Quantum redactiones paginae "Logarithmus" differant

'''Logarithmus''' est [[functio]] [[mathematica]] <math> \log_a: \mathbb R^{+}\setminus \lbrace 0 \rbrace \to \mathbb R, x \mapsto \log_a (x), \ (a \in \mathbb R^{+}\setminus \lbrace 0 \rbrace) </math>, cuius valor indicat exponentem variabilis independentis ''x'' ad [[basis|basim ''a'']] potentiae, id est: <math> y=\log_a(x) \Leftrightarrow a^y = x. </math>

Quare est log(AB) = log(A) + log(B)? Si X = log(A), secundum basin ''b,'' et Y = log(B) secundum eandem basin, tunc <math>b^{X} = A, b^{Y} = B</math> (per definitionem). Nunc <math>AB = b^{X}b^{Y}</math>, sed <math>b^{X}b^{Y} = b^{X+Y}</math>. (Facilius est intellectu si X et Y sunt [[numerus integer|numeri integri]]; [[calculus]] nobis dicit id verum esse etiam si sint alii [[numerus realis|numeri reales]].) Et <math>\log_b(b^{X+Y}) = X + Y</math>, per definitionem. Habemus igitur <math>\log_b(AB) = \log_b(A) + \log_b(B)</math>.

Ut supra dicitur, functio <math>f(x) = \log_a (x)</math> est [[functio inversa|inversa]] functionis <math>f(x) = a^{x}</math>. Quod <math>f(x) = a^{x}</math> est [[continuitas (mathematica)|functio continua]], inversa <math>f(x) = \log_a (x)</math> quoque est continua.

:<math>\ln(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t} dt</math>

si ''x > 0,'' ex qua formula scimus <math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}</math>, et functio ln(x) est [[continuitas (mathematica)|continua]]. Cum ''x'' ad [[infinitas|infinitatem]] tendet, ln(x) quoque sine fine auget. Et ln(1) = 0. Si 0 < x < 1, ln(x) < 0:

:<math>\ln(x) = \int_1^{x} \frac{1}{t} dt</math>

:<math>\ln(x) = \int_1^{\frac{1}{x}} \frac{-1}{u} du = - \int_1^{\frac{1}{u}} \frac{1}{u} du = -\ln\left(\frac{1}{x}\right)</math>

Ergo <math>\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty</math>

:<math>\ln(xy) = \int_1^{xy} \frac{1}{t} dt</math>

:Sit t = uy; tunc <math>\ln(xy) = \int_{\frac{1}{y}} \frac{1}{u} du</math>

:<math>= \ln(x) - \ln\left(\frac{1}{y}\right) = \ln(x) + \ln(y)</math>

Si hoc modo logarithmum naturalem definimus, quo modo possumus logarithmos ad alias bases calculare? Sit <math>\log_a(x) = \ln(x)/\ln(a)</math>. Tunc:

:<math>\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}</math>

:<math>\log_a(x) \times \ln(a) = \ln(x)</math>

:<math>e^{\log_a(x) \ln(a)} = e^{\ln(x)} = x</math>

:<math>e^{{\ln(a)}^{\log_a(x)}} = a^{\log_a(x)}</math>

:hoc est, <math>x = a^{(\log_a(x))}</math> ut desideremus.

Logarithmus secundum Napier non idem fuit atque logarithmus modernus. Briggs autem definitionem hodiernam habuit, secundum basin 10. Napier scivit summam exponentium cum numerorum producto cohaerere: si vis multiplicare b^x et b^y, non opus est multiplicationi, quod productum est b^x+y. Napier, si poterat basin b invenire ut omnes numerus N sit b^x, multiplicare per additionem poterat. Et facilius esset si indices ''x'' essent parvi numeri, proximi inter se. Elegit ergo basin b = 0.9999999 = 1 - 10^-7, sed nunc indices (exponentes) ''nimis'' proximae inter se fuerunt. Napier igitur omnia per 10⁷ multiplicavit. Sit ''Nap(x)'' functio eius: tunc Nap(x) non re vera est <math>\log_{0.9999999}(x)</math>. Si <math>x = 10^{7}\left (1-\frac{1}{10^{7}}\right)^{L}</math> (hoc est, b^L × 10⁷), Nap(x) = L. Ut faciliter videtur, Nap(10⁷) = 0, et <math>Nap\left(10^{7}\left(1-\frac{1}{10^{7}}\right)\right) = 1</math>.

Multiplicatio ergo additio fit: <math>Nap(a) + Nap(b) = Nap\left(\frac{ab}{10^7}\right)</math>. Non exacte idem regulus est atque regulus logarithmorum verorum, quod necesse est punctum decimale movere post additionem, id quod autem perfacile est.

Quod <math>\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}</math>, functio Nap(x) similis est functioni <math>\log_{\frac{1}{e}}(x)</math>.