|
[[Fasciculus:Graph of example function.svg|thumb|[[graphum (mathematica)|Charta]] functionis exemplaris,<br /> <math>\begin{align}&\scriptstyle \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math><br /> <!--Both the domain and the range in the picture are the set of real numbers between −1 and 1.5.--> ]]
'''Functio''' in arte [[mathematica]] est congruentia inter duas [[copia]]s, quae determinatad unumquodque secundaeelementum primae copiae elementum adunum elementum quemquesecundae primaecopiae copiaedestinat.<ref>Behnke et al, p. 64.</ref> Prima copia ''dominium'' dicitur, altera ''codominium.'' Si <math>x</math> quoddam elementum primae copiae designat, <math>x</math> variabilis independens est. Si <math>f</math> functio est, quae mathematice per <math>y = f(x)</math> scribitur et significat "<math>y</math> esse elementum codominii ad elementum <math>x</math> dominii destinatum", variabilis <math>y</math> dependens appellatur.
''dominium'' ; altera, ''codominium.'' Si <math>x</math> nominat quoddam primae copiae elementum, <math>x</math> est variabilis independens. Si <math>f</math> est functio, possumus scribere <math>y = f(x)</math>, quod significat "<math>y</math> est elementum codominii ad <math>x</math> elementum dominii respondens." Deinde <math>y</math> est variabilis dependens.
Si sunt pluriaplura elementa possibiliasunt, quae <math>y</math> ad elementum <math>x</math> elementumdestinari respondentiapossint, congruentia ''non'' est
functio. Exempli gratia: sit <math>f(x) = \pm \sqrt{x}</math>, et sintsintque dominium et codominium copiacopiae
[[numerus|numerorum]] realium <math>\mathbb{R}</math>. Haec congruentia non est functio, quod ad elementumelemento <math>x</math> (sicutvelut 4) respondent duaeduo elementa (sicuti. e. 2, -2) attribuuntur. SedSin siautem codominium est copia numerorum realium non-negativorum, vel si functio est velut <math>f(x) = + \sqrt{x}</math>, haec congruentia functio estappellatur.
Licet functioFunctionem definire licet per formulam aut regulam aut tabulam, dum sit modo unum elementum codominii sit quod ad elementumquodque quemqueelementum dominii respondatdestinetur.
[[Analysis]] est theoria functionum. Analysis [[numerus realis|numerorum realium]] est theoria functionum quarum dominium (et codominium) est <math>\mathbb{R}</math>; analysis [[numerus complexus|analysis numerorum complexorum]], est analysis earum, quarum dominium est <math>\mathbb{C}</math>. G. H. Hardy dicit, "HaecIlla notio, ut quantitasquantitatem variabilis dependet ex quadam alia dependere, est fortasse notio maximipotissima momentiin pertota totamarte remmathematica mathematicamest."<ref>Hardy, p. 40.</ref>
Si dominium est copia quantitatum binarum, sicut <math>\mathbb{R}^2</math>, functio habet duas variabiles independentes habet. Exempli gratia, <math>f(x, y) = x^2 + y^2</math>. HacQuae functionefunctio <math>f</math> par elementorum <math>(x, y)</math> ad unum elementum codominii (quod est <math>\mathbb{R}</math>) congruitdestinat, sicutvelut par <math>(2, 3)</math> cumad <math>2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13</math> congruit. PossumusFunctiones habereautem functiones triumtres, quattuor, velpluresve plurimorumvariabiles variabilumindependentes habere independentiumpossunt.
Altera notatio functionum est ''notatio lambda,'' quae nominat variabiles independentisindependentes post lambda litteram enumerat. ScribimusScribitur: <math>f = \lambda(x).x^2</math> velquod eandem functionem atque <math>f(x) = x^2</math> ad eandem functionem describendamdescribit. Forma sicut <math>\lambda(x).x^2</math> estappellatur [[combinator|combinatoria]].
Si ad quoddam elementum quendam <math>y</math> codominii respondat aut nullum aut unum modo elementum <math>x</math> dominii destinatur, functio estappellatur [[functio iniectiva]], aut functio unum elementum aduni unum elementumelemento attribuens. Si omne elementum <math>y</math> codominii habet elementum <math>x</math> (aut plura elementa <math>x_1, x_2, x_3,</math> ...) dominii quod ad <math>y</math> correspondetdestinatur, functio estappellatur [[functio superiectiva]]. Functio etquae simul iniectiva et superiectiva est, [[functio biiectiva]] appellatur.
SiQuaedam functio biiectiva <math>f</math> est biiectiva, habet [[functio inversa|functionem inversam]] <math>f^{-1}</math>, cuius dominium est codominium functionis <math>f</math>, etcuiusque codominium est dominium functionis <math>f</math>. Si <math>f(x) = y</math>, tum est ergo <math>f^{-1}(y) = x</math>. Exempli gratia,: sitfunctio <math>f(x) = x/2</math>; deindehabet functiofunctionem inversainversam <math>f^{-1}(x) = 2x</math>. SaepiusFormulam difficilefunctionis estinversae scriberedescribere formulaesaepenumero functionishaud inversaefacile est.
''Compositio'' functionum est nova functio per quam elementum dominii primae functionis correspondit cum elemento codominii secundae functionis congruit. Si <math>y = f(x), y = g(x)</math> sunt functiones, et si dominium functionis <math>f</math> est (aut continet) codominium functionis <math>g</math>, possumusscribi scriberepotest <math>f \circ g = f(g(x))</math>. Exempli gratia, sint <math>f(x) = x^2, g(x) = \sin(x)</math>. DeindeNunc <math>f \circ g = f(g(x)) = (\sin(x))^2</math>, et <math>g \circ f = g(f(x)) = \sin(x^2)</math>. Non sunt eaedem functiones: si <math>x = \pi, f(g(x)) = (\sin(\pi))^2 = 1</math>, sed <math>g(f(x)) = \sin(\pi^2) \approx -0.43</math>.
Copia omnium functionum invertibilium quarum dominium et codominium est eadem copia est [[caterva (mathematica)|caterva]] appellatur. Idemfactor catervae est functio quae ad omnequodque elementum idemcum elementumeodum elemento coniungit,: <math>f(x) = x</math>; operatio catervae est compositio.
== Notae ==
| 