Quantum redactiones paginae "Arithmetica" differant
Content deleted Content added
→Algorithmus multiplicationis et potentiarum calculandarum: oops, arithmetic error! |
→Probationes: how to cast out 9s and 11s |
||
Linea 749:
=== Probationes ===
Postquam operationem arithmeticam quendam fecistis, vis scire utrum recte calculaveris annon: hoc est, vis operationem probare.
Simplicissima probatio est operatio inversa. Si addistis, subtrahe; si subtraxistis, adde; et similiter. Exempli gratia, quid est 25 + 31? Ut supra calculavimus, 25 + 31 = 56. Possumus probare: 56 - 31 = 25, et 56 - 25 = 31.
Aliud exemplum: 143 × 21 = 3003. Probatio: 3003 ÷ 21 = 143, et 3003 ÷ 143 = 21.
Alia probatio est ''probatio per novem,'' hoc est probatio per [[congruentia]]m secundum modulum 9. Haec est regula: Numeros, qui in problemate sunt (et operandos et responsum), reduc secundum modulum 9; tunc eandem operationem fac. Si responsum non idem est atque responsum reductum, errorem fecistis.
Quomodo "reducere secundum modulum 9"? Figuras adde; si summa est maior quam 9, iterum adde quoad summa minor sit. Exempli gratia, numerus 123, secundum modulum 9, est 1 + 2 + 3 = 6. Numerus 347, secundum modulum 9, est 3 + 4 + 7 = 14, sed 15 > 9: iterum adde: 1 + 5 = 6. 347, secundum modulum 9, est ergo 6.
Hoc est exemplum probationis per novem. Estne 25 + 31 re vera = 56?
<pre>
numeri secundum modulum 9
25 7
31 4
--- ---
56 2
</pre>
Quod 7 + 4 = 11 (hoc est 2 secundum modulum 9), et 56, secundum modulum 9, est 2, calculatio probata est. Si errorem fecimus, quid tunc?
<pre>
numeri secundum modulum 9
25 7
31 4
--- ---
58 4 !!
</pre>
Nunc "responsum" 58 est 4 secundum modulum 9, sed summa 7 + 4 = 11 est 2 secundum modulum 9. Quod 4 ≠ 2, scimus calculationem non recte factam.
Quaelibet operatio inter numeros integros hoc modo probatur. Exempli gratia, estne 143 × 24 = 3482? Secundum modulum 9, 143 est 8 et 24 est 6; 8 × 6 = 48, hoc est 4 + 8 = 12, hoc est 1 + 2 = 3 secundum modulum 9. Responsum quoque debet esse 3 secundum modulum 9. Sed 3482 est 3 + 4 + 8 + 2 = 17, hoc est 1 + 7 = 8 secundum modulum 9. Quod 3 ≠ 8, errorem aliquem fecimus.
Probatio per novem autem non omnes errores invenire potest. Estne 143 × 24 = 3342? Nunc responsum est 3 + 3 + 4 + 2 = 12, hoc est 3 secundum modulum 9, ut debet esse. Sed supra calculavimus 143 × 24 = 3432. Figurae traiectae sunt, sed summa figurarum eadem est: probatio per novem ergo errorem non invenit.
Est etiam ''probatio per undecim'': numeros reduc secundum modulum 11, operationem fac, et vide utrum responsum idem sit. Ad secundum modulum 11 reduceas, incipe a dextera numeri parte; adde et subtrahe invicem usque ad laevam partem; si summa > 11 sit, idem iterum fac. Exempli gratia, quid est 79, secundum modulum 11? Primam figuram adde: 9. Proximam subtrahe: 9 - 7 = 2. 79 est 2 secundum modulum 11. Aliud exemplum: 3124, secundum modulum 11: adde (4), subtrahe (4 - 2 = 2), adde (2 + 1 = 3), subtrahe (3 - 3 = 0): 3124, secundum modulum 11, est 0.
Nunc, estne 143 × 24 = 3342? Secundum modulum 11, 143 est 3 - 4 + 1 = 0, et 24 = 4 - 2 = 2; 0 × 2 = 0. Et 3342, secundum modulum 11, est 2 - 4 + 3 - 3 = -2. Quod -2 ≠ 0, errorem invenimus, quem non invenimus probatione per novem utentes.
Licet probare secundum quemlibet modulum; 9 et 11 facillimi sunt, quia possumus numeros secundum hos modulos faciliter reducere.
== De machinis arithmeticis ==
| |||