Scalae longae et breves

Scalae numerationis, sive indices numericos referentiales, tanquam series numericae definiuntur, quas ad efferendos numeros permagnos disponimus. Eiusdem generis duo sunt indices in usu apud scientistas, nominatim scalae longae et scalae breves. Huiusmodi scalae pluraliter referuntur, quia multis in terris adhibentur, adeo linguis ac moribus accommodatae, ut multiplices esse videantur. In scalis brevibus classes numericae formantur per potentias basis milliariae, aliter atque in scalis longis, quarum classes per potentias basis millionariae designantur.

In civitatibus Anglicae linguae scalae breves in usu sunt, dum in terris Europaeis continentalibus scalae longae praeferuntur.^[1]

Numerus	Notatio Indo-Arabica	Scalae breves	Systema	Scalae longae	systema
10⁰ =	1	unus	1000 ^{1 - 1}	unus	1 000 000 ^0.0
10³ =	1000	mille	1000 ^{1 + 0}	mille	1 000 000 ^0.5
10⁶ =	1 000 000	millio	1000 ^{1 + 1}	millio	1 000 000 ^1.0
10⁹ =	1 000 000 000	billio	1000 ^{1 + 2}	mille milliones (sive milliardum)	1 000 000 ^1.5
10¹² =	1 000 000 000 000	trillio	1000 ^{1 + 3}	billio	1 000 000 ^2.0
10¹⁵ =	1 000 000 000 000 000	quadrillio	1000 ^{1 + 4}	mille billiones (sive billiardum)	1 000 000 ^2.5
10¹⁸ =	1 000 000 000 000 000 000	quintillio	1000 ^{1 + 5}	trillio	1 000 000 ^3.0

Scalae longae

Billio, Billiardum et plus ultra in scalis longis

Scalae longae maxima cum subtilitate constituta sunt. Apud numeros milliardo maiores series suffixorum -illio atque –illiardum continuatur. Praefixa e lingua Latina sumpta sunt: bi- (in verbis billio atque billiardum), tri-, quadri-, quinti- (etiam: quinqui-) et cetera. Haec praefixa potentias mathematicas millionis indicant: videlicet, billio est millio quadrato vel 1 000 000² vel millio bis dignatus; trillio est 1 000 000³ vel millio ter dignatus; quadrillio est 1 000 000⁴ vel millio quater dignatus; et sic deinceps. Billiardum est mille billiones. Pari modo prosequuntur Trilliardum, Quadrilliardum, et cetera. Hoc schema logarithmicum, quod Nicolaus Chuquet atque Iacobus Peletier du Mans invenerunt, systema tillionicum appellatur.

Numerus	Nomen numeri	Praefixum	Suffixum	Potentia	10^3N
1	Unus		-	Millio^{0 0}	= 10⁰
1000	Mille		-	Millio^0.5	= 10³
1, 000 000	Millio	Mi	-llion	Millio^1.0	= 10⁶
1 000, 000 000	Milliardum	Mi	-lliardum	Millio^1.5	= 10⁹
1, 000 000, 000 000	Billio	Bi	-llion	Millio^2.0	= 10¹²
1 000, 000 000, 000 000	Billiardum	Bi	-lliardum	Millio^2.5	= 10¹⁵
1, 000 000, 000 000, 000 000	Trillio	Tri	-llion	Millio^3.0	= 10¹⁸
1 000, 000 000, 000 000, 000 000	Trilliardum	Tri	-lliardum	Millio^3.5	= 10²¹
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Quadrillio	Quadri	-llion	Millio^4.0	= 10²⁴
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Quadrilliardum	Quadri	-lliardum	Millio^4.5	= 10²⁷
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Quintillio¹	Quinti¹	-llion	Millio^5.0	= 10³⁰
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Quintilliardum¹	Quinti¹	-lliardum	Millio^5.5	= 10³³
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Sextillio	Sexti	-llion	Millio^6.0	= 10³⁶
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Sextilliardum	Sexti	-lliardum	Millio^6.5	= 10³⁹
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Septillio	Septi	-llion	Millio^7.0	= 10⁴²
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Septilliardum	Septi	-lliardum	Millio^7.5	= 10⁴⁵
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Octillio	Octi	-llion	Millio^8.0	= 10⁴⁸
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Octilliardum	Octi	-lliardum	Millio^8.5	= 10⁵¹
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Nonillio	Noni	-llion	Millio^9.0	= 10⁵⁴
1 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Nonilliardum	Noni	-lliardum	Millio^9.5	= 10⁵⁷
1, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000, 000 000	Decillio	Deci	-llion	Millio^10.0	= 10⁶⁰

Nota:
1. Etiam quinquillio atque quinquilliardum in usu sunt.

Exempla

Vigintillio (10^20*6 = 10¹²⁰).

Aequalis est (10⁶)²⁰ (potentiae vicesimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

Septenquadragintilliardum (10^7*6+4*60+3=10²⁸⁵), (10^6*47+3=10²⁸⁵).

 Aequalis est (10⁶)^47.5 (potentiae quadragesimae septimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

Centseptuagintilliardum (10^1*600+7*60+3=10¹⁰²³)

 Aequalis est (10⁶)^170.5 (potentiae centesimae septuagesimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

Infra ala tabula est, praefixa suffixaque illa continens, quae adhibentur in componendis numeris permagnis. Sub unoquoque praefixorum duo numeri sunt: numerus ad laevam ille est, cuius praefixo nominali suffixum -llio addendum est; numerus ad dextram ille est, cuius praefixo nominali suffixum -lliardum addendum est.

Deci-	Undeci-	Duodeci-	Tredeci-	Quattuordeci-	Quindeci-	Sexdeci-	Septendeci-	Octodeci-	Novemdeci-
10⁶⁰, 10⁶³	10⁶⁶, 10⁶⁹	10⁷², 10⁷⁵	10⁷⁸, 10⁸¹	10⁸⁴, 10⁸⁷	10⁹⁰, 10⁹³	10⁹⁶, 10⁹⁹	10¹⁰², 10¹⁰⁵	10¹⁰⁸, 10¹¹¹	10¹¹⁴, 10¹¹⁷
Viginti-	Unviginti-	Duoviginti-	Treviginti-	Quattuorviginti-	Quinviginti-	Sexviginti-	Septenviginti-	Octoviginti-	Novemviginti-
10¹²⁰, 10¹²³	10¹²⁶, 10¹²⁹	10¹³², 10¹³⁵	10¹³⁸, 10¹⁴¹	10¹⁴⁴, 10¹⁴⁷	10¹⁵⁰, 10¹⁵³	10¹⁵⁶, 10¹⁵⁹	10¹⁶², 10¹⁶⁵	10¹⁶⁸, 10¹⁷¹	10¹⁷⁴, 10¹⁷⁷
Triginti-	Untriginti-	Duotriginti-	Tretriginti-	Quattuortriginti-	Quintriginti-	Sextriginti-	Septentriginti-	Octotriginti-	Novemtriginti-
10¹⁸⁰, 10¹⁸³	10¹⁸⁶, 10¹⁸⁹	10¹⁹², 10¹⁹⁵	10¹⁹⁸, 10²⁰¹	10²⁰⁴, 10²⁰⁷	10²¹⁰, 10²¹³	10²¹⁶, 10²¹⁹	10²²², 10²²⁵	10²²⁸, 10²³¹	10²³⁴, 10²³⁷
Quadraginti-	Unquadraginti-	Duoquadraginti-	Trequadraginti-	Quattuorquadraginti-	Quinquadraginti-	Sexquadraginti-	Septenquadraginti-	Octoquadraginti-	Novemquadraginti-
10²⁴⁰, 10²⁴³	10²⁴⁶, 10²⁴⁹	10²⁵², 10²⁵⁵	10²⁵⁸, 10²⁶¹	10²⁶⁴, 10²⁶⁷	10²⁷⁰, 10²⁷³	10²⁷⁶, 10²⁷⁹	10²⁸², 10²⁸⁵	10²⁸⁸, 10²⁹¹	10²⁹⁴, 10²⁹⁷

Exempla

10¹⁹²: praefixum est Duotriginti-, suffixum est -llio, nomen est ergo Duotrigintillio.

 Aequalis est (10⁶)³² (potentiae trigesimae secundae basis decem ad sextam potentiam evectae).

10⁹³: praefixum est Quindeci-, suffixum est -lliardum, nomen est ergo Quindecilliardum.

 Aequalis est (10⁶)^15.5 (potentiae quintae decimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

10²⁴⁹ praefixum est Unquadraginti, suffixum est -lliardum, nomen est ergo Unquadragintiliardum,

 Aequalis est (10⁶)^41.5 (potentiae quadragesimae sesquiprimae basis decem ad sextam potentiam evectae).

Scalae breves

Errores in numeris definiendis et nominandis

☞ Notandum vero quod quamvis utraeque scalarum conventionaliter firmatae sint, solae scalae longae aptius prosunt orbi scientico-litterario, id est, sub speciebus tum cognitionis cum conscriptionis, minime dissonae sunt ab evidentia mathematica.

Primo, observandum quod duo haec systemata tantummodo illis nominibus differunt, quibus numeri unius eiusdemque magnitudinis appellantur usque ex milleno mille millies multiplicato. Basis namque potentialis utrisque scallarum communis est numerus 10, sive basis denaria, qua utitur in notatione scientifica; ecce quod utraeque scalarum ex uno systemate numerationis denario constituuntur, id est, ex illo quod notis vel signis decem disponitur.

Deinde, nomen milliardi adhuc temporis cum disparibus sensibus adhibitum est: primum, millionem millionum, idemque quod bimillio vel billio, significabat; postea, duobus sumptus est pari tractu significationibus, scl. tum billionem, cum billionis compendium statuerunt; postremo, idem esse quod millia millionum intellexerunt. Sed ex accuratiore analysi infertur quod talis acceptionum diversitas in scalis numericis, propria vi et natura, dispares definitiones usque ex origine sequitur. Quod, nisi esset notatio scientifica, difficultates afferret in acceptando pro apta aliquam scalam ad permagnas quantitates numerice efferendas.

Per transitionem de numeralibus Romanis in Indo-Arabicos, a saeculo XIV ad usque saeculum XVI actam, numeratio scripta non solum in positione notarum, sed etiam in potentiis basis 10 ubique adhiberi incepit. Cum autem mille et millio potentias basis 10 continerent, itidem per seipsos bases potentiales eo tempore facti sunt. Exhinc numeri permagni apud multos auctores potentiis basis 1 000 000 definiti sunt, una cum notionibus de classium 1000 unitatum multiplicatione, atque earumdem distributione in periodis continentibus millionem, qui progressive per se multiplicabatur. E.g. millies mille millena millia apud plerosque auctores idem numerus est ac 1000⁴ (mille ad potentiam quartam dignatum), sive 10¹² (decem unitates ad duodecimam potentiam dignatae); idem ergo ac billio vel bimillio, sive 1 000 000² (millio bis dignatus vel millio ad secundam potentiam evectus). At quidam huius methodi haud periti systemata numerationis nimis confusa adoptaverunt.^[2]

In saeculis XVI et XVII solus modus potentias denarias efferendi apud mathematicos variabilis fuit. Quilibet enim numerus permagnus multimodis efferri potest. Attamen enuntiationum hac multiplicitate aperitur via ad erraticas interpretationes, maxime in definiendis numeris permagnis. In simplice videlicet transitione de numerorum punctuatione senidigitali in trinidigitalem nonnulla aestimationis errata evenire possunt. Quod, despecta aedequatione nominum basibus adhibitis, interdum accidit; inde fuit quod sic vocatae scalae breves constitutae sunt.

Denique, in saeculo XVIII quidam mathematici Francogallici adhibere inceperunt verba mathematici Chuquet in nominandis numeris secundum seriem potentiarum basis milliariae. In principio consistit huiusmodi systema in Franciae limitibus, neque in alias orbis terrarum partes diffundebatur. Atqui paulo post, in saeculo XVIII, scalae breves translatae sunt in Civitates Foederatas Americae, et abhinc, ob praecellentiam mercatoriam illius nationis, amplius diffusae sunt in multos alios populos.

Quaestiones de scalarum brevium irrationalitate

☞ Quid significant, respectu potentiarum basis 1000, praefixa nominalia in scalis brevibus? Omnino nihil. Mementote solam basem millionariam, mathematice elatam numero 10 ad sextam potentiam evecto, apte adhiberi posse ad referendos numeros permagnos, atque omnes illos nequaquam recte nominari in scalis brevibus. Oportet videantur, exemplorum gratia, nonnulli earumdem scalarum numeri eorumque nomina significatione carentia.

Billio in scalis brevibus non est aequalis (10⁶)² (potentiae secundae basis decem ad sextam potentiam evectae), similiter atque in scalis longis, sed (10³)³ (potentia tertia basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid autem praefixum bi- ad exponens 3 attinet? In prioribus scalis, scl. longis, adhibetur basis denaria ad sextam potentiam evecta, et praefixo bi- numerus unus millio millionum, sive millio ad secundam potentiam evectus apte enuntiatur.

Trillio in scalis brevibus nulla subtilitate enuntiari videtur, quia in iisdem scalis signatur expressione (10³)⁴ (potentiam quartam basis decem ad tertiam potentiam dignatae); apte autem signatur in scalis longis, scl. expressione (10⁶)³ (tertiae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), ita ut praefixo tri- trillio apte enuntietur.

Nonillio in scalis brevibus non est aequalis (10⁶)⁹ (potentiae nonae basis decem ad sextam potentiam dignatae), item atque in scalis longis, sed (10³)³⁰ (potentiae trigesimae basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid praefixum novi- ad exponens 30 attinet? Nihil enimvero exprimit, quia incerta basis in scalis brevibus adhibetur.

Quindecillio non est aequalis (10⁶)¹⁵ (quintae decimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed (10³)¹⁶ (sextae decimae potentiae basis decem ad tertiam potentiam dignatae). Quid praefixum quindeci- ad exponens 16 attinet? Ratio non reperitur, qua numerus sic exprimatur.

Septendecilliardum vel mille septendecilliones non sunt aequales (10⁶)^17.5 (septimae decimae semiprimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed 10³ (basi decem ad tertiam potentiam dignatae) per 10⁵⁴ (basim decem ad quartam quinquagesimam potentiam dignatam) multiplicatae, id est, aequales sunt 10⁵⁷ (septimae quinquagesimae potentiae basis decem) vel unus octodecillio. Quid praefixum octodeci- ad exponens 57 attinet? Vero nihil.

Quadragintillio non est aequalis (10⁶)⁴⁰ (quadragesimae potentiae basis decem ad sextam potentiam evectae), sed (10³)⁴¹ (primae quadragesimae potentiae basis decem ad tertiam potentiam dignatae) vel 10¹²³(centesimae vigesimae quartae potentiae basis decem). Quid praefixum quadraginti- ad exponentia 41 et 123 attinet? Nihil vero de numero apte exprimit.

Quinquadragintilliardum vel mille quinquadragintilliones non sunt aequales (10⁶)^45.5 (quadragesimae quintae semiprimae potentiae basis decem ad sextam potentiam dignatae), sed 10³ (basi decem ad tertiam potentiam dignatae) per 10¹³⁸ (basim decem ad centesimam trigesimam octavam potentiam dignatam) multiplicatae, id est, aequales sunt 10¹⁴¹ (centesimae quadragesimae primae potentiae basis decem) vel unus sexquadragintillio. Quid praefixum quinquadraginti- ad exponentia 138 et 141 attinet? Nihil.

Centillio non est aequalis (10⁶)¹⁰⁰ (centesimae potentiae basis decem ad sextam poteniam dignatae), sed 10³ (tertiae potentiae basis decem) per 10³⁰⁰ (trecentesimae potentiae basis decem) multiplicatae, sive 10³⁰³ (trecentesima tertia potentia basis decem). Quid praefixum centi- ad exponentia 300 et 303 attinet? Etiamsi trecenti-, aut tertrecenti adiungatur, eiusdem nominis significatio haud idonea prosequitur.

Centilliardum vel mille centilliones non sunt aequales (10⁶)^100.5 (potentiae centesimae semiprimae basis decem ad sextam potentiam dignatae), sed 10³ (tertiae potentiae basis decem) per 10³⁰³ (potentiam trecentesimam tertiam basis decem) multiplicatae, id est, aequales sunt 10³⁰⁶ (potentiae trecentesimae sextae basis decem), vel unus centumuntillio. Quid praefixum centumunt- ad exponens 306 attinet? Nihil.

Scalarum brevium nomenclatura, ut supra conspici potest, non congruit cum etymologica formatione quorumlibet illorum verborum, quibus numeri designantur: admodum vero disparia praefixa ad infinitum in scalis brevis inveniri possunt. Basim numericam mutaverunt, paene omnes magnitudines numericas imminuerunt, neque apte adaequare curaverunt, secundum praefixa numerica, nomina numeris significatis. Omnia videlicet praefixa nominalia permagnorum numerorum, respectu basis 1000 vel 10³, in iisdem scalis nihil de numeris reddunt. Sic quidam auctores, quamvis nequaquam opus esset numerandi rationem reformare, id sibi sumpserunt, tumque scalas breves conscripserunt, ita ut praefixa nominalia, perperam tributa nominibus, ad bases dignatas earumque dignationem nihil attinerent. Videntur enim omnes scalae breves esse ex scalis longis admodum inaccurate transcriptae. Patet igitur, ex inadequatione nominum cum numeris significatis, quod scalae breves subtilitate carent, et propter hanc infinitam disparitatem, quae inter nominum praefixa et indices potentiarum conspicitur, nullatenus adhibendae in quolibet officio.

Scalarum brevium assumptio, quamvis practicitatis causa ex officio iubeatur, illorum tamen errorum genus est, cuius extensionem solo usu scalarum longarum metiri possumus. Secundum Franciscus Bacon, praematura atque proterva reductio doctrinarum in artes et methodos, cum fit, plerunque scientia aut parum, aut nihil proficit.^[3]. ☞ Quod ad concludendum sufficit, instaurationem scalarum brevium errorem fuisse, proculdubio amplissimae extensionis, cuius unicus effectus fuit inter populos non modo permanentem confusionem, sed etiam multas distractones concitare, neque auxit nec perfecit scientiam usque tunc cumulatam, immo vero scientificam congeriem, in eo, quod ad numerandi rationem attinet, detorsit atque imminuit.

Notae

↑ Benjamin Greenleaf. Introduction to the National Arithmetic. Bostoniae: Robert S. Davis & Co., 1871; pp. 11-15.
↑ David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic Numerals. S.l.: Ginn and Company, 1911, p.150.
↑ Franciscus Bacon. De Augmentis scientiarum, Liber I, V, 4.

[1] Benjamin Greenleaf. Introduction to the National Arithmetic. Bostoniae: Robert S. Davis & Co., 1871; pp. 11-15.

[2] David Eugene Smith; Louis Charles Karpinski. The Hindu-Arabic Numerals. S.l.: Ginn and Company, 1911, p.150.

[3] Franciscus Bacon. De Augmentis scientiarum, Liber I, V, 4.

[1]

[2]

[3]