i}-m),n_{i}=n_{N+1-i},i=1,2,...,(N-\delta )/2$

Una cum medietatibus atque indicibus varietatis, symmetriae indices ad distributionem empiricam adiuvant describendam: cum medietates valorem demostrant distributionis hanc optime efficturum, indicesque varietatis quam bene effingatur, tum indices symmetriae dicunt intendatne distributio infra medietatem an supra eam.

Proprietates distributionis symmetricae

1. Medietas arithmetica ac mediana adaequant: $\mu =m$. Ad id demonstrandum, primum sit $k$ numerus par; ob definitionem enim scimus $\sum _{i=1}^{k/2}(x_{i}-m)n_{i}=-\sum _{i=k/2+1}^{k}(x_{i}-m)n_{i}$, e quo deducitur summam membrorum $(x_{i}-m)n_{i}$ nullam: $\sum _{i=1}^{k/2}(x_{i}-m)n_{i}+\sum _{i=k/2+1}^{k}(x_{i}-m)n_{i}=\sum _{i=1}^{k}(x_{i}-m)n_{i}=0$. Quod cum valeat modo mediana medietati arithmeticae aequali, sententia demonstrata est. Si $k$ impar est, sufficit ut edicamus medianam cardinalitate elementorum impari medio esse elemento aequalem: $m=x_{\frac {k+1}{2}}$, mediumque igitur membrum (quod enim symmetriae definitionis non interest) est nullum: $(x_{\frac {k+1}{2}}-m)n_{\frac {k+1}{2}}=0$, nec priorem demonstrationem inficit.
2. Summa distantiarum elementorum a medietate arithmetica ad potentiam imparem dignatarum nulla est: $\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{r}n_{i}=0,{\text{ r impari}}$. Imparem enim dignata ad potentiam membra $(-)(x_{i}-m)$ positiva aut negativa manent, et a definitione symmetriae deducitur eandem aequationem etiam ad potentiam imparem dignatam valere: $(x_{i}-m)^{r}n_{i}=-(x_{N+1-i}-m)^{r}n_{N+1-i}$. Cum ante sit demonstratum medietatem arithmeticam medianamque adaequare distributione symmetrica, membrorum igitur summam supradictorum esse nullam, eis id ad potentiam imparem dignatis quoque valet: $\sum _{i=1}^{k/2}(x_{i}-m)^{r}n_{i}=-\sum _{i=k/2+1}^{k}(x_{i}-m)^{r}n_{i}\rightarrow \sum _{i=1}^{k}(x_{i}-m)^{r}n_{i}=0$, e quo thesim supposita in locum medianae medietate arithmetica demonstramus.
3. Eadem est distantia a mediana primo quartili ac tertio: $m-q_{1}=q_{3}-m$.

Indices asymmetriae

Patet nisi symmetricae sint, distributiones dici asymmetricas. Quae fere in duo genera dividi possunt:

1. Asymmetricarum positivarum graphum ad dextram intendit;
2. Asymmetricarum negativarum ipsum ad sinistram.

Quia tamen solis graphis spectatis non oportet proprietatem in distributionem indere, potius indices ad asymmetriam mentiendam excogitandi sunt.

Tres fere usitatiores:

$\alpha _{1}={\frac {\mu -m}{\sigma }}$

Hic index inter $[-1,1]$ comprehenditur, quod differentia absoluta medietatis a mediana minor est deviatione canonica: $|\mu -m|\leq \sigma$. Positivus est asymmetria positiva negativusque negativa.

$\alpha _{2}={\frac {1}{\sigma ^{3}}}({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{3}n_{i})$

Huic alteri eadem est proprietas ac supradicta primo. Quamvis varietate distributionis parum avertatur, eius indicis valores numerus realis quilibet esse possunt, quo difficilius magnitudo symmetriae pensatur; et differentiis ad tertiam potentiam dignatis, multo tamen avertitur abnormibus apud distributionem valoribus adsentibus.

Cum index $\alpha _{2}$ distributioni frequentiarum computetur, in valorum $x_{i}$ locum debent classium valores centrales aut medietates arithmeticae supponi.

Tertius index, qui ut duo alii positivus est asymmetria positiva negativusque negativa, e quartilibus exstruitur:

$\alpha _{3}={\frac {q_{3}+q_{1}-2m}{q_{3}-q_{1}}}={\frac {(q_{3}-m)-(m-q_{1})}{(q_{3}-m)+(m-q_{1})}}$

Hic index contra priorem non multo avertitur valoribus abnormibus, et inter $[-1,1]$ comprehenditur; singillatim est unus negativus adaequantibus mediana primoque quartili, unusque positivus adaequantibus mediana tertioque quartili. Nullus est, quod ita symmetriam definivimus, adaequantibus differentiis $(q_{3}-m),(m-q_{1})$.

Curtosis

Curtosis est proprietas distributionis, videaturne similis distributioni normali an declinet.

Distributio normalis definitur curvamine istius aequationis:

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

ubi $\mu$ punctum est maximo valore, $\sigma$ numero tamen aucto curvamen circum $\mu$ magis comprimitur.

Haec distributio usitatissima est ad describenda passim dispersa multis rebus, quarum nulla dispergens praestat, reductis igitur ad errorem fortuitum.

Ad curtosim mentiendam, fere semper distributio normalis insumitur $\mu ,\sigma$ numeris delectis ut medietati arithmeticae elementorum eorumque deviationi canonicae aequentur. Hoc facto potest valorem curtosis distributionis consideratae pensari, pendendo quam hyponormalis aut hypernormalis haec sit. Dicitur distributio hypernormalis cum circum medietatem et in caudis (regionibus extremis valoribus minoribus) frequentiae aut densitas frequentiae distributioni normali superstent, hyponormalis diverso casu.

Itaque definitur index curtosis:

$\gamma ={\frac {1}{\sigma ^{4}}}({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{4}n_{i})-3$

qui zero adiacet distributione simili distributioni normali, positivus est hypernormali, negativusque hyponormali. Distributione enim normali id accidit:

${\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{4}n_{i}=3\sigma ^{4}$

Distributione autem hypernormali frequentiores differentiae $(x_{i}-\mu )^{4}$ magnae elementorum caudarum magis pendunt, quod caudum elementa longius a medietate absunt, quae si frequentiora sunt, indicem augent.

Nexus interni

• Indices varietatis statistici

Bibliographia

• Cicchitelli, D'Urso, Minozzo, 2018. Statistica: principi e metodi. Pearson. ISBN 9788891902788. Categoria:Res statisticae