Quantum redactiones paginae "Arithmetica" differant
Content deleted Content added
m r2.7.3) (automaton addit: ky:Арифметика |
→Probationes: why casting out 9s and 11s works |
||
Linea 785:
Licet probare secundum quemlibet modulum; 9 et 11 facillimi sunt, quia possumus numeros secundum hos modulos faciliter reducere.
==== De reductione secundum modulos 9 et 11 ====
Summa figurarum numeri est residuum numeri secundum modulum 9. Quare? [[Numerus integer]] quidem, [[systema numericum decimale|systemate numerico decimali]] scriptus, est ...f<sub>2</sub>f<sub>1</sub>f<sub>0</sub>, et omnis figura f<sub>i</sub> numerum f × 10<sup>i</sup> repraesantat. Exempli gratia, si numerus est 4165, f<sub>3</sub> = 4, f<sub>2</sub> = 1, f<sub>1</sub> = 6, f<sub>0</sub> = 5. Numerus est ergo 4 × 10<sup>3</sup> + 1 × 10<sup>2</sup> + 6 × 10<sup>1</sup> + 5 × 10<sup>0</sup>.
Sed omnis potestas 10 -- omnis numerus 10<sup>i</sup> -- est 1 + 99...9 (ubi ''i'' figurae ''9'' sunt); hoc est, 9 dividit 10<sup>i</sup> - 1. Possumus ergo scribere:
:...f<sub>2</sub>f<sub>1</sub>f<sub>0</sub> = ... + f<sub>2</sub>(1 + 99) + f<sub>1</sub>(1 + 9) + f<sub>0</sub>(1 + 0)
: = (... + f<sub>2</sub> + f<sub>1</sub> + f<sub>0</sub>) × 1 + (... + f<sub>2</sub> + f<sub>1</sub>) × 9 × (X)
Si hunc numerum per 9 divisimus, residuum est prima pars, (... + f<sub>2</sub> + f<sub>1</sub> + f<sub>0</sub>) × 1, quod 9 dividitur alteram partem. Hoc est, summa figurarum est residuum numeri secundum modulum 9, quod erat demonstrandum.
Exempli gratia, 4165 = 4 × (1 + 999) + 1 × (1 + 99) + 6 × (1 + 9) + 5, vel (4 + 1 + 6 + 5) + (4 × 999 + 1 × 99 + 6 × 9), vel (4 + 1 + 6 + 5) + 9 × (4 × 111 + 1 × 11 + 6).
Et quid de modulo 11? Vide:
:10 = 11 - 1
:100 = 99 + 1 = 11 × 9 + 1
:1000 = 1001 - 1 = 11 × 91 - 1
:10000 = 9999 + 1 = 11 × 909 + 1
:100000 = 10001 - 1 = 11 × 9091 - 1
:...
Si numerus est 10<sup>2i</sup>, est 11 × X + 1: residuum huius numeri, secundum modulum 11, est 1. Si numerus est 10<sup>2i + 1</sup>, est 11 × X - 1, et residuum secundum modulum 11 est -1. Possumus ergo scribere:
:...f<sub>3</sub>f<sub>2</sub>f<sub>1</sub>f<sub>0</sub> = ... + f<sub>3</sub>(1001 - 1) + f<sub>2</sub>(99 + 1) + f<sub>1</sub>(11 - 1) + f<sub>0</sub>(1)
: = (... - f<sub>3</sub> + f<sub>2</sub> - f<sub>1</sub> + f<sub>0</sub>) × 11X + (... - f<sub>3</sub> + f<sub>2</sub> - f<sub>1</sub> + f<sub>0</sub>)
== De machinis arithmeticis ==
| |||