Usor:Toadino2/Harenarium/10

In statistica, duo charactera quantitativa correlata sunt, cum unius commutatio alterius commutationem gignat; singillatim correlatio positiva vel concordantia dicitur si una augentur, negativa vel discordantia si una deminuuntur. Haec res dependentiae similis videri potest.

Correlationis mensura

Sit distributio duorum characterum medietatibus arithmeticis $\mu _{X},\mu _{Y}$ et deviationibus canonicis $\sigma _{X},\sigma _{Y}$, et amotionibus standardizatis:

$z_{x_{i}}={\frac {x_{i}-\mu _{X}}{\sigma _{X}}}$

$z_{y_{i}}={\frac {y_{i}-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}}$

Si enim definimus multiplicationem duarum amotionum $c_{i}=z_{x_{i}}z_{y_{i}}$, nunc licet definire coefficientem correlationis linearis Bravaisianum:

$r={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}c_{i}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{X})(y_{i}-\mu _{Y})}{N\sigma _{X}\sigma _{Y}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{X})(y_{i}-\mu _{Y})}{\sqrt {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{X})^{2}\sum _{i=1}^{N}(y_{i}-\mu _{Y})^{2}}}}$

Maxime notandum est esse hunc coefficientem radicem quadraticam indicis determinationis, e quo signum $r$ venit. Ut ex indice determinationis, potest e coefficiente Bravaisiano formulam extrahi faciliore computatione:

$r={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-N\mu _{X}\mu _{Y}}{\sqrt {(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N\mu _{X}^{2})(\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{2}-N\mu _{Y}^{2})}}}$

Demonstratio formulae facilioris

Cum pateat (vide formulam breviorem deviationis canonicae):

$C_{XY}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu _{X})(y_{i}-\mu _{Y})=\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-N\mu _{X}\mu _{Y}$

$\sigma _{X}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}}-\mu _{X}^{2}$

$\sigma _{Y}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{2}}{N}}-\mu _{Y}^{2}$

Ex eis aequationibus hae quoque possunt trahi:

$N\sigma _{X}^{2}=\sum _{i=1}^{N}x_{i}-N\mu _{X}^{2},N\sigma _{Y}^{2}=\sum _{i=1}^{N}y_{i}-N\mu _{Y}^{2}$

Ergo:

$r^{2}={\frac {C_{XY}}{\sqrt {N\sigma _{X}^{2}N\sigma _{Y}^{2}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}x_{i}y_{i}-N\mu _{X}\mu _{Y}}{(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N\mu _{X}^{2})(\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{2}-N\mu _{Y}^{2})}}$

quod erat demonstrandum.

Proprietates coefficientis Bravaisiani

1. Inter $[-1,1]$ comprehenditur, quod ex eo deducitur, quod radix sit indicis determinationis, qui inter $[0,1]$ comprehendatur. Singillatim nullus est nulla correlatione, unus negativus est si quicque punctum graphi dispersionis in linea iacet coefficiente angulari negativo, unus positivus est si iacent in linea coefficiente angulari positivo.
2. Quod numerator indicis Bravaisiani etiam numeratori coefficientis angularis lineae regressionis instat, positivus est positivo huius coefficiente angulari, correlatione igitur positiva, negativusque negativo coefficiente, correlatione igitur negativa.
3. Index non commutat cum valores numero reali positivo multiplicentur, eisve quilibet numerus realis addatur.

Index Spearmanianus

Cum valores elementorum gradus ex ordine designent, alio indice licet uti ad correlationem mentiendam. Si gradus, velut primus, secundus, tertius et ceteri litteris $p_{x_{i}},p_{y_{i}}$ scribuntur, ita computatur index Spearmanianus:

$r_{S}=1-{\frac {\sum _{i=1}^{N}(p_{x_{i}}-p_{y_{i}})^{2}}{N(N^{2}-1)}}$