Basis (mathematica)

Basis in mathematica est copia vectorum spatii vectorialis, quorum combinatio linearis scribi potest omnis spatii vector; quique sunt lineariter independentes.

Definitio

Sit spatium vectoriale $V$. Tum vectorum copia $B$ dicitur basis (finita) spatii vectorialis, si $V$ aequale est subspatio genito illorum vectorum (qui enim sunt systema generatorum), ipsique sunt lineariter independentes.

Potissima inter bases est basis canonica, quae ab his vectoribus fit:

$e_{1},e_{2}...e_{n}\in \mathbb {R} ^{n},e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\...\\0\end{pmatrix}},e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\...\\0\end{pmatrix}},...,e_{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\1\end{pmatrix}}$

Vectores spatii per basim scripti

Cum copia $B$ sit basis subspatii vectorialis, tunc possunt omnes vectores eius subspatii scribi, uno solo modo, combinatione lineari vectorum basis.

Subspatii vectores basis una combinatione lineari scripti

Si enim in absurdo poneremus esse duae copiae coefficientium quibus valeat $\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{k}v_{k}=\beta _{1}v_{1}+...+\beta _{k}v_{k}$, verum esset quod hoc nullum est:

$(\alpha _{1}-\beta _{1})v_{1}+...+(\alpha _{k}-\beta _{k})v_{k}=0$

Sed cum vectores sint lineariter independentes, eorum combinatio linearis nulla est modo omnibus coefficientibus nullis, ergo $\alpha _{i}-\beta _{i}=0\rightarrow \alpha _{i}=\beta _{i}$, quo patet combinatio linearis sola una esse.

Coefficientes combinationis linearis, qui sunt numeri $\alpha _{1}...\alpha _{k}$ quibus vector $v$ scribitur hac formula:

$v=\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{k}v_{k}$

dicuntur coordinatae vectoris $v$ in basi $B=(v_{1}...v_{k})$.

Quando exsistat basis in spatio vectoriali

Haud omnibus spatiis vectorialibus sunt bases finitae, sed potest inveniri, quotienscumque sit spatio vectoriali systema generatorum (quod est copia vectorum quorum subspatium genitum est ipsum spatium vectoriale) esse basim finitam quoque.

Ad hoc demonstrandum, sit subcopia $A$ subspatii vectorialis $V$ et copia vectorum $B\subseteq A$. Haec copia $B$ dicitur systema maximale in $A$ vectorum lineariter independentium cum:

1. Omnes vectores copiae $B$ sint lineariter independentes;
2. Elemento novo copiae $A$ in copiam $B$ illato, vectores copiae $B$ lineariter dependentes fiant.

Quaeque basis $B$ spatii vectorialis $V$ est systema maximale in $V$ vectorum lineariter independentium

Ob definitionem enim basium, earum vectores sunt lineariter independentes. Sit vector $v\in V\setminus B$: cum sit $B$ systema generatorum, adsunt coefficientes $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ quibus $v=\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}$ (ubi $v_{1},...,v_{n}$ sunt basis vectorum): ergo $v-v_{1}\alpha _{1}-...-v_{n}\alpha _{n}={\underline {0}}$, quod vult vectores esse lineariter dependentes. Coefficiens enim membri $v$ $1$ est, qui non est nullus.

Systema maximale vectorum lineariter independentium quod systemati generatorum insit, est basis

Monstremus $B$ esse systema generatorum spatii vectorialis $V$, cum sit $B$ subcopia finita spatii $V$ subspatioque genito $Span(B)$ insit systema generatorum spatii $V$.

Sit enim systema generatorum $A$ spatii $V$ in subspatio genito $Span(B)$ cohibitum. Si $v$ vector est spatii $V$, quia $A$ est systema generatorum, possumus scribere $v\in Span(A)$. Sed antea diximus systema $A$ in $Span(B)$ contineri: ergo quidque elementum systematis $A$, quod $a$ littera designabimus, inest subspatio genito subcopiae $B$: $a\in Span(B)$. Hoc probato patet $v\in Span(B)$, quod vult $B$ esse systema generatorum spatii $V$. Quia diximus id esse systema maximale vectorum lineariter independentium, etiam est basis.

Omni spatio vectoriali cum systemate generatorum est basis

Nunc denique monstrabimus omni spatio vectoriali systema generatorum habenti esse basim. Ad hoc demonstrandum probemus $B$ copiam esse basim spatii $V$, cum $B\subseteq A$ sit systema massimale vectorum lineariter independentium in systemate generatorum $A$.

Sit $A=(a_{1},...a_{k})$ ac $B=(a_{1},...a_{r})$, ubi $r<k$. Quod ob hypothesim elementa copiae $B$ sunt lineariter independentes, modo est demonstrandum $V=Span(B)$. Quia demonstratum est $B$ esse systema generatorum spatii $V$ cum in $Span(B)$ systema generatorum cohibeatur, modo est probandum $A\subseteq Span(B)$. Sit enim $w\in A\setminus B$. Cum $B$ sit systema maximale, $a_{1},...a_{r},w$ sunt lineariter dependentes, potestque scribi:

$\alpha _{1}a_{1}+...+\alpha _{r}a_{r}+\beta w={\underline {0}},{\text{ adest }}\alpha _{i}{\text{ vel }}\beta {\text{ non nullum}}$

Sed non potest esse nullum $\beta$, quia vectores $a_{1}...a_{r}$ sunt lineariter independentes. Ergo potest scribi:

$w=-{\frac {\alpha _{1}}{\beta }}a_{1}-...-{\frac {\alpha _{r}}{\beta }}a_{r}\in Span(B)$

quod erat demonstrandum. Quia omni systemati generatorum inest systema maximale vectorum lineariter independentium, demonstravimus omni spatio vectoriali esse basim cum adsit systema generatorum.

Bibliographia

• Abate, De Fabritiis. 2015. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. McGraw Hill Education. ISBN 9788838615146.