Usor:Tchougreeff/Principia Mathematica параллельный русский перевод



PRÆFATIO AD LECTOREM. recensere	ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Cum Veteres Mechanicam (uti Author est Pappus) in rerum Naturalium investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis substantialibus & qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu Mathesin excolere quatenus ea ad Philosophiam spectat. Mechanicam vero duplicem Veteres constituerunt: Rationalem quæ per Demonstrationes accurate procedit, & Practicam. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus utiq; Mechanica nomen mutuata est. Cum autem Artiﬁces parum accurate operari soleant, ﬁt ut Mechanica omnis a Geometria ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad Geometriam referatur, quicquid minus accuratum ad Mechanicam. Attamen errores non sunt Artis sed Artiﬁcum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, & si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in quibus Geometria fundatur, ad Mechanicam pertinent. Has lineas describere Geometria non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate describere prius didicerit quam limen attingat Geometriæ; dein, quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos describere Problemata sunt sed non Geometrica. Ex Mechanica postulatur horum solutio, in Geometria docetur solutorum usus. Ac gloriatur Geometria quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet. Fundatur igitur Geometria in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam Mechanicæ universalis pars illa quæ artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis præcipue versentur, ﬁt ut Geometria ad magnitudinem, Mechanica ad motum vulgo reseratur. Quo sensu Mechanica rationalis erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscunq; resultant, & virium quæ ad motus quoscunq; requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars hæc Mechanicæ a Veteribus in Potentiis quinque ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed Philosophiæ consulentes, deq; potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamus quæ ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et ea propter hæc nostra tanquam Philosophiæ principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiæ difﬁcultas in eo versari videtur, ut a Phænomenis motuum investigemus vires Naturæ, deinde ab his viribus demonstremus phænomena reliqua. Et hac spectant Propositiones generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex phænomenis cælestibus, per Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lunæ & Maris. Utinam cætera Naturæ phænomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum particulæ per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur & secundum ﬁguras regulares cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam præbebunt. In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus Edmundus Halleius operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata correxit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me ﬁguram Orbium cælestium impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum Societate Regali communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis suis auspiciis eﬀecit ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium inæqualitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare cæpissem quæ ad leges mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad ﬁguras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires, densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & similia spectant, editionem in aliud tempus diﬀerendam esse putavi, ut cætera rimarer & una in publicum darem. Quæ ad motus Lunares spectant, (imperfecta cum sint,) in Corollariis Propositionis LXVI. simul complexus sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demonstrare tenerer, & seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum & citationes mutare. Ut omnia candide legantur, & defectus, in materia tam diﬃcili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo.	Так как древние, по словам Паппуса, придавали большее значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить явления природы законам математики. В этом сочинении имеется в виду тщательное развитие приложенийматематики к ФИЗИКЕ.^[1] Древние рассматривали механику двояко: как рациональную (умозрительную), развиваемую точными доказательствами, и как практическую. К практической механике относятся все ремесла и производства, именуемыя механическими, от которых получила свое название и самая механика. Так как ремесленники довольствуются в работе лишь малой степенью точности, то образовалось мнение, что механика тем отличается от геометрии, что все вполне точное принадлежит в геометрии, менее точное относится кмеханике. Но погрешности заключаются не в самом ремесле или искусстве, а принадлежат исполнителю работы: кто работает с меньшею точностью, тот — худший механик, и если бы кто—нибудь смог исполнять изделие с совершеннейшею точностью, тот был бы наилучщим из всех механиков. Однако самое проведение прямых линий и кругов, служащее основанием геометрии, в сущности относится к механике. Геометрия не учит тому, как проводить эти линии, но предполагает (постулирует) выполнимость, этих построений. Предполагается также, что приступающий к изучению геометрии уже ранее научился точно чертить круги и прямые линии; в геометрии показывается лишь, каким образом при помощи проведения этих линий решаются разные вопросы и задачи. Само по себе черчение прямой и круга составляет также задачу, но только не геометрическую. Решение этойзадачи заимствуется из механики, геометрия учит лишь пользованию этими решениями. Геометрия за то и прославляется, что заимствовав извне столь мало основных положений, она столь многого достигает. Итак, геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения. Но так так в ремеслах и производствах приходится по большей части иметь дело с движением тел, то обыкновенно все касающееся лишь величины относят к геометрии, все же касающееся движения к механике. В этом смысле рациональная механика есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений, точно изложенное и доказанное. Древними эта часть механики бЫла разработана лишь в виде учения o пяти машинах,^[2] применяемых в ремеслах; при этом даже тяжесть (так как это неесть усилие, производимое руками) рассматривалась ими не как сила, а лишь как грузы, движимые сказанными машинами. Мы же, рассуждая не о ремеслах, а об учении о природе, и следовательно, не об усилиях, производимых руками, а о силах природы, будем, главным образом, заниматься тем, что относится к тяжести, легкости, силе упругости, сопротивлению жидкостей и к тому подобным притягательным или напирающим силам. Поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания Физики. Вся трудность Физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления. Для этой цели предназначены общие предложения, изложенные в книгах первой и второй. В третьей же книге мы даем пример вышеупомянутого приложения, объясняя систему мира, ибо здесь из небесных явлений, при помощи предложений, доказанных в Предыдущих книгах, математически выводятся силы тяготения тел к Солнцу и отдельным планетам. Затем по этим силам, также при помощи математических предложений, выводятся движения планет, комет, Луны и моря. Было бы желательно вывести из начал механики и остальные явления природы рассуждая подобным же образом, ибо многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обусловливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел, вследствие причин покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильныя фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. Так как эти силы неизвестны, то до сих пор попытки ФИЛОСОФОВ объяснить явления природы и оставались бесплодными. Я надеюсь, однако, что или этому способу рассуждения, или другому более правильному, изложенные здесь основания доставят некоторое освещение. При издании этого сочинения оказал содействие остроумнейший и вовсех областях науки ученейший, муж Эдмунд Галлей, который не только правил типографские корректуры и озаботился изготовлением рисунков, но даже по его лишь настояниям я приступил и к самому изданию. Получив от меня доказательства вида орбит небесных тел, он непрестанно настаивал, чтобы я сообщил их Королевскому обществу, которое затем своим благосклонным вниманием и заботливостью заставило меня подумать о выпуске их в свет. После того я занялся исследованием неравенств движения Луны,затем я попробовал сделать другия приложения, относящиеся: к законам и измерению сил тяготения и других; к исследованию вида путей, описываемых телами под действием притяжения, следующего какому-либо закону; к движению многих тел друг относительно друга; к движению тел в сопротивляющейся среде; к силам, плотностям и движениям среды; к исследованию орбит комет, и к тому подобным вопросам; вследствие этогоя отложил издание до другого времени, чтобы все это обработать и выдать в свет совместно. Все относящееся к движению Луны (как не совершенное) сведенов следствиях предложения LXVI, чтобы не прибегать к отдельным доказательствам и к сложным методам, не соответствующим важности предмета, а также чтобы не прерывать последовательности прочих предложений.Ное что, найденное мною впоследствии, я предпочел вставить, может быть,ивыменее подходящих местах, нежели изменять нумерацию предложений и ссылок. Я усерднейше прошу o том, чтобы все здесь изложенное читалось c благосклонностью и чтобы недостатки в столь трудном предмете не осуждались бы, а пополнялись новыми трудами и исследованиями читателей. Ис. Ньютон. Дано в Кембридже в Коллегии св. Троицы 8 мая 1686 г.
Deﬁnitiones. recensere	ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Def. I. Quantitas Materiæ est mensura ejusdem orta ex illius Densitate & Magnitudine conjunctim. Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, quæ per causas quascunq; diversimode condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Massæ in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujusq; pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur.	Определение I Количество материи (масса) eсть мера таковой, устанавливаемая пропорционально отдельности и объему ее. Воздуха двойной плотности в двойном объеме вчетверо больше, в тройной вшестеро. То же относится к снегу пли порошкам, когда они уплотняются от сжатия или таяния. Это же относится и ко всякого рода телам, которые, в силу каких бы то ни было причин, уплотняются. Однако при этом я не принимаю в расчет той среды, если таковая существует, которая свободно проникает в промежутки между частицами. Это же количество я подразумеваю в дальнейшем под названиями тело или масса. Определяется масса по весу тела, ибо она пропорциональна весу, что мною найдено опытами над маятниками, произведенными точнейшим образом, как о том сказано ниже.^[3]
Def. II. Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materiæ conjunctim. Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeoq; in corpore duplo majore æquali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate quadruplus.	Определение II Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе. Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его, значит для массы, вдвое большей, приразных скоростях оно двойное, при двойной же скорости - четверное.^[4]
Def. III. Materiæ vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquodq;, quantum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum. Hæc semper proportionalis est suo corpori, neq; diﬀert quicquam ab inertia Massæ, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiæ ﬁt ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi diﬃculter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine signiﬁcantissimo vis inertiæ dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta, estq; exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impressæ; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi diﬃculter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, neq; semper vere quiescunt quæ vulgo tanquam quiescentia spectantur.	Определение III Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает^[5] свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы,^[6] то разве только воззрением на нее. От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врожденная сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение B ero состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление и как напор. Как сопротивление - поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить свое состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор — телам движущимся. Но движение и покой, при обычном их рассмотрения, различаются лишь в отношении одного к другому, ибо не всегда находится в покое то, что таковым простому взгляду представляется.
Def. IV. Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum. Consistit hæc vis in actione sola, neq; post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam vim inertiæ. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi centripeta.	Определение IV Приложенная сила есть действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Сила проявляется единственно только в действии, и по прекращении действия в теле не остается. Тело продолжает затем удерживать свое новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное: от удара, от давления, от центростремительной силы.
Def. V. Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur, impellitur, vel utcunq; tendit. Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terræ: Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quæcunq; sit, qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis revolvi coguntur.	Определение V Центростремителъная сила есть та, с которою тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся. Такова сила тяжести, под действием которой тела стремятся к центру Земли; магнитная сила, которою железо притягивается к магниту, и та сила, каковою бы она ни была, которою планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и вынуждаются обращаться по кривым линиям.
Lapis, in fundâ circumactus, a circumagente manu abire conatur ; et conatu suo fundam distendit, eoque fortius quo celerius revolvitur; et quamprimum dimittitur, avolat. Vim conatui illi contrariam, quâ funda lapidem in manum perpetuò retrahit et in orbe retinet, quoniam in manum ceu orbis centrum dirigitur, Centripetam appello. Et par est ratio corporum omnium, quæ in gyrum aguntur. Conantur ea omnia a centris orbium recedere; et nisi adsit vis aliqua conatui isti contraria, quâ cohibeantur et in orbibus retineantur, quamque ideo Centripetam appello, abibunt in rectis lineis uniformi cum motu. Projectile, si vi Gravitatis destitueretur, non deflecteretur in terram, sed in lineâ rectå abiret in cælos; idque uniformi cum motu, si modo aëris re sistentia tolleretur . Per gravitatem suam retrahitur a cursu rectilineo et in terram perpetuò flectitur , idque magis vel minus pro gravitate suâ et velocitate motus . Quo minor fuerit ejus gravitas pro quantitate materiæ , vel major velocitas quâcum projicitur , eo minus deviabit a cursu rectilneo et longius perget. Si Globus plumbeus, data cum velocitate secundum lineam horizontalem a montis alicujus vertice vi pulveris tormentarii projectus, pergeret in lineâ curvâ ad distantiam duorum milliarium , prius quam in terram decideret: hic duplâ cum velocitate quasi duplo longius pergeret, et decuplâ cum velocitate quasi decuplo longius : si modò aëris resistentia tolleretur. Et augendo velocitatem augeri posset pro lubitu distantia in quam projiceretur, et minui curvatura lineæ quam describeret, ita ut tandem caderet ad distantiam graduum decem vel triginta vel nona ginta ; vel etiam ut terram totam circuiret, vel denique ut in cælos abiret et motu abeundi pergeret in infinitum . Et eâdem ratione, quâ Projectile vi gravitatis in orbem flecti posset et terram totam circuire, potest et Luna vel vi gravitatis, si modò gravis sit, vel aliâ quâcunque vi, quâ in terram urgeatur, retrahi semper a cursu rectilineo terram versus , et in orbem suum flecti: et sine tali vi Luna in orbe suo retineri non potest . Hæc vis , si justo minor esset , non satis flecteret Lunam de cursu rectilineo: si justo major , plus satis flecteret , ac de orbe suo terram versus deduceret . Re quiritur quippe ut sit justæ magnitudinis: et Mathematicorum est invenirvin, quâ corpus in dato quovis orbe datâ cum velocitate accuratè retineri possit; et vicissim invenire viam curvilineam, in quam corpus e dato quovis loco datâ cum velocitate egressum a datâ vi flectatur .	Камень вращаемый в праще, стремится удалиться от вращающей пращу руки, и этим своим стремлением натягивает пращу тем сильнее, чем быстрее вращение, и как только ее пустят, то камень улетает. Силу, противоположную сказанному стремлению, которою праща постоянно оттягивает камень к руке и удерживает его на круге, т. е. силу, направленную к руке или к центру описываемого круга, я называю центростремительной. Это относится до всякого тела, движущегося покругу. Все такие тела стремятся удалиться отцентра орбиты, B если бы небыло некоторой силы, противоположной этому стремлению, которая ихи удерживает на их орбитах, то они ушли бы по прямым линиям, двигаясь равномерно. Эту-то силу я и называю центростремительной. Брошенное тело, если бы силы тяжести не было, не отклонилось бы к Земле, а уходило бы в небесное пространство по прямой линии равномерно, если бы не было и сопротивления воздуха. Своею тяжестью оно оттягивается от прямолинейного пути и постоянно отклоняется к Земле в большей или меньшей степени, сообразно напряжению силы тяжести и скорости движения. Чем меньше будет отнесенное к массе напряжение тяжести и чем больше будет скорость, с которою тело брошено, тем менее оно отклонится от прямой линии и тем дальше отлетит. Если свинцовое ядро, брошенное горизонтально силою пороха из пушки, поставленной на вершине горы, отлетит по кривой, ранее чем упасть на землю, на две мили, то предполагая, что сопротивления воздуха нет, если его бросить с двойною скоростью, оно отлетит приблизительно вдвое дальше, если с десятерною, то в десять раз. Увеличивая скорость, можно по желанию увеличить и дальность полета и уменьшать кривизну линии, по которой ядро движется, так что можно бы заставить его упасть на расстоянии и десяти градусов, и тридцати, и девяноста, можно бы заставить его окружить всю Землю или даже уйти в небесные пространства и продолжать удаляться до бесконечности. Подобно тому как брошенное тело может быть отклонено силою тяжести так, чтобы описывать орбиту вокруг Земли, так и Луна или силою тяжести, если она ей подвержена, или же иною силою, которая влечет ее к Земле, может быть отклоняема от прямолинейного пути и вынуждена обращаться по своей орбите; без такой силы Луна не могла бы удерживаться на своей орбите. Если бы эта сила была меньше соответствующей этой орбите, то она отклонила бы Луну от прямолинейного пути недостаточно, а если больше, то отклонила бы ее более, чем следует, и приблизила бы ее от орбиты к Земле. Следовательно, надо, чтобы эта сила была в точности надлежащей величины. Дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении по заданной орбите с данною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силою будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданною скоростью.
Est autem vis centripetæ quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix. Def. VI. Vis centripetæ quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro eﬃcacia causæ eam propagantis a centro per regiones in circuitu. Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.	B центростремительной силе различается три рода величин: абсолютная, ускорительная и движущая. Определение VI Абсолютная величина центростремительной- силы есть мера большей или меньшей мощности самого источника ее распространения из центра в окружающее его пространство. Так, магнитная сила, в зависимости от величины магнита или степени намагничивания, может быть в одном магните больше, в другом меньше.
Def. VII. Vis centripetæ quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat. Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: velvis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus præaltorum montium (ut experimento pendulorum constat) atq; adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in æqualibus autem distantiis eadem undiq; propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris resistentia, æqualiter accelerat.	Определение VII Ускорителъная^[7] величина центростремительной силы есть мера, пропорциональная той скорости, которую она производит в течение данного времени. Так, действие того же магнита более сильно на близком расстоянии, слабее—на дальнем, или сила тяжести больше в долинах, слабее на вершинах высоких гор и еще меньше (как впоследствии будет показано) на еще больших расстояниях от земного шара; в равных же расстояниях она везде одна и та же, ибо, при отсутствии сопротивления воздуха, все падающие тела (большие или малые, тяжелые или легкие) ускоряются ею одинаково.
Def. VIII. Vis centripetæ quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui, quem dato tempore generat. Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; inq; corpore eodem majus prope terram, minus in cælis. Hæc vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita dicam) pondus, & innotescit semper per vim ipsi contrariam & æqualem, qua descensus corporis impediri potest. Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas, acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium compositum; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam eﬃcaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu diﬀusam, ad movenda corpora quæ in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua præditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes in centro vis Magneticæ vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua quæ non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus. Nam virium causas & sedes physicas jam non expendo. Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materiæ, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materiæ. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta Superﬁciem Terræ, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix ﬁt minor, pondus pariter minuetur, eritq; semper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus. Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices nomi no. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscunq; in centrum, indiﬀerenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum considerando. Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi deﬁnire, vel centris (quæ sunt puncta Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero.	Определение VIII Движущая величина центростремительной силы есть ее мера, пропорциональная количеству движения, которое ею производится в течение данного времени. Таким образом вес большей массы больше, меньшей—меньше; для той же самой массы или того же самого тела все больше вблизи Земли, меньше в небесной дали. Эта величина есть направленное к центру стремление всего тела, которое и называется его весом. Движущая сила распознается по силе, ей равной и противоположной, которая могла бы воспрепятствовать опусканию тела. ^[8] Для краткости эти величины сил можно называть силами движущими, ускоряющими и абсолютными, и для отличия - относить их к самим притягиваемым к центру телам, к месту тел и к центру сил, а именно: движущую силу - к телу, как стремление всего тела к центру, причем это полное‚ стремление составляется из стремлений отдельных частиц тела; силу ускорительную—к месту тела в пространстве, как некоторую способность, распространенную центром на все места окружающего пространства и заставляющую приходить в движение тела, в этих местах находящиеся, абсолютную же силу — к самому центру, как заключающуюся в нем причину, без которой движущие силы не распространялись бы в окружающем пространстве; сказанною причиною может служить или какое—либо центральное тело (как, напр., магнит в центре сил магнитных или Земля в центре сил тяжести), или что бы то ни было иное, хотя бы и ни чем не обнаружимое. Эти понятия должно рассматривать как математические, ибо я еще не обсуждаю физических причин и места нахождения сил. Таким образом ускорительная сила так относится к движущей, как скорость к количеству движения. В самом деле, количество движения пропорционально скорости и массе, движущая же сила пропорциональна ускорительной и массе, ибо сумма^[9] действий ускорительной силы на отдельные частицы тела и составляет движущую силу его. Поэтому близ поверхности Земли, где ускоряющая сила тяжести для всех тел одна и таже, движущая сила тяжести, или вес, пропорциональна массе тела. Если подняться в такие области, где ускоряющая^[10] сила тяжести будет меньше, то и вес пропорционально уменьшится; вообще вес будет постоянно пропорционален массе тела и ускоряющей силе тяжести. Так, напр., в тех областях пространства, где ускоряющая сила тяжести вдвое меньше, вес массы вдвое или втрое меньшей будет вчетверо или вшестеро меньше, нежели близ поверхности Земли.^[11] Далее я придаю тот же самый смысл названиям «ускорительные и движущие притяжения и натиски».^[12] Название же «притяжение» (центром), «натиск» или «стремление» (к центру) я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически, поэтому читатель должен озаботиться, чтобы, в виду таких названий, не думать, что я ими хочу определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил, или же приписывать центрам (которые суть математические точки) действительно и физически силы, хотя я и буду говорить о силах центров и о притяжении центрами.
Scholium. Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiendæ sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus notissima non deﬁnio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur præjudicia quædam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras & apparentes, Mathematicas et vulgares distingui.	ПОУЧЕНИЕ В изложением выше имелось в виду объяснить, в каком смысле употребляются в дальнейшем менее известные названия. Время, пространство, место и движение составляют понятия общеизвестные. Однако необходимо заметить, что эти понятия обыкновенно относятся к тому, что постигаетсянашими чувствами. Отсюда происходят некоторые неправильные суждения, для устранения которых необходимо вышеприведенные понятия разделить на абсолютные и относительные, истинные и кажущиеся, математические и обыденные.
I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq; relatione ad externum quodvis, æquabiliter ﬂuit, alioq; nomine dicitur Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quævis Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inæquabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.	I. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему—либо внешнему, протекает равномерно, и иначе называется длительностью. Относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого—либо движения, мера продолжительноcти, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математиЧеского времени, как то: час, день, месяц, год.
II. Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quælibet mobilis, quæ a sensibus nostris per situm suum ad corpora deﬁnitur, & a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel cælestis deﬁnita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium absolutum & relativum, specie & magnitudine, sed non permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris nostri quod relative & respectu Terræ semper manet idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, & sic absolute mutabitur perpetuo.	II. Абсолютное пространство, по самой своей сущности, безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда одинаковым и неподвижным. Относительное есть его мера или какая-либо ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими чувствами по положению его относительно некоторых тел и которое в обыденной жизни принимается за пространство неподвижное: так, напр., протяжение пространств подземного воздуха или надземного, определяемых по их положению относительно Земли. По виду и величине абсолютное и относительные пространства одинаковы, нo численно не всегда остаются одинаковыми. Так, напр., если рассматривать Землю подвижною, то пространство нашего воздуха, которое по отношению к Земле остается всегда одним и тем же, будет составлять тo одну часть пространства абсолютного, то другую, смотря но тому, куда воздух перешел, и следовательно, абсолютно сказанное пространство беспрерывно меняется.
III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estq; pro ratione spatii vel absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel superﬁciem ambientem. Nam solidorum æqualium æquales semper sunt loci; Superﬁcies autem ob dissimilitudinem ﬁgurarum ut plurimum inæquales sunt; situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, neq; tam sunt loca quam aﬀectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum partium de locis suis, adeoq; locus totius idem cum summa locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.	III. Место есть часть пространства., занимаемая телом, и по отношению к пространству бывает или абсолютным или относительным. Я говорю «часть пространства», а не положение тела и не объемдющая его поверхность. Для равнообъемных тел места равны, поверхности же от неоходства формы тел могут быть и неравными. Положение, правильно выражаясь, не имеет величины, и оно само по себе не есть место, а принадлежащее месту свойство. Движение целого тоже самое, что совокупность движений частей его, т. е. перемещение целого из его места то же самое, что совокупность перемещений его частей из их мест; позтому место целого то же самое, что совокупность мест его частей, и следовательно, оно целиком внутри всего тела.
IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quæ velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæq; adeo movetur una cum Navi; & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis.	IV. Абсолютное движение есть перемещение тела из одного абсолютного его места в другое, относительное - из относительного в относительное же. Так, на корабле, идущем под парусами, относительное место тела есть та часть корабля, в которой тело находится, напр. та часть трюма, которая заполнена телом и которая, следовательно, движется вместе с кораблем. Относительный покой есть пребывание тела в той же самой области корабля или в той же самой части его трюма.
At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus partim ex Terræ motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra; et si corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim ex vero motu Terræ in spatio immoto, partim ex relativis motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra.	Истинный покой есть пребывание тела в той же самой части того неподвижного пространства, в котором движется корабль совсемв нем находящимся. Таким образом, если бы Земля на самом деле покоилась, то тело, которое по отношению к кораблю находится в покое, двигалось бы в действительности с тою абсолютною скоростью, с которою корабль идет относительно Земли. Если же и сама Земля движется, то истинное абсолютное, движение тела найдется по истинному движению Земли в неподвижном пространстве и по относительным движениям корабля по отношению к Земле и тела по кораблю.
Ut si Terræ pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Velocitate partium 10010, et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis partibus novem.	Так, если та часть Земли, где корабль находится, движется на самом деле к востоку со скоростью 10010 частей, корабль же идет к западу со скоростью 10 частей, моряк же ходит по кораблю и идет к востоку со скоростью одной части, то истинно и абсолютно моряк перемещается в неподвижном пространстве к востоку со скоростью 10001 частей, по отношению же к Земле—на запад со скоростью 9 частей.
Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Æquationem Temporis vulgi. Inæquales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam æquales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus cælestes. Possibile est ut nullus sit motus æquabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed ﬂuxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu perseverantia existentiæ rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli; proinde hæc a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Æquationem Astronomicam. Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis necessitas, tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum Jovis evincitur.	Абсолютное время различается в астрономии от обыденнного солнечного времени уравнением времени. Ибо естественные солнечные сутки, принимаемые при обыденном измерения времени за равные, на самом деле между собою неравны. Это неравенство и исправляется астрономами, чтобы при измерениях движений небесных светил применять более, правильное время. Возможно, что не существует (в природе) такого равномерного движения, которым время могло быизмеряться с совершенною точностью. Все движения могут ускоряться или замедляться, течение же абсолютного времени изменяться не может. Длительность или продолжительность существования вещей одна и та же, быстры ли движения (по которым измеряется время), медленны ли, или их совсем нет, поэтому она надлежащим образом и отличается от своей, доступной чувствам, меры, будучи из нее выводимой при помощи астрономического уравнения. Необходимость этого уравнения обнаруживается как опытами с часами, снабженными маятниками, так и по затмениям спутников Юпитера.
Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii. Moveantur hæ de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum Essentia est ut sint loca, & loca primaria moveri absurdum est. Hæc sunt igitur absoluta loca, & solæ translationes de his locis sunt absoluti motus.	Как неизменен порядок частей времени, так неизменен и порядок частей пространства. Если бы они переместились из мест своих, то они продвинулись бы (так сказать) в самих себя, ибо время и пространство составляют как бы вместилища самих себя и всего существующего. Во времени все располагается в смысле порядка последовательности, в пространстве в смысле порядка положения. По самой своей сущности они суть места, приписывать же первичным местам движения нелепо. Вот эти—то места и суть места абсолютные, и только перемещения из этих мест составляют абсолютные движения.
Verum quoniam hæ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut immobile, deﬁnimus loca universa; deinde etiam & omnes motus æstimamus cum respectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motusq; referantur.	Однако совершенно невозможно ни видеть, ни как—нибудь иначе различить при помощи наших чувств отдельные части этого пространства одну от другой, и вместо них приходится обращаться к измерениям, доступным чувствам. По положениям и расстояниям предметов от какого-либо тела, принимаемого за неподвижное, определяем места вообще, затем и о всех движениях судим по отношению к этим местам, рассматривая тела лишь как, переносящиеся по ним. Таким образом вместо абсолютных мест и движений пользуются относительными. B делах житейских это не представляет неудобства, в философских необходимо отвлечение от чувств; Может оказаться, что в действительности не существует покоящегося тела, к которому можно было бы относить места и движения прочих.
Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invicem per eorum proprietates, causas & eﬀectus. Quietis proprietas est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoq; cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus ﬁxarum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ inter se deﬁniri nequit. Motus proprietas est, quod partes quæ datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quæ in ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus deﬁniri nequit per translationem e vicinia corporum, quæ tanquam quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, præter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, absq; translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur.	Абсолютное и относительное движение и абсолютный и относительный покой отличаются друг от друга: свойствами, причинами происхождения и проявлениями. Свойство покоя состоит в том, что тела истинно покоящиеся находятся в покое и друг относительно друга. Возможно, что какое—нибудь тело в области неподвижных звезд, а может быть, и много далее, находится в абсолютном покое, не узнать по взаимному положению тел в наших областях, не сохраняет ли какое—нибудь из них постоянное положение относительно этого весьма отдаленного нельзя. Невозможно также определить истинный их покой по относительному их друг к другу положению. Свойство движения состоит в том, что части, сохраняющие постоянное положение по отношению к целому, участвуют в движении этого целого. Так, все части вращающихся тел стремятся удалиться от оси вращения, для движущихся поступательно полное движение образуется из соединения отдельных частных движений. Следовательно, когда движутся окружающие тела, то движутся и те, которые по отношению к ним находятся в покое; поэтому нельзя определять истинное абсолютное движение по перемещениям от соседних тел, рассматриваемых как неподвижные. Эти тела должны быть действительно в покое, а не только приниматься за покоящиеся. В противном случае все содержавшеся тела участвовали бы в истинных движениях тел, их окружающих, и если бы это последнее движение прекратить, то они оказались бы на самом деле не в покое, а лишь представлялись до тех пор находящимися в таковом. Окружающие тела по отношению к содержащимся стоят в томже отношении, как наружная часть целого к его внутренней части или как скорлупа к ядру. При движении скорлупы движется и ядро, не перемещаясь относительно скорлупы, т. е. движется как часть целого.
Præcedenti proprietati aﬃnis est, quod moto loco movetur una locatum, adeoq; corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis ﬁunt, sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic deinceps, usq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota deﬁniri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem immota non sunt, nisi quæ omnia ab inﬁnito in inﬁnitum datas servant positiones ad invicem, atq; adeo semper manent immota, spatiumq; constituunt quod immobile appello.	В тесной связи с предыдущим свойством находится такое: тело, движущееся в, подвижном пространстве, участвует и в движении этого пространства, поэтому тело, движущееся от подвижного места, участвует в движении своего места. Следовательно, все движения, совершающиеся от подвижных мест, суть лишь составляюще части полных абсолютных движений, и всякое полное движение составляется из движения тела от первого места своего, из движения того первого от его места итак далее, пока не достигнем до места неподвижного, как это было пояснено примером моряка, приведенным выше. Таким образом полные абсолютные движения могут быть определены не иначе, как при помощи мест неподвижных, почему я и относил их выше к местам неподвижным, относительные же движения—к местам подвижным. Места же неподвижны не иначе, как если они из вечности в вечность сохраняют постоянные взаимные положения и, следовательно, остаются всегда неподвижными и образуют то, что я называю неподвижным пространством.
Causæ, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impressæ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus generari et mutari potest absq; viribus impressis in hoc corpus. Suﬃcit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad quæ ﬁt relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ ﬁt relatio, sic imprimantur ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.	Причины происхождения, которыми различаются истинные и кажущиеся движения,суть те силы, которые надо к телам приложить, чтобы произвести эти движения. Истинное абсолютное движение не может ни произойти, ни измениться иначе, как от действия сил, приложенных непосредственно к самому движущемуся телу, тогда как относительное движение тела может быть и произведено и изменено без приложения сил к этому телу; достаточно, чтобы силы были приложены к тем телам, по отношению к которым это движение определяется. Когда эти тела будут уступать действию сил, то будет изменяться и то относительное положение, которым определяется относительный покой или относительное движение. Наоборот, истинное движение всегда изменяется от приложения к телу сил, относительное же движение может при таком приложении сил и не изменяться. Так, напр., если и к тем телам, к которым движение заданного тела относится, будут приложены такие силы, что относительное положение всех тел будет сохраняться, то сохранится и относительное движение заданного тела по отношению к прочим.^[13] Таким образом всякое относительное движение может быть изменяемо такими действиями, при которых абсолютное движение не меняется, и может сохраняться при таких, от которых абсолютное изменяется, так что абсолютное движение совершенно не зависит от тех соотношений, которыми определяется движение относительное.
Eﬀectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hæ vires nullæ sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a ﬁlo prælongo, agaturq; perpetuo in orbem donec ﬁlum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, et ﬁlo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superﬁcies aquæ sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in aquam paulatim impressa, eﬀecit vas, ut hæc quoq; sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendetq; ad latera vasis, ﬁguram concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu ascendet magis & magis, donec revolutiones in æqualibus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum recedendi ab axe motus, & per talem conatum & innotescit & mensuratur motus aquæ circularis verus & absolutus, motuiq; relativo hic omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquæ motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aquæ motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe, atq; hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aquæ respectu corporum ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes deﬁniri nequit.	Проявления, которыми различаются абсолютное и относительное движение, состоят в силах стремления удалиться от оси вращательного движения, ибо в чисто относительном вращательном движении эти силы равны нулю, в истинном же и абсолютном они больше или меньше, сообразно количеству движения. Если на длинной веревке подвесить сосуд и, вращая его, закрутить веревку, пока она не станет совсем жесткой, затем, наполнить сосуд водой и, удержав сперва вместе с водою в покое, внезапным действием другой силы привести сосуд во вращение в сторону раскручивания веревки, то сосуд будет продолжать вращаться, причем это вращение будет поддерживаться достаточно долго раскручиванием веревки. Сперва поверхность воды будет оставаться плоской, как было до движения сосуда. Затем сосуд силою, постепенно действующею на воду, заставит и ее участвовать в своем вращении. По мере возрастания вращения вода будет постепенно отступать от середины сосуда и возвьшаться по краям его, принимая впалую форму поверхности (я сам это пробовал делать); при усиливающемся движении она все более и более будет подниматься к краям, пока не станет обращаться в одинаковое время с сосудом и придет по отношению к сосуду в относительный покой. Этот подъем воды указывает на стремление ее частиц удалиться от оси вращения, и по этому стремлению обнаруживается и измеряется истинное и абсолютное вращательное движение воды, которое, как видно, во всем совершенно противоположно относительному движению. Вначале, когда относительное движение воды в сосуде было наибольшее, оно совершенно не вызывало стремления удалиться от оси - вода не стремилась к окружности и не повышалась у стенок сосуда, а ее поверхность оставалась плоской и истинное вращательное ее движение еще не начиналось. Затем, когда относительное движение уменьшилось, повышение воды у стенок сосуда обнаруживало ее стремление удалиться от оси и это стремление показывало постепенно возрастающее истинное вращательное движение воды, и когда оно стало наибольшим, то вода установилась в покое относительно сосуда. Таким образом это стремление не зависит от движения воды относительно окружающего тела, следовательно по таким движениям нельзя определить истинно вращательное движение тела.
Unicus est corporis cujusq; revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio & adæquato eﬀectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt, & relationum instar, eﬀectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo & unico motu participant. Unde & in Systemate eorum qui Cælos nostros infra Cælos ﬁxarum in orbem revolvi volunt, & Planetas secum deferre; Planetæ & singulæ Cælorum partes, qui relative quidem in Cælis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam ﬁt in vere quiescentibus) unaq; cum cælis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.	Истинное круговое движение какого-либо тела может быть лишь одно в полном соответствии с силою стремления его от оси, относительных же движений, в зависимости от того, к чему они относятся, тело может иметь бесчисленное множество; но, независимо от этих отношений, эти движения совершенно не сопровождаются истинными проявлениями, если только это тело не обладает, кроме этих относительных, и сказанным единственным истинным движением. Поэтому в тех системах мира, в которых предполагается, что наши небесные сферы обращаются внутри сферы неподвижных звезд и несут с собою планеты, окажется, что отдельные части этих сфер и планеты, покоящиеся относительно своих сфер, на самом деле движутся, либо они меняют относительное положение (чего не может быть для тел, покоящихся абсолютно); вместе с тем они участвуют в общем движении несущих их сфер и, значит, как части вращающегося целого, стремятся отдалиться от оси.
Igitur quantitates relativæ non sunt eæ ipsæ quantitates quarum nomina præ se ferunt, sed earum mensuræ illæ sensibiles (veræ an errantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu deﬁniendæ sunt verborum signiﬁcationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie intelligendæ erunt hæ mensuræ; & sermo erit insolens & pure Mathematicus si quantitates mensuratæ hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Neq; minus contaminant Mathesin & Philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt.	Таким образом относительные количества не суть те самые количества, коих имена им обычно придаются, а суть лишь результаты измерений сказанных количеств (истинные или ложные), постигаемые чувствами и принимаемые обычно за самые количества. Если значение слов определять по тому смыслу, в каком эти слова обычно употребляются, то под названиями «время», «пространство», «место»и «движение» и следует разуметь эти постижимые чувствами меры их. Речь стала бы совершенно необычной и чисто математической, если бы под этими названиями разуметь действительно сами измеряемые количества. поэтому воистину насилуют смысл священного писания те, кто эти слова истолковывают в нем как самые количества. Не менее того засоряют математику и физику и те, кто смешивает самые истинные количества с их отношениями и их обыденными мерами.
Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu discriminare, diﬃcillimum est; propterea quod partes spatij illius immo bilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum diﬀerentiæ, partim ex viribus quæ sunt motuum verorum causæ & eﬀectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam ﬁlo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione ﬁli conatus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset. Deinde si vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta ﬁli tensione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id est facies posticæ, sive quæ in motu circulari sequuntur. Cognitis autem faciebus quæ sequuntur & faciebus oppositis quæ præcedunt, cognosceretur determinatio motus.	Распознание истинных движений отдельных тел и точное их разграничение от кажущихся весьма трудно, ибо части того неподвижного пространства, о котором говорилось и в котором совершаются истинные движения тел, не ощущаются нашими чувствами. Однако это дело не вполне безнадежное. Основания для суждений можно заимствовать частью из кажущихся движений, представляющих разности истинных, частью из сил, представляющих причины и проявления истинных движений. Так, если два шара, соединенные нитью на данном друг, от друга расстоянии, будут обращаться около общего их центра тяжести, то по натяжению нити можно будет узнать стремление шаров к удалению от оси вращения и по нему вычислить угловую его скорость. Если затем на противоположные стороны шаров заставить действовать равные силы, так чтобы они или увеличивали, или уменьшали, круговращательное движение, то по увеличившемуся или по уменьшившемуся натяжению нити может быть обнаружено увеличение: или уменьшнение скорости движения, и таким образом можно будет найти те стороны шаров, к которым надо приложить силы, чтобы увеличение скорости движения стало наибольшим, и значит, найти те стороны шаров, которые обращены по направлению движения или по направлению, ему обратному. Когда эти передние и задние стороны‚ будут найдены, то и движение будет вполне определено.
In hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum & sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia, qualia sunt stellæ ﬁxæ in regionibus nostris: sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad ﬁlum & inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse globorum, & tum demum ex translatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum causis, eﬀectibus & apparentibus diﬀerentijs colligere, & contra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas & eﬀectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in ﬁnem Tractatum sequentem composui.	Таким способом могло бы быть определено количество и направление кругового движения внутри огромного пустого пространства, где не существовало бы никаких внешних доступных чувствам признаков, к которым можно было бы относить положения шаров. Если быв этом пространстве, кроме того, находились бы еще некоторые весьма удаленные тела, сохраняющие относительные друг к другу положения, подобно тому как наши неподвижные звезды, то по перемещению шаров отнесительно этих тел мы не могли бы определить, чему принадлежит это перемещение—телам или шарам. Но если бы мы, определив натяжение нити, нашли бы,что это натяжение как раз соответствует движению шаров, то мы бы заключили, что движение принадлежит шарам, а не внешним телам, и что эти тела находятся в покое. Таким образом по видимому перемещению шаров относительно внешних тел мы вывели бы их движение. Нахождение же истинных движений тел не причинам, их производящим, но их проявлениям к но разностям кажущихся движений и, наоборот, нахождение по истинным или кажущимся движениям их причин и проявлений излагаются подробно в последующем. Именно с этою—то целью и составлено предлагаемое сочинение.
AXIOMATA SIVE LEGES MOTUS recensere	АКСИОМЫ ИЛИ ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ
Lex. I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius.	Закон I Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждаается приложенными силами изменить это состояние. ^[14] Брошенное тело продолжает удерживать свое движение, поскольку его не замедляет сопротивление воздуха и поскольку сила тяжести не побуждает это тело вниз. Волчок, коего части, вследствие взаимного сцепления, отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестает вращаться (равномерно), поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха. Большие же массы планет и комет, встречая меньшее сопротивление в свободном пространстве, сохраняют свое как поступательное, так и вращательное движение в продолжение гораздо большего времени.
Lex. II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & ﬁeri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationem componitur.	Закон II Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, пo которой это сила действует. Если какая-нибудь сила производит некоторое количество движения, то двойная сила произведет двойное, тройная—тройнее, будут ли они приложены разом все вместе или же последовательно и постепенно. Это количество движения, которое всегда происходит по тому же направлению, как и производящая его сила, если тело уже находилось в движении, при совпадении направлений прилагается к количеству движениятела, бывшему ранее, при противоположности - вычитается, при наклонности—прилагается наклонно и соединяется с бывшим ранее, сообразно величине и направлению каждого из них.
Lex. III. Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi. Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in lapidem: nam funis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob æqualitatem pressionis mutuæ) subibit. His actionibus æquales ﬁunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factæ, quia motus æqualiter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales.	Закон III Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взиимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны. Если что—либо давит на что-нибудь другое или тянет его, то оно само этим последним давится или тянется. Если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем; Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и обратно (если можно так выразиться), она с равным усилием оттягивается к камню, ибо натянутый канат своею упругостью`производит одинаковое усилие на лошадь в сторону камня и на камень в сторону лошади, и насколько этот канат препятствует движению лошади вперед, настолько же он побуждает движение вперед камня. Если какое—нибудь тело, ударившись в другое тело, изменяет своею силою его количество движения на сколько—нибудь, то оно претерпит от силы второго тела в своём собственном количестве движения то же самое изменение, но обратно направленное, ибо давления этих тел друг на друга постоянно равны. От таких взаимолействий всегда происходят равные изменения не скоростей, а количеств движения, предполагая, конечно, что тела никаким другим, усилиям не подвергаются. Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Этот закон имеет место и для притяжений, как это будет доказано в поучении.
Corol. I. Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere, quo latera separatis. Si corpus dato tempore, vi sola M, ferretur ab A ad B, & vi sola N, ab A ad C, compleatur parallelogrammum ABDC, & vi utraq; feretur id eodem tempore ab A ad D. Nam quoniam vis N agit secundum lineam AC ipsi BD parallelam, hæc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam BD a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam BD sive vis N imprimatur, sive non, atq; adeo in ﬁne illius temporis reperietur alicubi in linea illa BD. Eodem argumento in ﬁne temporis ejusdem reperietur alicubi in linea CD, & idcirco in utriusq; lineæ concursu D reperiri necesse est.	Следствие I При силах совокупных тело описывает диагонналь параллелограмма, в тоже самое время, как его стороны —при раздельных. ^[15] Если тело при действии в месте A (Фиг. 1) одной только силы М перенеслось бы в продолжение заданного промежутка времени равномерным движением из A в B и если бы при действии в том же месте одной только силы N оно перенеслось бы из A в C, то при действии обеих сил оно перенесется в тоже самое время из А в D no диагонали параллелограмма ABCD. Так как сила N действует по направлению прямой AC, параллельной BD, то по второму закону эта сила нисколько не изменит той скорости приближения к прямой BD, которая была произведена первою силою. Следовательно, тело в продолжение данного времени достигнет до линии BD (Фиг. 1.), была ли сила N приложена, или нет. На основании такого же рассуждения, к концу того же промежутка времени тело должно находиться и где—либо на прямой CD, следовательно оно должно быть в их пересечении D. Переходит же оно из A в D прямолинейно на основании закона I.
Фиг. 1
Corol. II. Et hinc patet compositio vis directæ AD ex viribus quibusvis obliquis AB & BD, & vicissim resolutio vis cujusvis directæ AD in obliquas quascunq; AB & BD. Quæ quidem Compositio & resolutio abunde conﬁrmatur ex Mechanica.	Следствие II Отсюда явствует составление силы, направленной по AD, из каких-либо двух наклоненных друг к другу AB и BD и, наоборот, разложение любой силы, направленной по AD, на наклонные AB и BD. Как это сложение, так и разложение беспрестанно подтверждаются в учении о машинах.^[16]
Ut si de rotæ alicujus centro O exeuntes radij in æquales OM, ON ﬁlis MA, NP sustineant pondera A & P, & quærantur vires ponderum ad movendam rotam: per centrum O agatur recta KOL ﬁlis per pendiculariter occurrens in K & L, centroq; O & in tervallorum OK, OL majore OL describatur circulus occurrens ﬁlo MA in D: & actæ rectæ OD parallela sit AC & perpendicularis DC. Quoniam nihil refert utrum ﬁlorum puncta K, L, D aﬃxa sint vel non af ﬁxa ad planum rotæ, pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis K & L vel D & L. Ponderis autem A exponatur vis tota per lineam AD, & hæc resolvetur in vires AC, CD, quarum AC trahendo radium OD directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera DC, trahendo radium DO perpendiculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium OL ipsi OD æqualem; hoc est idem atq; pondus P, quod sit ad pondus A ut vis DC ad vim DA, id est (ob similia triangula ADC, DOK,) ut OK ad OD seu OL. Pondera igitur A & P, quæ sunt reciproce ut radii in directum positi OK & OL, idem pollebunt & sic consistent in æquilibrio: (quæ est proprietas notissima Libræ, Vectis & Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.	Так, пусть к точкам M и N (Фиг. 2а) колеса, взятым на радиусах его ОМ и ON на неодинаковом расстоянии от центра, подвешены на нитях грузыA и Р и требуется определить усилия, с которыми эти грузы стремятся вращать колесо. Через центр O проводится прямая KOL, перпендикулярная к нитям и пересекающая их в K и L; центром O и бoльшим из расстояний OL проводится круг, пересекающий MA в D, и строятся прямые: DC перпендикулярно к OD и AC ей параллельно. Так как ничто не изменится от того, будут ли точки K, L, D нитей прикреплены к плоскости колеса, или нет, то действие грузов будет одно и то же, подвесить ли их в точках K и L, или в точках D и L. Ho eсли полную величину веса груза А представить линией AD, то этот вес разлагается на силы AC и CD, из коих AC, действующая по направлению радиуса OD прямо от центра, не имеет значения для вращения колеса, вторая же сила, действующая перпендикулярно к радиусу OD, имеет такое же значение, как если бы она действовала перпендикулярно радиусу OL, равному OD, T. е. такое же, как вес груза P, если его взять таким, чтобы он относился к весу A, как длина DC к DA. Ho, по подобию треугольников DAC и KOD и равенству OD и OL, будет (Фиг. 2а) DC:DA=ОК:ОL следовательно, когда веса А и Р обратно пропорциональны плечам OK и OL, составляющим продолжения одно другого, то их действия равносильны, и они будут находиться в равновесии; это и есть известное свойство весов, рычага и ворота. Когда который—нибудь из двух грузов будет больше, нежели в этом отношении, то и усилие к вращению колеса будет соответственно больше.
Фиг. 2а
Quod si pondus p ponderi P æquale partim suspendatur silo Np, partim incumbat plano obliquo pG: agantur pH, NH, prior horizonti, posterior plano pG perpendicularis; & si vis ponderis p deorsum tendens, exponatur per lineam pH, resolvi potest hæc in vires pN, HN. Si ﬁlo pN perpendiculare esset planum aliquod pQ secans planum alterum pG in linea ad horizontem parallela; & pondus p his planis pQ, pG solummodo incumberet; urgeret illud hæc plana viribus pN, HN perpendiculariter, nimirum planum pQ vi pN & planum pG vi HN. Ideoque si tollatur planum pQ ut pondus tendat ﬁlum, quoniam ﬁlum sustinendo pondus, jam vicem præstat plani sublati, tendetur illud eadem vi pN, qua planum antea urgebatur. Unde tensio ﬁli hujus obliqui erit ad tensionem ﬁli alterius perpendicularis PN, ut pN ad pH. Ideoq; si pondus p sit ad pondus A in ratione quæ componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum ﬁlorum suorum AM, pN a centro rotæ, & ratione directa pH ad pN; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atq; adeo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest.	Пусть груз р, коего вес равен весу груза Р, отчасти подвешен на нити Nр (фиг. 2Ь), частью же поддерживается наклонною плоскостью G. Если провести прямые рН и NH соответственно перпендикулярно горизонтальной плоскости и плоскости а, то, представив через рН напра вленную вниз силу,^[17] равную весу груза р, можно ее разложить на силы рN и НN. Если плоскость Q, пересекающая данную плоскость G по горизонтальнОй прямой‚ будет взята перпендикулярно направлению нити pN и груз р поддерживался бы лишь этими двумя плоскостями, то он давил бы на эти плоскости с силами рN и HN, соответственно перпендикулярными этим плоскостям, т. е. на плоскость Q силою рN и на плоскость G силою HN. Пoэтому, если убрать плоскость Q, чтобы груз натягивал нить, то так как нить, поддерживая груз, теперь заменяет убранную прочь плоскость Q, то она будет натянута с тою самою силою рN, которая раньше давила на плоскость. Следовательно, натяжение этой наклонной нити будет так относиться к натяжению отвесной нити NP, как длина рN к рН. Поэтому, если отношение веса груза р к весу груза А будет равно отношению, составленному из отношения длин рН Фиг. 2b к рN и обратного отношения кратчайшим расстояний от центра колеса до нитей подвеса pN и AM этих грузов, то их действия на колесо будут одинаковы, и они будут взаимно уравновешиваться, что всякий может испытать.
Pondus autem p planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis ﬁssi facies internas: & inde vires cunei & mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus p urget planum pQ sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam pH in plano, ut pN ad pH; atq; ad vim qua urget planum alterum pG ut pN ad NH. Sed & vis Cochleæ per similem virium divisionem colligitur; quippe quæ cuneus est a vecte impulsus.	Груз p, надавливающий на вышеуказанные две наклонные плоскости, находится в условиях, подобных тем, как клин, коего грани и были бы эти плоскости; следовательно, можно определить соотношение между силами клина и молота, а именно, давление на грань Q так относится к силе, действующей на клин по направлению прямой рН от веса ли его или от удара молота, как рN относится к рН, к давлению же на вторую грань G - как pN к NH. Наконец, и сила винта найдется подобным же разложением, ибо он не что иное, как клин, вгоняемый рычагом.
Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, & late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique ascendentibus, cæterisq; potentijs Mechanicis componi solent, ut & vires Nervorum ad animalium ossa movenda.	Применение этого Следствия весьма широкое, и благодаря этому широкому применению постоянно обнаруживается справедливость его, ибо от вышесказанного зависит все учение о машинах, разными авторами излагаемое различным образом. Пользуясь этим же следствием, легко выводятся соотношения между усилиями в машинах, составленных из колес, барабанов вороток, рычагов, блоков, натянутых канатов и других механизмов^[18] и весами грузов, поднимаемых или прямо, или наклонно, а также силы связок, приводящих в движение кости животных.
Corol. III. Quantitas motus quæ colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem, & diﬀerentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se.	Следствие III Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разностъ, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою.^[19]
Etenim actio eiq; contraria reactio æquales sunt per Legem 3, adeoq; per legem 2, æquales in motibus eﬃciunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus ﬁunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem quæ prius. Sin corpora obviam eant, æqualis erit subductio de motu utriusq;, adeoq; diﬀerentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.	Так как по закону III действие и противодействие между собою равны и противоположны, то по закону и они производят равные изменения количеств движения, направленные в противоположные стороны. Таким образом, если движения двух тел направлены в одну сторону, то что приложится к количеству движения тела, идущего впереди, то вычтется из количества движения тела, за ним следующего, и сумма количеств движения обоих тел останется прежняя. Если же тела движутся в противоположные стороны, то вычтется поровну из количеств движения каждого из них, и следовательно, разность количеств движения, направленных в обратные стороны, останется без перемены.
Ut si corpus sphæricum A sit triplo majus corpore sphærico B, habeatq; duas velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, adeoq; motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem; ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinq; corpus B amittet partes totidem, adeoq; perget corpus A post reﬂexionem cum partibus novem vel decem vel undecim; & B cum partibus septem vel sex vel quinq; existente semper summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeoq; progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B amittendo, tot partes quot A lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progressivum partium duodecim. Atq; ita summæ motuum conspirantium 15+1 vel 16+0, diﬀerentiæ contrariorum 17−1 & 18−2 semper erunt partium sexdecim ut ante concursum & reﬂexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reﬂexionem pergent, invenietur cujusq; velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante reﬂexionem ut motus post ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex ante reﬂexionem; partium octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reﬂexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reﬂexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reﬂexionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duæ ante reﬂexionem ad velocitatis partes sex postea. Quod si corpora vel non Sphærica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post reﬂexionem, cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto concursus; dein corporis utriusq; motus (per Corol. 2.) distinguendus est in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reﬂexionem atq; antea, & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes contrarias tribuendæ sunt sic, ut summa conspirantium & diﬀerentia contrariorum maneat eadem quæ prius. Ex hujusmodi reﬂexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.	Пусть масса шара А втрое больше массы шара B и скорость его заключает две части таких, коих скорость последующего за ним шара B заключает десять, и движение шаров происходит по той же самой прямой. Количества движения А и B будут относиться, как 6 к 10; положим, что эти количества соответственно равны 6 B 10 частям, так что‚ сумма их равна 16. При встрече тел, если тело А приобретет количество движения, равное 3, 4 или 5 частям, то тело B утратит столько же частей, и следовательно, после отражения тело А пойдет, имея количество движения, равное 9, 10 или 11 частям, тело же B будет иметь или 7, или 6, или 5 частей, так что сумма все время остается равной 16, как и раньше. Если бы тело А приобрело 9, 10, 11 или 12 частей и, следовательно, после встречи шло бы, имея количество движения, равное 15, 16, 17 или 18, то тело В, потеряв столько же, сколько приобретено телом А, или идет вперед с 1 частью после потери 9, или находится в покое при потере 10 частей, или же идет назад, потеряв не только все свое количество движения, но еще (как сказано выше) и одну часть вдобавок, или же при потере 12 частей идет назад с количеством движения, равным 12. Таким образом суммы количеств движения, направленных в ту же сторону, как (15+1) или (16+0), и разности направленных в противоположные, как (17—1) или (18—2), составляют постоянно 16, как то было до встречи и отражения. Найдя количества движения, которыми обладают тела после отражения, определим и скорости каждого из них, ибо ‚каждая из этих скоростей так относится к скорости, бывшей до удара, как количества движения соответствующего тела после и до удара. Так, напр., для последнего случая тела А, коего количество движения до удара было равно 6 и скорость 2, после же отражения количество движения стало 18, скорость будет 6, как это следует из пропорции 18:6=6:2. Когда тела не сферические или же, двигаясь по разным прямым, соударяются, косвенно и требуется найти количества движения их после отражения, то необходимо сперва найти положение плоскости, касающейся обоих тел в точке их встречи, затем количество движения каждого тела разложить на два (по след. II), одно перпендикулярно сказанной плоскости, другое ей параллельно. Количества движения сохранятся без изменения, ибо взаимодействие тел происходит по прямой, перпендикулярной этой плоскости. Количества же движения перпендикулярные получают равные и противоположные изменения, так что сумма этих количеств движения, когда они направлены в одну сторону, и разность, когда они направлены в стороны обратные, остается тою же самою, какой была до удара. От отражений подобного рода могут происходить и вращательные движения тел около их собственных центров, но таких случаев я в дальнейшем не рассматриваю, и было бы весьма долго излагать всё сюда относящееся.
Corol. IIII. Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum omnium in se mutuo agentium (exclusis actionibus & impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis & distantia eorum dividatur in ratione data, punctum dividens vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea recta, Hoc postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, & eadem ratione demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcunq; moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data: similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & sic in inﬁnitum. Igitur in systemate corporum quæ actionibus in se invicem, alijsq; omnibus in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeoq; moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantiæ centrorum utriusq; a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, æquales inter se. Proinde centrum illud a motuum æqualibus mutationibus in partes contrarias factis, atq; adeo ab actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum; & reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi corporum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, quorum sunt centra, reciproce proportionales, adeoq; centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bina compositæ, & propterea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem quæ corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis æstimari semper debet.	Следствие IV. Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно. В самом деле, если две точки перемещаются равномерно по прямым линиям и расстояние между ними разделяется в заданном отношении, то и точка раздела или находится в покое, или движется равномерно попрямой. Это будет доказано в лемме XXIII и ее следствии для того случая, когда движение обеих точек происходит в одной плоскости; таким же рассуждением‚ это могло бы быть доказано и для того случая, когда движения совершаются не в одной плоскости. Следовательно, если какие-либо тела движутся равномерно и прямолинейно, то центр тяжести любой пары их или покоится, или движется равномерно по прямой, и кроме того, прямая, соединяющая сказанные прямолинейно перемещающиеся центры тяжести тел, разделяется общим их центром тяжести в постоянном отношении. Подобным же образом общий центр тяжести этих двух тел и третьего или покоится, или движется равномерно по прямой, ибо и им расстояние между общим центром тяжести пары тел и центром тяжести третьего разделяется в постоянном отношении. Точно также общий центр тяжести трех тел и какого—либо четвертого или покоится или движется равномерно по примой, ибо и им расстояние между центром тяжести системы трем тел и центром тяжести четвертого разделяется в постоянном отношении и т. д. до бесконечности. Следовательно, в системе тел, между которыми нет никаких взаимодействий и которые не подвержены никаким внешним силам, так что каждое из этих тел в отдельности движется равномерно по своему прямолинейному пути, общий центр тяжести или покоится, или движется равномерно и прямолинейно. Далее, так как в системе двух тел, действующих друг на друга, расстояние центра тяжести каждого из них до общего центра тяжести системы обратно пропорционально массам тел, то относительные количества‚ движения, с которыми оба тела или приближаются к этому центру, или от него удаляются, между собою равны. Вследствие этого, сказанныйцентр тяжести системы не претерпит от происходящих в противоположных направлениях равных изменений количеств движения, вызываемых действием тел друг на друга, ни ускорения, ни замедления в своем движении и не изменит своего состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения. В системе многих тел центр тяжести любой пары их, действующих друг на друга, не претерпевает от этого взаимодействия никакого изменения своего состояния; общий центр тяжести остальных тел, которых это взаимодействие не касается, тем более не изменит своего состояния. Расстояние центра тяжести этих двух тел до общего центра тяжести всех остальных разделяется центром тяжести всей системы на части, обратном пропорциональные суммам масс взятой пары тел и всех прочих, т. е. в постоянном отношении. Отсюда следует, что так как центр тяжести двух взятых тел сохраняет свое состояние, то и общий центр тяжести всей системы его сохраняет, и следовательно, от действия двух тел друг на друга он не изменяет своего состояния покоя или равномерного прямолинейного движения. Но в системе многих тел все действия между телами состоят или из взаимодействий одного тела на другое, или же они составляются из таких взаимодействий между двумя телами, и следовательно, они не влияют на изменение‚ состояния покоя или движения центра тяжести этой системы. Так как центр тяжести системы, когда взаимодействий между телами нет, или покоится, или движется равномерно и прямолинейно, то на основании сказанного выше, несмотря на взаимодействие тел, он будет продолжать все время или покоиться, или двигаться равномерно и прямолшнейно, если только он не будет выведен из этого состояния силами, действующими извне. Следовательно, по отношению к центру тяжести системы нескольких тел имеет место тот же самый закон сохранения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, как и для одного тела. Таким образом поступательное количество движения отдельного, ли тела, или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их.^[20]
Corol. V. Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum absq; motu circulari. Nam diﬀerentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & summæ tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utroq; casu (ex hypothesi) & ex his summis vel diﬀerentiis oriuntur congressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 æquales erunt congressuum eﬀectus in utroq; casu, & propterea manebunt motus inter se in uno casu æquales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum.	Следствие V Относительные движения друг но отношению к другу тел, заключенных; в каком—либо пространстве, одинаково, покоится ли это пространство, или движется равномерно и прямолинейно без вращения. Так как разности^[21] движений, направленных в ту же сторону, и суммы направленных в стороны противоположные одинаковы в обоих случаях (а так это следует из условий), все же усилия, с которыми тела действуют друг на друга при столкновениях, зависят лишь от этих разностей или сумм, то по закону II последствия столкновений будут равные в обоих случаях, и следовательно, относительные движения останутся в обоих случаях одинаковыми. Это подтверждается обильно опытами. Все движения на корабле совершаются одинаково, находится ли он в покое, или движется равномерно и прямолинейно.
Corol. VI. Si corpora moveantur quomodocunq; inter se & a viribus acceleratricibus æqualibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata. Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corporum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia æqualiter (quoad velocitatem) movebunt (per Legem 2.) adeoq; nunquam mutabunt positiones & motus eorum inter se.	Следствие VI Если несколько тел, движущимся как бы то ни было друг относительно друга, будут подвержены действию равных ускоряющих сил, направленных по параллельным между собою прямым, то эти тела будут продолжать двигаться друг относительно друга также, как если бы сказанные силы на них не действовали. Так как эти силы, действуя на все тела одинаково (соответственно массам движущихся тел) и по направлениям параллельным, будут сообщать всем телам одинаковые скорости (по закону II), то они ни в чем не изменят ни положений, ни движений тел друг относительно друга.
Scholium Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experientia multiplici conﬁrmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilæus descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum projectilium ﬁeri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suﬀragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege tertia D. Christopherus Wrennus Eques auratus, Johannes Wallisius S.T.D. & D. Christianus Hugenius, hujus ætatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum & reﬂexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem D. Wallisius dein D. Wrennus & D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum, quod etiam Clarissimus Mariottus Libro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis Elasticæ concurrentium corporum. Pendeant corpora A, B ﬁlis parallelis AC, BD a centris C, D. His centris & intervallis describantur semicirculi EAF, GBH radijs CA, DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis R, & (subducto corpore B) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem ad punctum V. Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV ﬁat ST pars quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu ab S ad A quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto S, & velocitas ejus in loco reﬂexionis A, absq; errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco T . Exponatur igitur hæc velocitas per chordam arcus TA. Nam velocitatem Penduli in puncto inﬁmo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reﬂexionem perveniat corpus A ad locum s, & corpus B ad locum k. Tollatur corpus B & inveniatur locus v, a quo si corpus A demittatur & post unam oscillationem redeat ad locum r, sit st pars quarta ipsius rv sita in medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime post reﬂexionem habuit in loco A. Nam t erit locus ille verus & correctus ad quem corpus A, sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus k, ad quem corpus B ascendit, & inveniendus locus l, ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quæ velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reﬂexionem, deinde in chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reﬂexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus Bl, ut habeatur motus ejus proxime post reﬂexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusq; tam ante, quam post reﬂexionem; & tum demum conferendi sunt motus inter se & colligendi eﬀectus reﬂexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod actio & reactio semper erant æquales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reﬂexionem cum duabus, corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur aliæ partes duæ & ﬁet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporis B partium sex subducendo partes quatuordecim, ﬁunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius cum partibus quatuordecim & B tardius cum partibus quinq; & post reﬂexionem pergebat A cum quinq; partibus, pergebat B cum quatuordecim, facta translatione partium novem de A in B. Et sic in reliquis. A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus quæ ex summa motuum conspirantium & diﬀerentia contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim diﬃcultati peragendi singula satis accurate. Diﬃcile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco inﬁmo AB, tum loca s, k, notare ad quæ corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium densitas, & textura aliis de causis irregularis, errores inducebant. Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reﬂexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elasticæ. In Theoria Wrenni & Hugenij corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id aﬃrmabitur de perfecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reﬂexionem, inveni quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi reﬂexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reﬂexiones per Theoriam comprobata est, quæ cum experientia plane congruit. In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis A, B se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum A magis trahitur versus corpus alterum B, quam illud alterum B in prius A, obstaculum magis urgebitur pressione corporis A quam pressione corporis B; proindeq; non manebit in æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporum duorum & obstaculi moveri in directum in partes versus B, motuq; in spatiis liberis semper accelerato abire in inﬁnitum. Quod est absurdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq; corpora æqualiter urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta ﬂuitent, neutrum propellet alterum, sed æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in æquilibrio constituta quiescent. Ut corpora in concursu & reﬂexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires quibus cuneus urget partes duas ligni ﬁssi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressæ, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium. Harum eﬃcacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere Problema; Datum pondus data vi movendi, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, & majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinæ, partim in corpore resistente producet. Cæterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus. Nam si æstimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere & acceleratione oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper æquales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.	ПОУЧЕНИЕ До сих пор я излагал начала, принятые математиками и подтверждаемые многочисленным: опытами. Пользуясь первыми двумя законами и первыми двумя следствиями, Галилей нашел, что падение тел пропорционально квадрату времени и что движение брошенных тел происходит по параболе; это подтверждается опытом, поскольку такое движение не претерпевает замедления от сопротивления воздуха. При падении тела, сила тяжести в отдельные равные между собою весьма малые промежутки времени, действуя одинаково, сообщает этому телу равные количества движения^[22] и производит равные скорости, следовательно за все время движения она сообщает телу полные количества движения и скорости, пропорциональные времени. Пространства, проходимые в пропорциональные времена, будут относиться, как произведения скорости и времени, т. е. как квадраты времени. Телу, подброшенному вверх (вертикально), тяжесть сообщает равномерно количества движения, пропорциональные времени, и уменьшает скорость также пропорционально времени, так что времена подъема до наибольшей высоты пропорциональны той скорости, которая педлежит уничтожению, самые же эти высоты пропорциональны скорости и времени, т. е. пропорциональны квадрату скорости. Движение тела, брошенного по какой-нибудь прямой (наклонной к горизонту), слагается. из движения по этой прямой, происходящего от начального толчка, и из движения, происходящего от силы тяжести. Так, если бы тело А(Фиг. 3) в своем движении только от толчка описало бы в данное время прямолйнейный путь AB, под влиянием же только силы тяжести, падая вниз, путь АО, то дополнив параллелограмм ABCD, получим в точке D место тела в конце рассматриваемого времени. Кривая AED, описанная телом, есть касающаяся прямой AB B точке A парабола, ордината коей BD пропорциональна AB.2 От тех же законов и следствий зависят известные свойства времен качаний маятников, которые подтверждаются ежедневным опытом с часами. Из этих же двух законов и из третьего кавалер Христофор Врен, [ванн Уоллис S.T.D.^[23] и Христиан Гюйгенс, величайшие геометры нашего времени, вывели законы удара и отражения тел, и почти одновременно сообщили их Королевскому обществу, причем их выводы, во всем касающемся этих законов, между собою согласны. По времени обнародования найденного Уаллис был первым, затем следовал Врен, затем Гюйгенс. Справедливость этих законов была подтверждена Вреном перед Королевским обществом опытами с маятниками. Эти опыты были затем признаны знаменитым Мариоттом достойными быть изложенными в его книге, целиком, посвященной (Фиг. 8) этому предмету. Однако, чтобы результаты таких опытов в точности совпадали с теорией, необходимо принять во внимание как сопротивление воздуха, так и степень упругости соударяющихся тел. Пусть шары А и B (Фиг. 4) подвешены на равных и параллельных нитях AO, BD из точек C и D. Опишем из этих точек, как из центров, радиусами BD и AG полуокружности EAF и ОБН. Отклонив тело А до точки R дуги EAF и убрав тело B, пускаем A качаться и замечаем ту точку V, до которой оно дойдет после одного полного размаха; тогда RV представляет уменьшение величины размаха от сопротивления воздуха. Пусть ST есть четвертая часть RV, так расположенная по средине этой дуги, чтобы RS и TV были между собою равны, T. е. чтобы было BS= С3=TV:ТЕТ, тогда ST представит весьма близко влияние сопротивления воздуха при размахе от S до А. Поместим тело В на его место; если тело А пустить из точки S, то можно без чувствительной погрешности принять, что его скорость при ударе B низшем его положении будет такая же, как если бы оно свободно падало в пустоте из точки T. Эту скорость можно представить хордой TA, ибо известно, что скорость маятника в низшей точке его дуги пропорциональна хорде дуги его падения. Пусть после отражения тело A достигает до точки S11 тело В — до точки k. Убрав тело В, определяем положение такой точки с, из которой если пустить тело А, то после полного размаха оно приходит ’Г; ЕСЛИ ТОГД& ВЗЯТЬ St :Т‘Г’дИ'. поместить точки s и t так, чтбы было тз :tv, то хорда tA представит ту скорость, которую имеет тело А после отражения, ибо t будет то потянное B исправленное место, до которого могло бы дойти тело А при отсутствии сопротивления воздуха. Подобным же образом исправляется и место k и находится та точка l, до которой дошло бы тело В в пустоте. Производя все испытания таким способом, мы как бы производим их в пустоте. Умножив затем массу тела А (если можно так выразиться) на хорду ТА, представляющую его скорость, получим его количество движения в точке А перед самым моментом удара. Затем, умножив на tA, получим его количество движения после отражения… Точно также надо массу тела В умножить на хорду Bl, чтобы получить его количество движения после отражения. Подобным образом находятся количества движения каждого из двух тел как перед ударом, так и после отражения, и в том случае, когда они одновременно пускаются из разных мест, после чего можно сравнивать количества движения междусобою и выводить последствия удара и отражения. Производя таким образом испытания над маятниками длиною 10 футов и над массами равными и неравными и пуская тела так, чтобы они встречались, пройдя большие промежутки, напр. 8, 12, 16 футов, я получал с ошибкою, меньшею 3 дюймов, в измерениях, что при прямомударе между телами изменения их количеств движения были равны и направлены в стороны противоположные, откуда следует, что действие и противодействие между собою равны. Так, Баир, если тело А ударило по покоящемуся телу В с количеством движения, равным девяти частям и, потеряв семь, продолжало движение с двумя, то тело В отскакивало также с количеством движения, равным семи. Когда тела шли друг другу навстречу, напр. А с количеством движения, равным двенадцати, и B c количеством движения, равным шести, и если после удара А шло в обратную сторону с количеством движения, равным двум, то В шло в обратную сторону с количеством движения, равным восьми, т. е. оба тела, как показывает вычитание, изменяли свое количество движения на четырнадцать частей. В самом деле, если из количества движения А вычесть двенадцать, то останется нуль, по вычете же еще двух получится количество движения, равное двум, направленное в обратную сторону, также по вычете четырнадцати из количества движения тела В, равного шести, остается количество движения, равное восьми, направленное в обратную сторону. То же самое происходит и при движении тел в одну сторону: пусть, напр, тело A идет более быстро и с количеством движения четырнадцать, B — медленнее и с количеством движения, разным пяти; если после удара А продолжает итти с количеством движения пять, то B пойдет с четырнадцатью, получив девять частей от А. Подобное соотношение имеет место и в остальных случаях: полное количество движения, рассчитываемое взяв сумму количеств движения, когда они направлены Bодну сторону, и разность, когда они направлены в стороны противоположные, никогда не изменяется от удара при встрече тел. Ошибки в один или два дюйма при измерениях следует приписатьтрудности произвести их достаточно точно. Была также трудность и в том, чтобы пустить оба тела так, чтобы они одновременно приходили в низшее свое положение, _а) также чтобы заметить места 3 11Ac, до которых тела поднимались после встречи. Неравномерное распределение плотности и неравномерность строения тел, происходящие от случайных причин, приводят также к погрешностям. Чтобы опровергнуть возражение против высказанного выше правила, для доказательства которого эти опыты и производились, будто бы оно предполагает, что тела или абсолютно тверды, или вполне упруги, т. е. такие, каких в природе не встречается, добавлю, что описанные опыты удаются как столами мягкими, так и с жесткими, и совершенно не зависят от степени твердости их. Если это правило прилагать к телам не вполне твердым, то необхолимо лишь уменьшать скорость отражения сообразно степени упругости тел. По теории Врена и Гюйгенса, тела абсолютно твердые отскакивают одно отдругого со скоростью, равною скорости встречи. Точнее, это следовало, бы сказать о телах вполне упругих. В телах не вполне упругих скорость расхождения должна быть уменьшаема соответственно степени упругости. Эта степень упругости (если только тела при ударе не повреждаются или не претерпевают удлинений как бы от ударов молотом) вполне определенная и (как мне кажется) производит то, что тела расходятся с такою относительною скоростью, которая составляет постоянную долю относительной скорости их встречи. Так, я производил следующие опыты над мячами, плотно смотанными из шерсти и сильно затем обжатыми. Прежде всего, пустив маятники и определив отражение, я определял степень упругости, затем по найденной степени упругости я рассчитывал отражение для других случаев ударов, и оно согласовалось с опытом: мячи всегда отскакивали друг от друга с относительвою скоростью, составлявшей от скорости их встречи ;—или около того-. Почти 0 такоюже скоростьюотскакивалисталь— ЕЬ16'ШЗРЬ1‚ПР06НОВЫБ—-'— С НОСКОЛЬКО МЭНЬШОИ, ДЛЯ СТОКЛЯННЫХ ЭТО отноше——мне было близко B—таким образом третий закон по отношению к удару16' выражению подтверждается Теорией, вполне согласующейся с опытом. Относительно притяжения дело может быть изложено вкратце следующим образом: между двумя взаимно притягивающимися телами надо вообразить помещённым какое-либо препятствие, мешающее их сближению. Если бы одно из тел А притягивалось бы телом B сильнее, нежели тело В притягивается телом А, то препятствие испытывало бы со стороны тела А большее давление, консоли со стороны тела В, и следовательно, не оставалось бы в равновесии. Преобладающее давление вызвало бы движение `лолитвили, состоящей из этих двух тел BBpeBBTc-TBBB, B сторону телаB,BBсво-- белком пространстве эта система, двигаясь ускоренно, ушла бы в бесконечность…Такое заключение нелепо и противоречит первому закону, по которому идиотами “должна бы останеться в своем сестоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. ОтсЮда следует, Что оба тела'давятна препятствие с равными силами, а значит, и притягиваются взаимно с таковыми же H‚производил подобный опыт с магнит0миЖелезом: если их поместить каждый в ‚отдельный сосуд и пустить плавать на спокойной воде так, чтобы волну-ды взаимоо` касались, то BBтот, ни другой не приходят B движение, но- влследствие равенства занимаете притяжения сесуды испытывают равные? давления и остаются в равновесии… . Подобным образом B притяжение между землеюи отдельными ее частямивзаимно; Возбудители, ятоЗемлярассечена какою—либо плоскостьюEG' {тнг. &) на две частиBEFBEQJWпритяжения их друг другом будут равны; Bсамые деле, если отсечь другыодилоскостьюHK , параллельнойEG, от части EGJ часть БЕЛ, равнуюEFG, тоясно, что средняя часть EGKH не будет испытывать ни от одной из крайних большегопритЯжения, нежели от другой, и будет находиться межлу ними как быподвешенной, оставаясь,_55___ в равновесии и покое. Но вся крайняя часть HKJ всем своимвесом давит на среднюю EGHK B побуждает ее двигаться в сторону другой край-» ней EFG, следовательно сила, с которою сумма частей EGHKB НК], т. е. EG.], CTpeMBTcB к EFG, равна весу (притяжению) части HKJ, T. е.. весу части EFG, следовательно притяжения друг к другу, т. е. ‚веса частей GEFB GEJ друг на друге, между собоюравны, чтояиимелв виду показать. Если бы эти веса не были между собоюравны, то вся Земля, плавающая в свободном эфире, уступила бы большему весу, и под его действием ушла бы B бесконечность. ` Педобно тому как при ударе и отражении тела, коих скорости обратно пропорциональны массам, равнозначущи, так B при движении механических приборов действующие силы, коих скорости, взятые по направлению самих сил ЕАН (проекции скорости точки приложения каждой силы на направление этой силы), обратно пропорциональны этим силам, равнозначущи между собою, ипри стремле- F , - ' 3. вин в противоположные стороны взаимно уравновешиВаются. Таким образом в стремлении привести B движение коромЫсло весовравнозначущи грузы, обратно пропорцио— {}\—ХКнальные тем направленным прямо вверх_ или вниз скоростям, кои они получают прикачаниях коромысла, т. е. грузы, пед— нимающиеся или спускающиеся вертикально, равнозначущи, если они обратно пропорциональны расстояниям их точек педвеса от ребра опоры коромысла. Еслиже эти грузы полнимаются или опускаются 110 наклонным плоскостям, или по иным препятствиям, то они равнозначущи, коща они обратно пропорциональны проекциям подъема или опускания на отвесное направление, т. е. на направление силы тяжести. Подобно этому в блоке или полиспасте усилие руки, тянущей снасть прямо., ‚удержит прямо или наклонно поднимаемыйтруз в равновесии, если это усилие будет так относиться к весу груза, как скорость отвесного подъ—ема груза относится к скорости руки, тянущей снасть. В часах и псдобных им механизмах, состоящих из сцепленных между собою колес, две силы, взаимно противящиеся, т. е. такие, из коих една способствует, другая же сопротивляется движению, нах0дятся в равновесии, если эти силы обратно пропорциональны скоростям тех частей колес, к коим они приложены. Сила Фиг. 5. винта, сжимающего тело, так относится к усилию руки, вращающей рукоятку, как окружная скорость той точки рукоятки, где усилие руки приложено, лмноситсяк скорости п‘остуиания винта против сжимаемого тода. Силы, с коими клин раздвигает две части раскалываемого дерева, так относятся к силе молота, бьющего по клину, как скорость перемещения клина B направлении действующей от бьющего его молота силы относится к скоростям, с которыми части дерева уступают клину, причем эти скорости надо брать по направлениям, перпендикулярным к щекам клина. Совершенно подобно соотношение между силам: и во всякого рода машинах. Действительность и назначение машин в том только и состоит, чтобы уменьшая скорость увеличивать силу инаоборот, ибо вовсех подобного рода приборах в сущности решается такая задача; заданнный груз двигать заданною силою или же заданное сопротивление преодолеть заданным усилием. B самом деле, если машина будет устроена таким образом, чтобы скорости точек приложения движущей силы и сопротивления были обратно пропорциональны этим силам, то движущая сила уравновесит сопротивление, при бйльмтем же отношении скоростей преодолеет его. Если отступление от проперцнональности скоростям будет таково, что будут преодолеваться сопротивления, происходящие от трения соприкасающихся и скользящих друг по другу тел, отсцеплениятел непрерывных и разъединяемых и от подъема грузов, то, за выключением всех этих сопротивлений, избыточная сила произведет ускорение, пропорпиональное ее величине как в частях машины, так и в сопротивляющемся теле. Дальнейшее изложение учения о машинах сюда не относится, я хотел лишь показать, сколь далеко простирается и сколь благонадежен третий закон движения. Если действие движущей силы оценивать пропорционально произведению этой силы и скоростии, надобно этому, противодействие сопротивлений оценивать для каждой части в отдельности пропорционально произведению ее скорости и Встречаемого ею сопротивления, происхщящего от трения, сцепления, веса и ускорения,“’5 то во всякой машине действие и противодействие будут постоянно равны, и поскольку действие передается машиною и в конце концов прилагается к сопротивляющемуся телу, то это последнее его значение будет обратно значению противодействия. 25 B этих заключительных словах поучения можно видеть не только начало возможных перемещений, в его всеобъемлющем приложении к учению о равновесии машин, т. е. вообще систем тел с полною связью или одною степенью сво6оды, но и сущность принципа Даламберта, лишь высказавную в столь сжатой Форме, что нужен был гений Лангранжа, чтобы это общее начало выразить одною математическою формулой, включающей в себе всю статику и динамику,

↑ 1При севременной терминологии заглавие сочниения Ньютона: «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» наиболее точно передается словами: «Математические основания физики». Термин «Натуральная или естественная ФИЛОСОФИЯ» «Natural Philosophy» yдepжался и до сих пор в английскойлитературе; так, напр., озаглавлено знаменитое сочинение В.Томсона и Тэта.
↑ 2 Слова: «Pars haec mechanicae a veteribus in potentiis quinque ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentis illas movendis considerarunt» представляют для перевода ту трудность, что здесь слово «potentia» употреблено в двух разных смыслах, из которых один уже более не употребляется. Сохранившийся смысл слова «potentia» есть сила, мощность; и лишь этот смысл и сохранен за этим словом в переводе Wolfers'a, где поставлено слово «Kraft» или маркизы Du Châtelet, где поставлено слово «puissance», и фраза Ньютона становится совершенно непонятной. Между тем во времена Ньютона слово «potentia» употреблялось и как равносильное слову «machina» - машина. Так, напр, в «Механике» Wallis’а, изданной в 1671 г. (Opera omnia,vol. I, р. 969) говорится: «in axe cum peritrochio et cognatis pоtentiis quibus eademest ratio» ..., Bзаголовке же: «de ахе іп peritrocbio et machinis cognatis», или далее: «Solent autem plerique omnes mechanicorum scriptores ‚,роtentiam“ hanc ad Vectem reducere». B тексте самих «Ргіпсіріа», в следствии II законов, Ньютон употребляет слова: «рotеntiis mechanicis» как равносильное «machinis mechanicis», чтобы избежать частого повторения слова «machina». Основные машины, рассматривавшиеся древними авторами, суть: vectis — рычаг, axis in peritrochio— ворот, trochlea seu polispastus — блок, cochlea—винт, cuneus —клин. Эти-то пять машин и подразумевал Ньютон, говоря о «potentiis quinque». B английском переводе Моttе’а слово «potentia» везде переведено словом «power», причем это английское слово имело тоже двойственное значение, как то видно, напр., по следующей выписке из гл. III Maclaurin—«An Account on Sir lsaac Newton's Philosophical Discoveries»: «It is distinguished by Sir I. Newton into practical and rational mechanics; the former treats of the mechanical powers viz: the lever, the axis and wheel, the pulley, the wedge and the screw; to which the inclined plan is to be added and of their various combinations together. Rational Mechanics compreheuds the whole theory of motion and shews when the powers or foraces are given how to determïne the motion that are produced by them»... «in tracing the powers that operate in nature from the phenomena we proceed by analysis and deducing the phenomena from the powers or causes that produce themwe proceed by synthesis».
↑ 5 Ниодно определение Ньютона не вызывало столько критических замечаний и столько толкований, как это первое, высказанное такими словами: «quantitas materiae est mensura, ejusdem orta ex illius densitate et magnitudine соnjunсtim». В пояснении взятому определению указывается, что слова «quantitas materiae»—-— «количество материи» равносильны словам «corpus» - «тело» или «massa». Таким образом в этом'определении слова «количество материи» составляют как бы одно слово, один новый термин, который при дальнейшем развитии‚ науни не удержался, и в современной терминологии заменен равносильным ему термином «масса». Словам «количество материи» теперь придается несколько иной смысл, нежели им придавал Ньютон B своем определении. То, что теперь разумеется под словами «количество материи», онпростовыражает словом «материи», заменив его местоимением "ejusdem" -„таковой“. Поэтому он и в пояснении не говорит «количество воздуха двойной плотности в двойном объеме вчетверо больше», а просто «воздуха». Необходимо также иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь ее пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается определенное предположение о принятой единице меры), «площадь прямоугольника равняется произведению из его основания на высоту», а говорили (предполагая единицу меры произвольной) «площадь прямоугольника пропорционалъна его основаниюи высоте». До Ньютона понятие о массе не вводилось, и рассматривался лишь вес — pondus тела, и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объема вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна его весу и обратно пропорциональна его объему. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так: «масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объему». Самым существенным в ньютоновом пояснении вводимого им термина и понятия масса есть установление опытным путем пропорциональности между массоютела и его весом.
↑ 6 Второе определение выражено следующими словами: «quantitas motus est mensura ejusdem orta eх velocitate et quantitate materiae conjunctim», т. е. оно выражено совершенно подобно первому, и им вводится новыйтермин «количество движения», сохранившийся и доселе. Слова «оrtа conjunctim» указывают на совместную пропорциональность той величины, которая названа «количество движения» и которая могла бы-быть названа и каким-либо одним словом, как, напр., у англичан, словом «momentum», почему, придерживаясь современной терминологии, они и переведены словами «устанавливаемая пропорционально массе и скорости». Необходимо иметь B виду, что высказывая это определение, Ньютон придает слову«motus» - „движение“ не смысл названия общеизвсстного явления, а вводит некоторую новую величину, имеющую при рассмотрении этого явления первенствующее значение. Это особенно ясно выступает в первых словах пояснения: «motus totius est summa motuum in partibus singulis», т. е., переводя буквально, «движение целого есть сумма движений в отдельных частях». Из этих слов ясно, что под словом «motus» он разумеет нечто измеримое, как бы заключающееся или содержащееся в движущемся теле. Вот почему эти слова и переведены так: «Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его», так как теперь слову «движение» иного смысла, как название самого явления, не придается. До Ньютона, напр., Wallls B своей «Mechanica sive de Motu» рассматривал величину, называемую им «momentum» или «impedimentum», мера которой пропорциональна весу и скорости движущегося тела; он принимает вместе с тем эту величину за меру «силы движущегося тела», ибо этой-то величине пропорциональна способность одного тела передавать движение другим телам. Термин «momentum» удержался в английской литературе и по настоящее время, но только ему придается не Wallis'ов, а ньютонов смысл. «Механика» Wallis'а издана с 1669 г. по 1671 г., и достаточно ее просмотреть, чтобы составить себе понятие о том, что для этой науки сделано Ньютоном. «Механика»Wallis'a, занимает впервомтоме полного собрания его сочинений страницы 573—1063 мелкой убористой печати огромной книги формата в лист (in folio). Сперва дается множество определений, затем поясняются кинематические понятия о пройденном пути, скорости и соотношении между ними, выраженных, по обычаю того времени, пропорциями во множестве отдельных предложений. Затем идет ряд предложений о соотношениях между весом тела и скоростью, сообщаемой ему к концу одинаковых или различных промежутков времени силою, составляющей некоторую определенную долю веса, помещая тело на наклонную плоскость. Затем излагается учение о равновесии весов. Большая часть книги, именно: страницы 645—941, заняты изложением способов вычисления положения центра тяжести разного рода площадей и объемов, составляя, таким образом, продолжение и применение к ряду примеров методов, изложенных Wallis'ом в его «Аrіthmеtіcа Infinitorum», являющейся как бы преддверием к интегральному исчислению. Страницы 941—992 заняты учением о равновесии простейших машин. Страницы 992—1002 уделены учению о движения тела под действием своего веса или его доли при движении по наклонной плоскости, причем понятие о массе не вводится и движущая сила сравнивается всегда с весом заданного тела. Остальные 60 страниц содержат учение об ударе тел: и здесь в предложении 1-м слово «momentum» поясняется словами «quod eх рondеrе et celeritate componitur», т. е. «которое составляется из веса и скорости», и доказывается закон сохранения этого «momentum» при ударе тел. Сочинение заканчивается изложением простейших начал гидростатики. Отсюда видно, что если в «Механике» Wallis'a можно найти основные понятия кинематики, систематическое и по тогдашнему времени практически достаточное изложение статики, то относительно динамики можно сказать, что даже не поставлен общий ее вопрос. Может быть, это и составляет причину, почему Ньютон не дает определений ниодного из кинематических понятий - он предполагает их известными, всю статику он излагает мимоходом, как следствие второго занона движения (параллелограмм сил), и все его сочинение посвящено изложению динамики, от данных им основных ее начал до рассмотрения теории планетных возмущений, неравенств в движении Луны и предварения равноденствий.
↑ 7. Как в этом определении, так и при формулировке первого закона движния, Ньютон пользуется глаголом «perseverare», включающем в себе не только понятие о сохранении чего-либо, не еще и понятия о длительности и упорство такого сохранения, поэтому слова «perseverare in statu quo» наиболее точно передаются словами: «продолжает упорно пребывать в своем состоянии»; слова «удерживает свое состояние» передают короче те же понятия, хотя и с меньшею силою выражения. Вообще латынь Ньютона отличается силою выражений; так, тут сказано «perseverare» «упорно пребывать», а не «manere»— «пребывать или оставаться»; когда говорится, что какое-либо тело действием силы отклоняется от прямолинейного пути, то употребляется не просто слово «deviatur».—— «отклоняется», а «retrahilur» - «оттягивается», про силу не говорится просто, что она прикладывается, «applicatur» к телу, а «imprimitur», т. е. «вдавливается» или «втискивается» в тело и т. п. В переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология.
↑ 8 В этом пояснении чуть ли не единственный раз во всей первой книге «Principia» употреблено слово «massa», именно—«inertia massae». Вообще же Ньютон пользуется словом «corpus» - «тело» и несколько реже - словами «quantitas materiae».
↑ 9 Вся первая книга «Начал» занята почти исключительно учением о центростремительных силах и их действиях. При этом всегда Ньютон рассматривает лишь «ускорительную силу» в данном месте. При теперешней терминологии можно сказать, что в первой книге им исследуются «силы поля», и то, что он называет «ускорительная сила», теперь называется «напряжение поля» в данном месте. Замечательно, что Ньютон, вводя понятие «ускорительная сила», не пользуется понятием об ускорении, а заменяет его скоростью, производимою в продолжение заданного времени. Вообще понятие ускорения, как оно разумеется теперь, в «Началах» не применяется, и под словом «ассеleratio» - «ускорение» всегда разумеется приращение скорости в течение заданного конечного или бесконечно малого промежутка времени.
↑ 10 Давая определение понятия «движущая сила», т. е. того, что теперь зовут просто «сила», Ньютон обращает внимание на способ ее измерения и именно— способ статический, уравновешивая другою силою, препятствующей движению к центру. В этих немногих словах и установлена связь между статикою и динамикою при посредстве второго закона — сила статически вдвое большая сообщает и вдвое большее количество движения в заданное время. Замечательно также, что нигде Ньютон не говорит, чтобы сила измерялась произведением из массы на ускорение, но что движущая сила пропорциональна произведению из ускоряющей и массы, и ускоряющая сила не есть понятие, равнозначущее ускорению, а, как уже сказано, напряжению поля в данном месте, T. e. это есть сила, действующая на массу, равную единице. Ньютон, если и не применял, то ясно представлял измерение силы припомощи растяжения пружины или нити, вообще динамометра; это можно видеть из его поучения в конце этой главы, где он указывает, как различить абсолютное движение от относительного, и, приводя опыт с шарами, говорит: «по натяжению нити (соединяющей шары), можно будет узнать их стремление удалиться от оси вращения и по нему вычислить количество движения», т. е. он здесь имеет в виду именно такое «статическое» измерение силы, и по нему находит ее действие.
↑ 11 Отсюда следует, что масса всего тела считается равной сумме масс частиц его.
↑ 12 Ньютон употребляет термины «gravitas acceleratrix» и «gravstas motrix», т. е. „ускоряющая тяжесть“ и „движущая тяжесть“. Современные термины: «напряжение силы тяжести» и «сила тяжести или вес».
↑ 13 B этих словах и устанавливается различие веса и массы при пропорциональности их между собою.
↑ 14 Точный смысл латинского слов «impulsus» вполне передается словом «натиск», включающимв себя как понятие о напряженности, так и продолжительности действия.
↑ 15 Это свойство относительного движения высказано еще вторично, как следствие VI законов движения.
↑ 16 В виду важности основных законов движения приводим и подлинную их формулировку. Закон I высказав так: «Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus iliuä & viribus impressis cogitur statum suum mutare». Закон II. М-пісэ._$іопеш motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam quavis illaimprimitur. Закон III. Actioni contrariam semper et. неоualem esse reactio- nem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequaies et in partes contrarias dirigi. Первый закон представляет для точного перевода некоторые затруднения, именно—по отношениюк словам «perseverare»и «nisi quatenus». Слово «perseverare», как уже упомянуто в примечании 7, включает в себе понятие о стойкости или упорстве в сохранении чего-либо. Но, кроме того, оно может включать и понятие длительности сохранения или пребывания, и в этом смысле оно или, точнее говоря, соответствутощее ему существительное «perseverantia» yпотреблено Ньютоном в пояснение понятия об абсолютном времени, где сказано прямо: «duratio seu perseverantia existentiae», T. e. «длительность или продолжительность существования» сообразно тому‚ какой: смысл придать слову «perseverare», надо придавать и смысл словам «nisi quatenus», T. е. «ограничения в смысле времени или в смысле количества», итогда их надо переводить или словами: «до тех пор пока» или просто «пока» — в первом случае, и словами: «кроме того поскольку» или просто «поскольку не» во втором. Таким образом в первом толковании первый закон можно перевести так: «Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояниe». Bo втором толковании этот закон моного перевести так: «Всякоe тело удерживает свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние». В первом толковании будет оттенено, что одного только времени недостаточно для изменения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения тела, необходимо еще действие силы. Во втором — что тело лишь постольку удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку внешние силы ему в том не препятствуют. В пояснении, в первых двух примерах, как бы оттеняется второе толкование: причем в первом повторено выражение «perseverant nisi quatenus», B третьем же сказано просто «сохраняют» «conservant», и подчеркнута именно длительность этого сохранения. Таким образомлатинский текст включает в себе одновременно оба толкования или оба понятия, и словом «perseverare» Ньютон использовал всю силу латинского языка. Сочетать совершенно точно в русском переводе оба толкования я не сумел, и в той формулировке, которая дана в тексте, в торое толкование как бы несколько пересиливает. Как при формулировке, так и при пояснении второго закона, подразумевается, что продолжительность действия силы или постоянная, или одна и та же для сравниваемых сил. В непосредственной связи со вторым законом находится лемма Х, в которой показывается, что на пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени, пройденное же телом по направлению силы пространство пропорционально квадрату времени. Эта лемма, в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению. B поучении, в конце отдела о законах движения, Ньютон особенно подробно останавливается на третьем законе, показывая как подтверждения его опытами, так и важные его применения во всех случаях, где дело идет не об одном, а о нескольких телах, действующих друг на друга.
↑ 17 Формулировка этого следствия представляется при теперешнем изложении необычной, и доказательство — как бы ей несоответствующим, ибо в нем предполагается, что когда тело описывает стороны или диагональ параллелограмма, то оно движется равномерно, т. е. силы на него не действуют, а теорема высказана так, что можно думать, что стороны и диагональ параллелограмма описываются при продолжающемся действии сил и при том сил каких угодно, постоянных или переменных, и в продолжение какого угодно, лишь бы но всех случаях того же самого, промежутка времени. Но необходимо иметь в виду второй закон, по которому скорости, сообщаемые разными силами тому же телу, пропорциональны этим силам и так же направлены. В то время, когда были изданы «Начала», представления скорости ввиде отрезка прямой не было, почему вместо этого представления Ньютон и берет те пути, которые тело могло бы описать в течение некоторого произвольно заданного промежутка времени, и вот об этом-то времени после прекращения действия силы иидет речь в теореме. Таким образом эта теорема при теперешней терминологии составляет не что иное, как сложение количеств движения по правилу параллелограмма. Первые слова доказательства также весьма кратки; если развить подробно их смысл, то можно бы передать его так; «сила M, действуя одна, могла бы сообщитъ телу в продолжение некоторого промежутка времени t_0, такую скорость, что тело, двигаясь затем из точки A с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени T путь AB. Сила N, действуя одна, могла бы сообщить в продолжение того же промежутка t_0, такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь AC; тогда если бы на тело действовали одновременно и совместно в течение того же промежутка времени t_0, обе силы M и N, то они сообщили бы телу такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь AD, представляющий диагональ параллелограмма ABCD». Вторая часть доказательства изложена подробно, и ею вполне разъясняется смысл, который надо придавать как теореме, так и не вполне ясно выраженной первой части доказательства. Можно думать, что потому и теорема и начало ее доказательства и высказаны так неопределенно, чтобы побудить читателя проследить доказательство до конца и самому восполнить краткость формулировки. Ньютоново доказательство отнюдь не предполагает, что тело до действия сил находилось в покое, в нем также не оговорено, в продолжение какого промежутка времени силы M и N сообщали телу скорости. Этот промежуток времени может быть бесконечно мал, все равно, сообщенные скорости будут пропорциональны силам, a это значит, что силы M и N могут быть не только постоянные, но и переменные; в этом последнем случае надо предполагать сказанный промежуток бесконечно малым и переходить к пределу. Здесь Ньютон на этом не останавливается, но дальше, в лемме Х и в предложении I, он на это обращает внимание.
↑ 18 Так как сообщаемые в продолжение равных промежутков времени количества движения, а для того же самого тела скорости, имеют направления действующих сил и пропорциональны им, в предыдущем же следствии показано, что эти количества движения или скорости слагаются по правилу параллелограмма, то, как и сказано в этом следствии, «сложение и разложение сил явствует из предыдущего следствия». Заключительные его слова суть: «ex mechanica», но по дальнейшему изложению и по предисловию автора видно, что под этим словом здесь надо разуметь «учение о машинах», а не «механику» вообще.
↑ 19 При сложении и разложении сил по правилу параллелограмма, Ньютон обыкновенно строит лишь стороны той ломаной, коей замыкающая и есть равнодействующая предло;женных или искомых сил. Кроме того, он часто делает это построение где-нибудь, не заботясь о том, чтобы стороны и диагональ параллелограмма сходились именно в точке приложения этих сил; построение служит ему не для наглядного представления всех трех элементов силы, т. е. точки приложения, величины и направления, а лишь для установления соотношений между величинами составляющих и равнодействующей и направлениями их; наконец, он часто делает построение так, что сила как бы направлена к точке схода сторон и диагонали, а не от нее, как это принято теперь. Поэтому приведенные у него построения представляются теперь несколько необычными, но само собою очевидно, как от них перейти к принятым теперь.
↑ 20 Здесь словом «механизмов» переведены слова «potentiis mechanicis», равносильные словам «machinis» и, очевидно, употребленные, чтобы избежать повторения этого последнего — (см. прим. 2).
↑ 21. В «Началах» строго проводится, почти исключительно, чисто геометрическое изложение, совершенно избегая алгебры, поэтому закон сохранения количеств движения и высказан в такой форме, что слов «алгебраическая сумма» не встречается. Кроме того, как теорема, так и ее доказательство как бы ограничивают этот закон случаем движения двух тел по той же самой прямой. Но, сказанное относительно косвенного удара, в особенностиже закон сохранения движения центра тяжести, показывает, что Ньютон не ограничивался этим частным случаем, но счел лишь излишним налагать этот вопрос подробнее.
↑ 22 Длиннота доказательства закона сохранения движенияцентра тяжести системы про исходит единственно от того, что не применен аналитический способ, но зато при изложенном доказательстве ясно видна связь этого закона с предыдущим. Формулировка предложения обнимает лишь частный случай общего закона о движении центра тяжести системы тел, но заключительные слова доказательства, о расчете количеств движения, заставляют думать, что Ньютону был известен и этот закон. На это указывают также заключительные слова доказательства предложения LXV, в котором рассматривается движение системы многих малых тел около одного большого центрального и где сказано: «центр тяжести системы будет описывать вокруг большого тела коническое сечение, и радиусом, проводимым к этому наибольшему, будут описываться площади, пропорциональные временам».
↑ 23 Выражение «разности каких-либо величин, когда они направлены в одну сторону, или суммы, когда они направлены в стороны противоположные», встречается в «Началах» несколько раз, и по своему смыслу равносильно теперешнему термину «геометрическая разность» каких-либо векториальных величин. Когда же говорится: «суммы каких—либо величин, когда они направлены в ту же сторону, и разности, когда они направлены в стороны противоположные», то это равносильно теперешнему термину «геометрическая сумма», и при пояснении второго закона упомянуто о таком геометрическом сложении количеств движения. В других случаях такого упоминания не делается. Под словами «движение» здесь подразумеваются перемещения и скорости. Геометрические разности, о которых идет речь в этом предложении, суть геометрические разности перемещений и скоростей всех тел системы и одного из них, относительно которого движение прочих определяется.
↑ 24 B тексте сказано «vires»-«силы», причем за «силу тела» принимается его количество движения. В переводе употреблен теперешний термин.
↑ * Sacrosanctae Theologiae Doctor - доктор богословия.

[1] 1При севременной терминологии заглавие сочниения Ньютона: «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» наиболее точно передается словами: «Математические основания физики». Термин «Натуральная или естественная ФИЛОСОФИЯ» «Natural Philosophy» yдepжался и до сих пор в английскойлитературе; так, напр., озаглавлено знаменитое сочинение В.Томсона и Тэта.

[2] 2 Слова: «Pars haec mechanicae a veteribus in potentiis quinque ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentis illas movendis considerarunt» представляют для перевода ту трудность, что здесь слово «potentia» употреблено в двух разных смыслах, из которых один уже более не употребляется. Сохранившийся смысл слова «potentia» есть сила, мощность; и лишь этот смысл и сохранен за этим словом в переводе Wolfers'a, где поставлено слово «Kraft» или маркизы Du Châtelet, где поставлено слово «puissance», и фраза Ньютона становится совершенно непонятной. Между тем во времена Ньютона слово «potentia» употреблялось и как равносильное слову «machina» - машина. Так, напр, в «Механике» Wallis’а, изданной в 1671 г. (Opera omnia,vol. I, р. 969) говорится: «in axe cum peritrochio et cognatis pоtentiis quibus eademest ratio» ..., Bзаголовке же: «de ахе іп peritrocbio et machinis cognatis», или далее: «Solent autem plerique omnes mechanicorum scriptores ‚,роtentiam“ hanc ad Vectem reducere». B тексте самих «Ргіпсіріа», в следствии II законов, Ньютон употребляет слова: «рotеntiis mechanicis» как равносильное «machinis mechanicis», чтобы избежать частого повторения слова «machina». Основные машины, рассматривавшиеся древними авторами, суть: vectis — рычаг, axis in peritrochio— ворот, trochlea seu polispastus — блок, cochlea—винт, cuneus —клин. Эти-то пять машин и подразумевал Ньютон, говоря о «potentiis quinque». B английском переводе Моttе’а слово «potentia» везде переведено словом «power», причем это английское слово имело тоже двойственное значение, как то видно, напр., по следующей выписке из гл. III Maclaurin—«An Account on Sir lsaac Newton's Philosophical Discoveries»: «It is distinguished by Sir I. Newton into practical and rational mechanics; the former treats of the mechanical powers viz: the lever, the axis and wheel, the pulley, the wedge and the screw; to which the inclined plan is to be added and of their various combinations together. Rational Mechanics compreheuds the whole theory of motion and shews when the powers or foraces are given how to determïne the motion that are produced by them»... «in tracing the powers that operate in nature from the phenomena we proceed by analysis and deducing the phenomena from the powers or causes that produce themwe proceed by synthesis».

[3] 5 Ниодно определение Ньютона не вызывало столько критических замечаний и столько толкований, как это первое, высказанное такими словами: «quantitas materiae est mensura, ejusdem orta ex illius densitate et magnitudine соnjunсtim». В пояснении взятому определению указывается, что слова «quantitas materiae»—-— «количество материи» равносильны словам «corpus» - «тело» или «massa». Таким образом в этом'определении слова «количество материи» составляют как бы одно слово, один новый термин, который при дальнейшем развитии‚ науни не удержался, и в современной терминологии заменен равносильным ему термином «масса». Словам «количество материи» теперь придается несколько иной смысл, нежели им придавал Ньютон B своем определении. То, что теперь разумеется под словами «количество материи», онпростовыражает словом «материи», заменив его местоимением "ejusdem" -„таковой“. Поэтому он и в пояснении не говорит «количество воздуха двойной плотности в двойном объеме вчетверо больше», а просто «воздуха». Необходимо также иметь в виду, что в то время при установлении меры для какой-либо величины устанавливалась лишь ее пропорциональность другим величинам, от коих эта мера зависит. Тогда не говорили, как теперь (когда делается определенное предположение о принятой единице меры), «площадь прямоугольника равняется произведению из его основания на высоту», а говорили (предполагая единицу меры произвольной) «площадь прямоугольника пропорционалъна его основаниюи высоте». До Ньютона понятие о массе не вводилось, и рассматривался лишь вес — pondus тела, и при старинной терминологии понятно, что плотность не определялась как масса единицы объема вещества, а говорилось, что плотность тела пропорциональна его весу и обратно пропорциональна его объему. Имея это в виду, можно ньютоново определение, придерживаясь теперешней терминологии, выразить так: «масса есть мера количества вещества, пропорциональная его плотности и объему». Самым существенным в ньютоновом пояснении вводимого им термина и понятия масса есть установление опытным путем пропорциональности между массоютела и его весом.

[4] 6 Второе определение выражено следующими словами: «quantitas motus est mensura ejusdem orta eх velocitate et quantitate materiae conjunctim», т. е. оно выражено совершенно подобно первому, и им вводится новыйтермин «количество движения», сохранившийся и доселе. Слова «оrtа conjunctim» указывают на совместную пропорциональность той величины, которая названа «количество движения» и которая могла бы-быть названа и каким-либо одним словом, как, напр., у англичан, словом «momentum», почему, придерживаясь современной терминологии, они и переведены словами «устанавливаемая пропорционально массе и скорости». Необходимо иметь B виду, что высказывая это определение, Ньютон придает слову«motus» - „движение“ не смысл названия общеизвсстного явления, а вводит некоторую новую величину, имеющую при рассмотрении этого явления первенствующее значение. Это особенно ясно выступает в первых словах пояснения: «motus totius est summa motuum in partibus singulis», т. е., переводя буквально, «движение целого есть сумма движений в отдельных частях». Из этих слов ясно, что под словом «motus» он разумеет нечто измеримое, как бы заключающееся или содержащееся в движущемся теле. Вот почему эти слова и переведены так: «Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его», так как теперь слову «движение» иного смысла, как название самого явления, не придается. До Ньютона, напр., Wallls B своей «Mechanica sive de Motu» рассматривал величину, называемую им «momentum» или «impedimentum», мера которой пропорциональна весу и скорости движущегося тела; он принимает вместе с тем эту величину за меру «силы движущегося тела», ибо этой-то величине пропорциональна способность одного тела передавать движение другим телам. Термин «momentum» удержался в английской литературе и по настоящее время, но только ему придается не Wallis'ов, а ньютонов смысл. «Механика» Wallis'а издана с 1669 г. по 1671 г., и достаточно ее просмотреть, чтобы составить себе понятие о том, что для этой науки сделано Ньютоном. «Механика»Wallis'a, занимает впервомтоме полного собрания его сочинений страницы 573—1063 мелкой убористой печати огромной книги формата в лист (in folio). Сперва дается множество определений, затем поясняются кинематические понятия о пройденном пути, скорости и соотношении между ними, выраженных, по обычаю того времени, пропорциями во множестве отдельных предложений. Затем идет ряд предложений о соотношениях между весом тела и скоростью, сообщаемой ему к концу одинаковых или различных промежутков времени силою, составляющей некоторую определенную долю веса, помещая тело на наклонную плоскость. Затем излагается учение о равновесии весов. Большая часть книги, именно: страницы 645—941, заняты изложением способов вычисления положения центра тяжести разного рода площадей и объемов, составляя, таким образом, продолжение и применение к ряду примеров методов, изложенных Wallis'ом в его «Аrіthmеtіcа Infinitorum», являющейся как бы преддверием к интегральному исчислению. Страницы 941—992 заняты учением о равновесии простейших машин. Страницы 992—1002 уделены учению о движения тела под действием своего веса или его доли при движении по наклонной плоскости, причем понятие о массе не вводится и движущая сила сравнивается всегда с весом заданного тела. Остальные 60 страниц содержат учение об ударе тел: и здесь в предложении 1-м слово «momentum» поясняется словами «quod eх рondеrе et celeritate componitur», т. е. «которое составляется из веса и скорости», и доказывается закон сохранения этого «momentum» при ударе тел. Сочинение заканчивается изложением простейших начал гидростатики. Отсюда видно, что если в «Механике» Wallis'a можно найти основные понятия кинематики, систематическое и по тогдашнему времени практически достаточное изложение статики, то относительно динамики можно сказать, что даже не поставлен общий ее вопрос. Может быть, это и составляет причину, почему Ньютон не дает определений ниодного из кинематических понятий - он предполагает их известными, всю статику он излагает мимоходом, как следствие второго занона движения (параллелограмм сил), и все его сочинение посвящено изложению динамики, от данных им основных ее начал до рассмотрения теории планетных возмущений, неравенств в движении Луны и предварения равноденствий.

[5] 7. Как в этом определении, так и при формулировке первого закона движния, Ньютон пользуется глаголом «perseverare», включающем в себе не только понятие о сохранении чего-либо, не еще и понятия о длительности и упорство такого сохранения, поэтому слова «perseverare in statu quo» наиболее точно передаются словами: «продолжает упорно пребывать в своем состоянии»; слова «удерживает свое состояние» передают короче те же понятия, хотя и с меньшею силою выражения. Вообще латынь Ньютона отличается силою выражений; так, тут сказано «perseverare» «упорно пребывать», а не «manere»— «пребывать или оставаться»; когда говорится, что какое-либо тело действием силы отклоняется от прямолинейного пути, то употребляется не просто слово «deviatur».—— «отклоняется», а «retrahilur» - «оттягивается», про силу не говорится просто, что она прикладывается, «applicatur» к телу, а «imprimitur», т. е. «вдавливается» или «втискивается» в тело и т. п. В переводе принята менее выразительная, но общеупотребительная теперь терминология.

[6] 8 В этом пояснении чуть ли не единственный раз во всей первой книге «Principia» употреблено слово «massa», именно—«inertia massae». Вообще же Ньютон пользуется словом «corpus» - «тело» и несколько реже - словами «quantitas materiae».

[7] 9 Вся первая книга «Начал» занята почти исключительно учением о центростремительных силах и их действиях. При этом всегда Ньютон рассматривает лишь «ускорительную силу» в данном месте. При теперешней терминологии можно сказать, что в первой книге им исследуются «силы поля», и то, что он называет «ускорительная сила», теперь называется «напряжение поля» в данном месте. Замечательно, что Ньютон, вводя понятие «ускорительная сила», не пользуется понятием об ускорении, а заменяет его скоростью, производимою в продолжение заданного времени. Вообще понятие ускорения, как оно разумеется теперь, в «Началах» не применяется, и под словом «ассеleratio» - «ускорение» всегда разумеется приращение скорости в течение заданного конечного или бесконечно малого промежутка времени.

[8] 10 Давая определение понятия «движущая сила», т. е. того, что теперь зовут просто «сила», Ньютон обращает внимание на способ ее измерения и именно— способ статический, уравновешивая другою силою, препятствующей движению к центру. В этих немногих словах и установлена связь между статикою и динамикою при посредстве второго закона — сила статически вдвое большая сообщает и вдвое большее количество движения в заданное время. Замечательно также, что нигде Ньютон не говорит, чтобы сила измерялась произведением из массы на ускорение, но что движущая сила пропорциональна произведению из ускоряющей и массы, и ускоряющая сила не есть понятие, равнозначущее ускорению, а, как уже сказано, напряжению поля в данном месте, T. e. это есть сила, действующая на массу, равную единице. Ньютон, если и не применял, то ясно представлял измерение силы припомощи растяжения пружины или нити, вообще динамометра; это можно видеть из его поучения в конце этой главы, где он указывает, как различить абсолютное движение от относительного, и, приводя опыт с шарами, говорит: «по натяжению нити (соединяющей шары), можно будет узнать их стремление удалиться от оси вращения и по нему вычислить количество движения», т. е. он здесь имеет в виду именно такое «статическое» измерение силы, и по нему находит ее действие.

[9] 11 Отсюда следует, что масса всего тела считается равной сумме масс частиц его.

[10] 12 Ньютон употребляет термины «gravitas acceleratrix» и «gravstas motrix», т. е. „ускоряющая тяжесть“ и „движущая тяжесть“. Современные термины: «напряжение силы тяжести» и «сила тяжести или вес».

[11] 13 B этих словах и устанавливается различие веса и массы при пропорциональности их между собою.

[12] 14 Точный смысл латинского слов «impulsus» вполне передается словом «натиск», включающимв себя как понятие о напряженности, так и продолжительности действия.

[13] 15 Это свойство относительного движения высказано еще вторично, как следствие VI законов движения.

[14] 16 В виду важности основных законов движения приводим и подлинную их формулировку. Закон I высказав так: «Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus iliuä & viribus impressis cogitur statum suum mutare». Закон II. М-пісэ._$іопеш motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam quavis illaimprimitur. Закон III. Actioni contrariam semper et. неоualem esse reactio- nem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequaies et in partes contrarias dirigi. Первый закон представляет для точного перевода некоторые затруднения, именно—по отношениюк словам «perseverare»и «nisi quatenus». Слово «perseverare», как уже упомянуто в примечании 7, включает в себе понятие о стойкости или упорстве в сохранении чего-либо. Но, кроме того, оно может включать и понятие длительности сохранения или пребывания, и в этом смысле оно или, точнее говоря, соответствутощее ему существительное «perseverantia» yпотреблено Ньютоном в пояснение понятия об абсолютном времени, где сказано прямо: «duratio seu perseverantia existentiae», T. e. «длительность или продолжительность существования» сообразно тому‚ какой: смысл придать слову «perseverare», надо придавать и смысл словам «nisi quatenus», T. е. «ограничения в смысле времени или в смысле количества», итогда их надо переводить или словами: «до тех пор пока» или просто «пока» — в первом случае, и словами: «кроме того поскольку» или просто «поскольку не» во втором. Таким образом в первом толковании первый закон можно перевести так: «Всякое тело продолжает пребывать в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не понудят его изменить это состояниe». Bo втором толковании этот закон моного перевести так: «Всякоe тело удерживает свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние». В первом толковании будет оттенено, что одного только времени недостаточно для изменения состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения тела, необходимо еще действие силы. Во втором — что тело лишь постольку удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, поскольку внешние силы ему в том не препятствуют. В пояснении, в первых двух примерах, как бы оттеняется второе толкование: причем в первом повторено выражение «perseverant nisi quatenus», B третьем же сказано просто «сохраняют» «conservant», и подчеркнута именно длительность этого сохранения. Таким образомлатинский текст включает в себе одновременно оба толкования или оба понятия, и словом «perseverare» Ньютон использовал всю силу латинского языка. Сочетать совершенно точно в русском переводе оба толкования я не сумел, и в той формулировке, которая дана в тексте, в торое толкование как бы несколько пересиливает. Как при формулировке, так и при пояснении второго закона, подразумевается, что продолжительность действия силы или постоянная, или одна и та же для сравниваемых сил. В непосредственной связи со вторым законом находится лемма Х, в которой показывается, что на пределе для бесконечно малых промежутков времени изменения скорости тела, а значит, и количества движения, производимые силою, пропорциональны времени, пройденное же телом по направлению силы пространство пропорционально квадрату времени. Эта лемма, в связи со вторым законом и с понятием об «ускорении» в его теперешнем смысле, и устанавливает пропорциональность силы ускорению. B поучении, в конце отдела о законах движения, Ньютон особенно подробно останавливается на третьем законе, показывая как подтверждения его опытами, так и важные его применения во всех случаях, где дело идет не об одном, а о нескольких телах, действующих друг на друга.

[15] 17 Формулировка этого следствия представляется при теперешнем изложении необычной, и доказательство — как бы ей несоответствующим, ибо в нем предполагается, что когда тело описывает стороны или диагональ параллелограмма, то оно движется равномерно, т. е. силы на него не действуют, а теорема высказана так, что можно думать, что стороны и диагональ параллелограмма описываются при продолжающемся действии сил и при том сил каких угодно, постоянных или переменных, и в продолжение какого угодно, лишь бы но всех случаях того же самого, промежутка времени. Но необходимо иметь в виду второй закон, по которому скорости, сообщаемые разными силами тому же телу, пропорциональны этим силам и так же направлены. В то время, когда были изданы «Начала», представления скорости ввиде отрезка прямой не было, почему вместо этого представления Ньютон и берет те пути, которые тело могло бы описать в течение некоторого произвольно заданного промежутка времени, и вот об этом-то времени после прекращения действия силы иидет речь в теореме. Таким образом эта теорема при теперешней терминологии составляет не что иное, как сложение количеств движения по правилу параллелограмма. Первые слова доказательства также весьма кратки; если развить подробно их смысл, то можно бы передать его так; «сила M, действуя одна, могла бы сообщитъ телу в продолжение некоторого промежутка времени t_0, такую скорость, что тело, двигаясь затем из точки A с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени T путь AB. Сила N, действуя одна, могла бы сообщить в продолжение того же промежутка t_0, такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь AC; тогда если бы на тело действовали одновременно и совместно в течение того же промежутка времени t_0, обе силы M и N, то они сообщили бы телу такую скорость, что тело, двигаясь затем с этою скоростью равномерно, прошло бы в течение данного промежутка времени Т путь AD, представляющий диагональ параллелограмма ABCD». Вторая часть доказательства изложена подробно, и ею вполне разъясняется смысл, который надо придавать как теореме, так и не вполне ясно выраженной первой части доказательства. Можно думать, что потому и теорема и начало ее доказательства и высказаны так неопределенно, чтобы побудить читателя проследить доказательство до конца и самому восполнить краткость формулировки. Ньютоново доказательство отнюдь не предполагает, что тело до действия сил находилось в покое, в нем также не оговорено, в продолжение какого промежутка времени силы M и N сообщали телу скорости. Этот промежуток времени может быть бесконечно мал, все равно, сообщенные скорости будут пропорциональны силам, a это значит, что силы M и N могут быть не только постоянные, но и переменные; в этом последнем случае надо предполагать сказанный промежуток бесконечно малым и переходить к пределу. Здесь Ньютон на этом не останавливается, но дальше, в лемме Х и в предложении I, он на это обращает внимание.

[16] 18 Так как сообщаемые в продолжение равных промежутков времени количества движения, а для того же самого тела скорости, имеют направления действующих сил и пропорциональны им, в предыдущем же следствии показано, что эти количества движения или скорости слагаются по правилу параллелограмма, то, как и сказано в этом следствии, «сложение и разложение сил явствует из предыдущего следствия». Заключительные его слова суть: «ex mechanica», но по дальнейшему изложению и по предисловию автора видно, что под этим словом здесь надо разуметь «учение о машинах», а не «механику» вообще.

[17] 19 При сложении и разложении сил по правилу параллелограмма, Ньютон обыкновенно строит лишь стороны той ломаной, коей замыкающая и есть равнодействующая предло;женных или искомых сил. Кроме того, он часто делает это построение где-нибудь, не заботясь о том, чтобы стороны и диагональ параллелограмма сходились именно в точке приложения этих сил; построение служит ему не для наглядного представления всех трех элементов силы, т. е. точки приложения, величины и направления, а лишь для установления соотношений между величинами составляющих и равнодействующей и направлениями их; наконец, он часто делает построение так, что сила как бы направлена к точке схода сторон и диагонали, а не от нее, как это принято теперь. Поэтому приведенные у него построения представляются теперь несколько необычными, но само собою очевидно, как от них перейти к принятым теперь.

[18] 20 Здесь словом «механизмов» переведены слова «potentiis mechanicis», равносильные словам «machinis» и, очевидно, употребленные, чтобы избежать повторения этого последнего — (см. прим. 2).

[19] 21. В «Началах» строго проводится, почти исключительно, чисто геометрическое изложение, совершенно избегая алгебры, поэтому закон сохранения количеств движения и высказан в такой форме, что слов «алгебраическая сумма» не встречается. Кроме того, как теорема, так и ее доказательство как бы ограничивают этот закон случаем движения двух тел по той же самой прямой. Но, сказанное относительно косвенного удара, в особенностиже закон сохранения движения центра тяжести, показывает, что Ньютон не ограничивался этим частным случаем, но счел лишь излишним налагать этот вопрос подробнее.

[20] 22 Длиннота доказательства закона сохранения движенияцентра тяжести системы про исходит единственно от того, что не применен аналитический способ, но зато при изложенном доказательстве ясно видна связь этого закона с предыдущим. Формулировка предложения обнимает лишь частный случай общего закона о движении центра тяжести системы тел, но заключительные слова доказательства, о расчете количеств движения, заставляют думать, что Ньютону был известен и этот закон. На это указывают также заключительные слова доказательства предложения LXV, в котором рассматривается движение системы многих малых тел около одного большого центрального и где сказано: «центр тяжести системы будет описывать вокруг большого тела коническое сечение, и радиусом, проводимым к этому наибольшему, будут описываться площади, пропорциональные временам».

[21] 23 Выражение «разности каких-либо величин, когда они направлены в одну сторону, или суммы, когда они направлены в стороны противоположные», встречается в «Началах» несколько раз, и по своему смыслу равносильно теперешнему термину «геометрическая разность» каких-либо векториальных величин. Когда же говорится: «суммы каких—либо величин, когда они направлены в ту же сторону, и разности, когда они направлены в стороны противоположные», то это равносильно теперешнему термину «геометрическая сумма», и при пояснении второго закона упомянуто о таком геометрическом сложении количеств движения. В других случаях такого упоминания не делается. Под словами «движение» здесь подразумеваются перемещения и скорости. Геометрические разности, о которых идет речь в этом предложении, суть геометрические разности перемещений и скоростей всех тел системы и одного из них, относительно которого движение прочих определяется.

[22] 24 B тексте сказано «vires»-«силы», причем за «силу тела» принимается его количество движения. В переводе употреблен теперешний термин.

[23] * Sacrosanctae Theologiae Doctor - доктор богословия.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

Usor:Tchougreeff/Principia Mathematica параллельный русский перевод

PRÆFATIO AD LECTOREM.

Deﬁnitiones.

AXIOMATA SIVE LEGES MOTUS