Usor:Toadino2/Harenarium/11

Theorema complendi

Theorema complendi demonstrat, quamquam omni spatio vectoriali est numerus infinitus basium, his inesse semper eundem numerum elementorum.

Sit enim $B=(v_{1},...v_{n})$ basis spatii vectorialis $V$ et vectores lineariter independentes $(w_{1},...,w_{p})\in V,p\leq n$. Potest demonstrari exsistere $n-p$ vectores ex $B$ qui, una cum vectoribus $(w_{1},...,w_{p})$, sunt basis spatii $V$.

Theorema complendi

Faciamus inductionem in $p$. Si $p=1$, quod $B$ est basis spatii $V$, adsunt coefficientes $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ quibus $w_{1}=\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n}$. Itaque, cum fecerimus hypothesim independentiae linearis, scimus $w_{1}\neq {\underline {0}}$, e quo deducimus adesse coefficientem non nullum. Nulla generalitate amittenda dicamus $\alpha _{1}\neq 0$. Itaque:

$v_{1}=w_{1}/\alpha _{1}-\alpha _{2}v_{2}/\alpha _{1}-...-\alpha _{n}v_{n}/\alpha _{1}$

Ergo $v_{1}$ potest scribi combinatione lineari vectorum $(w_{1},v_{2}...v_{n})$ et $B$ est in ipsorum vectorum subspatio genito. Recordemur illos vectores esse in numero $n-p+1=n$, quod volebamus; ut probemus id esse basim, demonstremus vectores esse lineariter independentes, quod evenit si in $\beta _{1}w_{1}+...+\beta _{n}v_{n}=0$ omnes coefficientes $\beta _{i}$ nulli sunt. Ob definitionem vectoris $w_{1}$:

$\beta _{1}(\alpha _{1}v_{1}+...+\alpha _{n}v_{n})+...\beta _{n}v_{n}=\beta _{1}\alpha _{1}v_{1}+...+(\beta _{1}\alpha _{n}+\beta _{n})v_{n}=0$

Quia vectores $v_{1},...,v_{n}$ sunt lineariter independentes, probavimus esse nullos coefficientes $\beta _{i}$, et basis inductionis probata est.

Nunc eam hypothesim faciamus, quod theorema verum sit numero $p-1$ vectorum, demonstremusque numero $p$ eorum. Ob hypothesim inductivam, $\{w_{1},...,w_{p-1},v_{p},...,v_{n}\}$ est basis spatii $V$, ubi $v_{p},...,v_{n}$ sunt elementa basis $B$. Tum adsunt coefficientes quibus:

$w_{p}=\alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{w-1}w_{p-1}+\alpha _{p}v_{p}+...+\alpha _{n}v_{n}$

Quod $w_{p}$ non est vector nullus nec sunt vectores $(w_{1},...,w_{p})$ lineariter dependentes, minimum unus inter coefficientes $\alpha _{p},...\alpha _{n}$ non est nullus. Nulla generalitate amittenda dicamus $\alpha _{p}\neq 0$. Itaque:

$v_{p}=w_{p}/\alpha _{p}-\alpha _{1}w_{1}/\alpha _{p}-...-\alpha _{p-1}w_{p-1}/\alpha _{p}-\alpha _{p+1}v_{p+1}/\alpha _{p}-...-\alpha _{n}v_{n}/\alpha _{p}\in Span(w_{1},...,w_{p},v_{p+1},...,v_{n})$

Vectores $w_{1},...,w_{p},v_{p+1},...,v_{n}$ igitur sunt systema generatorum. Nunc demonstremus eos esse lineariter independentes.

Sint coefficientes $\beta _{1},...,\beta _{n}$ quibus $\beta _{1}w_{1}+...+\beta _{p}w_{p}+\beta _{p+1}v_{p+1}+...+\beta _{n}v_{n}={\underline {0}}$. Hoc patet:

${\underline {0}}=\beta _{1}w_{1}+...+\beta _{p-1}w_{p-1}+\beta _{p}(\alpha _{1}w_{1}+...+\alpha _{p-1}w_{p-1}+\alpha _{p}v_{p}+...+\alpha _{n}v_{n})+\beta _{p+1}v_{p+1}+...+\beta _{n}v_{n}$

$=(\beta _{1}+\beta _{p}\alpha _{1})w_{1}+...+\beta _{p}\alpha _{p}v_{p}+...+(\beta _{n}+\beta _{p}\alpha _{n})v_{n}$

Quod $w_{1},...w_{p-1},v_{p},...,v_{n}$ sunt lineariter independentes, omnes coefficientes $\beta _{i}$ nulli sunt. Vectores $w_{1}...w_{p},v_{p+1},...v_{n}$ igitur sunt lineariter independentes, quod erat nostra thesis.

Eius rei corollarium est id, quod bases unius spatii vectorialis habent semper isdem numerus elementorum.

Basibus spatii est isdem numerus vectorum

Ad hoc demonstrandum, sint $B=\{b_{1},...,b_{k}\},C=\{c_{1},...,c_{h}\}$ duae bases spatii $V$. Ponamus ad absurdum $k>h$. Ob theorema complendi, adsunt $k-h$ elementa basis $B$ quae, basi $C$ addita, novam basim faciunt.

Sed ob hypothesim $C$ basis erat, et quia omnes bases sunt systema maximale vectorum lineariter independentes, certe si basi $C$ novi vectores adduntur, iam non sunt eius vectores lineariter independentes, quod necesse est ut copia vectorum sit basis; id igitur non fieri potest. Eadem ratione, videmus non potest fieri ut $h>k$.

Tum certe $h=k$, quod erat demonstrandum.

Dimensio

Quia probavimus numerum elementorum basis a basi delecta non dependere, cum omnibus basibus sit isdem numerus, dato spatio vectoriali appellabimus hunc numerum dimensionem spatii. Fere semper hic numerus littera $n=dimV$ scribitur

Saepius dicitur spatium vectoriale solius vectoris nullius $\{{\underline {0}}\}$ habere dimensionem nullam; et nisi est spatio vectoriali systema generatorum, huius dimensio dicitur infinita.

Quod ad dimensionem spatii computandam sufficit ut basis inveniatur, patet ut spatio $\mathbb {R} ^{n}$ esse dimensionem $n$.

Minus rite, dimensio dicitur esse numerum coordinatarum quas necesse est computare ut punctum unum spatii vectorialis totaliter agnoscatur. Id esse verum vidimus spatio $\mathbb {R} ^{n}$, et generaliter enim basi delecta omnis vector spatii scribi potest combinatione lineari vectorum basis, quod basis est systema generatorum.

Corollarium unum theorematis complendi est esse basim omnem copiam $n$ vectorum lineariter independentium, si spatio est dimensio $n$. Hoc enim liquet, si theorema adhibetur numero $p=n$ posito.

Aliud est omnes copiae vectorum maiores quam bases (exempli gratia, copia quinque vectorum in $\mathbb {R} ^{3}$) esse lineariter independentes.

Si spatio $V$ est dimensio $n$ et $p>n$, tum $w_{1},...,w_{p}\in V$ sunt lineariter dependentes.

Si $w_{1},...,w_{n}$ sunt lineariter dependentes, est omnis copia. Nisi sunt, vectores illi sunt basis et tum systema maximale in $V$ vectorum lineariter independentium, copia igitur lineariter dependens.

Summa atque intersectio subspatiorum

Summa $U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}$ atque intersectio $U\cap W$ duorum subspatiorum $U$ atque $W$ sunt ipsae subspatia. Unio autem non semper est; exempli gratia, si duo subspatia sunt duae lineae secretae ac distinctae quae originem transeunt, eorum unio non est subspatium.

Theorema Grassmanianum

Primum hoc demonstrandum est:

Si $U,W$ sunt subspatia spatii vectorialis $V$, cum sint $B,C$ systemata generatorum subspatiorum $U,W$, unio $B\cup C$ est systema generatorum subspatii $U+W$

Omne elementum subspatii $U$ est combinatio linearis vectorum systematis $B$, idemque evenit subspatio $W$ cum systemate $C$. Elementa igitur subspatii $U+W$ scribuntur combinatione lineari vectorum systematis $B$ addita combinationi lineari vectorum systematis $C$, quod vult scribi combinatione lineari vectorum copiae $B\cup C$.