Quantum redactiones paginae "Arithmetica" differant
Content deleted Content added
→Algorithmus radicum extrahendarum: nova pars |
→De fractionibus: start this; more to be done tomorrow |
||
Linea 635:
=== De fractionibus ===
Possumus addere, subtrahere, multiplicare, dividere fractiones. Fractio est [[numerus rationalis]], hoc est proportio, vel numerus per rationem calculatus. Scribimus <math>a \over b</math>, quod significat "quantitas ''a'' per quantitatem ''b'' divisa." Numerus superior est ''numerator'' et numerus inferior est ''denominator,'' qui non licet 0 esse.
Si a/b est fractio, et si et a et b per eundem numerum c multiplicamus (non, autem, per 0!), nova fractio ac/bc = a/b. Sit N = a/b; tunc Nb = a (haec est definitio fractionis). Licet ambo latera per eundem multiplicare: Nbc = ac. Et licet ambo latera per eundem dividere: Nbc ÷ bc = ac ÷ bc, hoc est N = ac/bc, ut diximus. Similiter, si a/b est fractio, et si divisimus et a et b per eundem numerum (non per 0), nova fractio aequa est a/b. Fractio est ''reducta'' si numerator et denominator nullum factorem communem habent.
Exempli gratia, 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10. 1/2 est reducta, aliae non sunt. 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12. 2/5 = 4/10 = 6/15 = 8/20.
Si numerator maior est quam denominator, valor fractionis maior est quam 1; si numerator aequat denominatori, fractio est 1. Hoc est, 2/2 = 1, vel 9/9 = 1. Et 3/2 > 1: 3/2 = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 1 + 1/2.
Ut fractiones addas vel subtrahas, si eosdem denominatores habent, adde (vel subtrahe) numeratores. Si eosdem denominatores non habent, debes eis dare antequam licet numeratores addere. Exemplum: 1/3 + 1/3 = 2/3. Si eosdem denominatores non habent, multiplica numeratorem et denominatorem alterius fractionis per alterius denominatorem:
:<math>\frac{3}{7} + \frac{2}{5} = ?</math>
:<math>\frac{3 \times 5}{7 \times 5} + \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{15}{35} + \frac{14}{35} = \frac{29}{35}</math>
Aliud exemplum:
:<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = ?</math>
:<math>\frac{1 \times 9}{6 \times 9} + \frac{1 \times 6}{9 \times 6} = \frac{9}{54} + \frac{6}{54} = \frac{15}{54}</math>
:et fractio reducta est <math>\frac{5}{18}</math>.
Si denominatores sunt magni, vel si plures fractiones habes, haec calculatio difficilior est. Melius est minimum denominatorem invenire, qui est minimus communis dividuus omnium denominatorum.<ref>Voce ''minimus communis dividuus'' Gauss utitur, ''Disquisitiones Arithmeticae'' cap. 1 sect. 18.</ref> Exemplum:
:<math>\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = ?</math>
:Quod 6 = 3 × 2 et 9 = 3 × 3, minimus communis dividuus est 3 × 2 × 3 = 18.
:<math>\frac{1 \times 3}{6 \times 3} + \frac{1 \times 2}{9 \times 2} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}</math>
Cum multiplicas, et numeratores et denominatores multiplica. Hoc est,
:<math>\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}</math>
Ut dividas, multiplica per fractionem inversam. Hoc est,
:<math>\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}</math>
<!-- *** explicationes et probationes, exempla -->
== De machinis arithmeticis ==
| |||