Usor:Tchougreeff/QUOMODO sive HOW TO/ELEMENTORUM PHYSICAE MATHEMATICAE VOLUMEN SECUNDUM AUCTORE ANDREA CARAFFA E SOCIETATE JESU IN COLLEGIO ROMANO PHYSICAE MATHEMATICAE PROFESSORE

INDEX RERUM , QUAE IN SECUNDO VOLUMINE CONTINENTUR OPTICAE PRINCIPIA.

Notiones praeambulae pag . 5

Quid emissionis et quid vibrationum systema: per medium homogeneum propagatur lumen in recta linea. n. 149, 150.

Corpora diaphana et corpora opaca: umbra et penumbra: dato radio sphaerae luminosae, et radio sphaerae opacae, nec non data distantia inter sphaerarum centra; quaeritur quanta pars opacae illuminetur: longitudo umbrae, quam projicit sphaera opaca . n. 151.

In hypotesi luminis sese diffundentis motu uniformi, ex eclipsibus intimi satellitis Iovis infertur tantam esse ipsius luminis velocitatem ut a sole ad nos jotra 8 '. 13" circiter perveniat . . n. 152

Luminis reflexio; et qua lege fiat . . n . 153

Lumen incidens ab uno medio in aliud dissimile: luminis refractio: et qua lege fiat: index refractionis: totalis internaque luminis reflexio n. 154, 155.

Incidenti radio non semper unicus respondet radius refractus: media dupliciter refringentia: axis opticus crystallorum dupliciter refringentium: istiusmodi crystallorum distinctio in crystallos unius axeos et in crystallos duorum axium: nonnulla ex iteratis experimentis subjungutur circa crystallos praeditas unico axe 156

Quid contingat lucidis radiis, quos varia corporum puncta in oculum projiciunt: quaedam stabiliuntur principia ad explicanda visionis phaenomena. n. 157, 158. 90.. . 13º.

Lumen prismate vitreo distractum in oblongam figuram varios exhibentem colores: colores simplices et compositi: diversa refrangibilitas radiorum diversi coloris etc. n.159. 10.... 8º.

Quid luminis diffractio: praecipua phaenomena huc spectantia. n . 160. 19... 5.

Quid visio directa , quid reflexa et quid refracta.n . 161

De lumine directo . pag . 18.

Intensitas luminis in diversis distantiis a puncto radiante: si datur planum illuminatum a puncto radiante; quaeritur intensitas luminis apud punctum quodvis ipsius plani: lumen debilitatur a corporibus diaphanis, per quae sese diffundit. n . 162. 10. 4º. . .

Datis tribus longitudinibus inaequalibus in eadem recta sitis, datisque earum intervallis; invenire locum , ex quo oculas videat istas longitudines ejusdem magnitudinis apparentis. n. 163

Apparentes objectorum motus, et figurae: aberratio orta ex motu oculi et successiva luminis propagatione: ut aberratio deprehendi possit, considerandus est celerrimus motus quem habet oculus simul cum terra molu anduo509 proximeque uniformi circa solem translata: cum ex omnium fixarum observatarum lumine eadem emergat aberratio, profecto omnium lumen eadem propagatur velocitate; et quoniam fixarum distantiae sunt admodum diversae, ut colligitur ex tanta apparentis magnitudinis diversitate, certe singularum lumen aequabili velocitate defertur. n. 164 , 165. 10.... 18º.

De lumine reflexo. pag. 28.

Lumen reflexum apud specula sphaerica concava: quid speculi focus quoad punctum radians, et quid focus principalis: ratio inter amplitudinem objecti et amplitudinem respondentis imaginis: phaenomena huc spectantia: quid focus virtualis. n. 166, 167. 168... 10. 30.

Cum solares radii in speculum concavum sphaericum incidentes sint ad sensum paralleli , per reflexionem in ar cto colligentur spatio apud principalem focum ; sicque in tensa eorum vi poterit ibi excitari ignis : quaenam esse debeat speculi amplitudo, ut ipsum maxima polleat vren di vi... n. 169

Lumen reflexum apud specula sphaerica convexa : ejus modi specula habent focum constanter virtualem : ratio in ter amplitudinem objecti et amplitudinem respondentis ima ginis etc. • n. 170, 171.

Lumen reflexum apud specula plana: imago puncti ra diantis tanto intervallo apparebit post speculum, quanto pon clum radiaas est ante speculum etc. 11. 172. 10... 6º.

Nonnulla ex trigonometria sphaerica. n. 173. 1 °... 11º .510

Considerantes duo specula plana ad angulum consti tuta inquirimus in directionem luminosi ' radii post binas reflexiones, alteram apud primum speculum , alteram apud secundum n . 174.

Pauca de quibusdam aliis speculorum speciebus. n. 175. 10 .... 05

De lumine refracto . pag. 47.

Lumen refractum apud superficiem sphaericam , quae discriminat duo media diversa, qnaeque obvertit convexitatem suam puncto radianti : quando focus erit realis et quando virtualis: ratio inter amplitudinem objecti et amplitudinem respondentis imaginis depictae radiis refractis iu binorum mediorum altero : quid si superficies illa obvertat cavitatem suam puncto radianti : quid si ponatur plana etc. . , nQ 176, 177. 19... 7

Lumen refractum apud binas superficies sive sphaericas, sive planas, dirimentes upum medium ab altero: fo cus respondens dato puncto radianti etc. n . 178 , 179, 180.

Lentium doctrina n. 181 . : 184.

De oculo , et de quibusdam instrumentis opticis. pag . 58 .

Membranae et humores, quibus constat oculus : quibus adminiculis eliciat anima ut divergentes radii in retina uniantur, sive a remotiore sive a viciniore puncto ra diante adveniant etc. n. 185 , 186. 10. 2 ° 3°. O

Quid presbyta , et quid myops: lentibus' convexis juvantur presbytae; concavis myopes : unde oriatur strabo num vitium n. 186, 4 , 5 , 6511

Microscopium simplex et compositum : varia telesco piorum genera : microscopium solare; phantasmagoria . n. 187. 10.... 7 ° Quid aberratio refrangibilitatis, et quid sphaericita n. 188, 189. tis.

Determinatur aberratio sphaericitatis in speculis et lentibus : aliquid quoque annotatur circa lineas causticas. pag. 72.

In speculis n . 190. n. 191 , 192, In unica lente . ini . Iu duabus ļenţibus conjunctis .. n, 193 , 194.

Quid curva caustica: ejus aequatio: semidiameter cir celli minimi omnium illorum, qui excipiunt omnes radios transeuntes per omnia puncta datae aperturae : circularis aberratio sphaericitatis. n . 195 , 196 , 197

Ratio inter circularem aberrationem e sphaerica lentis figura et circularem aberrationem , e sphaerica speculi figura. د . قرار n. 198.

Determinatur aberratio refrangibilitatis, comparaturque cum aberratione sphaericitatis. pag. 89,

la unica lente: semidiameter circelli minimi eorum o mnium , qui excipiunt omnes refractos radios transeuvies per dalam aperturam : varii refracționis indices quoad ra dios rubeos, medios et violaceos: quid lumiuis dispersio: ra tio inter circularem refrangibilitatis aberrationem et circularem sphaericitatis aberrationem, n. 199. , , 202,512

la pluribus lentibus conjunctis : semidiameter circelli minimi etc. n. 203, 204. De correctione aberrationum refrangibilitatis et sphaericitatis in lentibus. pag 95. Aberratio refrangibilitatis nequit corrigi per unicam lentem; corrigetur autem per duas: quid hac super re cen suerit Newtonus ; quidque detexerit Dollondus : telescopia achromatica . n. 205.

conca Potest etiam corrigi per binas lentes vitreas VO convexas continentes aquam. n. 206 , 207. Aberratio sphaericitatis corrigi potest in unica len te, n. 208. Sphaericitatis aberratio per duas lentes correcta. n . 209. In radiis transeuntibus per duplicem lentem corrigi potest tam aberratio refrangibilitatis quam aberratio sphae ricitalis, sallem quam proxime. n . 210. De lumine traducto per prismata. pag. 101 Angulus refringens: deviato radii in ingressu ; deviatio iu egressu ; deviatio totalis n. 211 , 212, 213. Minima deviatio totalis . n. 214. Formulae praebentes indicem refractionis et disper sionem in materia prismatis: n. 215. 10:20 quoad Formula praebens rationem inter dispersiones bina radioruin genera ia' binis prismatis diversae mate riei. . n. 215. 30.513 Conditio explenda ut lumen traductum per duo pri smata inter se conjuncta , permanente refractione , haud separetur in elementa heterogenea : prismața achomati n. 215. 4°. 7. 216. ca. De lumine traducto ' per sphaeras aqueas ad iridis phaenomenon explicandum . paz. 111 . Lumiais reflexiones intra sphaeram aqueam. 1. 217 . Egredientis luminis deviatio post quotvis refexiones internas. l . 218. Egredientium radiorum parallelismus post quotes refle xiones internas. n . 219 , 220. C. Venitur ad iridis explicationem. n. 221. 1 ... 11 ° Varia explicantur luminis phaenomena in systemate emissionis pag. 119. Quaenam in emissionis systemate recipiantur ad ex plicanda luminis phaenomena. n. 222. 1 ... 49. Formulae spectantes ad lominis molum in diver . sis ' mediis: varia inde eruuntur quoad luminis rflexiv nem refractionem etc. n . 221. 232. Annuli colorati. n. 233 , 234. f ... 6 . Tenuium lamellarum phaenomena ; atque ind colo res tum permanentes in plerisque corporibus tum varia biles in aliquibus n. 235. 10 .. 10° . Colores accidentales. 1. 236.514 Varia in systemate vibrationum explicantur luminis phaenomena. pag . 135. Quaenam in vibrationum systemale recipiantur ad explicanda luminis phaenomena. a. 237. 19... 6 . Perpendicularis reflexio luminis : ratio inter velocita tem athereae particulae in lumine directo et velocita lem in lumine perpendiculariter reflexo : ratio inter in tensitatem luminis sive directi sive reflexi et intensita. tem liminis transmissi: vis viva in lumine directo aequa tur simmae . ex viribus vivis in reflexo ac transmisso lumine n . 238. 10. ... 9 ° Obliqua luminis reflexio n. 239. Laminis refractio . n . 240. Mutua radiorum actio : principium interferentiarum . n. 241 , 242, 243 . Ponnulla subjiciuntur ad mulyam radiorum actio nem nagis declarandam n. 244, 1 ... 11 . Ainuli colorati ex lumine normaliter incidente : ra tio iner undarum latitudinem et intervallum viciam, etc. n . 245 , 246 , 247. Annuli colorati ex lumine oblique incidente n. 248, 249 , 250. Retardatio motus in lumine ob interpositam lami nam v gr. vitream; haec retardatio motus aequivalet cer tac ciidam origiois recessioni: formulae huc spectantes ,515 Hinc desumitur explicatio scintillationis , seu illius tremoris quasi continui , qui in stellarum lumine obser vatar . n. 253. Irradiatio n. 254. Nonnulla circa luminis diffractionem explicantur tum in emissionis, tum in vibrationum systemate. pag. 170. In systemate emissionis ; fimbriarum efformatio , et cur vilinea earum propagatio ; item splendoris imminutio in fim briis luminosis , et imminutio nigredinis in obscuris. n. 255. Haec eadem in systemate vibrationum. n. 256 . Variae subjunguntur formulae ad magis declarandam dif fractionis doctrinam in systeinate vibrationum . n . 257,1 ... 8º . Amplificatio umbrarum ab exiguis corporibus proje ctarum : umbrae corporum fimbriatae etc. .. n. 258, 259. Aliquid notatur circa lumen per exigna foramina trans missum. 260. 10 ... 4º. De luminis polarizatione. pag . 181 . Quid lumen polarizatum ; quid planum , et quid an gulos polarizationis : lomipis polarizatio ex reflexione : 10 tensitas polarizati laminis reflexi, etc.'s . n . 261 ... 266. 1 Si luminosus radius sic incidit in superficiem medii ut reflexos radius existat polarizatus , reflexus cum refracto radio intercipier angolum rectum : pro eadem superficie non idem prorsus est angulus polarizationis quoad radios varie coloratos : radii contrarie polarizati etc. n. 267. 1 '... 4º.516 Luminis polarizatio e simplici refractione: transmissum lumen non acquirit completam polarizationem nisi postquam plures ex dato medio launinas permeaverit, n. 268.269.270 . 1 Luminosus fasciculas , jam polarizatus, cadens sub polarizationis angulo in primam ex iis laminis : congeries illarum lamellarum , ex quibus coalescunt laminae sic ex scissae ex tormalina ( crystallus dupliciter refringens) ut ha beant latera parallela axi crystalli : ratio sciendi utrum luminosos radius sit polarizatus necne. n. 271. 272. 273. Radii luminosi, ordinarius nempe atque extraordinarius, in quos dividitur naturale lumen quum permeat medium du pliciter refringens, exsistunt ambo polarizati ; respondentiaque polarizationis plana sunt invicem perpendicularia. n. 274. Lumen jam polarizatum incidens in superficiem cry stalli dupliciter refringeutis. n. 275. Lumen adveniens ex innubilo serenoque coelo est ex parte polarizatum etc. n. 276 . Aliquid subjungitur de vibrationum systemate ex luminis polarizatione. pag. 191 . In luminoso polarizatoque radio vibratorius aetherea rum particularum molus ait iransversim in ordine ad lon gitudinein radii : et ne alia species vibratorii motas admit tatur in lumine naturali, etiam in naturali lumine adstruun . tur transversae aetherearum particularum oscillationes ; ita tamen ut una et eadem sit transyersarum oscillationum di rectio in lumine polarizalo , omnimoda iu lumine natura li etc. n. 277, 278.517 Relatio inter intensitatem incidentis polarizatique luminis el intensitatem reflexi ; item inter intensitatem incidentis na turalisque luminis et intensitäiem reflexi etc. n. 279. 280. 281 . In crystallo dupliciter refringente aethereum fluidum non admittitur pollere eadem ubique elasticitatis vi etc. n. 282. De circulari luminis polarizatione. pag. 201 . Quid rectilinea , et quid circularis polarizatio lumi nis. n. 283 . Ellipticae aetherearum particularum excursiones resolvi possunt in bipas rectilineas. n. 284. 1 Quandonam excursio aethereae particulae erit circula ris, quandonam rectilinea etc. n. 285. 19 ... 69. Depolarizatio luminosi fasciculi ; et restitutio polariza tionis rectilineae . n. 286. 287. Luminoso fasciculo praedito polarizatione rectilinea sub stitui possunt duo fasciculi circulariter polarizali , alter dextrorsum, alter sinistrorsum : vicissim ex duobus ejusmo di fasciculis resultat luminosus fasciculus rectilinea affectus polarizatione etc. n. 288. Rotatio plavi polarizationis. n . 289. 290. 291 . Subjiciuntur nonnulla ex mutua radiorum polari. zalorum actione. pag . 210. Luminosi polarizatique fasciculi homogenei, permean tis laminam ex cristallo v.gr, montana islandicamque rhom boidem , resolutio in quatuor fasciculos : ex his fasciculis,518 duo conspirantibu's motibus polarizati dant imaginem ordi nariam , alii vero duo contrariis motibus polarizati suppedia tant imaginem extraordinariam : intensitas cujusque luminis homogenei in ordinaria atque extraordinaria imazine ; appli catio constructionis newlonianae etc. n. 292,293,294,1 °... 100. ! Colorati polarizatique annuli ; qui in tenuibus dupliciter. que refringentibus laminis observantur. n. 295. Z Luminosi polarizatique fasciculi homogenei, permean lis binas laminas excisas ex crystallis dupliciter refringen tibus islandicamque rhomboidem , resolutio in octo fasci culos : imagines inde provenientes : quid si binarum lami narum altera exscindatur ex crystallo positiva , altera ex crystallo negativa ; quid si exsciodantur ambae vel ex cry stallo positiva , vel ex crystallo negativa : etc. n. 296... 299. Aliquid obiter notatur circa rationem inter inciden tiae sinum ac sinum refractionis in crystallo dupliciter re fringente , binisque axibus praedita : circa luminis absor plionem : etc. n. 300. 10.... 70. 0 ASTRONOMIAE PRINCIPIA Notiones praeambulae. pag . 225 . 1 Conversio sphaerae coelestis circa unam e suis dia metris : axis mundi : poli mundi : astrorum divisio in fi xas errantesque stellas etc. n. 301 , 302, Aequator ; et circuli ad aequatorem paralleli : horizon : zenith et nadir : diurni nocturnique arcus : artificialis, na . turalisque dies. n. 303, 304, 305. i519 Tellus nostra spectari potest tanquam proxime sphae rica , habens cealrum in ipso sphaerae coelestis centro : spectanda veluti exiguissimum punctum comparate ad coe lestem sphaeram : duplex horizon , rationalis videlicet ac seasibilis : semidiameter terrestris etc. n. 306, 307. . Meridianus : verus oriens et verus occidens : punctum septentrionale et puuctum australe etc : lineam meridianam ducere. n. 308. Ecliptica ejusque obliquitas : puncta aequinoctialia : zodiacus ; ejusque signa : colurus aequinoctiorum , et colu rus solstitiorum : fixarum catalogi : longitudo et latitudo astri : ascensio recta et declinatio. . n. 309.... 313 . Praecessio aequinoctiorum : annus tropicus : putationis motus in aequatoris axe : varietas in eclipticae obliquitate. n. 314, 315 . Tempus medium , verum et sidereum : aequatio tem poris. n . 316, 317 , 318. Circuli verticales: azimuthum . n. 319. Tropici et polares circuli ... . n. 320, Circuli sphaerae coelestis in globum terrestrem trans lati. . n. 321. Longitudo et latitudo geographica : unde fiat ut ar cus diurnus astri vel major , vel minor , vel nullus exsistat. n. 322, 323. . Quinam dicantur coelestem spaeram habere rectam ; quinam obliquam ; quinam parallelam. Astrorum parallaxes n . 325. 19.... 10 °. 326 . n. 324.1 520 Refractio astronomica , et ejus effectus. n . 327. 10... 5º . N De relationibus inter quosdam sive arcus sive angulos in superficie sphaerae coelestis ad varias resolvendas quaestiones astronomicas. Aliq pag. 250. T Relationes inter astri declinationem , distantiam ab ze nith , azimuthum , angulum horarium et geographicam latitudinem item inter astri longitudinem, ascensionem re ctam , latitudinem , declinationem et eclipticae obliquitatem . n . 328... 331 . ta ips F si cir Correctio temporis in ordine ad trasitum astri per meridianum , debita variationi declinationis aequatio altitudinum correspondentium . n . 332. fringen 0] erܐ luo Verticalis velocitas, qua sidus ascendit supra horizontem tempus effluens dum astrum ascendendo pertransit datum circulum horizonti parallelum ipsumque horizontem ortus anticipatio, et occasus retardatio ex refractione horizontali. EX n . 333. ato ex tate don Diuturnitas crepusculi apud datam latitudinem geogra . phicam , obtinepte sole datam declinationem solis declinatio respondens minimae crepusculi diuturnitati apud datam latitudinem geographicam . n . 334. Ing rationes Taria Variationes obvenientes ascensioni rectae et declina tioni stellarum ex aequinoctiorum praecessione item ex parallaxi variationes longitudinis ac latitudinis ex eademparallaxi n . 335 ... 338 . ас hinc et retros ge major Duo solvuntur problemata in ordine ad eruendam ex quibusdam datis et latitudinem geographicam , et de clinationem ascensionemque rectam puucti se se exhiben tis in coelesti sphaera . Sys n. 339 , 340.521 70...3. Nonnulla ad Gnomonicam spectantia. 7. 341 . gulos das Aliquid annotatur de refractionum ' astronomicarum theoria juxta emissionis systema. pag . 263. 5. 258, ab zt Varia praemittuntur de viribus refractivis atmospbae de velocitate luminosae particulae apud diversa stra ta ipsius atmosphaerae , etc .. n, 342. 1 ... 7 ° . rae , nem tt uitatem. ... 331 Expediuntur, quae non dependent ab ulla hypothe si circa Jegem virium refringentium . n. 343... 348, 350. stripe cio alie 332 Evolv.unlur, quae dependent ab hypothesi virium res fringentiom proxime aequalium. n. 349, 351 ... 359. a borie Objecta terrestria sita intra atmosphaeram, et visa per luminosum radium a vi refractiva curvatum. n. 460. ertransit horizo I retro 33 Experimentum Hauxbeii de refractione luminis in tran silu ex vacuo , boyliano, in aerem alia alque alia densia late donatum. n . 361 . 7 geot is dar pudd Inquisitio in ' refractiones astronomicas per obser vationes n . 362. ... 365. n . 334 Paria philosophorum systemata circa coelestium corpo rum dispositionem . pag. 285. declina ilem er ereadea 3... 338 Quot numerentur planetae : suis motibus digrediuntar hinc et illinc ab ecliptica : planeta direclus , slationarius et retrogradus: salarni annulus : comelarum numerus lon ge major quam planetarum ; etc. n. 366. Systema ptolemaicum n. 367. ruendar I, el de eshika 139, 141 33522 Systema copernicanum n. 368. Systema tychonicum . n. 369. Semicopernicanum systema; et systema ptolemaicum reformatum n. 370. De phaenomenis corporum coelestium in systemate copernicano. pag . 291 . Polemaicum vel tychonicum systema obsoletum: ad copernicanum quod attinet , incipimus ab apparentia mo tus annui : sidereae planetarum periodi. n. 371 . Planetae superiores et inferiores: eorum latitudo geo centrica et heliocentrica : conjunctio et oppositio: para ) laxis annua : etc: indicatur methodas , qua potest inve niri heliocentrica planetae latitudo simul cum ejus di stantia a sole : inclinationes orbitarum planeticarum ad eclipticam . n . 372 , 373 . Planetarum inferiorum phases ; ubi et de phasibus Junaribus: quid de planetarum superiorum phasibus. n. 374, Sub qua elongatione venus prae se ferat maximum splendorem n. 375. . Solis et planetarum diametri, assumpta diametro ter restri pro unitate n. 376. Planetarum stationes , retrogradationes etc. n . 377. Diurnae conversiones solis , aliorumque coelestium cor porum : vicissitadines dierum ac noctium, itemque tem pestatum : praecessio aequinoctiorum . . n. 378. 10. 2• 3..523 Quid censuerit Copernicus de figara orbitarum pla neticarum: quid Keplerus: leges keplerianae: semiaxes tran sversi et excentricitales orbitarum planecicarum ; itemqne lon gitudines periheliorum . n. 379 . Ad binorum vel plarium planetarum motus inter se comparandos , reſertur eorum positio ad planum ecli pticae: varia subjunguntur in ordine ad ellipticum pla netarum inolum, n. 380, 1 °... 9°. Maculae et faculae solares: planeticae ac luna ras ma culae: rotatilis coelestium corporum motus circa proprios axes: libratio lunae . n. 381 , 382, 383. Valles et montes in luna et planetis : utrum luna caeterique planetae cingantur aliosphaera . n. 384, 385. Luminis aberratio in latitudinem, longitudinem, de clinationem et ascensionem rectam. n. 386. 1 ° ... 5°. Quaedam subjiciuntur in ordine ad stellas , ad CO metas, ad planetas secundarios. Ac primo : stellae duplae ; et stellae , quae inter du plas vocantur speciatim binariae: tempus periodicum , se miaxis transversus et excentricilas relate ad quatuor stel las bioarias: sunt stellae duplae, quae, dum altera vol vilur circa alteram , observantur devehi simul communi motu versus quasdam coeli plagas: parallaxis secularis: stel lae periodicae; elc. n. 387 , 1 ° ... 4° . Secundo : in quo consentiant cometae cum planetis, et in quo discrepent: ratio determinandi cometicam or hitam habitam ' pro parabolica: quo pacto aliquid certi af firmari possit de redilu cometarum: reversiones periodi. cae trium cometarum definitae nullae in cometis pha ses planeticis similes: cometarum caudae; solis atraosphae524 ra ; lumen zodiacale : sulci quidam oblongi in cometa rum caudis ; hujus phaenomeni militas ad stabiliendam cometarum 'rotationem circa proprios axes . n. 388,1 ' ... 12º. Tertio: luna in syzygiis et quadraturis: tempus syº nodicum: eclipses lunares: eclipses solares: tres tabellae , quae rum prima respicit satellites jovis , secunda satellites sa turni , tertia satellites urani n. 389. 1 ... 20 °. Aliquid annotatur de maris aestu. pag. 345 . Praecipua istius motus phaenomena: eorum explicatio. n. 390... 398. De motu planetarum turbato ex mutua eorum gravitatione. pag. 353. Nonnulla praemittuntur de constantium arbitrariarum que quantitatum variatione etc. n. 399. 19... 16”. Inquisitio in elementorum ellipticorum variationes ex virium perturbantium acrione. n. 400 ... 413. Pauca subjunguntur circa functionem perturbatricem : termini seculares et periodici etc. n. 414. 1 ...34° . De secularibus elementorum perturbationibus. pag . 398. Nulla exsistic perturbatio secularis in axe transver so orbitae variatae; vec proinde iste axis alias pati po terit perturbationes nisi periodicas , habilo videlicet respe ctu primae tantum dimensiouis massarum : id ipsum di cendum de molu medio. n. 415. Formulae pertinentes ad seculares perturbationes in excentricitate , in longitudine nodorum et in inclinatione i525 orbitae turbatae ad planum fixum : spectatis duabus mas sis . mutua orbitarum intersectio , quoad seculares pertur bationes , movebitur motu retrogrado in plano orbitae atti nentis ad massan turbairicem , quia tamen mulua orbita rum inclinatio ullam pariatur secularem perturbationem. n. 416 ... 419, Firmitas planetici systemalis. n. 420. 19... 16 . Secularis perturbatio in longitudine epochae. n. 421 . Disquiritur ulrum , habito respectu secundae dimensionis massarum , expressio molus medii admittat necne terminos seculares, pag . 411. Varia praemittuntur. . n . 422 , 1 ... 6 . Qualuor stabiliuntur assertiones; ex quibus consequi tur nullum terminuin secularem fore in expressione motus medii , etiam habito respecta secundae dimensionis massa rum : id ipsum dicendum de expressione axeos transversi: etc. n. 423... 427. Aliquid generaliter annotatur de perturbationibus periodicis sese restituentibus post breve longumve tempus. pag. 424. Ex quo pendeat longa vel brevis periodus : exemplum desumplum ex jove et saturno ; item ex mercurio ac tel lure elc. n. 428, 429, 430. Duorum planetarum se invicem turbantium, jovis v. gr. et salarni, altero accelerante motum suum, alter retardabit. n. 431 . Satellites jovis sese turbantes. n . 132.526 1 De motu planetarum turbalo ex tenuissimo medio resistente. pag. 430. Elipticorum elementorum variationes ex resistentia medii. . n. 433... 440. Ob medii resistentiam, axis transversus, excentricitas et angularis velocitas media indefinitis periodicisque subjiciuntor perturbationibus , reliqua elementa periodicis tantum : resi stentia medii perpetuo minuit axem transversum atque ex centricitatem; perpetuo auget velocitatem angularem : si me dium aliquod resistens diffundit se per coelestia spatia , poterit ejus effectus in cometarum praecipue motibus deprehendi. 1 n. 441 . De attractione ellipsoidum homogenearum in mate riale punctum ad telluris figuram ex aequilibrio determinandam . pag. 437. Varia praemittuntur. n. 442. 1 ... 8. Formulae generales ad praesentem quaestionem perti nentes, n. 443. Attractio in punctum internum. n. 444... 448. Ellipsoidis attractio in punctum externum traduci po test ad ellipsoidis attractionem in punctum internum , qui opus sit directe pertractare respondentes formulas gene rales. n. 449, 450. Haec quoad newtonianam attractionis legem ; quid si sumatur quaevis alia altractionis lex. n. 451. 1º, 2º, 3 .527 De figura spectante ad aequilibrium massae fluidae et homogeneae rotationis motu donatae; cujus par . ticulae se mutuo petunt in ratione reciproca duplicala distantiarum . pag. 458. Huc spectat telluris figura orta ex aequilibrio: aequatio ad superficiem massae fluidae libratae : baud potest a priori ex dicta aequatione deduci figura spectans ad aequilibrium ; as sumpla lamen aliqua figura, poterit ex aequatione illa sciri utrum assumpla figura satisfaciat necne conditionibus ae quilibrii : ponitur v . gr . massa fluida induere formam elli psoidis : satisfit iis conditionibus tribuendo massae fluidae figuram ellipsoidis orlae ex revolutione cujusdam ellipseos, etc. n. 452... 455. Gravitas in ellipsoidis superficie ; telluris ellipticitas. n. 456. 1º... 8º. De motu solidi corporis circa punctum fixum ad aliquid generaliter annotandum de coelestium corporum motu circa propria gravitatis centra. pag. 471 .

Varia praemittuntur de transformatione coordinatarum, de momentis inertiae , de plano invariabili etc. n. 457.1°... 10 .

Solvitur quaestio in hypothesi virium accelerantiam quarumcumque. n. 458 ... 463. .

Transitur ad casum pullarum virium accelerantium. n. 464... 471 .

Aliquid generaliter annotatur de coelestium corporum motu circa propria gravitatis centra pag. 49.

Formulae huc spectantes . n. 472, 473 .528

Praecessio aequinoctiorum ; et nutatio axeos terrestris: inaequalitates in libratione lunari etc. n. 474.

Perturbationes corporum coelestium ex mutua gravitate determinantur consimili ratione et in translalitiis, et in rota tilibus eorum molibus. n. 475, 476.

Finem scribendi facimus explicando breviter illam aliam variationem , quae praeter varietatem ex nulatione axeos terrestris admittenda est ia eclipticae obliquitate. n. 477

OPTICAE PRINCIPIA.

Notiones praeambulae.

149. Optica agit de lumine: circa luminis naturam hodierni physici in duas eunt sententias. Alii censent lumen consistere in tenuissimo fluido, cujus particulae prosiliunt ex corpore luminoso et sese diffundant undequaque; huc spectat emissionis systema. Alii putant lumen consistere in vibratorio cujusdam aetheris elastici motu a vibrationibus minimarum luminosi corporis partium excitato, ferme ut sonus consistit in vibratorio aeris motu ab oscillantibus sonori corporis particulis effecto; huc spectat vibrationum systema.

150. Sume tres v. gr. areolas circulares parvissimis foraminibus in suis centris $C,C',C''$ instructas, easque ad aliqua intervalla super regulam satis longam constitue; applicato oculo in $C$ , videbis luminosum punctum situm ultra $C''$ ad notabilem distantiam, vel non videbis illud, prout $C,C',C''$ exsistent, vel non existent in directum. Per medium igitur homogeneum propagatur lumen in recta linea et consequenter, quaecumque sit luminis natura, radii luminosi poterunt lineis rectis repraesentari. Quare si plures radii ex eodem puncto manant, eo magis inter se distant quo longius progrediuntur.

151. Corpora de se non luminosa vel per medium sui praebent transitum lumini, vel non; in primo casu dicuntur diaphana, in secundo opaca: quamquam opacitas a corporum potius crassitie quam ab eorum natura dependere videtur; siquidem laminae tenuiores omnium omnino corporum translucidae sunt.

Si corpus opacum impedit interjectu suo quispiam illustretur a luminoso corpore, ibi erit umbra; quod si impediat ne locus quidam illustretur ab aliqua dumtaxat luminosi corporis parte, ibi erit penumbra. Sic v. gr. denotante $CD$ (Fig. 62) altitudinem corporis opaci supra horizontalem rectam $NN'$, ductisque ex $C$ rectis $CA,CB$, altera ad punctum supremum $A$, altera ad punctum infimum $B$ corporis luminosi, iisque productis donec horizontali $NN'$ occurrant in $E$ et $M$, erit ( 150 ) $DE$ umbra, $EM$ penumbra. Pone $CD=h,DE=u,EM=p$, angulum $CED=a,CME=b,ECM=c$; habebis

$$u={\frac {h}{\tan a}},p={\frac {h}{\tan b}}-{\frac {h}{\tan a}}={\frac {h\sin(a-b)}{\sin a\sin b}}={\frac {h\sin c}{\sin a\sin b}}$$

Dato nunc radio $CD(=r)$ sphaerae luminosae (Fig. 63), et radio $C'D'(=r')$ sphaerae opacae, necnon data distantia $CC(=k)$ inter sphaerarum centra; quaeritur quanta pars opacae illuminetur.

Tangat $DD'$ sphaeras in $D$ et $D'$; res eo manifeste redit (150) ut inveniatur angulas $D'C'D''(=x)$. Duc $C'E$ parallelam rectae $D'D$; triangulum $CEC'$ rectangulum in $E$ suppeditat

$$\cos ECC'={\frac {CE}{CC'}}={\frac {r-r'}{k}}$$

Sed ob angulos rectos in $D$ ac $D'$ est angulus $ECC'=180^{\circ }-CC'D=180^{\circ }-x$; ideoque $\cos ECC'=-\cos x$; ergo

$\cos x={\frac {r'-r}{k}}$.

Ad haec: productis $DD'$ et $CC'$ donec concurrant in $A$, erit $C'A(=z)$ longitudo umbrae, quam projicit sphaera opaca. Iam vero triangula similia $AC'D',ACD$ dant ${\frac {z}{r'}}={\frac {z+k}{r}}$, igitur $z={\frac {kr'}{r-r'}}$.

Ducta insuper $C'H$ ad quodvis punctum $H$ rectae $AD'$, itemque $DO$ per $D$ et $C'$, erit angulus $AC'H=HCO-ACO=C'HD'+C'DD'-CC'D$.

152. In hypothesi luminis sese diffundentis motu uniformi, ex eclipsibus intimi satellitis lovis infertur tantam esse ipsius luminis velocitatem, ut a sole ad nos intra 8'13" circiter perveniat. Sit enim $A$ Iupiter (Fig. 64), $D$ ejus umbra, $C$ satelles intimus umbram ingrediens, $B$ idem satelles egrediens ex umbra: satelles iste impendit 24 hor. 28'35" ad orbitam suam absolvendam circa Iovem; iccirco illius immersiones in umbram emersionesque erunt frequentissimae. Pro his praedicendis extant tabulae, in quibus nulla habetur ratio successivae propagationis luminis. Itaque notetur emersionis tempus, dum tellus est in $H$; atque idipsum fiat, tellure delata in $K$: haec autem emersionum tempora cum iis tabulis conferantur. Deprehendetur constanter satellitis emersionem tardius observari tellure existente in $K$ quam existente in $H$; ita at intercedat mora = 16'26": propterea etc.

153. Luminis radium $BC$ (Fig. 65) excipe speculo plano $MN$; regredietur radius per $CD$ ita, ut $BC,CD$ et planum constituant perpendiculare superficiei $MN$, et cum ipsa superficie $MN$ efficiant aequales angulos. Fac enim ut stella $S$ (Fig. 66) observetur juxta verticalis circuli $KA'H$ diametrum $EB'$: constat experientia ejus imaginem C in superficie hydrargyri stagnantis $MN$ observatum iri juxta diametrum $D'D$, quae cum verticali $A'C'$ intercipit angulum $D'C'A'$ aequalem angulo $B'C'A'$: efficit $D'C'$ cum verticalibus $A'C',AC$ aequales angulos $D'C'A'DCA$: attenta insuper praegrandi stellarum distantia a tellure nostra, radii $SB',BC$ ab eadem stella provenientes sumi possunt tamquam paralleli, et consequenter anguli $BCA,B'C'A'$ spectari tamquam aequales. Non pluribus opus est, ut intelligamus radium incidentem $BC$ reflexumque $CD$ et esse in eodem plano verticali, et aequales hinc inde angulos continere cum $AC$, necnon cum $MN$; $BCA$ vocatur angulus incidentiae, $DCA$ reflexionis istorumque angulorum plana dicuntur, alterum similiter incidentiae, alterum reflexionis.

Refractio

154. Constat experientia, quum lumen ab uno medio in aliud dissimile incidit, partim regredi in medium anterius juxta superiorem (153) legem, partim vero pergere per medium posterius, mutata vel non mutata directione prout angulus incidentiae fuerit > vel = 0.

Vas hemisphaericum $MON$ ( Fig . 67 ) vitreum imple aqua usque ad centrum $C$ , in quod centrum dirigat luminosus radius $AB$ efficiens angulum incidentiae $ACP(=i)$; cujus anguli mensuram capies super circulo $MPN$: in $C$ quasi frangetur radius, et a pristina devians directione progredietur per $CQ$ faciendo cum $PP'$ angulum refractionis $QCP'(=h)$; cujus anguli mensuram capies in vasis ambitu; facile namque deprehendes punctum $Q$, per quod emergit radius e vase ut redeat in aerem. Iam variato $i$, variabit quidem $h$ , sed ratio ${\frac {\sin i}{\sin h}}$ prodibit constanter $={\frac {4}{3}}$.

Ad haec: observabis punctum $Q$ in plano circuli $MPN$, ubi reperitur $AB$; inde sequitur incidentem radium $AB$, refractum $CQ$ et normalem $PP'$ fore in uno eodemque plano. Si luminosus radius per punctum $Q$ ingrederetur aquam, et incidens in $C$ exiret in aerem, non aliam viam teneret in aere nisi priorem $CA$: angulus incidentiae esset $QCP'$, angulus autem refractionis $PCA$. Angulorum incidentiae et refractionis plana dicuntur, alterum ( 153 ) similiter incidentiae, alterum refractionis.

Quoad alia media, alii exsistent numerici valores rationis ${\frac {\sin i}{\sin h}}$ pro unoquoque medio constantes istiusmodi valores designamus generatim per $n$, ut sit

$n={\frac {\sin i}{\sin h}}$; $n$ dicitur index refractionis. Transeunte luminis radio ex uno in alterum medium, secundum ex duobus mediis dicitur magis vel minus refringens quam primum, prout $n$ est > vel < 1 .

155. Maximus incidentiae angulus i = 90°; propterea maximus refractionis angulus $h$ determinatur ope formulae

$$\sin h={\frac {1}{n}}.$$

Exhibeat $Q'CP'$ angulum hoc pacto determinatum; et posito $Q''CP'>Q'CP',$ spectetur luminosus radius $Q''C$ iens ab $Q''$ ad $C$: haud transibit $Q''C$ in medium $MPN$. Si enim transiret, incedens per $CR$, novus radius ex $R$ adveniens ad $C$ refringeretur juxta $CQ$, sicque efficeret angulum $Q'CP'$ majorem maximo refractionis angulo: quod nequit admitti. In ea qua sumus hypothesi contingit, ut totus ($C$ interne reflectatur; intra mediuni vide licet $MON$ sub angulo $KCP'=Q''CP'$. Quoad vitrum v. gr. ordinariam variat $n$ ab 1,5 ad 1,545, et consequenter maximus $h$ interjacebit 41°49' et 40°20'. Iam si cylindrus vitreus habens basim $AD$ ( Fig. 68 ) perpendicularem axi $HK$, basim vero $BC$ inclinatam ipsi $HK$ sub angulo 48°, ita obvertitur soli ut radii solares cadant in basim $AD$ paralleli axi $HK$, poterit impune applicari oculus ad basim alteram $BC$: etenim radii $SO$, utpote efficientes cum normali $OO'$ angulum $O'OS>$ 41°49', regredientur omnes intra cylindrum quin oculum percellant.

156. Incidenti radio non semper unicus respondet radius refractus; sunt enim media v. gr. crystallos islandica, in quibus ita refringitur radias ut in duas partes fere aeque vividas angulum nunc majorem nunc minorem intercipicotes dividatur, sicque dupla obtineat refractio; et quod aspicitur trans ea media appareat duplicatum. Liquida, itemque fluida elastica unicum pro incidente radio suppeditant radium refractum: quod si aliqua in bis corporibus se offert exceptio, adeo tenuis exsistit refractorum radiorum angulus ut solo microscopio deprehendi queat. Solidorum translucidorum alia pro incidente radio duplicem natura sua radium refractum constanter suppeditant; alia duntaxat per accidens, ob subitam videlicet inaequalemque partium compressionem vel dilatationem e superveniente vi mechanica, vel e superveniente calore. Ad primam solidorum classem spectant eae crystalli, quarum primitiva forma neque in cubo consistit, neque in octaedro regulari, neque in dodecaedro rhomboidali: ad secundam classem spectant caetera corpora pellucida. Ia crystallis dupliciter refringentibus obtinet semper certa quaedam directio (vocatur axis opticus crystalli) juxta quam lumen transniissum non dividitur in duas partes diversimode refractas: sunt crystalli, in quibus una observatur ejusmodi directio; sunt in quibus duplex; hinc crystallorum dupliciter refringentium distinctio in crystallos unius axeos et in crystallos duorum axium: caeterum etsi axis non est peculiaris linea, quae in crystallo existat, sed mera directio, plerumque tamen axeos nomine intelligitur linea recta parallela directioni illi ducta per incidentiae punctum, per quod nempe punctum luminosus radius ingreditur crystallam. Haec subjungimus ex iteratis experimentis circa crystallos praeditas unico axe.

1.º Binarum partium diversimode refractarum altera sequitar superiorem (154) legem; altera universim non sequitur , adeo ut variato $i$ variet quoque${\frac {\sin i}{\sin h}}$: illa vocatur radius ordinarias; haec dicitur radius extraordinarius.

2.º Dixi (1.º) universim; nam ubi planum incidentiae fuerit perpendiculare axi, neque quoad radium extraordinarium, variato i, variabit ratio etsi constans isti. sini sinh us rationis valor n' quoad extraordinarium radium prodeat alius ab ejus valore n quoad radium ordinarium: n ' dicitur index refractionis extraordinariae. Crystalli vocantur positivae vel negativae, prout n ' > vel < n.

3º. Radius extraordinarius perstat simul cum radio ordinario in plano incidentiae quotiescumque istud planum recidit in prolongationem sectionis principalis: porro sectionis principalis nomine intelligitur planum transiens per exem, insistensque normaliter crystalli faciei sive naturali sive factitiaein quam cadit luminosus radius.

157. Luminosi radii a puncto A (Fig. 69) propagati in formam coni BAC, inque vitrum convexum MN illapsi, sic possunt refringi ut, experientia teste, coeant in aliquod punctum A', ibique vivacem quamdam puncti A imaginem efforment: hoc pacto duos quasi luminosos conos BAC et BA'C, obversis basibus, habemus. Ilem radii ab omnibus objecti punctis emissi, inque vitrum convexum illapsi, sic possunt refringi ut in totidem alia puncta post vitrum conveniant, ac imaginem objecti inversam depingant. Rem licet experiri , si vitrum convexum objiciatur candelae ardenti, et post illud in distantia tentamine definienda statuatur folium chartae albae; videbis enim in folio depictam, situ inverso, flammam candelae.

158. Id ipsum contingit lucidis radiis, quos varia corporum puncta in oculum projiciunt; uti videre est adhibendo oculum bovis recenter exemplum pro vitro illo convexo; in oculi fundo apparebit flamma, situ inverso, depicta. Abeunt videlicet radii in respondentes conos BA'C depinguntque puncta, unde profluxerant, et consequenter totius objecti imaginem in oculi fundo; cujus imaginis efformatione pervellitur nervus opticus, animusque ad visionem seu ad sensationem imagini consentaneam determinatur.

Bonum erit nonnulla hic annotare

1 °. neque imago , neque proinde visio erit clara atque distincta ( distincte vi . dere dicimur, cujus partes omnes a se invicem reipsa di versas discernere possumus) nisi et e singulis objecti punctis ad oculum deferatur sufficiens luminis copia , et unius cujusque coni BAC apex A' in ipso oculi fundo inveniatar , aut in magna fundi vicinitate: ubi enim apices in distan tia notabili ante oculi fundum v. gr. reperiantur , respon dentes radii eo appellent nimium divergentes , ac proinde qui radii spectant ad unum objecti punctum, illuc perve nient confusi cum iis qui spectant ad alia puncta .

2º. Constat imaginis inversionem in fundo oculi haud impedire quomious objectum appareat nobis in suo naturali situ: inde sequitur, si ex puncto quovis promanant luminis radii illabentes in oculum , ab apima illuc referri ejusmodi punctum ubi reperitur vertex A illius coni ex terni BAC, qui et possit ope refractionis efformare lumi nosum conum internum BA'C , et habeat axem in directum cum axe ipsius BA'C.

3º. Hinc si radii emissi ex puncto v. gr. D sic de viant ( quaecumque de caetero sit istius deviationis causa ) ut efforment conum internum BA'C; etsi punctum D sit aliud ab A, adhuc tamen videbitur in A.

4º. Axis opticus est recta normaliter insistens o culo, perque oculi centrum transiens: angulus opticus est , quem intercipiunt bini radii luminosi ab extremis objecti punctis venientes ac sese in oculo intersecantes: magnitudo apparens est, quam ex angulo optico metimur. In ma gais atque incognitis distantiis non habet anima nisi angulum opticum unde aestimet objecti magnitudinem ; ita ut aequalia appareant, quae sub eodem vel aequali angulo vi dentur; majora, quae sub majori angulo; minora, quae sub minori: porro aequalibus angulis opticis aequales respondent imagines in oculi fundo ; majori angulo major imago; mi pori minor. Sit M oculus ( Fig. 62) , MN axis opticus, angulus CDM rectus , CD ( = h ) vera objecti magnitudo , DM ( = k ) distantia objecti ab oculo; denotante a angulum CMD, pro veniet h kT langa ; et in hypothesi anguli a satis exigui, k k

5º. Dicitur magnitudo apparens aestimata, quam in idea objecti visi mens repraesentat sibi, non solum habita ratione anguli optici, sed etiam existimatae distantiae, necnon cujusdam his de rebus judicandi habitudinis longo usu comparatae.

6º. Permanente angulo optico, apparens aéstima ta objecti magnitudo eo major erit, quo anima illud putat magis remotum . Fac enim ut angulus opticus sit CMD seu N'MN " : si anima putat distantiam objecti ab oculo M esse Mc, imaginis punctum N " referet in c , punctum vero N' in d , eritque cd apparens aestimata objecti magnitudo ; quod si putet anima distantiam illam esse MC, immagi nis puncta N " et N' referet in C et D, eritque CD ap parens aestimata objecti magnitudo.

7º. Certum quoque est apparentes aestimatas ou bjectorum magnitudines intra certos limites pendere a qua dam judicandi acquisita habitudine: minores nempe consuetasque objectorum distantias nobis satis cognitas cụm respondentibus ipsorum oplicis angulis conferre assuesci mus atque magnitudinis ideam sat rectam efformare di scimus. Sic quum hominem v. gr. aspicimus centum pe dibus primo distantem , deinde ad nos accedentem; varia to angulo optico, non idcirco variat magnitudinis idea .

8º. Decrescente angulo optico, decrescit numerus illarum fibrillarum , quae in oculi fundo pervelluntur ; ita ut, admodum nimis imminulo angulo, vellicatio fiat insensibilis , objectumque oculis subducatur: quisque tamen intel ligit attendendum hic esse ad magis vel minus vividam ob jecti collustrationem , itemque ad magis vel minus perfectam oculi constitutionem.

9º. Si objectum movetur, imago quoque movetur, seu alias aliasque in oculi fundo partes successive occupat: moveri nempe videbitur, cujus imago positionem suam in o culi fundo successive mutat. Sed quia imago movetur etiam quum movetur oculus, quiescente objecto; iccirco, nisi a liunde constet oculum quiescere, ex mutata illa imaginis positione defioire non possumus utrum verus ap dumtaxat apparens sit objecti motus.

10º. Objectum D, etiam celerrime molum, quie scere videbitur, si ratio spatii DC percursiintervallo unius minati secundi ad distantiam DM ab oculo fuerit imperce pribilis : etenim ob exiguissimum angulum CMD linea DC instar puncti apparebit; et consequenter D in eodem loco sese exhibebit videndum.

11°. Quoniam ratio illa est imperceptibilis, sive ni mis lente moveatur objectum vicinum, sive objectum cele riter motum nimis distet ; ideo vicina quiescere videbun tur, si nimis fuerint tarda; celeriter mota , si nimis dissita.

12º. Molus indicis horarii in horologio numerante vigintiquatuor horas, et diurnus siderum motus circa tellurem non percipitur: utrobique intervallo unius minuti secundi percurritur arcus quindecim secundorum ; emensum igitur spatium CD erit imperceptibile, si sub angulo quin decim secundoram videtur; et multo magis , si sub minore angulo.

13º. Dum axes opricos in idem punctum dirigi mus; quo minor erit puncti distantia , eo major exsistet an gulus ipsis axibus interceptus. Hunc praecipue angulum con. sulit mens nostra in minoribus objectorum distantiis aesti mandis. Majoribus distantiis etiam plurimum variatis , angu lus ille non variat sat sensibiliter; eas iccirco metimur ex aliis potissimum capitibus: e numero videlicet interja centium objectorum ; ex obscura vel clara objecti imagine; putantes , quae obscurius cerountur, remotiora esse, quae vero clarius , viciniora ; ex angulo optico , etc...

159. Lumen admissum in obscurum conclave per exiguum foramen circulare incidat in superficiem S (Fig. 70) prismatis vitrei; si lumen egrediens e superficie S' excipitur charta alba MN in distantia aliquot pedum, haec obtinebunt.

1°. Lumen distrahitur in oblongam figuram AB varios exhibentem colores; quae figura dicitur spectrum solare vel prismaticum.

2°. Speclri latera terminantur parallelis rectis; extremitates vero binis semicirculis.

3º. Spectri latitudo aequatur diametro illius circuli, quem, non objecto prismate, luminosus fasciculus efformaret in plano verticali MN; longitudo autem est quadrupla circiter latitudinis.

4º. Spectrum prismaticum coalescit e septem diversis coloribus, nimirum e rubeo, aurantio, flavo , viridi , caeruleo , indico , violaceo, designatis in figura per respondentes literas initiales. E spectri forma apparet ipsum nihil esse aliud nisi seriem ad sensum continuam circulorum; quorum alter superponitur alteri, etsi haud congruunt accurate; singuli proprio et suo expressam colore imaginem referunt solis: inde fit ut et semicirculis cavitatem sibi mutuo obvertentibus terminentur spectri extremitates, et ejus latera sint lineae in speciem rectae ac parallelae, quibus tanguntur illi circuli extremi, omnesque intermedii.

5º. Si per exiguum foramen factum in MN transmittitur quivis ex coloratis radiis ut novo excipiatur prismate, is rursus refringetur quin tamen iteratis refractionibus discindatur in alios, suumque mutet colorem; hinc est quod colores spectri prismatici dicantur primitivi, vel simplices.

6º. Radii prismate distracti possunt iterum colligi ope vitri convexi: jam si omnes colliguntur, orietur inde color albus; si aliqui dumtaxat, reliquis interceptis, emerget modo hic, modo ille compositus color pro vario numero et qualitate radiorum collectorum. Ejusmodi compositus color differt interdum ab unoquoque colore simplici; interdum vero nullum deprehenditur discrimen inter compositum et aliquem e simplicibus; sic ex caeruleo et flavo exsurgit viridis, simillimus viridi primitivo. At compositus novo exceplus prismate distrahetur semper in suos primigenios; simplex autem in figura et qualitate sua constanter perstabit.

7º. Diversorum colorum radii diversa gaudent re frangibilitate; rubeus minima, aurantius majore, Navus adhuc majore etc... ad maximam usque violacei: sic, ubi prisma ita collocetur ut refractione attollantur radii, supremus color erit violaceus, tum sequetur indicus, caeruleus etc. ... ac denique rubeus omnium infimus; quod si prisma ita collocetur ut refractione deprimantur radii, sese exhibebunt colores ordine inverso; supremus nempe color erit rubeus, tum sequetur aurantius, flavus etc... ac tandem violaceus omnium infimus. Itaque transeunte lumine ex vacuo in medium aliquod; diversis radiis simplicibus, unde compositus radius constituitur, diversi quoque respondebunt refractionis indices.

8º. Angulus maximus ( 155) , cui respondet totalis reflexio, non est idem quoad omnes colores, sed minor pro17 1 n maiori refrangibilitate : enimvero crescente n decrescit Id autem solet in hunc modum enuntiari: radii magis re frangibiles sunt etiam magis reflexibiles.

160. Luminis radius transiens prope corporum extre mitates, vel prope illas reflexus, distrahitur in plures alios; quae luminis distractio seu partitio vocatur diffractio. Sit lamina BC ( Fig. 71 ) , cujus aciem C radat lumino sus simplexque radius SC, sive rubeus, sive aurantius, si ve alter quivis, in obscurum conclave immissus, et ad ali quam ab ipsa lamina distantiam exceptus charta alba MN: haec obtinebunt .

1º . Recta SCA non est limes, qui dividat lumen ab umbra (151).

2°. lo plano MN spatium AN non est prorsus obscurum, sed per aliquod intervallum AD illustratur lumine sensim decrescente, ac demum omnino evanescente.

3º. Spatium AM per intervallum aliquod AE discriminatur fimbriis alternatim luminosis et obscuris L, O, L', 0 ',.... parallelis aciei C: fimbriae luminosae L, L' ... eo minus vividae sunt quo magis distant ab A ; obscurae 0, O' , ... habent nigredinem eo languidiorem, quo pariter distant magis ab A.

4º. A lumine rubro ad violaceum minuitur grada lim fimbriarum latitudo.

5º. Fimbriis sese offerentibus sive minuatur, sive augeatur distantia inter BC et MN, poterit determinari u trum propagentur fimbriae per lineas rectas necne : ejus modi lineae deteguntur curvae. Si lumini simplici substituitur lumen compositum , ap parebunt fimbriae variis coloribus diversimode temperatae. Ad lumen immissam in obscurum conclave admovea tur planum speculum melallicam, ut radii oblique regre diaplur: intra reflexum luminis fasciculum apparebunt fim briae vel obscurae alternatim ac luminosae, vel diversimo 218 de coloratae, prout ipsum lumen erit vel simplex vel com positum.

161. Visio directa dicitur, quae fit per radios directos, seu per radios a puncto radiante usque ad oculum nullo pacto deviantes a respectiva semita rectilinea: visio reflexa, quae fit per radios reflexos: visio refracla, quae per radios refractos. Hinc Oplica generatim accepta solet dividi in Opticam speciatim sic dictam, Catoptricain et Dioptricam. Optica speciatim dicta agit de visione directa; Catoptrica de visione reflexa; Dioptrica de visione refracta.

De lumine directo

162. Circa directam luminis propagationem haec facile stabiliantur.

1º. Si lumen per parallelos radios uniformiter propagatur in medio non resistente, eadem ubique gaudebit intensitate: quia enim radii sunt paralleli, aequaliter inter se ubique distabunt; et quia medium radiis non resistit, nullus eorum intercipietur. Eadem ergo manebit ubique radiorum multitudo, eademque proinde luminis intensitas. Quoad vibrationum systema recole Mechan. n. 24. 2 ° * iteinque Acust. n. 129. 7º.

2°. Si lumen per divergentes radios uniformiter propagatur in medio non resistente, ejus intensitas erit in ratione duplicata distantiarum inversa a puncto radiante: qui enim radiorum numerus in distantia $A$ diffundebatur per sphaeram semidiametri $A$, is in distantia $A'$ diffunditur per sphaeram semidiametri $A'$. Luminis ergo densitates in distantiis $A$ et $A'$ erunt reciproce ut superficies sphaericae semidiametrorum $A$ ac $A'$; ideoque etc... Quoad vibrationum systema recole Acust. n . 125 * 129. 5º.

3.° Si datur planum quodvis $EB'$ (Fig. 73) illuminatum a puncto radiante $D$; quaeritur intensitas luminis apud punctum v. gr. $B$ ipsius $EB'$. Ex $D$ in $EB'$ demisso perpendicnlo $DE$, duc rectam $EB$ per $E$ et $B$; centro $D$ et semidiametro $DB$ fac ut describalur sphaerica superficies; in $EB'$ sumpta areola infinitesima $BM$, considera BM . tanquam basim pyramidis habentis verticem in D. Pyramis ista abscindet e super ficie sphaerica partem ( = p ) infinite parvam ; quae pars spectari poterit veluti projectio areolae BM in plano lan gente superficiem illam apud B : hinc ( 55. 4.0 ) p=BM . cos BDE. Iam vero intensitas luminis in areola BM intens . luminis in infinitesima superficiei sphaericae parte p 3 BM seu ut igitur intensitas luminis in BM , seu intensitas luminis apud B = intens. luminis in p XcosBDE. Est autem ( 2º) intensitas luminis in p reciproce ut DB“; cosBDE DE ergo intensitas luminis apud B erit ut DB2 DB Si punctum B datur in superficie curva ; planum EB' ad quod ducitur perpendiculum DE , nihil erit aliud ni si planum tangens superficiem curvam in ipso puncto B.

4.° Lumen debilitatur ab aere, per quem propagatur: intromisso enim lumine per exiguum foramen in obscurum conclave, stantes a latere vident lucidum continuumque tramitem, et in eo varias moleculas huc illuc agitatas. Cum igitur nihil videatur sine lumine , reflectuntur radii in ocu Jum spectatoris non solum ab agitatis moleculis , sed etiam ab aere ipso , unde lucidus ille continuusqne trames. Mi nuitur ergo radiorum numerus in ulteriore progressu ; et consequenter debilitatur lumen. Simili modo probatur debilitari lumen ab aqua , vitro , aliisque diaphanis cor poribus.20

163. Datis tribus longitudinibus ( Fig. 72 ) inaequa libus PQ, RS, TV in eadem recta BC sitis , datisque in tervallis QR, ST ; invenire locum oculi 0 , ex quo tres istas longitudines videat ejusdem magnitudinis ( 158. 4º) , apparentis . Ex O demittatur perpendiculum OA in rectam BC , et ponantur PQ = r,RS = r', TV = " .QR = i, QT = i , OP = x , OQ = X , OR=X2 , OS = X3, OT = x4, OV = X5. Quia tres anguli POQ , ROS, TOV debent esse ae quales ; erunt areae respondentium triangulorum ut XX1 , XgX3 , X4X5 ; el ob communem verticem 0, erunt quoque ut bases rep , pr " . Hinc attentis duobus primis triangulis , IN rip '=xx, : x2r3 , ideoque x3 = (h). . Xa Ad haec : addito coinmuni angulo QOR , ob aequales an gulos POR et QOS , erit etiam piti хха rti: r'ti = xxz : X, 83 ; unde x3 = ( h ). X1 Binae ( h ) et ( h' ) praebent Xa = X , V . ti et adhibila substitutione in ( h) , 121 X3XVE simili modo inveniuntur X45X Viti xs= xV mi " ti Restat ut valores x el x, determinentur : babemus 10. QA ’ = OQ-- AOʻ, QA ’ = QP2 + PAP + 2QP.PA, AOP + PA = OP2 ; iccirco PA - 0Q*_QP2_OP et QA = 0Q*_QP_OP2 2QP - + QP, 2QP sau QA = X ;' — x ? to . 2r 2.º RAP = OR -- AO , RA® = RQʻ + QA2 + 2RQ.QA, AO'TQAP= OQ? ; ideo OR2 - RQ * -OQ QA = 2RQ 32,-X, 2--22 2i22 (p! -r)x ; - rilr + i) 2r (r + i) 3 . TA ’ = TOʻ_ÃO , TA’ = TQ* + QA2 + 2TQ.QA, QA24ÃO ’ = QOʻ ; proinde TO’LOQʻ_TQ_X42- X ,2--j"2 QA= 2TQ 21' (p'-_ ) x0,2 — ri"(r ": + ) 2r(o'ti') . Igitur xy?—x? + ,2_ (r - r )x,2 - ri(riti) x ,' — x ? tura 2r (r + i) 2r 2r (r" —r).x ,?-ri'(n" + i") , 2r(r " + i') seu 1 (rti)x ,?- ( ' + )x2-trinti)( r'tiro , (nti)x2— (m" ti')zatrtin)(m i )=0 ; ex quibus cruentur valores x , X1 . Si duae PQ, RS ponuntur contiguae, erit i = 0 : quod si omnes tres PQ , RS , TV ponantur contiguae , erit praeterea i=r ' .23 164. Sit M oculus ( Fig. 62 ) , angulus CDM re clus , CD ( v ) vera objecti D velocitas , simul et di rectio motus ; angulus CMD ( a ) exhibebit ( 158. 4.0) apparentem ipsius D velocitatem ; et facta DM =k , erit tanga : k simili modo quoad aliud objectum D' , ป tang a= k' 2 Hinc 1.0 Si D , D' et inaequaliter ab oculo distant , et eadem velocitate moventur ; l remotius D' videbitur tar dius moveri : positis enim k ' > k , v = v , exsistet a ' < . 2.• Si D, D' moventur velocitatibus , quae sint di stantiis ab oculo proportionales , eadem velocitate mo veri videbuntar : erit namque ; ideoque ara, k k' 3.• Vicissim si D , D eadem velocitate videntur mo veri, erunt velocitates verae distantiis ab oculo proportion v' nales : siquidem facta a=«, erit ; unde v : v' = kk k' k : k .

165. Varia subjungimus circa apparentes objectorum motus nec non circa apparentes eorum figuras

1.0 Ocu lus recta moveatur ( Fig. 73 ) ex A in B ; objectum remotum in () quiescens ad contrariam plagam moveri videbitur : etenim oculus in A videt objectum O in C ; digressus vero ab A versus B, ex B refert O in D. Vi detur ergo O motum ex C in D , videlicet in contra riam plagam.

2.° Oculus et objectum moveantur ambo versus eam dem plagam , sed oculus multo celerius quam objectum ;24 ܪ a - videbitur objectum retrogradi ; nam oculus in A refert objectum 0 in C ; dum vero recla progreditur oculus ex A in B , et objectum ex O in O ' , oculas retrospiciens referet O ' in D ; ideoque etc...

3.° Duobus objectis B et B' sic motis , ut eorum se invicem distantia non mutetur , objecto autem B " quiescente; videbunlur B et B' quiescere , B " vero in op positam plagam moveri : binorum siquidem B et B' al terum haud mutat situm suum relate ad alterum , at mu tant ambo relate ad B " . Observatur id aliquando in mo. tu nubium , quarum partes eamdem servant mutuam di stantiam ; nubibus praetereuntibus lunam , haec in con trariam plagam ire videtur.

4.0 Oculo celeriter moto, lateralia objecta , etsi quie scentia , in plagam tamen contrariam moveri videntur : situ enim oculi ad objecta illa indesinenter mutato , eo rum imagines in oculi fundo alias aliasque partes occupa bunt (158. 2.°) : sic navigantibus videntur terrae urbesque retrogradi ; et curru celeriter vectis in silva videntur arbores in oppositam currere plagam.

5.° Arcus DkE ab oculo B' ( ponitur B' in plano ipsius DkE) e longinquo visus apparet instar lineae rectae DE ; nam quaevis kh visa ex intervallo B'h apparet instar puncti.

6.º Inde sequitur corpora rotunda e longinquo visa instar circuli apparere.

7 ° psa DE apparebit re vera instar circularis arcas obvertentis oculo cavitatem suam ; non enim discernimus alia ejus puncta magis , alia minus distare ab oculo; sed propter magnam circuli amplitudinem non percipietur cur. vedo , nisi DE sit admodum longa.

8. Hinc facile intelligimus cur in loco late paten te confines horizontis circulum referant ; cur coelum sub forma sphaericae cavitatis sese exhibeat. etc ...

9.º Rectae parallelae ad magoam protensae distantiam 1 125 apparent semper magis ac magis convergentes ; quia com mune illarum perpendiculum eo minorem angulum opti cum in oculo subtendit , quo remotius est. Hinc turris v. gr. sat alla videtur ad spectatorem inclinari , qui ejus fastigium ex pede observat ; siquidem perpendicularem tur ris altitudinem refert spectator ad perpendiculuin transiens per suum oculum.

10. Objectum collocatum in summitate turris AC ex pede A spectatum apparet minus quam appareret , si in eadem planitie cum spectatore A collocatum distaret ab A intervallo AM=AC : quia enim oculos ad tantam altitu dinem ferme ad perpendiculum non solemus attollere , ne que proinde ejusmodi distantias crebriore experientia per spectas habemus ; ideo magnitudinem objectorum ex an gulis opticis in casu aestimamus , quin provenientem er rorem emendare possimus ea quam diximus ( 158. 7.° ) jadicandi habitudine. Ad haec: angulus opricus respondens objecto collocato in G minor est quam angulus opticus respondens eidem objecto collocato in M.

11.° Major apparet sol in horizonte exsistens quam ab horizonte satis distang : ratio est ( 158. 6.° 13.° ) , quia permanente ad sensum angulo optico per totam diem remotior ab oculo apparet sol in horizonte constitutns quam supra horizontem elevatus , cum ob interjacentia objecta , tum ob minus vividam ejus imaginem.

12.° Noctu iter facientibus occurrentia objectà, de bilitatis imaginibus, videntur remotiora ( 158. 130. ) quam re vera sint ; et consequenter majora quam interdiu : nam ( 158. 6° ) per obscuritatem haud minuitur angulus opticus.

13.• Visibilia, ut ut maxime disjuncta, apparebunt ( 158. 8.0 ) contigua , si eorum distantiae sub insensibi libus angulis videntur.

14.° Exhibeat B'E tubum quemdam mobilem , te nuissimum et vacuum , ita inclinatum ad semitam radii B'D, ut , eunte radio ex B 'usque ad D, ipse lubus constan26 ter sibi parallelus percurrat rectam ED , abeatque in DB " ; eadem utrobique lege motus obtinente. Facile intelligimus in hac tubi inclinatione lumen ingressum in B ' egressu rum ex tubo in D: patet autem ( 158. 2.° ) ab oculo aspi ciente per tubum videri objectum in directione tubi ; oculus ergo videbit objectum non in directione DB radii venientis , sed in directione DB " . Angulns B'DB " dicitur aberratio orta ex motu oculi et successiva luminis propa gatione: aberratio fit semper in plano determinato per semitam radii et semitam oculi : designata insuper aberra tione B'DB ' ( = DB'E ) per a ; item designato per ban gulo , qui intercipitar semita oculi et recla tendente ad locum apparentem objecti , quique aequatur angulo DEB'; sina ED sin b DB: veloc. oculi sinb ( k). veloc. luminis annuo

15.• Inferimus , si velocitas oculi sit insensibilis prae luminis velocitate , aberrationem fore insensibilem : ut aberratio possit deprehendi , considerandus est celerrimus motus quem habet oculus simul cum terra molu proximeque uniformi circa solem translata. Denotet CA'AO , ( Fig. 108 ) orbitam terrae ; O' verum cujuspiam fixae locum ; ac terra existente in D exhibeatur per EE' recta ibidem tangens terrestrem orbitam : exprimet DE' dire ctionem motus annui terrae in D ; apparens fixae locus erit O' " ' ; 0'0' " parallela tangenti DE' ; aberratio O'DO ' ' in plano O'DE'; O ' " promotior quam O ' in directione mo tus annui ; et O'O " O'D veloc. terrae veloc. luminis Cum annuus terrae motas jugiter mutet directionem suam, etiam planum aberrationis jugiter directionem suam mu27 tabit : apparentes videlicet fixarum loci parvulas orbitas annuas describent circa respondentes locos veros. Obser vationibus constat istiusmodi orbitas sese exibere videndas in coelo instar ellipsium eo magis compressarum , quo propius accedunt ad eclipticam ; in quibus omnibus or bitis axis transversus est circiter secundorum 40. Porro velocitas terrae est ubique proxime eadem : ejus quoque distantia ab O est ubique proxime eadem ; etenim fixae in ea sunt distantia a terra , ut nulla habeatur paralla xis sensibilis , ne ex motu quidem annuo. Hinc et di stantia 0'0 ' ' inter apparentem verumque locum erit ubi que proxime eadem ; et quia rectae tangentes orbitam terrestrem jacent omnes in eodem plano , iccirco illae par vulae orbitae erunt circulares , jacebuntque in planis pa rallelis ipsi orbitae terrestri: eadem autem circularis orbita, si habet centrum O' in recla transeunte per polos eclipticae, apparebit instar circuli ; sin aliter, instar ellipseos eo magis compressae , quo magis vicina est ad eclipticam ; axisque transversus ellipseos videbitur in ea directione , cui respon det (14. ) angulus ( ' DE' (= b ) = 90 °.

16.° Cum ex omnium fixarum obseryatarum lumine eadem emergat aberratio , profecto omnium lumen eadem propagatur velocitate. Et quoniam fixarum distantiae sunt admodum diversae, ut colligitur ex tanta apparentis magni tudinis diversitate , certe singularum lumen aequabili ve locitate defertur. Facto a=-20 " , et b=90° in ( k) , emerget veloc. luminis veloc. motus annui sin 20" unde prodit eadem illa velocitas luminis , quam praebent ( 152) eclipses intimi satellitis Iovis.

17.• Velocitas in annuo terrae motu est ad veloci tatem in diurno terrae motu quam proxime ut 60 ad 1 : aberratio igitur orta ex motu diurno erit sexagesima pars28 aberrationis anouae , scilicet tertia pars minuti secundi ; et consequenter insensibilis. Multo magis debet esse in sensibilis aberratio luminis orta ex relativis oculi moti. bus in superficie terrestri .

18. Si in proximis fixis poneretur parallaxis annua = 1" , esset ipsarum distantia ad semidiametrum orbitae terrestris ut 1 : sin 1 " , sive ut 1 : 0,000005 quam proxime. Quare a proximis fixis lumen ad terram non deveniret nisi post 8'13" tempus = seu post annos tres circiler : Gxas 0,000005 nimirum nobis proximas videremus per lumen ante tres annos emissum : sunt forsan stellae ita remotae , ut earum lumen nonnisi post plura annorum millia ad terram de veniat.

De lumine reflexo

Speculum concavum

166. Pro diversitate superficierum specula terminantium sunt variae speculorum species: sphaerica potissimum et plana specula considerabimus. Datur speculum concavum sphaericum PQ (Fig. 74), punctumque radians K: si KM est radius incidens; ductaper K et speculi centrum C recta AB , proponitur inveniendum punctum F, ubi radius reflexus MF secat AB. Ducatur CM ( =r): quoniam (153) radius incidens KM , radiusque reflexus MF efficiunt cum CM aequales angulos KMC , FMC , erit FC СК FM KM Designetur KA per A , FA per A et angulus ACM per a ; erunt29 FC=r -A' , CK = ---- , FM = MC + FC 2MC.FC cos ACM = p2 + ( - A % 2-2r (r - A ')cosa , KMʻ= MC + KC* —2MC.K Ccos MCK = r + 14 - r )2 + 2r ( 1 - r) cosa. Quare NA A [na for - 492-2r(r - A ')cosa L.p ?FA- r ) + 2r (A - r) cosa ] 60 ) ; unde eruetur distantia A puncti quaesiti F a puncto dato A. Formula (6) traduci potest ad ( r --adval A 2rcosa +1+ amento 4 - r Gora Hr- A )s- 2r(r -A ')cos : hinc posito A = , ut radius incidens fiat parallelus reclae AB , assequemur (r - 4 ) ratin - A ')2—2r(r - Acosa ; ideoque in ea qua sumus hypothesi , d = v1 - 70002 ) (os. Radius incidens KM sit ita vicinus rectae AB, at abs que sensibili errore sumi possit cos a = 1 : ex (0) ba bebimus -À unde A' = A 24 - r (0 ) .30 Ioferimus, si radii incidentes sunt omnes admodum vi cini rectae AB, ipsam AB sectum iri in eodem puncto F ab omnibus respondentibus radiis reflexis. Fac ut A ae qualiter distet ab extremitatibus P et Q; recta AB dicetur axis speculi; punctumque F determinatum per ( o " ) , spe- ' culi focus quoad punctum radians K. Facto vel cosc = 1 in ( o' ) , vel A = o in ( o " ), ut ex incidentibus radiis parallelis axi AB ii tantum spectentur quibus respondet angulus a admodum tenuis, emerget ( 0 "" ); punctum F determinatum per (o ' ' ), dicitur focus principa lis; ejusque distantia ab A aequatur semiradio speculi. Formula ( o " ) scribi potest in hunc modum r A' = (+3 ) Hiac si A > r , exsistet 28 > oc < 1 ; unde '> far: A = r 24- = 1 ; .A = r : A < r el > 222 A' >ri 2 24 r A. A ' = 0 ;31 A .. < - ; 2A-r ^' <o ; . A=0 2 ._ = -1 ; A = 0 . 167. Praeter K detur quoque punctum radians K' : per K' et C ducta K'A' , quisque videt focum respondentem ipsi K' fore alicubi in K'A' v.gr. in F' ; positisque K'A' = 0 , A'F ' = 0 , obtenlum iri år 8 ( 0 ' ). 20 Puncta itaque radiantia K et Ki dipinguntur ope speculi PQ apud F et F' ; radiique luminosi , postquam in F et F sese intersecarunt , iterum divaricantur, atque ad oculum appellunt perinde ac evibrati a radjantibus punctis K et K' collocatis in F et F. Pone A = 0 ; habebis A = 0 '; ideoque triangula CKK , CFF isoscelia et similia : eric igitur KK : FF = A - r : r -A = A - rir; 2A -N - = 1 : 224 unde FF 2A"KK' (0") : quae formula in ea qua sumus hypothesi praebet rationem inter amplitudinem objecti et amplitudinem responsedentis imaginis.

3° S<F

168. Ex dictis ( 166: 167 ) haec manifeste profluunt.

1º. Si objeclum ultra centrum C distat a speculo, uno a centre si nempe A > r, imago in libero aere depingetar inter centrum et principalem focum situ inverso, eoqueminor ac principali foco propior, quo objectum fuerit remotius: depingetur autem apud ipsum focum principalem, si distantia illa ultra C tanta fuerit, ut radii ex eodemque objecti puncto quovis egredientes incidant paralleli in speculum.

2° . Si objectum interjacet principalem focum et ret > 2 ultra centrum situ inverso, tantoque major et tro remotior, quo objectum fuerit principali foco propius: nuspiam vero depingetur, abeunte objecto in principalem focum.

1º S>2F

S=F

3° . Si objectum fuerit inter principalem focum et speculum v . gr. apud E , si nempe a < . flexo radio EM versus H, imago, quamvis nullibi re ipsa depingatur, apparebit tamen ( 158. 3º. ) post speculum apud D situ erecto; tantoque auctior, quanto fuerit objectum foco principali vicinius. Focus D, ubi, tametsi radii evibrati a puncto radiante E non colliguntur, videntur tamen colligi, dicitur focus virtualis.

169. Cum solares radii in speculum PQ incidentes sint ad sensum paralleli, per reflexionem in arcto colligentur spatio apud (168.19) principalem focum; sicque intensa eorum vi poterit ibi excitari ignis. Sit KK' (Fig. 75 ) sol; FF' ejus imago; sintque KA , K'A' radii evibrati ab extremis punctis K et K' , in speculi centro C sese mu tuo secantes. Ultra KA et K'A' sunt radii rectae KA paralleli; qui reflectuntur ita , ut collineent ad spatium FF, augeantque causticam speculi virtutem : exhibeat SS ultimum istiusmodi radioruin ab A versus Q: is post re flexionem tansibit per extremum imaginis punctum F' . Iam33 respondentem angulum ACS' ( = ) inveniamus: triangulum zFF' suppeditat FF' : FzsinF ' F :sinFF':. Est autem angulus ( 153 ) CS'z CS'S = ACS' ; ac proinde angulus F'zF == 2u : apparens solis diameter KCK' = FCF = 32'; ideoque triangulum isoscele ( 167) FCF' prae bebit angulum F'Fz = 90 ° 16' , el consequenter FF'z = 90 ° - 16- 20: praebebit insuper. ( 166.0" ) FF == VTF + CF2– 2 CF. CF'cos32 -V+ 2,2 cos 32' >r 4 VI 1 - cos32' = rsin 16 ': 2 denique ( 166. o'.6 " ) Fz=AF — Az -rt 2cosa cosa s sina a 2 cosa cosa Ergo : r sin 16' : r sina { a sin24 : sin ( 90° 16 20 ) cosa sin 2« : cos ( 2x + 16 '); unde 334 sin 16 ' sin 2a sinala 2sina sina cosa cos(24 + 16 ") cos(20 + 16 ') et omisso 16' prae 24 in denominatore ultimi miembri, 2sina sinala sin 163 cos2u cui proxime satisfacit a = 11 ° 45'. Hinc speculum maxima pollebit urendi vi,si ejus amplitudo 23° 30' .

S=2F

170. Assumpto r negative in ( o“. 166) , prodibit quoad specula sphaerica convexa A' = Ar 2Ator --Ź (: - ** ) (* ) : et facta A = 0 , A' = - Ž ( o !). Ejusmodi igitur specula habent focum constanter virtualem; divisaque CA ( Fig . 76) aequaliter in N, focus interjacebit N et A. Producta nimirum semidiametro CM versus R, lumen incidens KM regredietur per MS efficiendo angulum SMR aequalem angulo KMR, protractumque ad contrariam partem secabit KC in foco F, ubi oculo S apparebit imago puncti radiantis K; quo puncto in infinitum remoto super AB, imago ejus apparebit in foco principali N.

171. Praetex K detur quoque ( Fig, 77 ) punctum radians K', ducatur per K' , C recta KC , et dividatur CA' aequaliter in N ' : liquet focum respondentem pan clo K'fore alicubi in N'A' v. gr . in F' ; exhibitisque35 distantiis puncli radiantis K' et respectivi foci a specnlo per ö ac ' , erit or 20tr (ov ) Pone A = ; habebis A = o , et consequenter triangula CKK' , CFF' isoscelia et similia : hinc , spectatis dum taxat rectarum valoribus, Atr KK' : FF' = A + r : r-A =A+r : r 20tr 20to i 24tr proinde FF KK' ( o " ) : 2 + -Ar quae formula in ea qua sumus hypothesi rationem sup peditat inter amplitudinem objecti et amplitudinem re spondentis imaginis. Patet nunc illud : in speculo sphaerico convexo ima go semper apparebit recto situ , nunquam inverso ; erit minor objecto suo ; tantoque minor ac propior principali foco , quanto magis objectum recedit a speculo.

F<S<2F

172. Ponatur r= 0 sive in ( o " ) et (o " ) , sive in ( o " ) et (o'r ) ; emergent quoad specula plana A = –4 , ==ô (o ^). Demissis itaque ex punctis radiantibus K et K ’ ( Fig. 78 ) in speculum planum PQ perpendiculis KA , K'A ' , iisque productis versus F et F' , donec fiant AF - AK : A'F = A'K '; imagines punctorum K , K' apparebunt in focis virtuali36 bus F , F': imago nimirum puncti radiantis Canto inter vallo apparebit post speculum , quanto punctum radians est ante speculum. Id ipsum ostenditur absque formularum subsidio: nam ( Fig. 79 ) in triangulis KMA , FMA latus AM com mune , latera KA , FA aequalia , et anguli in A recti : igitur anguli KMA , FMA erunt aequales , et consequen ob FMA = EMQ, aequales etiam KMA , EMQ. Quare ducto ad speculum perpendiculo BM , erit angulus KMB aequalis angulo EMB ; radiusque luminosus KM refle clelur ( 153 ) juxta ME. Eadem de causa , si ex F per aliud quodcumque punctum N ducitur recta FH , lumi nosus radius KN reflectelur juxta NH; proinde ( 158. 2.° 3.9) ter , etc. cum Haec facile ounc intelliguntur circa specula plana.

1.º Oculus haud videbit imaginem puncti radiantis K ope speculi PQ nisi recta ex F ad oculum ducta transeat per ipsum PQ.

2.º Situs imaginis FF (Fig. 80) dependet ab inclinatione speculi quoad objectum KK:

ubi speculum fuerit horizonti parallelum, erecta apparebunt situ inverso, ut arbores v . gr. in undis:

3. Productis FF' , PQ , KK' , concurrent omnes in unum idemque punctum C, eritque angulus ACK aequalis angulo ACF; objectum ergo KK' cum imagine sua FF' efficiet angulum duplum ejus, quem efficit speculo PQ: hinc ubi speculum fuerit horizonti parallelum, erecta apparebunt situ inverso, ut arbores v . gr. in undis: quod si ad horizontem fuerit inclinalum sub angulo 45°, erecta apparebunt horizontalia.

4.º Imago' FF est aequalis objecto suo KK' : si quidem CF=CK , et CF'=CK' .

5.° Datis duobus speculis PQ , RQ ( Fig. 81 ) ad angulum constitutis , ex puncto radiante K ducatur ad PQ recta perpendicularis KF , ex F ad QR recta simi liter perpendicularis FF' , ex F' ad PQ recta itidem perpendicularis F'F " , etc. . . ; sinique KA=FA , FA = F'A ',37 F'A " F " A " , etc ... Rursus ex K ducatur ad QR recta perpendicularis Kf , ex f ad PQ recta pariter perpendi cularis fp' etc. : ; sintqae KB = B , fB ' = f'B ', etc. . . . Puncta F , F' F " , etc. - ..fif' , etc ... erunt loca totidem imaginum puncti radiantis K ; subit e im imago F vicem novi objecti speculo QR oppositi ; F ' vicem novi objecti speculo PQ obversi , etc ... ; item imago f se habet ut novum objectum quoad speculum PQ ; f' ut novum objectum respectu speculi QR; etc. . . Primae imagines F et f cernuntur per radios semel reflexos ; secundae F ' et ỉ per radios bis reflexos, etc. . . ; ideoque primae F, f exsistent vivaciores secundis F' , f ; secundae vivaciores tertiis ; etc. . .

6.º Imago puncti radiantis multiplicatur etiam in unico speculo vitreo, praesertim si vitrum fuerit satis crassum: radii videlicet ab anteriore speculi superficie reflexi praebent unam imaginem; radii a posteriore reflexi suppeditant alteram: et quoniam (154) pars aliqua luminis a posteriore superficie remissi ad anteriorem, ab hac iterum ad illam remittitur, iccirco nonnulli radii post tres, nonnulli post quinque etc. reflexiones percellent oculum, variasque puncti radiantis imagines in speculo exhibere poterunt. Notetur illud: constat experientia, quantitatem luminis regulariter reflexi crescere prout crescit incidentiae angulus. Sic observantes ardentis candelae flammam ope reflexionis super vitrum, cui sublata sit politura; ubi angulus incidentiae sit admodum exiguus, minime deprehendemus distinctam flammae imaginem; deprehendemus vero, ubi angulus incidentiae fiat satis magnus. Quinimo sub magna radiorum obliquitate imaginem illam distincte deprehendemus super lignum, super chartam fumo nigrefactam , etc. . i .

173. Nonnulla hic ponimus ex trigonometria sphaerica.

2.º

1.º

1.º Angulus, quem in superficie sphaerae eſiciunt bini circulorum maximorum arcus v . gr. $PU,PE$ (Fig. 82), dicitur sphaericus; cui substituitur, pro ejus mensura, angulus $NPM$ comprehensus duabus rectis $PN,PM,$ quae jacent in iisdem planis cum illis arcubus, et ad easdem partes, ipsosque tangunt in puncto concursus $P$. Liquet autem angulum, quem continent plana arcuum, habere pro mensura eumdem angulum $NPM$: tangentes enim $PN,PM$ sunt perpendiculares diametro $pP$ transeunti per concursum $P$; quae diameter est communis eorumdem planorum intersectio. Angulus proinde sphaericus aequaturangulo comprehenso planis arcuum continentiam ipsum angulum sphaericum.

2.º Triangulum sphaericum in superficie sphaerae comprehenditur tribus circulorum maximorum arcubus v. gr. $PU,PE,EU,$ qui dicuntur ejus latera, et sumuntur < 180º . Etiam mutua circulorum, qui non sunt maximi, intersectione constituuntur triangula in superficie sphaerae; verum hujsmodi circulos non consideramus, et nomine circulorum et arcuum circulos maximos eorumque arcus intelligimus.

3º. Sphaerae diameter $Pp$ perpendicularis plano circuli $HKh$ dicitur ipsius circuli axis, et extrema axis puncta $P,p$ vocantur poli . Ductis e sphaerae centro $C$ radiis $CK,CA,$ in plano circuli $Hih$, erit angulus PCK=PCh . 90 ° = pCK = pCh , Hinc arcus PK = Ph , ...= 90 ° = pK = ph , ... ; peripheria nimirum circuli distat quaquaversus in superficie sphaerae per quadrantem ab utrolibet suo polo. Ad haec: an gulus K Ch est mensura angali , quem continent plana arcuum PK , Ph; est nempe mensura anguli sphaerici KPh: sed angulum KCh metitur arcus Kh ; ergo Kh metietur quoque angulum sphaericum KPh. Definitur videlicet an gulus sphaericus per arcum circuli habentis polum in ejus vertice , interceptum inter ejus latera .

4.º Concipiantur tres radii $CP,CU,CE,$ qui ad tres vertices $P,U,E$ trianguli sphaerici pertingant: angulos $PCU,UCE,ECP$ metiuntur arcas seu latera $PU,UE,PE;$ sed ex tribus illis angulis duo quilibet simul majores sunt tertio, et tres simul minores sunt quam 360º. Ergo in triangulo sphaerico bina quaevis latera tertio majora sunt, et tria simul minora sunt quam 360°.

5º. Si vertices $P,U,E$ (Fig. 82 bis) trianguli sphaerici PUE ponuntur esse poli arcuum $ue,ep,pu,$ ex quibus alterum exsurgit triangulum sphaericum pue, distabunt P , U per quadrantem ab e , itemque U , E et P, E per quadrantem distabunt a verticibus p et u;

ideoque ( 30) in ė , p , u erunt poli arcuum PU , EU , PE. Productis igitur , at in figura , his arcubus , erit ukref = 90°, UN=EM=90° ; unde uktef seu ue + fk 180° , UNTEM = MN UE = 180°: metitur autem fk an gulum UPE , et MN angulum upe ; igitur latus ue est supplementum anguli UPE , et angulus upe supplementum lateris UE. Simili modo ostenditur latera ep , up esse sup plementa angulorum PUE , PEU ; et angulos uep , pue supplementa laterum UP , PE. Itaque factis lateribus PUSA , PE=B , EUC , pu=A' , pe=B', eu=C' , angulisque oppositis PEU = A, PUE = b , EPU = c , peu = a', pue = b', epu = c , provenient a=180°—A' , b = 180 °_B' , c=180°-G } ( 9) A = 180 °-a', B=180° 46' , C=180° -c' ,

6.º Primae tres aequationes ( 9 ) praebent40 atb-t = 540.- A - B - C ; hinc atoto 540°. Est praeterea ( 40. ) A'+B '+C <360°; ac proinde a tbtc > 180 °. Ergo trianguli sphaerici tres anguli simul et minores sunt quam scx recti , et majores quam bini.

7.º Si producuntur ( Fig. 82 ) radii CU , CE donec occurrant in N , M taogentibus PN , PM , et agi ( ar recla NM, triangula rectilinea PNM , NCM praebebunt NMP= PN ' + PM -2PN.PMcosNPM , NM ' = CN2 + CM2 --2CN.CMcOSNCM ; et consequenter CN ° + CM² —2CN.CMcosNCM — PN . PM ” +2PN.PMcosNPM=0. Iam vero superioribus (5. ) laterum et angulorum denominationibus retentis pro triangulo sphaerico PUE , et fa cio sphaerae radio CP = R , habebimus R CN =RsecA CM = RsecB R cosB 1 COSA sin A sinB PN=Rtang = R PM=R tangB=R COSA ' COSB

insuper CoSNPM = COSUPE = cosc, cosNCM = cosC . Adhibitis41 itaque substitutionibus , factisque redactionibus animad vertendo quod sec -- tange = 1 , prodibit cosC = cosAcosBtsin AsinBcose ; et simili modo cosB=cosAcosC+sinAsin Ccosb , ( 9 ) cosA' =cosBcosC+sinBsinCcosa .

8.° Ex (9') ope formularum ( 9) facile transitur ad sequentes cos ' = sina'sinb'cosC ' — cosa'cosb ', cosb ' = sina'sinc'cosB -cosa'cosc' , cosa'siab'sinc'cosA ' - cosb'cosc' : et delelis accentibus ulpole in praesens inutilibus , Cosc=sina sinb cosC cosa cosb , cosb =sina sinc cosB - osa COSC , ( 9 ) cosa=sinib sinc cos A - cosb cosc .

9º . Prima ex ( 9' ) suppeditat cos- C - 2 cosAcosBcosC + cos Acns- B cos? C = sin ? Asin2B est autem cos?c=1 -sin?c ; igitur siu ? c = 1 cos- C - 2cosAcosBcosC + cos Acos2B siu ? A sin’B !42 sin Asin -B —-cos C + 2cosAeosBcosC - cos? Acos2B sin’A siu ? B Substitutis 1 -cos A et 1 -sin?B loco sin ? A et sin? B in nu meratore , 1 - cosA — cos?B - cos? C + 2cosAcosBcosC sinca sin’A sin2B si secundum membrum divisum per sinC exhibetur per D , poterit aequatio ista sic scribi sin ? c = Dsin ? C . Instauratis id genus operationibus in secunda et tertia ( 9') , provenient sin ? b = Dsin B , sin ? a = Dsin A ; ergo sinA sin B sinc sinb (q ) ; sin a sinc sinus videlicet laterum sunt in triangulo sphaerico ut si nus angulorum oppositorum .

10.• Ex tertia ( 9' ) assequimur cosa= COSA-CosBcosc sinB sinc ex ( 9 ' ') sina sin A sinb sinB : altera divisa per alteram 243 cota cosA-cos B cosc sinA sin Csinb In locum cosB . subrogetur , ejus valor e secunda ( 9' ) ; erit cota cosA - OSAcos C - sin AsinCcosCcos sinA sinC sinb cosA sinPC - sinAsinCcosCcosb sin A sinC sinb cotA sinC - cosCcosb sinb ideoque cotasinb = cotAsinc - cosCcosb ; itemque ( 9 " ) cotosinb = cotBsinC - cosCcosa . 11.° Facto v. gr. a=90° in (q' ) , ( 9 ') , ( q ' " ' ) , ( 9 ' ), eruentur inde formulae quoad triangula sphaerica re ctangula : sic e secunda ( q " ) babetur tangB = langbsinC ; et quoniam latera trianguli sphaerici sunt singula <180°, erit sinC semper positivus ; proinde tangB et tangb eo dem sive positivo sive negativo afficientar signo. In trian gulo videlicet sphaerico rectangulo catheti sunt ejusdem speciei cum angulis oppositis : sed de his satis.

174. Resumentes nunc duo specula plana (172. 5.) PQ , RQ (Fig. 81), videamus quo pacto determinari possit directio luminosi radii post duas reflexiones, alteram apud primum PQ , alteram apud secundum RQ. Quoniam eadem est directio luminosi radii sive reflectatur apud superficies datas, sive apud superficies parallelas, concipiantur per punctum 0 ( Fig. 83 ) transire bina plana parallela speculis datis; sintque Op, Op' duae rectae iis planis normaliter insistentes: duc OH parallelam radio incidenti in primum speculum, et in plano HOp rectam OK efficientem cum Op angulum KOP aequalem angulo HOp; erit OK directio radii post primam reflexionem: produc KO et p'o in K ' et q ': erit K'Og' angulus incidentiae quoad secundum speculum: duc OT. in plano K'Og'ita, ut angulus TOq'aequetur anguloK'Oq'; erit OT directio luminosi radii post duas reflexiones. Iam si circum 0 tanquam centrum concipitur superficies sphaerica, in triangulo sphaerico pK'y ' dabuntur latera pq' ( = 180 °—pOp') , PK' ( = 180 °-HOP ) , angulusque K'pg' interceptus plano primae incidentiae et plano duorum per pendiculorum Op , Op. Hinc denotante B angulum duo rum speculorum pOp , I angulum primae incidentiae HOp , c angulnm K'pg', C angulum secundae incidentiae K'Og' habentem pro mensura arcum K'q ' , b angulum pK'g' interceptum planis primae ac secundae reflexio nis, i angulam po K' interceptum plano illorum perpen. diculorum et plano secundae incidentiae , innotescent C, b , i ( 173. 7.º 9.º ) ex cosC = cos( 180°-I)cos( 180 ° -B ) + sin ( 180 °-I) sin ( 180°-B) cosc , sin (180 °-B sinc sinb sinC sin ( 1860-1) sinc sini sinc seu cosC = cosIcosB + sinIsinBcosc 1 sinB sinc ( 0) sinc sinl sin b sinc'sini sin c45 Iu triangulo itaque sphaerico HTK' habenda erunt pro dalis latera HK' ( =180°—21 ) , K'T( = 2Kg = 2C ) , itemque angulus HK'T = b ) : facto igitur HT=D , erit (173. 7. " ) cosD = cos (180°—21)cos2C + sin (180 ° —21)siu2Ccosb == sin2Isin2Ccosb - cos2Ico32C . Propterea , si angulus H'OT(=180°-D) , interceptus di . rectione radii incidentis in primum speculum et directio ne radii post duas reflexiones, exhibetur per D ' , prodibit cosD ' = cos2Icos2C - sin2Isin2Ccosb ( o ' ) . Si radius incidens in primum speculum est in plano pOp', si nempe c=0 , et consequenter b=0 , erunt cosC=cos.cosB+sinIsinB, cos D' =cos2 / cos2C-sin21sin2C ; unde C = B - T , D ' = 211 + c = 2B ( " ' ) .

Haec subjungimus

1.° Positis sinl=h ; cosl = k , sinC = h ', cosC = k , itemque sinB == x , sinc=x' , sinBsinc=a , et a consequenter xx ' = a , x' , prima (o) traducetur ad k ' = kV1 - x + hVx2 - a . Liberata aequatione ista a terminis radicalibus , factisque reductiouibus animadvertendo quod hu+k=1 , emerget46 x4+ ( 2k' {k - h2) _2k - 2a h *] x2 + (k2__ka) + 2a2ha(k'tka) + a4h4 = 0 (0 " ' ).

2.• Si planum secundae reflexionis continet an gulum b=90° cum plano primae reflexionis , secunda ( 0 ) praebebit i sinB sinc=sinc , ideoque a=h' . Attentis igitur az = h2 = 1 - k , ha = i - k , in ea qua samus bypothesi traducetur ( o ) ad 24-2(1 - k'>ka)x2 + (1 - K2k2)2 = 0 : unde x2- ( 1 - k'2k2) = 0 , x = 1 --k '> k > : et quoniam xa = sin ? B = 1 - cos- B , iccirco cosB = k'k = cosCcosi ( o " ). In eadem hypothesi apguli b=90° , formula (6 ) suppeditat cosD = cos2Icos2C ( o" ) .

175. Pauca subjungimus de quibusdam aliis speculorum speciebus.

1.° Specula cylindrica aequivalent planis secundum longitudinem; aequivalent sphaericis convexis secundum latitudinem: in imaginibus ergo exhibitis a speculo cylindrico servabuntur (173. 4.°) eae objeciorum dimensiones, quae respiciunt speculi longitudinem; apparebunt (171) vero contractae, quae respiciunt latitudinem

2.° Specula conica secundum longitudinem aequipollent planis; secundum latitudinem aequipollent sphaericis convexis diametri semper minoris, a basi, ad veriicem coni: servabuntur ergo hic quoque in imaginibus illae objectorum dimensiones, quae respiciunt speculi longitudinem; quae vero latitudinem respiciunt, eo magis apparebunt contractae, quo magis ad coni verticem accedunt.

3.° Speculum parabolicum

3.° Si radii incidentes in superficiem cavam speculi parabolici sunt paralleli axi parabolae genitricis, post reflexionem coibunt omnes in ipsius parabolae focum; vicissim si radii vibrantur e foco in superficiem speculi, regredientur paralleli axi: patet ex dictis in Mechan. n. 57.3.

4. ° Si speculum parabolicum ita obvertitur soli, ut advenientes radii ad sensum inter se paralleli exsistant etiam paralleli axi, post reflexionem compingentur omnes in foco: hinc inter caustica, seu ustoria specula eminet parabolicum.

5. ° Radii ex uno foco in speculum ellipticum incidentes reflectuntur omnes in focum alterum: patet ex dictis in Mechan. n . 55. 13.0

De lumine refracto

176. Duo media homogenea $\mu$ et $\mu '$ (Fig. 84) terminantur communi superficie sphaerica $PAQ$; in medio autem $\mu$ datur punctum radians $K$: si $KM$ est radius incidens ex $\mu$ in $\mu '$; per $K$ et per centrum $C$ superficiei $PAQ$ ducta recta $KO$, proponitur inveniendum punctum $D$, ubi radius refractus $MD$ secat $KO$. Ex $M$ duc perpendiculam $MB$ in $KO$, et ex $C$ perpendicula $CE,CR$ in $DM,KS$. Triangula rectangula et similia $KBM,KCR$, itemque $DBM,DCE$ praebent

${\frac {KC}{CR}}={\frac {KM}{BM}}$; ${\frac {DM}{BM}}={\frac {DC}{CE}}$,

unde, eliminata $BM$,

${\frac {DM}{DC}}={\frac {KM}{KC}}\cdot {\frac {CR}{CE}}$.

Pone $AK=\Delta ,AD=\Delta '$, semidiametrum superficiei sphaericae $=r$, angulum $ACM=\alpha$; habebis $KC=\Delta +r,KM={\sqrt {KC^{2}+MC^{2}-2KC\cdot MC\cos ACM}}={\sqrt {(\Delta +r)^{2}+r^{2}-(\Delta +r)r\cos \alpha }},CD=\Delta '-r,DM={\sqrt {(\Delta '-r)^{2}+r^{2}+2(\Delta '-r)r\cos \alpha }}$:

insuper

${\frac {CR}{CE}}={{\sin CMR} \over {\sin CME}}={{\sin i} \over {\sin h}}$

Erit igitur

${\frac {\sqrt {(\Delta '-r)^{2}+r^{2}+2(\Delta '-r)r\cos \alpha }}{\Delta '-r}}={\frac {\sqrt {(\Delta +r)^{2}+r^{2}-(\Delta +r)r\cos \alpha }}{\Delta +r}}\cdot n(o).$

Sume A= 0 in ( 0. ); prodibit quoad radium parallelum reclac KO ( A - r )2 + 72 + 2 ( A' -r )rcosa = n (02 ) . A

177. Fac ut radius $KM$ ita sit vicinus ad $KO$, ut absque sensibili errore sumi possit cose=1 in (0 ) ; obtinebis nr .1 An nrA ideoque A = ( 03 . Ar Ato A (n - 1 ) Ā

Haec facile nunc stabiliuntur

1.° Si medium le est magis refringens quam l , nimirum n > 1 , simulque A > 5, radiique praeterea incidentes sunt omnes admodum vicini ad $KO$, secabitur $KO$ in eodem puncto seu foco $D$ ab omnibus respondentibus radiis refractis.

2.° Quod si vel $n<1$; vel $n>1$, unaque A<radii refracti procedent divaricati; nec in aliquod punctum rectae $KO$ concurrent nisi eorum ad superiorem plagam prolongationes; focus videlicet erit (168. 3°) virtualis.

3.º Facto , vel con = 1 in ( 02) vel A = 00 in ( 03 ) , ut ex incidentibus radiis parallelis spectentur dumtaxat ii , quibus respondet angulus & valde ienuis , prodibit N -1 A ' ( 04) ; n-1 450 formula determinans principalem focum , realem scilicet vel virtualem , prout n> vel < 1 .

4.° Praeter K detur etiam punctum radians K ': per Klet C ducta K'O ' , quisque videt focum respondentem puncto K'fore alicubi in K'O ' v. gr. in D' ; positisque AK = O , A'D'=o , emersuram ' nro on - 1 ) -1 Hinc si A=d , erit quoque A=d' ; et consequenter trian gula CKK ', CDD' isoscelia et similia : unde r( 4tr) KK' : DD = A + r : 4 : ~ r = Atr: A (n - 1 1 : ; ideoque DD' = A (n - 1) KK' ; An - 1)-r formula praebens , in ea qua sumus hypothesi , ratio nem inter amplitudinem objecti KK' et amplitudinem re spondentis imaginis DD' radiis refractis depictae in medio de '.

5.° Sumpto r negative in (03) , prodibit \Delta nrA A(n - 1tr (05) : n—1 + ä si nempe sphaerica superficies discriminans duo media lli et l' obvertit cavitatem suam puncto radianti K ; focus51 licet erit realis vel virtualis, prout n + <vel > 1. Facto per A = 0 in ( 05 ) , emerget blem zisque nr A'S ( 06) ; N-1 formula determinans principalem focum : realem scilicet vel virtualem , prout n<vel>1 .

6.° Sume r= 0 in ( 03) ; exsistet trias A = -NA (07) : K : si nempe superficies dirimens duo media p et pui est pla na , focus erit semper virtualis i distabitque magis vel minus quam punctum radians a superficie dirimente prout n fuerit > vel < 1 .

7.° ln eruendis formulis ( 03) , ( 05) , ( 0g ) posui mus radios ex K in superficiem dirimentem duo media et pi' incidere divergentes : quod si incidant conver gentes ad punctum v . gr. K, rectae KO , sumenda erit A negative in formulis illis , nihilque aliud expriinet A nisi rectam AK,

178. Mediam u' ( Fig . 85 ) a medio dirimatur duabus sphaericis superficiebus PAQ , PvQ , quarum centra in C et C ': ducla per C et C recta KO; si K est punctum radians, quaeritur punctum H, ubi radius KM bis refractus, in M videlicet alque in M', secat ipsam KO. Ex M ' duc perpendiculum M'B' in KO , et ex C perpendicula C'E ' , C'E “ in DS', HS ": triangula rectangula et similia DE'C' , DB'M' , itemque HE" C ', HB'M' supa peditant jedio ? vit DC' DM' HM C'E' media

(; lx HC" B'M , CE "

B'M '52 et eliminata B'M ', HM НС ? DM' C'E' DC CE" Pone Av=€ , Hy=A" , semidiametrum novae superficiei sphaericae = r ', angulum « C'M=“, habebis HC=A" +r ' ,HM=

VCA* + C'M *2-2C'H.C'M'cosHCM

V (ATM )2 + ri -2(1" + r r'cosi ',DC = DA + C'v -Av = Atr DM = V Atri :)2 +r2—2(A' + r — r'cosa ; insoper C'E 1 C'E " n Erit igitur ( " + )2+ 2-2A" + " \" cosa A " tr Vatr — 5)2 + mi2—2A' + — Exécoscé n ( A + ' - E) (os) , in qua substituendus valor A' ex ( 0. ).53

179. Quoad radios ita vicinos ad KO , ut absque sensibili errore obtineat cosa=1 , formula ( 03) suppe ditat r ' ( A - 3) A'S ( 4'—E ) ( n-1 ) +nr' et substituto valore ' ex ( 03) , rr '(An + 5)-Aer '(n - 1) (n - 1) (Anr tor Anr')— A (n - 1,2 - nrr (og). Facto A = 0 in ( og) , istiusmodi radii exsistent paral leli rectae KO ; eritque A rnr- ( n - 1 ) ) ( 010) . n n - 1) (r + r ) (n - 1 )2 Sumptis in (09) r = 00 , r= 00, binae superficies dirimen les medium é a medio de fient planae ac parallelae ; eritque E A ' = - 1

n focus videlicet virtualis magis vel minus quam punctum radiaas distabit a superficie dirimente , prout n<vel >1 .

Caeterum quoad ejusmodi superficies $PAQ,PvQ$ (Fig.86) facile ostenditur radium semel iterumque refractum $M'H$ fore parallelum radio incidenti $KM$: duc enim per M et M' perpendicula gs', g'g '" ad PAQ , PvQ; anguli g'MM', g "M'M erunt aequales, ideoque angulus HM'g '" KMg; et consequenter KM , HM' paralleli.

180. Praeter $K$ detur etiam punctum radians $K'$ (Fig. 87): per $K'$ et per centrum $C$ superficiei $PAQ$ ducta $K'O'$, focus respondens radiorum refractioni apud $PAQ$ invenietur (177. 4°) alicubi in $K'O'$ v. gr. in $D'$; et positis hic quoque $A'K'=\delta ,A'D'=\delta '$ , erit

O ' nro 0(n-1) -- ( 9 ).

Per D ' et per centrum C superficiei PvQ ducatur D'O ": quoniam radii refracti apud PAQ incidunt in PvQ convergentes ad D' , iccirco (177.7°) focus respondens secundae refractioni apud PvQ reperietur alicubi in D'O " v.gr. in H'; et factis D’ú = z , Hu" = 0 , formula (05) suppeditabit 12 ( 9' ) ; 1 z (n - 1) + nr 1+ n quisque videt formulam (9' ) requirere ut anguli v'D'u ",v'Ca sint satis exigui.

181. Ex dictis (179:180) manifeste profluit lentium doctrina: et cum earum crassities relate ad semidiametros $r,r'$, distantiasque $\Delta ,\delta$ soleat esse parvitatis contemnendae; ideo quoad lentes traducetur (o₉) ad

$$\Delta ''={\frac {1}{(n-1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)-{\frac {1}{\Delta }}}}(p)$$

et (o₁₀) ad

$$\Delta ''={\frac {1}{(n-1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)}}(p')$$

habendae insuper erunt $D'A',D'v'$, et consequenter $D'A',D'v''$ , seu $\delta ',z$, tamquam aequales. Substituto igitur pro $z$ in (q') valore $\delta '$ ex (q), assequemur

$$\delta ''={\frac {1}{(n-1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)-{\frac {1}{\delta }}}}.(p'')$$

Recta $CC'$, transiens per centra $C$ et $C'$, dicitur axis lentis.

182. Haec facile nunc stabiliuntur.

1. ° Superficierum PAQ , PvQ prima fiet plana vel concava, prout assumitur r = 00 vel <0; secunda prout r= 0 vel <o: sic obtinentur formulae quoad varias lentium species.

2.° Radii incidentes in lentem plano convexam habent focum realem vel virtualem, prout distantia A puncti radiantis fuerit major vel minor quam semidiameter convexitatis divisa per $n-1$; sive autem superficies plana sive convexa lentis obvertatur puncto radianti, est perinde. Facto enim in ( p) r = -0 , erit A " > vel < 0, prout A > vel < ; et facto r ' = co , erit A ' > vel < 0 , = prout > vel < na 1

aequaliter convexa

3.° Si lens ponitur utrinque aequaliter convexa; sumpto ( 155 ) n=1 , 5 , distantia foci principalis aequabitur semidiametro convexitatis: erunt namque n r = r'; ideoque vertetur (p') in 13 156 1 A ' = ( + )

4. ° Quod si lens ponatur plano-convexa, distantia illa, sub eodem valore n=1,5, aequabitur convexitatis diametro sive superficies plana sive convexa obvertatur radiis: etenim facto r= 0 in (p ) , prodibit A"= 2r's et factor'= , exsurget A ' = 2r.

5.° Si in lente convexo-concava seu menisco semidiameter convexitatis minor fuerit quam semidiameter concavitatis , principalis focus exsistet realis. Obvertatur enim lentis convexitas puncto radianti : in (p ) exprimet r semidiametrum convexitatis, r concavitatis ; eritque 1 A = 0 : ( n -- 1) obvertatur lentis concavitas puncto radianti ; in ( p ) deno tabit r ' semidiametrum convexitatis , r concavitatis; eritque A = -» * _ *) -1 ) Propterea etc ...

concavo - concava

6. ° In lente concavo - concava focus est constanter virtualis: patet ex ( p) et (p '), factis r < 0 , ' <o.

7.º Sumptis r = co , r= 0 in ( p ), prodibit A ' = - A . si nempe vitrum tenuissimae crassitiei est utrinque pla num , cadet virtualis focus in ipsum punctum radians ; radiique post secundam refractionem adhuc ex eo puncto videbuntur dispergi , ex quo ante refractionem divergebant.

8.° Idipsum obtinebit in menisco , quotiescum que semidiameter convexitatis fuerit aequalis semidiametro concavitatis; tunc enim formula (p) adhuc praebebit ” = - A

9.º Animadversiones factae quoad (p ), fieri similiter possunt quoad (p " ) .

183. Lentes habent centrum opticum, seu punctum ejusmodi $e$ situm in axe, per quod si ducitur recta e'e" in viciniis A et v , inde habebuntur in superficie lentis puncta e', e " ; ubi si duo plana tangunt superficiem ipsam, erunt ad sensum parallela : inferimus ( 182.7. ), quoties cumque lumen transit per centrum opticum , radium se mel iterumque refractum spectari posse ; tamquam radii incidentis prolongationem ; imo totam luminis semitam ha beri posse pro una eademque recta per id centrum trans eunte, Quoniam igitur radius transiens per centrum opti cum debet aliis radiis sese conjungere in communi omnium foco H' ; patet rectam D'O ' sectum iri in H' recta K'S ( Fig. 88 ) ex puncto radiante K' ducta per e. Fac at ( 181 ) Sit A=0 erit A'=0 " : sunt autem ad sensum Ke= A , Ke= ò , He = A ' , He= 0 " ; iccirco triangula KeK' , HeH' erunt isoscelia , et similia. Quare ܪ 1 KK ' : HH — A : A "SA : An — 116 + ) 1 - : 1 : A(n -1) ( - + ) I unde 1 HH ' KK' ( "" ); 1 ( n = 1 ) ( + + - - 158 formula praebens rationem inter amplitudinem objecti KK' et amplitudinem respondentis imaginis HH' .

184. Expressa per $\Delta _{2}$, distantia inter focum principalem et lentem, adhibita nimirum $\Delta _{2}$ pro A "$\Delta ''$ in (p'), ut sit

$\Delta _{2}={\frac {1}{(n-1)\left({\frac {1}{r}}+{\frac {1}{r'}}\right)}}(p^{iv})$

poterit (p''') traduci ad

$HH'={\frac {1}{{\frac {\Delta }{\Delta _{2}}}-1}}KK'={\frac {\Delta _{2}}{\Delta _{2}-\Delta }}KK'(p^{v}).$

Eodem modo traducetur (p) ad

$$\Delta ''={\frac {1}{\left({\frac {1}{\Delta _{2}}}+{\frac {1}{\Delta }}\right)}}(p^{vi})$$

Lentes, quarum principalis focus est realis, colligunt refractionis ope solares radios in arcto spatio apud focum illum, sicque ignem valent excitare.

De oculo, et de quibusdam instrumentis opticis

185. Oculus constat membranis, et humoribus: membranarum extima, valdeque firma bmm (Fig. 89) in posteriore sui parte min est opaca, et dicitur sclerotica; in anteriore b pellucet instar cornu, et dicitur cornea: sequitur choroides, scleroticae contigua, et nigro tincta pigmento in parte posteriore oo; in anteriore cc appellatur uvea, vel etiam iris ob colorum varietatem, estque corneae substrata; uvea habet foramen rotundum k, quod vocatur pupilla, quodque ampliari el coarctari potest; per pupillam conceditur adilus lumini ad oculi interiora: choroidi in oculi fundo contigua est retina ee, seu membrana fibrillis nervi oplici f intexta. Humores concurrentes ad efformandum oculum sunt aqueus, crystallinus vitreus: occupat humor aqueus z anteriorem oculi cavitatem sub cornea, instar aquae fluidus ac limpidus: humor crystallinus x est massa consistens, pellucida, formae lenticularis; ita tamen, ut posterior facies majorem quam anterior habeat convexitalem: humor vitreus v posteriorem oculi cavitatem replet; vitro fuso similis recipit posteriorem humoris crystallini partem, et retinae ubique est contiguus. Radii in oculum ex puncto radiante illapsi refringuntur humoribus illis, ita ut ex divergentibus evadant convergentes, et in oculi fundo (158) apud retinam colligantur.

186. Haec notentur.

1.º Cornea cum sit flexilis satisque elastica, poterit reddi magis minusve convexa; ipse quoque humor crystallinus cuidam membranae tamquam capsulae inclusus cum sit, reddi poterit magis minusve convexus: totus denique oculus videtur diduci aliquantulum contrahive posse, sicque ejus fundus magis minusve a cornea removeri. Istis adminiculis efficit anima ut divergentes radii in retina uniantur, sive a remotiore, sive a viciniore puncto radiante adveniant; modo tamen radians punctum non sit aut justo remotius, aut justo vicinius oculo; atque hac ratione explicatur cur objecta in diversis distantiis distincte percipiantur.

2.º Dilatalur pupilla in minore luce, ut interiorem oculi concamerationem ingrediantur radii ad visionem distinctam necessarii; contrahitur in majore luce, ut arceantur superflui. Facile est observare, ait Boscovichius in notis ad librum tertium de solis ac lunae defectibus, in avibus nocturnis imprimis quemadmodum pupillam immani hiatu aperiant per noctem, quam per diem contrahunt in tenuissimam circellum: idem in felibus observare licet, quae per diem habent oblongam tenuissimam rimulam in pupilla, et per noctem aperiunt immanem circulum: quam ob causam in ipsis nocturnis tenebris satis bene vident. Nam semper aliquid luminis, quod se insinuat per rimas et intimam etiam murorum substantiam post reflexiones plurimas, penetrat ab aere externo qui etiam per noctem illustratur a fixis; accedit, quod plurima corpora tenue lumen emittant, calore naturali agitata: sed ejus luminis nos multo minus colligimus quam necessarium sit ad satis impellendas nostrorum oculorum fibras.

3.° In utriusque oculi fundo imagines puncti radiantis cadunt in partes similes; sicque fit ut anima binas sensationes inde ortas pro una eademque habeat, punctumque radians non videat duplicatum: quod si cadant imagines in partes discrepantes (evenit detorquentibus digitis alterutrum oculum, laborantibus vehementi capitis dolore, ebriis, etc.) punctum apparebit duplicatum.

4.° Sunt qui distincte vident minuta objecta in majoribus distantiis, in minoribus vero perquam confuse; dicuntur presbytae. Istud oculorum vitium oritur vel ex defectu sufficientis convexitatis in humoribus, vel ex eo quod humores de sua refringendi vi progressu temporis multum remiserint: sic radii ex minoribus distantiis propagati nimis divergent, retinamque attingent antequam in conorum (158) apices compingantur; unde lentibus convexis presbytae juvantur. Exhibeat Ab distantiam , cui respondet distincta presbytae visio per radios Aa , Aa' illabentes in oculum; si in distantia A't ex radiis A'd, A'd obtinenda est visio distincta ope lentis PQ, debebit PQ ita refringere radios A'd, A'd', ui puncta d , d' cadant in a,a'; eritque A virtualis focus quoad A '. Factis itaque Ab =a”, A'b = A , et sumpta A negative in (p " , 184 ) , prodibit Az = AA" AA; formula praebens distantiam principalis realisque foci in lente adhibenda, ut quaestita obtineatur visio. Pone v. gr. A"=30 poll. , A=10; habebis 10.30 A = 30-10 15 poll.

5.° Sunt qui minuta objecta nequeunt discerne re nisi in distantiis admodum parvis; dicuntur myopes. Nascitur istud oculorum vitium vel ex nimia humorum convexitate, vel ex nimia, qua pollent bumores, vi refringendi: sic radii ex majoribus distantiis advenientes non satis divergent, atque in conorum apices (158) compingentur antequam ad retinam perveniant; unde myopes concavis juvantur lentibus. Distincta myopis visio per radios A'd, A'd respondeat distantiae A'b; si in distantia Ab ex radiis Aa, Aa' proponitur obtinenda visio distincta ope lentis concavae, oportebit adhibere lentem, quae ita refringat radios Aa, Aa' , ut puncta a , a' cadant in d , d ' ; eritque A' virtualis focus quoad A. Positis igitur Ab=A, A'b = 4 ” , sumptaque 4" negative in (p " . 184) , exsurget \Delta \Delta ” A ' - A formula suppeditans principalis virtualisque foci distantiam in lente , ut quaesita obtineatur visio. Fac v. gr.62 A=10 poll . , ^"=5 ; emerget 5. 10 A= 5. -10 10 .

6.° Si quis oculos ita inaequales habeat, ut objecti imago in oculorum altero distincte pingatur, in altero confuse; distincta objecti visio ex una parte turbabitur per confusam ex alia: unusquisque vero studet res distincte percipere ; quam ob causam detorquebitur unus oculus ab objecio ad latus , ul solus ille intendatur , qui distin cte videt : sensim contrahitur consuetudo detorquendi sic unum oculum ; unde strabonum vitium .

187. Consideremus nunc machinas opticas :

ac 1º. microscopium, cujus ope objecta parva distincte videri possunt. Aliud est simplex , aliud compositum. Microsco pium simplex consistit in unica lente convexa PQ ( Fig. 90) ; collocatur objectum KK' inter lentem et ejus principalem focum , oculus vero ex parte opposita quam proxime ipsam lentem apud v. Distantia KA = A ) variat pro diversa ocu lorum qualitate : sit Hv ( = A " ) distantia respondens vi sioni distinctae quoad oculum v ; certe oculus v distin cte videbit ope lentis PQ imaginem puncti radiantis K , si K habet virtualem focum in H ; tunc enim radii ex K post duplicem refractionem illabentur in oculum v pe rinde ac si directe provenirent ex H. Sumpla igitur A " ne gative in ( p " . 184 ) , prodibit A \Delta " \Delta , \” + , (g) ; formula praebens distantiam A , in qua collocandum est objectum ut distincte videatur. Quod spectat ad virtualem63 imaginem HH' objecti KK' ; substituto valore A in (pp.184), emerget , praeciso signo A + A2 KK' (g) : HH' = A2 eo videlicet major erit imago HH' prae objecto suo KK, quo A " major exsistet prae A2. Pone v. gr. Az = 1 poll . et 4 " vel=10 , vel=5 , vel=60: erunt in primo casu 10 HH'11KK ' : 11 in secundo 5 A= 6 > HH ' = 6KK ' ; in tertio 60 A= HH = 61KK '. 61 Exhibet figura 91.4 microscopium compositum duabus len tibus PQ , P'Q' : objectum KĽK " ita lenti P'Q admo vetur , ut distantia CK"( = \beta ) sit aliquanto major quam distantia \betao foci principalis : sic punctum radians K ” ha bebit focum realem v. gr. in K ; et denotante \betar distan tiam CK , erit ( 184. p ) B " = BB2 B - B . ( s" ).64 Ad haec : ex ( p' . 184 ) obtinebitur KK' = B2 5-92 K “ K " ( 8 ). Formulae (g) et (g" ) praebent distantiam , quae debet in tercedere inter PQ et P'Q' , ut oculus v distincte videat virtualem imaginem HH' realis imaginis KK' ; nimirum AA, AC = AK + C'K = A + B== BB2 + A" +42 B -B, (8 " ) : substituto insuper valore KK' ex (8 ") in (g '), prodibit 4+2 HH' : KİK " (8° ) ; ドーラ』 formula suppeditans rationem inter amplitudinem objecti K'K' " ' el amplitudinem imaginis HH' . Positis v. gr. 5 4 , - 20 poll., A " = 10 , But 27 51 27 270 assequemur 20 B" = 9.- poll. , KK'= 50K"K™",A 35 AC'=10 261 HH = 725K " K " . Leos P'Q' , quae respicit objectum , vocatur objectiva ; PQ oculo vicinior appellatur ocularis. Superfluum est dicere quod istiusmodi microscopio composito videntur objecta65 situ inverso , microscopio autem simplici videntur situ eorum proprio.

2.• Telescopium astronomicum observandis astris inserviens : constat duabus lentibus , oculari PQ ( Fig. 92 ) et objectiva P'Q' . Hic quoque vigent superiores formulae (8 ) , ( g ') , (g " ) , ( g ") ; nisi quod ibi erat B2 < 42 , in praesenti re est Ba > 42; ob praegrandem insuper astri K " K " distantiam KC ( =B) , contemni potest B, in denominatore \beta - : igitur 8" ( = CK)= , KK'= KK” . AC (89 ) \Delta" \Delta, A " + s , + B. , HH 1 " +1, B2 = K " K " . \beta A2 Plerumque A, est parvitatis contemnendae prae A "; ideo que penultima et ultima (8 " ) traducuntur ad AC' = A2 + B2 , HH'= • F K ” K !" ( g " ). 42 Denotatis per w , w' angulis opticis ( 158. 4.° ) K " vK " , H H', assumpta vK " = - \beta , habitisque triangulis vK " K "", vHH pro rectangulis in K" et H, prodibunt K ” K "" = ştangw , HH '= A " tang ' ; iccirco secunda ( 8 " ) vertelur in tangw's B2 langw (g " " " ) . 566 Formula ( " " ) suppeditat relationem inter apparen tes objecti magnitudines ope telescopii et oculo libero. Por ro apparens objecti magnitudo ope telescopii obscuratur pro ratione augmenti sui : etenim aucta magnitudine illa, augetur quoque respondens objecti pictura in oculi fundo ; idem vero lumen eo magis dispergitur , qno majorem ef ficit picturam. Claritas picturae censetur esse directe ut apertura a lentis objectivae , ac reciproce ut ipsius pictu rae superficies , seu ut Quisque intelligit telescopio astronomico videri objecta situ inverso ,

3. ° Telescopium terrestre : habet objectivam et plures oculares, ut scilicet naturali situi restituatur inver sa obiectorum imago. Exhibeat K K " ( Fig. 93 ) obje ctum ; ponantur KA" = \beta , K" A" =* , K " A " = y ; K'A' = 2 ; sitque Hv = A ") distantia respondens visioni distinctae quoad oculum v : erunt ( 184. p ) K ™ KV B2 X2 KVK" , KiK = KK " , B - B XXa K " K " 12 K" KY, KK' = 22 K " K "" ; yoyz 2-22 nec non ( 19. g' ) . HH = 45 + 4, KK' .67 Hinc 1 BA X2 Za HH'S A ' +AK""" K"?(8" ); ya I - Ya . X - X , -Za A, distantia KA ( =A) habetur ex (g. 19. ) . Formula (p " . 184 ) praebet B. x " X2 B - BA B - B, У. 2 X X , Ý ya Z2 ; Z 22 omissa igitur A, in 1"+12 , traducetur (8 " ) ad x " HH_B ". 2.3" A" K " K " ( 8+). \beta X r 2 42 Pone x = xq ; existetx" seu v " K " = 00 : radii nimirum egredientur paralleli ex P " Q " ; paralleli incident in P " Q " ; nullam pingent imaginem inter P " Q""' ac P'Q "; pingent, egressi ex lente P'Q" , apud ejus principalem focum , et quidem situ objecti proprio ; eritque y = 00 , et con sequenter y" = yz. Quare , si telescopium terrestre constat lente objectiva P " Q " ( Fig. 94) ac ternis ocularibus P '"' Q " , P " Q“, P'Q aequalibus , ut sit x = y = 42, in ea qua su mus hypothesi de x = x , erit HH ' = 18 J A ' 2 KYKNE X2 212 210 Bo A " A, . K " " K " (8 " ) ;68 ubi A " nihil est aliud nisi v'H . In casu objecti admo dum remoti vertitur ( g " ) in HH' 1/3 A K " K " ( " ) ; BA , uti vidimus quoad telescopium astronomicum ( 20. 8 " '). 4.• Telescopium Galileanun : constat objectiva P'Q ( Fig. 95 ) , et unica oculari PQ concavo - concava ; satisque erit sumere A , negative in ( g " . 29. ) , ut obti neantur formulae respondentes huic telescopio , quando objectum K " K " admodum distat : sic permanebunt prima et secunda ; reliqnae fient AC' = B - 42 ; HH' == - - B K K“ A " B2 K'K ” (g " ! ' ) , 42 si 4, est parvitatis contemnendae prae A " ; secus , AC = B ATA , A ' - A , HH: A1 - A , B2K “ K " (g """) B Radii itaque ab objectiva P'Q refracti pingunt realem imaginem KK' ultra ocularem PQ : videturque objectum K “ K " situ ejus proprio ubi est virtualis imago HH' . Cae terum telescopii galileani campus ( objecti portio tele scopio conspicienda ) sat arctus existit : in egressu enim ex oculari PQ radii habentes focum in H ' eo magis di vergunta radiis habentibus focum in H , quo major est HH' ; et nisi HH' sit sufficienter parva , non poterit pupilla , ob exiguitatem suam, simul radios illos excipere. Quoad objecta non niultum dissita praesto sunt for mulac69 admo (S ™ ) , ( '" ) , (g ") , ( g ") , Sjectin sumpta 4, negative.

Telescopium newtonianum

Telescopium newtonianum

5. ° Telescopium newtonianum : speculum con cavum BAC ( Fig. 96 ) reflectit radios advenientes ex objecto K'R " ; radii sic reflexi formarent quidem realem ima ginem KK " ; sed quia intercipiuntur speculo plano B'AC , quod collocatur inter A et K' ' ' sub angulo semirecto cum axe AA' speculi BAC , ideo ( 173 : 3. ° ) imago illa tran sferetur in KK '. Ultra KK ' in distantia A ( 1.0 g) ponitur lens PQ , cujus ope distinctam objecti imaginem in HH' videbit oculus v. Sit AK ' = z , et per R designetur semi diameter speculi BAC: erit ( 173. 4. ° 167 0') босата tobo quand pria R KKKK" K'K " ; 2z=R IV ) , est autem ( 1. ° 8' ) HH-4°44, KK '. upp Igitur HH A" +42 42 reale jenter ili R K'K " ( g " ) ; 22-R 18 Facnt 42 et R sint parvitatis contemnendae altera quoad A " , altera quoad z ; traducetur (s" ) ad gis R HH ': A" A, K'K " (S " ) . DALEN 22 iper far lam si angulus K'AK " .denotetur per w, et Hvil' per w' ; habilis angulis Ak'K " , vHH' pro rectis, vertelur ( tv ) in70 R tangw'= 24, tangs (& " ).

6.• Telescopium Gregorianum: speculum conca vum BC ( Fig. 97 ) perforatum in A suppeditat imagi nem KĽK " objecti K " K " ; speculum concavum B'C' , cujus centrum D ultra K " , praebet imaginem KK'obje cti K"K " ; imago demum KK' videtur ab oculo v ope lentis PQ. Expressis itaque distantiis AK " , AʼK ” per z, s' , et semidiametris speculorum BC , B'C' per R , R ' , erunt ( 167. o' ) . KK' ' ' R K'K ' , KK ' 27-R R KK'" ; 22 - R ' item ( 1. ° 6' ) 1 " +12 KK ' : HH propterea HH ' = AT12 A2 R ' 2z - R R K'K ' (g " ). 22-R

Microscopium solare

7. • Microscopium solare : radii solares in obscu rum conclave immissi clara luce perfundunt exiguum pel. lucidumque objectum K'K " ( Fig. 91 ) , cuius distantia K " C ( = B) a lente P'Q' est aliquantulo maior quam dis . tantia \beta2 foci principalis ; ex K " K " illabuntur radii in lentem ipsam P'Q' , et post duplicem refractionem depin gunt in opposito pariete , vel in charta alba realem am plissimamque imaginem KK' obiecti K " K " . Sint v. gr.21 B=6 lin . , B=6,001 ; formula ( "". 1.0 ) dabit 00C 6 KK'S 0,001 mark K'K " -6000K " K " . BC obie Notelur illud ; crescente \beta ultra Ba , minuitur C'K : pa tet ( 1.0 8 ) es eru: CK= B") \beta2 B2 \beta 1 minuitur quoque KK '; patet exex (5 ". 1.º ) . Imago itaque KK poterit distincte sic pingi in distantia CK , ut prius in star puncti , sensimque postmodum aucta appareat specta toribus in conclavi ita obscurato , ut non aliud lumen ibi percipiatur nisi lumen proveniens ex KK' ; objectaque in terjacentia , unde judicium de absolutis distantiis forma ri potest, minime discernantur. Tunc fiet ut videatur imago illa de longinquo adventare, et in spectatores ipsos etiam irruere: haec ad Phantasmagoriam pertinent.

188. Ex (p " ) , (o ) prodeunt diversae A” , HH' , prout diversorum colorum radiis formulae illae applicantur; si quidem (159.7°) index n refractionis crescit, et consequenter numericus valor A, ex (p") decrescit a rubeo colore ad violaceum usque. In lente v. gr. convexa fac

1.° ut imago HH' sit realis ac proinde A " > 0: erit 4 > A2; decrescet A ", itemque HH' a rubeo colore ad violaceum, habebantur nempe tot reales imagines quot sunt colores primigenii; imago rubea magis disiabit a lente, magisque existet ampla quam imago aurantia; haec magis distabit a lente magisque existet ampla quam flava; etc. . . .

Fac 2.º ut imago HH' sit virtualis, ac proinde A " < o: erit ob dep72 A < , i crescet numericus valora", itemque HIl' a rabeo colore ad violaceum; tot scilicet obtinebuntur virtuales imagines, quot sunt colores primitivi; imago rubea minus distabit a lente, minusque exsistet ampla quam imago aurantia; haec minus a lente distabit, minusque exsistet ampla quam flava; etc. ... Ex his intelligitur cur objecti imago in utroque casu sese oculo exhibeat videndam fimbriis coloratis ornatam versus extremitates suas: in primo casu dominatur color rubeus, in secundo violaceus. Huc spectat rafrangibilitatis aberratio, quam distinctae imaginum efformationi haud parum obesse cum animadvertisset Newtonus, lentibus substituit specula (187.5.°): constat enim in reflexione omnia radiorum genera in eodem angulo incidentiae reflecti simul ad eumdem angulum sine ulla haeterogeneorum separatione.

189. Distinctae imaginum efformationi aliquantum officit etiam figura sphaerica sive lentium, sive speculorum: figura siquidem sphaerica sive refringat, sive reflectat, haud colligit accurate in unico puncto radios omnes, ex uno eodemque puncto radiante advenientes ( 166. o: 176.0 ,:178.08). Huc spectat aberratio sphaericitatis.

Determinatur aberratio sphaericitatis in speculis, et lentibus: aliquid quoque annotatur circa lineas causticas.

190. Exbibeat x perexiguum perpendiculum, quod ex punnto M (Fig. 74) specali PQ demittitur in axem AB; pars axeos intercepla perpendiculo x et speculo PQ erit ( 166) quam proxime ; ideoque cosa= 2r x2 1 X2 Hinc. 272 Vrata- r) + 2r(4 — r)cos a =73 x2 V 12–4–0) - EA - -6-2 2 Vpatin - A')2—2r(r — A')cosa = V 32=(- 2) = 8+ (--) i et consequenter formula ( o) vertetur in x2 A r - A -6-3 2 ( -2) ( a) . x2 A 2 Evanescente x ( 166 o ), ra A' A ( a ); et expresso per p valore A'ex ( a') , 1 = 1 1 . th , р r facio ( a ) 1 1 -10 h 1 1 Valorem vero proximum ex prima (a ) substitue loco р 1 À in exiguo termino74 ( -3) ; simulque adverte quod secunda (a " ) praebet 4 ~ r = hra : mutabitur (a) in 22 -A' K'th 2 hrA x2 A-h 2 ex qua A'S1- G +ha ) ; = ['- ( + )3 ] [ th h x2 r4 2 ++h- T - [:-(4 + )# ][ h x2 2 . ra 1 1 1 + th -th .] ( + h ( 134 * + ( + ) p=p= "(++ ++*); h2\ x2 A seu75 A' =p- p(-2D) )' (a"'): aberratio videlicet sphaericitatis exprimitur per p( 5-2)' (a' ") .

191. Denotante x perexiguum perpendiculum ( 776) MB (Fig. 84) , erit quam proxime x? 23 AB= 2r ac proinde cosa = 1 ; 2p2 iccirco VA — )2 + r2 + 2r(A '- r )cosa = V 19=18ms+ ( -) , Viatr )2tp2—2r(A + r)cosa = V 12714 +7 = 1+ ( 6 +5) . i et consequenter vertetur ( 0 ) in A+ ( -1); A + ( + -) ? - - (6. A at76 Evanescente x ( 177. 03 ). A' A - 7 - na A + ( 6 ') ; et exhibito per q valore A'ex ( 6' ) , 1 k - ( + ----- 9 rn facto "(6) 1 + 1 = k . 1 Valorem vero proximum ex prima (6 " ) substitue pro 9 1 A in exiguo termino ( - )

2 quoniam secanda (6" ) dat Atr = kra , ideo mutabilor ( 6 ) in k.x2 2n kwa A + 2 Ar kra ex qua77 X2 1+ 59( ) 2 1 A'S k k k + A X2 2 . r k2 k? k3 + n4 4) x2 ( * ) seu n-1 A = 9 n3 ( á +++++ 100 92 ( 6 " ): aberratio videlicet sphaericitatis exhibetur per n - 1 n3 9² ( + ) ( + -) (61 .)

192. Designante x' ( 178) perpendiculum M' B ' ( Fig. 85 ), erit quam proxime B've x'2 x'2 2 ,? , ideoque cosc = 14 2 r' ? Hinc V 14 trja trz_2r'(A" + r )cosa x'2 V 1" +18" +" ) * = "+6+ + G ) ** ,78 V ( + 1-827 p'a - 2 r'[ + “'- s) cos aí = V (4-5) + (4 + x -6) * = 8-5+ 6 + - ) ; et aequatio ( 08 ) vertetur in 4 +6+ ) s' - s + ( + - 1 x'a A'- € ) 2 E ) (c ) . A " + r n (A' + Evanescentibus x , = ( 181.p ) , n A " A' Ātr ( c'); A to ubi A nibil est aliud nisi q ex ( 67.191 ): denotet q' valo rem A" ex ( c' ) ; erit - ( + -)- * ---* facto (c") 1 + ==* k ' . 9 1 in 1 Valor vero proximus ex ( c" ) substituatur loco 9 AM exiguo termino G + ) 279 primum membrum aequationis ( c) fiet x'a A " + nk2.2 A " tri quod spectat ad secundum, pone ( 191. 6 " ) " ' G ++) (** + -) ; = 0. } (6 ") ul babealur ( 191 6 ' ' ) A = 9oqn; erunt 1 A - s= 9–929–6, A' 6 + 4 ) =( + 1) = Sk' x's 2 A + K - & = 9 + 1 - q8 0 -6 = q1l' 900 - € ; propterea verletar illad in 9-908-6 + kket n (q k'n '- 920-8 ) et ipsa ( c ) inso A + nk at 2 9 -929-8 + k 2 n (qrk'- 920 - € ) A + r unde 2 A = n- 1 k x'a E + r'a ra 2 E 2 nk - 1-96-7- ( ****) nk- = - 60 =199 + (nox-" Z_)e + (**" ) (nX- ) (n**** *** - **** ) (n- >) g- na Á - 7) • 2 – (wp - ** - ***) *-( - )et 1. / 2 lamvero secunda ( c " ) , prima ( 6 " ) , itemque prima ( c" ' ' ) suppeditant (ng ki- me-)) = [1964+ -) -- ?] =81 (149– ) = " [ - + * ) ( + -) ] [- + -) - ( + ) - ) . ( [ * ( + ) ] :. n => 4n + 4 , 3n + 2 = no nº nk's nok's ad' 9 2 2 En r'a q² Assumpto igitur MB = M'B' seu x = x', quod licet ob tan lam propinquitatem punctorum M, M' ; facto insuper exsistet n3 2n2ton n+2 3n2tn roa + pla AW2 + 1 ng's Aro A20 2 aberratio videlicet sphaericitatis exprimitur per 2natn+ n +2_3n2 n + p27 Awa 41 3n + x2 Aro 426 2 quoad terminum + - (" " ) . 1 "= q- "g'o + E n-1 g' ? + no's [= - ( ++) ]': (e "), is praebet errorem ex neglecta lentis crassitie. 682

193. Post lentem PQ (Fig. 98) in distantia perquam exigua vA' = B) collocetur alia lens PQ ex alia materia; qui radius egressus ex PQ tendit in H, is iterum refractus apud superficiem P'A'Q' tendet in H ’, iterumque refractus apud P'v'Q' sese tandem diriget ad H " . lam si denotet x perpendicula M " B" , M " B ad sensum aequa lia prioribus MB , M'B' , et quod in leute PQ est n , E , r , m', A , A', A " , o , 9, 9 , in P'Q' sit n' , é, R , R', D , D ', D " T' , Q, Q', erunt ( 191. 6 " : 192. c' ) A'H' seu D ' = Q n' -1 Q? x2 2 n'3 n v'HseuD " = Q Q' ? 2n'2tr n + 2 @'3 Ꭱ02 + R2 -66 +967 ++) ima -rQ? [ 6 + 1 ) ] 3n'a + n ' , 4n' + 4 + ’ + 4__3n' + 2 )32 Da'2 DRO DP0 / 2 1 é. n ' | D Atqui ( 177. 7.0 ) D = -A'H = - ((VHVH -- VAVA ')) ==- ( 4" -3) = - [ 6 - c " ) —— (c " ) — B ] .83 quam ( c ) ( c ) +3 ga eria ; 7 re mque lam insuper Lequa 1 + (c ) , R R' et ( 191 3' : 192. c " ) ( + ) ( ) + , (c ) + ( c ) +3 ng2 1 (c ) + ( c )+3 Q= R R 9 -2. - ng ( -1( -4)) = ( + ) = ++ n - 1 cc( )+3 g2 1 ( c ) + c ) +3 Q = n 1 2 n - 1 + + ) 9 9' Faclis igitur 1 - ( - ) + - (c ), R84 prodibunt n-1 D ' = fe - R'3 ( - ) 6 -* ++) - plz ((cc"') + (c" ) + \beta n'q'2 n ' -1 D ' = fe' 2n2 tn + *+2+ 3n'tn' Contoh R2 742 Rau opet +37:+2)7 –-* *[66-> ) ] (c" ) tic" ) + B ( c ).

194. Fiat 2 (c ) n-1 seu 2natn n -t2 + roa p20 3n2tn A02 + 92x2 4n + 4 _3n + 2 Aros 3nta?) 26 2 n's n'3 , 21:24r' + n +2 + 3ni?tn _4nt47 Ro'z R ? 92 9'R 3n +2 ) =2026 : q' ದ' quisque videt errorem sphaericitatis quoad unicam lentem PQ exhiberi posse per85 q '?w.x ": quoad duas conjunctas PQ , P'Q' per M' (w tw') x² . Ad haec : error ex neglectis conjunctarum lentium PQ, P'Q' crassitiebus , erit 1 Man [ -+G + )]'++ yan [ :( -;)]*x ; error autem respondens intervallo vA , he's \beta 9' ? Notetur illud : error proveniens a crassitie leolium non turbat saltem ad sensum distinctionem imaginis ; tantum modo admovet iinaginem lenti paulo plus quam requirat vel q' in (c ) , vel ji in ( c ): iccirco is omittit solet. Id ipsum dicendum de errore proveniente ab intervallo lentium.

195. Exhibeat K ( Fig . 99) focum determinatum sive ex ( a ') sive ex (c'); radii transeuntes per varia puncta se miaperturae MB ( = x) , et secantes axem BK in variis pun• cuis ab E usque ad K spectari possunt tanquam totidem tangentes cujusdam curvae CAK: istiusmodi curva dicitur caustica. Quoad specula, facto -6-3) = x. erit ( 190. a " )86 EK = p*x ** ; quoad lentes ( 194 ) EK = q2wxº. Sit curvae jam in ordine ad lentes definienda natura CAK: designantibus z et y coordinatas KD et DC conta ctus C, erit sublangens ( 27. 17º. ) ydz DE = dy Sed BM: BE = CD : DE, quae ob BE quamproxime BK == qq ' vertitur in x: ( =y: DE; igitur 9'y DE = ( a ) , et consequenter qya q'dy 1 - ydz dy > dz ( a' ) . 1 X 1 Est autem DK = DE + EK, seu'z = d'y ta'waai et quia, variata x , neque a variat neque a , ideo q ' dy dz o'ydx x + 29'3 wx dx : ergo87 q' dy q'dy q'ydx - +29'? wx dx; 2 x X2 unde y = 29'wx3 ( Cs ) . Ex (c ) habemus dy = 69'wx ?dx; quo valore dy substi tuto in ( a'), exsurget dz = 6q'2 wxdx : propterea 3q' wx ( Ca ) ; absque constante, quia z et x simul evanescunt , abeunti bus punctis Met E simul in B et K. Binae ( C3 ) , ( 62 ) suppeditant js = 40202x06, s . — 2794693x6 ; ex quibus eliminata x6, emerget ya = 423 279'46 ) ( c3) ; aequatio ad causticam CAK

196. Determinanda nunc sit recta AH, seu semidiame ter circelli minimi omnium illorum , qui excipiunt omnes radios transeuntes per omnia puncta aperturae MM' . In ( a) substitue valorem y ex (C1 ); erit DE =29'6x ?: habes AH AH X EH CD DE -

ergº EH 2g'w.x3 2q2w.x2 -88 Ex (cz) infertur AH CD2 - HK3 EH DK3 ; igitur DE2 HK3

DK3 et facto HK = i.DK , EH2 13. DEP Est EH = EK - HK = qw.ra- i. DK = q'2wx ? — 3iq'?Wx2 =q ' * Wx 1-3i); proinde 3 9462x4(1 - 31) 2 49'4w224 13, ex qua . e + 2 quarum ultima Istius aequationis radices sunt 1,1 , ;

tantummodo pertinet ad problema solvendum: erit igitur i=1 , et consequenter 1 EH = 1qawwa,Au 52'033 (C4).

197. Adhibito (194) ré proq' , etw + w prow in (ca) , (Ca) , (c3), (C4) , assequemur quoad duas lentes 423 y = 2d (wt ).c?,z = 342'?(W + W )xayº = 274'4wt ) (05) AH = " @ + W ') x3.89 Quod si in iis formulis adhibeatur p pro q ', et x prow , obtinebimus quod specula y = 2pXX3, = 3p2 Xx" , y : = 423 27px AH = 11pX=”06 ) . Semidiameter AH sie in lente, sive in speculo , voca tur circularis aberratio sphaericitatis.

198. Posita igitur eadem apertura in lente et in spe culo, ratio inter circularem aberrationem ex sphaerica lentis figura et circularem aberrationem ex sphaerica speculi figura erit q'w PX Fac v. gr. ut sint A = co, = r ; et sume( 155) n =1,5: habebis 5 tle ll p= 9 3,3 Ex= ; ideoque, si semidiameter lentis aequatur semidiametro spe 10 culi , ratio illa in casu traducetur ad 3

Determinatur aberratio refrangibilitatis; comparaturque cum aberratione sphaericitatis.

199. Exhibeat y differentiam inter binos réfractionis indices pertinentes ad bina radiorum genera, quorum al terum est magis, alterum minus refrangibile; fvero aber rationem refrangibilitatis. Liquet aberrationem istam ni.90 bil fore aliud nisi differentiam inter secunda membra ( c '. 192) respondentia indicibus illis ; et quoniam vox , & sunt satis exiguae, ut in sumenda differentia inter ea membra contemni possint secundus ac tertius terminus, iccirco ( 192. c ".c " ) 1 9- f -( ** ? - ) -6-3)==; sen 14-= ; undefinde rol. ー トリ 9

200. Radii magis refrangibiles ME, M'E (Fig. 100) colligantur in E, et minus refrangibiles MK, MK in K, ut sit EK = f; quaeritur recta AH , seu semidiameter circelli minimi eorum omnium , qui excipiunt omnes re fractos radios transeuntes per aperturam MM' . Habemus MM : AA' = BK: HK , MM : AA' =BE : HE ; igitur BM : AH = BK + BE : HK + HE, seu , ob BK + BE quamproxime - 27, x : AH 29 ' : f; unde VX AH fx 24 ( e) . 2 +v)91. Pac ut radii adveniant paralleli: habebis 1

• = 0 , ideoque

n 5-6 9 et consequenter ( e ) va ' f = nt 1-1 AH = VX 2 (n + 1-1)

201. Subjiciuntur varii refractionis indices quoad ra dios rubeos, medios et violaceos. Ab aere in vitrum rub . 1 , 54 ; med. 1 , 55 ; viol . 1 , 56. Ab aere in flint 1 , 565 ; 1, 580 ; 1 , 595 . Ab aere in aquam 1 , 33333 ; 1 , 33951 ; 1 , 34568. A vitro in flint 1 , 01623 ; 1,01935; 1 , 02244. Ab aqua in vitrum92 1 , 1575; 1 , 1600; 1 , 1625. Differentia inter binos refractionis indices pertinentes ad bi na radiorum genera, alterum magis, alterum minus refran gibile, vocatur dispersio.

202. Ratio inter circularem refrangibilitatis aberra tionem et circularem sphaericitatis aberrationem in lente manifeste exhibetur ( 200. é : 196. C ) per 2v ( em ). (+") g'aza Quod si radii adveniant paralleli, traduceur (e ' ' ) ad ( 200. e " ) 2v ( n + 1-1) gwxa (e ") . Ut aliquam praebeamus applicationem formulae ( e " ), sit lens vitrea plano - convexa,cujus semidiameter r' =50 ped., semiapertura x = ő ped.; et plana ipsius facies obvertatur 6 ad radios parallelos axi: erunt 1 1 -les 1 50 0, 02, n = 1 , 54, r 1 0,54 / 1 , 5413 0,0108, w = a' & 2 %1 ,;5454 ( **) 0, 000005122656 ,93 v = 0,02, nty - 1 = 0,56 . Hinc ( e" ) = 2.0, 02. 0, 0108. 36 0,000005122656. 0 , 56 =5421 , Sumpto indice radiorum mediorum , videlicet n = 1 , 55 , et omisso vio denominatore, prodibit le" ) = 5449; ut alia methodo obtinuit Newtonus adhibendo indicem illum.

203. Invenienda nunc sit aberratio refrangibilitatis f in duabus lentibus conjunctis (193): denotante, ut supra (199) , v differentiam inter binos refractionis indices pertinentes ad bina radiorum genera quoad primam lentem, designet praeterea v' differentiam inter binos refractionis indices spectantes ipsa radiorum genera quoad secundam lentem; aberratio f nibil erit aliud nisi differentia inter secunda membra ( c ". 193 ) respondentia indicibus illis; et quia v , v ' , x , & , & , \beta sunt satis parvae, ut in sumenda differentia inter ea membra considerari possit primus tantummodo terminus, amissis caeteris, ideo ( 193. c " ) 1 1 In - + - 1 (** ) néto-! - • ) Hi- f In- 1 (* ) + seu94 ( + ) f uz - fle unde f ( e ). 1 Quod spectat ( 200) ad circularem refrangibilitatis aberra tionem AH, in casu duarum lentium habemus EK = f , et quam proxime BK + BE = 2 ; ideo AH fx 2p = ( + - ) 2 26 ++) (e" ). Si radii adveniunt paralleli, erit 1 . n -1 n - 1 Me '. iccirco ( e " ) (+ *) X f= é , AH ny' - 1 ( + ) (***** 11 n -t1-1 nt-1-1 2 n ' » '- 1 á

204. Simili modo invenitur aberratio refrangibilitatis in tribus, quatuor etc... lentibus. Quoad tres v. gr. facile in telligimus ( 194) fore 1 n'- ) n- 1 FI Ilie cla -Å ( e " ): u95 hinc 1 n ' + ' n -ty - 1 el- pr lea u [**** o' - ] [ +" + - ] n ' - 1 n- 1 ale w' ideoque ale te " f ( e ' ) AH= (+*+ **). 265+ 2/4 " +

De correctione aberrationum refrangibilitatis et sphaericitatis in lentibus.

205. Aberratio refrangibilitatis nequit corrigi per u nicam lentem; non enim fieri potest (199) ut evanescat fi corrigetur autem per duas, quotiescumque ( 203 ) ++ = 0, seu v ( + ) + v (+B)=0 (h); siquidem in casu p = o. Ex ( h ) prodit 196 quo valore = substituto in ( c " . 193. ), habebitur M - * - * ") - ( . ubi per n et n' designamus indices radiorum mediorum . Inde infertur illud : si , ut Newtonus censuerat, quoad o mnes substantias exsisteret n'- 1 n - 1 n'a 뼱 = 0, e -- 1 foret ac proinde haud posset oblineri correctio nisi omni refractione destructa; at si quoad di versas substantias existat n ' - 1 " " >> vel vel < o , polerit obtineri correctio manente refractione. Id vero ita se habere expertus est Dollondus in fliot -glass et crowo glass , in quibus ( 201 ) invenit n ' n - 1 : n - 1 = 58 : 55 , V ': V = 3: 2 , " 49 6 Itaque 26 + ) + 3 ( + ) - O:97 - 3 pone v : gr : R' = 0,6 = r ; erit R m ; cor 4 rectionem videlicet assequemur per duas lentes , quarum altera ex crown - glass sit utrinque aeque convexa, altera plano -concava ex flint - glass habeat semidiametrum ad se midiametrum prioris convexo - convexae ut 3 : 4. Istius modi lentes sic conjunctae, ut expolientur aberratione re frangibilitatis, dicuntur achromaticae : hinc telescopia a chromatica .

206. Aberratio refrangibilitatis corrigi potest etiam per binas lentes vitreas concavo - convexas continentes aquam . Fac ut secunda lens obvertat convexitatem suam cavitati prioris, sicque ambae intercipiant lentem aqueam con cavo-convexam; habebis 1 1 1 1 ? R R 1 R est insuper v = v *: iccirco 음. = + = = s ( 6 + +)+ yle - = + * + ( - ) = - = - * ) +( - u)( --) Ad correctionem igitur obtinendam debebit esse 798 ( - + )+ ( - )6 )= 0 ( 1" ) . Inde eruitur I --1)( - Ė) 1 quo valore substituto ( 204. e " ) in r R ' I n- I '-1 n - lisz À (n-1)(= -8)+ (---)6 - * - = ; prodibit x = ( - 1 )(--- ) -- ( ) . Rursus igitur, si exsisteret n' n- 1 = 0 , 1 foret - et consequenter haud obtineretur correctio nisi omni refractione destructa .

207. Circa istiusmodi aberrationis correctionem superest monendum illud: si ratio est eadem in omnibus radiorum heterogeneorum binariis; correcta aberratione quoad bina radiorum genera, corrigetur (205. h: 206. h “) quoad omnia reliqua: secus si ratio illa in aliis sit alia. Observationes hucusque institutae ostendunt eamdem esse si minus acccurate, saltem proxime.

208. Transeuntes ad aberrationem sphaericitatis vi deamus an ea corrigi possit in unica lente. Ad id obti nendum oportet ( 194 ) ut evanescat g 2wx? ; et quia ne que g neque x evanescit , ideo w = 0 ; non potest autem esse n - 1 : 0 ; nam facto n = 1 , nulla haberetur refra ctio. Igitur n3 2ntn n -t2 3nan 3n + 2 \Delta\omega 4n - + - 4 ro r2 Ar posito = es n3 2n2 + n n+2 3n2t- n 4nt4 in + mt ro ro 3n + 2 ma = 0 ; ex hac an2-tn - 4nm - 4m ra + n3-3nºm - nm + 3nm2tam ? p=0, n unde n(2n + 1)- Amin+1 +2n Vm-(1-1]m 4n- 1 4 ( h " ) ; 2 ( 1-72 )100 formula praebens relationem inter w et r , ideoque ( 192 . c " ) etiam inter r et r' ad corrigendam sphaericitatis aber rationem in unica lente, modo non fuerit ma- (n - 1 ) m 4n- 1 4 0 : limites autem valoris positivi erunt valores m explentes aequationem 4n-1 m2- ( n - 1 ) m 4 pimirum n -1+ V m2 +2n ( h ). 2 1 Quisque videt, si radii adveniunt paralleli , correctionem fore impossibilem ; siquidem evanescente evanescit m. A

209. Sphaericitatis aberratio per duas lentes correcta importat ( 194 ) w tw = o ( h " ). Aequatio ( h" ) utpote indeterminata duplici indetermina tione ob quatuor valores a, ', r, R, seu r, “, R, R' , fa cilem admittit liberationem ab imaginarietate.

210. In ( h" ) substitue valorem ex prima (h. 205); habebis ( 192.c".c" ) (101 n - 1 2.3 n ' - 1 ne- n's + (n - 1)( 3n '+ 1)v'2 (n-3)*(3 + * ) } ]. --- [ :* (30 ++ + 3n ++)+ ( min + ) - O 16+ 2012 (3+ ) *] = + 2 2 n - 1 3 + n ' n 4 n t p2 2 1 n' n R2 R V = o ( h " " ' ) . 42 Pone in ( h " ) w = (h " ), et pro n, n ' valores debitos binis radiorum generibus v. gr. extremis rubeis et extremis violaceis; ex (h " ) obline bis duas aequationes inter r , R et quantitates datas : ex his duabus aequationibus eruentur r et R; tum r ex ( h """!) et R' ex ( h. 205. ) . Sic in radiis transeuntibus per duplicem lentem corrigetur tam aberratio refrangibilitatis quam aber ratio sphaericitatis, saltem quam proxime.

De lumine traducto per prismata

211. Sit $ACB$ (Fig. 101) sectio prismatis perpendiculariter insistens ejus axi; $EF$ radius indices; $FD$ refractus in ingressu; $DL$ refractus in egressu; $PM$ perpendiculam in latus $AC$; $P'M$ perpendiculum in latus $BC$. Praeter (154)

$${\frac {\sin i}{n}}=\sin h;{\frac {\sin h'}{n}}=\sin i'(b),$$

valebunt quoque

$$h+i'=c,i+h'=c+k,u+u'=180^{\circ }-c-k(b').$$

Prima (b') deducitur ex $h+i'=180^{\circ }-m,c=180^{\circ }-m$; secunda ex prima, et $i=h+o',h'=i'+o'',o'+o''=k$; tertia ex secunda et $u=90^{\circ }-i,u'=90^{\circ }-h'$.

Fig. 101

Angulus $c$, quem continent latera prismatis ad quae radius appellit in ingressu et egressu, dicitur angulus refringens; $o'$ exhibet radii deviationem in ingressu: $o''$ deviationem in egressu; $k$ ipsarum summam, seu deviationem totalem.

212. Secunda (b') praebet $\sin(c+h-i)=\sin h'$; secunda (b) et prima (b') dant ${\begin{array}{c}\sin h'=n\sin i'=n\sin(c-h)=n(\sin c\cos h-\sin h\cos c)=\\n(2\cos h\sin {\frac {c}{2}}\cos {\frac {c}{2}}-\sin h(1-2\sin ^{2}{\frac {c}{2}})=\\2n(\cos h\cos {\frac {c}{2}}+\sin h\sin {\frac {c}{2}})\sin {\frac {c}{2}}-n\sin h\end{array}}$.

Quoniam igitur ex prima (b) habetur $n\sin h=\sin i$; iccirco $\sin(c+k-i)=2n\cos({\frac {c}{2}}-h)\sin {\frac {c}{2}}-\sin i(b'')$ unde, datis $c,i,$ et determinato $h$ ex prima (6), facile eruitur deviatio $k$.

213. Fac ut alter radius E- F (Fig. 102) incidat in AC sub angulo EʻFA=BDL=u ' ; is egredietur sub angulo L'D'B = EFA = u . Nam, si LD esset radius incidens, egrederetur per FE: perinde auteni est in utrumvis latus incidat radius sub eodem angulo; ergo L'D'B=EFA.

214. Si apud idem punctum F ita mutatur angulus i , ut k prius decrescat, deinde crescat; ibi habebitur minima deviatio k ubi fiet CD = CF. Cum enim evadat minima ubi incipit redire ad priorem magnitudinem, consequens est ut minima k respondeat cuidam incidentiae mediae inter binas quasvis ex iis, quae angulos k praebent aequales: et quoniam, sub ea quam posuimus conditione (213), $u+u'$ est idem quoad binas incidentias EFA , EFA : propterea valor k , seu ( 211. b' ) . k = 180 °—C— utu ( ') , et permanebit quoad ipsas EFA , E'FA . Obtinebit igitur minima deviatio ubi, manente conditione illa, binae luminis semitae EFDL , E'FD'L' coalescunt in unicam; consequenter ubi EFA, LDB, seu u , u (Fig. 101 ) fiunt aequales. lamvero facto u = u , fiet i=h'; ideoque (211. b) fiet etiam h = i , simulque CFD=CDF : er go etc.104

215. Haec facile stabiliantur in casu minimae devia tionis.

1.° Exsistunt ( 211. 6' ) ich #k, h = i = Ź ( 6 " ) : adhibitis substitutionibus sive in prima , sive in secunda ( b. 211 ) , emerget ctk sin 2 ( 6 ) ; sin 2 quae formula manifeste suppeditat methodum determinan di indicem n in materia prismatis.

2.° Quoad aliud radiorum genus , denotante kte deviationem totalem , erit sin C + kte 2 ntv = sin - 1 hinc 1 ctkte sineth2쓸 sin ntons 104 Is с sin 2 sin105 2 COS ctk 2 + sin 4 2 COS ctk ' E COS с 2 4 sin 을 sin 2 ctk . 6 COS sin 2 2 ctk 2sin -sin 2 ctk sin -sin 1 = sin - 1 E adhibito angulo satis exiguo 2 pro suo sinu , et omisso E termino in quo invenitur sina prodibit ctk E COS 2 ( 6 " ). 2sin 2 을

3.° Jn alio prismate ex alia materia , o'tk sin 2 & cos o'tk' 2 n's sin 2sin c' 2 ideoque )(6" C sin -2을 tot일 o'tk' COS 2 ctk COS 2

sin 2106 quarum formularum ultima praebet rationem inter di spersiones quoad bina radiorum genera in binis prismatis diversae materiei.

4º. Traducatur lumen per duo prismata inter se ita conjuncta , ut habeant refringentes angulos c et ć positos in ordine contrario : quisque videt conditionem ex plendam ut , permanente refractione haud separentur heterogenea luminis elementa , fore Eme = 0 . Est autem ( 6 " : 24. 6' ) o' 1 vsin i v'sin 2 2 E 2c -tk cos 2 o'tk' COS 2 c' ysin v'sin 2 2 conditio igitur illa recidet in 0, ctk Ć + k COS 2 COS 2 COS ctk 2 = O ( 6 " ). c'tk' sing sinine seu . COS 2 Ad haec : ex ( 6 : 14.6' ) assequimur ctk COS 2 -Vvi c - tk 1 - sin ? с 1 - nasina 2107 d ' + k COS 2 c' 1 - sina 1 - n's sina : vertetur ergo ( 6 " ) in sin --n'2sin 2 eje - (6 " ) . с sin 1 - n2sin2 2

5º. Si anguli refringentes sunt admodum exigui, ut possint assumi pro suis sinibus , erit = o ( 6 " ).

6º. In eadem hypothesi anguli refringentis ad modam exigui erit ( 1.° 6' ' ' ) ctk cuk et consequenter k = c ( n - 1) ( 6' ) : simili ratione quoad alia prismata ex diversa materie , k ' = '(n - 1) , k = c " (n - 1 ), etc. Hinc designante K totalem radii deviationem a primitiva directione io egressu ex ultimo prismate , exsistet K = k + k + k + . = c (n - 1 ) + c'in ' — 11 + c " (n " -1) + .. , (6 " ) ;108 compulatis negativo modo iis angulis refringentibus, qui forte situ contrario sunt positi. 7° Si per bina ejusmodi prismata habentia re fringentes angulos ordine contrario ita transit radius correcta refractione prodeat eadem directione , cum qua advenerat , erit ut k - k = c(n - 1 )-c'(n - 1 ) = 0 ; unde 1 Ć (67 ) .

216. Etsi in duobus prismatis A et B ( Fig. 103 ) nec refringentes anguli c, c“ sint exigui , nec deviatio sit minima , adhuc tamen potest determinari conditio explen da ut radii luminosi appellentes ad A sub eadem inci dentia i egrediantur ex B sine separatione in elementa heterogenea. Ex ( 6) et ( 64) habemus in prismate A nsinh=sini , i=c-h , sinh' = nsini' ( d), in prismate B nsini = sinh ” , h " = c ^ _i ” , sin = n'sinh ” ( d' ) : insuper u = 90 ° ~ h ', u'=90°— " , u ' = c'tu', ideoque i" = h- ( d ' ').109 Ad haec k = ” h ") A = ”) =( ( hº - c') - c ” - ” ) ) + ( h"" = " ) = h - c - c + h " ; proinde ( 211. 6 ) k ' = k - k ' = lith -ch c - cth' ') = i - otto - h " ( d " ). Quoad aliud genus radiorum appellentium sub eadem in cidentia i , ex ( d) habemus ( n + v ) sin ( h - h ) = sini , iti, = c_hthi, sinch'th'v = (n-+ v)sinli + in) ( d) , ex (d" ) ( n ' + v')sinli" - "') = sin (h " -hi'" ), h ' th," ==c_i" :41, " , sinceti " )= (n + v ) sin (h " + h " ) ( da) , ex ( d '"') i" til = hth's ' (dz) , ex (d" ) k - k =tºc -c - c” –à"" +- h " ( dt). Subtrahe (d) ex (d, ) ; omissis terminis duplicis dimensio nis quoad v , h , i ,, prodibunt110 vsinh - nh , cosh = 0,1,5h, h'cosh ' = ni' cosi' + usini'. Eliminatish , i's , assequemur ( 211. 6' ) sinhcosi' + sini'cosh cosh cosh ' sinch -ti') coshcosh ' sinc coshcosh ( o ). Subtrahe nunc ( d" ) ex (d) : habebis ki" = h ," : et quoniam heterogenea luminis elementa non debent se parari in egressu ex prismate B , iccirco ki ' = 0 , et consequenter h, ' "= 0. Subtracta igitur (d" ) ex ( d) , missisque terminis duplicis dimensionis quoad v' , ii " , ki" , emergent -n'i;" cosi'"-+ u'sini'" = oph " = ;" , " ,cosi " = n'h," cosh " Tusinh'. Elimina i ,'" , h ," ; exsurget i = ' sinicosh ' tsinh" cosi""" cosicosi sin (i Th") cosi'cosi' " = sin c ( o ' ) . cosicosi" lam vero subtracta ( d ) ex (dz) , provenit111 i;=h ' : binae igitur (0) , (o' ) dabunt coshcosh' sinc cosi' cosi" = 0 (6 " ) ; sinc conditionem videlicet explendam ut luminosi radii appel lentes ad A sub eadem incidentia i egrediantur ex B sine separatione in elementa heterogenea . Huc spectant prismata achromatica,

De lumine traducto per sphaeras aqueas ad iridis phoenomenon explicandum.

217. Incidat radius OA ( Fig. 104 ) in sphaeram AEB • ... cujus centrum in C ; et mutata directione , refringatar juxta AE : in E partim refractus egredietur ( 154 ) in aerem, partim reflexus intra sphaeram per EB appellet ad B : rursus in B partim refractus exibit in ae rem , partim reflexus intra sphaeram per BQ ibit in Q ; atque ita porro: crescente autem numero istiusmodi re flexionum internarum , decrescet magis semper intensitas tum luminis pergentis per interiora sphaerae, tum luminis egredientis ex ipsa sphaera ; minor videlicet in B quam in E exsistet intensitas luminis sive reflexi sive refracti , minor in Q quam in B, etc.

218. Quadrilaterum AKBEA (Fig. 105) praebet k + (360 - AEB) + EAK + EBk = 360° ; et quia AEB=2h, EAh = EBk = i - h ; iccirco post unicam reflexionem internam obtinebitur egredientis luminis deviatio112 k = 4h - 2i (n. Pentagonum AEBQk ( Fig. 106 ) suppeditat k + kAE + AEB + EBQ + BQk = 6.90° ; sed kAE = BQk = 180° - (i - h ) , AEB=EBQ=2h : igitur post bioas reflexiones internas assequemur egredientis lu minis deviationem k = 180 °-62 + 2i. Hexagonum AEBQPk ( Fig. 104 ) dat k + kAE + AEB + EBQ + BQP + QPk = 8.90° : et quoniam kAE = QPk = 180° - (i- h ), AEB=EBQ-BQP= 2h ; ideo post tres reflexiones internas babebimus egre dientis luminis deviationem k=2.180-82+2i. Generatim post m reflexiones internas eruetur deviatio k ex polygono m + 3 laterum : erit enim k+2( 180° —i~h) ) + -m.2h = 2(m + 3 )90°-4.90° ; unde k = ( n - 1 )180 °—2m + 1 ) + 2i (f ).

219. Quoad radium O " A ' (Fig . 105) admodum vicinum ad O'A, ipsique O'A parallelum, sint iti, et h+h,113 anguli incidentiae ac refractionis. Si post unicam reflexio nem internam debeat egredi in directione B'o , paral lela directioni BO, in qua egreditur radius OʻA , erit ( 218. f ) k = 4 (h + h )--- 2 (itin) : ex bac subtrahe ( f) ; proveniet 1 4h, -21, = 0,1 = 2h, ( f "'). Si post m reflexiones internas debeat obtineri paralleli smus ille , erit ( 218. f ' ) k = m - 1 )180 ° —2( m + 1) (hthi) +-27i + ii) ; et subtracta f') -2(m + 1) + 2i,= o , i ; =m+1 ), ( 9 '). Iam vero sinitia) = nsin (htha); et consequenter , ob is , h, admodum exiguos , siniti,cosi = nsinh + nh , cosh ; quia igitur sini = nsinh, iccirco sinai icosi = nh,cosh = nh, V 1 – sinh – nh, V 1 na h. Vna- sin ? i= h. V na- 171 - sinai = h ,V 12-1 - cos’i , · 8114 unde cosi == h Vv n2-1 1,2-2, cosh= n n2 1,2 - hi ? (fr). Itaque in ordine ad parallelismum illum post unicam re flexionem internam erit ( f " ) cosisV " cosh=2V n hotele ( ) post m reflexiones internas exsistet (p ) n2-1 m+1 cosi = V cosh V 122 -1 (m+1 ) 2-1 ( fr ). ( m - +- 1 ) 2-1 n

220. In radiis rubeis ( 201 ) n=1,33333 , in vio laceis n=1,34568 : igitur quoad rubeos post unicam re flexionem internam i=59° 23' 28 , h=40° 12' 11 ", k=42° 1 ' 48 ' ; post duas i=71 ° 49' 55 ", h=45 ° 26' 52", k=50° 58' 38' ; etc. quoad violaceos post unicam reflexionem internam i=58° 40' 31' , h=39°24' 18 " , k=40° 16' 10" ; post duas115 i=75° 26 ' 9", h =44° 47 ' 7 ", k = 54 ° 9 ' 36 " etc.

221. Quibus declaratis, venio ad iridis phaenome non; quod non raro in coelo sese nobis exhibet videndum, quum a tergo solem, a fronte nubem roscidam habemus. Duo arcus diversorum colorum (Fig. 107) plerumque conspiciuntur, semper concentrici: interior PRQ longe superat exteriorem P'R'Q” vivacitate colorum; PRO dicitur iris primaria, P'R'Q' secundaria. Pars extima iridis primariae est rubei coloris, intima violacei; rubeum et violaceum interjacent caeteri colores ordine refrangibilitatis suae: colorum ordo est inversus in iride secundaria; pars videlicet extima apparet violacea, pars intima apparet rubea. Primariam denique iridem a secundaria dividit intervallum VV'V ". coloribus destitutum. Haec facile quoad iridis explicationem stabiliuntur.

1. ° Iridis phaenomenon repetendum est ex reflexione ac refractione radiorum subeuntium aqueas guttulas roscidae nubis: alterum infertur ex eo, quod non cernatur iris nisi oculo inter solem et nubem constituto; alterum ex ipsis prismatici spectri coloribus, quos exhibet iris.

2.° Qui radii post reflexiones internas haud egrediuntur paralleli ex guttulis aqueis, ii utpote nimis dispersim procedentes non sunt apti ad sufficientem impressionem in oculo faciendam; iris itaque gignetur radiis, qui post reflexiones internas egrediuntur paralleli ex guttulis aqueis, quique proinde vocantur efficaces.

3.º Pone , quod ex ipso disci solaris centro evi brentur radii O'A , O'A ', O'A " etc. in nubem roscidam ; erunt omnes tum inter se , tum ad rectam 0, E ex eo dem centro ductam per oculum 0, , ad sensum paralleli : subibunt alii unicam reflexionem intra guttulas aqueas ,116 ut OʻA " , O'A ; alii binas, ut OʻA , O'A' . Efficaces radii , egredientes postunicam reflexionem internam ex guttulis aqueis , dabunt iridem primariam ; qui egrediun tur post binas, dabunt iridem secundariam ; qui vero su beunt tres, quatuor etc. reflexiones internas, sic egrediun tur debilitati , ut raro admodum gignant sensibilem iridem.

4.° Quod spectat ad efficaces radios egredientes post unicam reflexionem internam, habemus (220 ) pro rubeis B " O , E ( = k ) = 42° 1 ' 48" ; pro violaceis B '" O , E ( =k)=40° 16 ' 10 " : supremum videlicet iridis primariae punctum erit coloris rubei , infimum respondens coloris violacei .

5.° Quod autem pertinet ad efficaces radios egre dientes post duas reflexiones internas , habemus ( 220) pro rubeis B'O, E ( =k) =50° 58' 38 " ; pro violaceis BO , E = k ) = 54° 9 ' 36 " : supremum videlicet iridis secundariae punctum erit colo ris violacei , infimum respondens coloris rubei.

6.º Non pluribus opus est ut intelligamus ordinem reliquorum colorum apud puncta interjacentia supremum et infimum respondens tam in iride primaria , quam in secundaria.117

7.º Permanentibus angulis BO, E, B'O, E, B'O, E , B '" O , E , concipiantur revolvi circa 0, E rectae 0,B, 0, B , O, B" , O ,B "' , ut sic describantur superficies conorum haben tium verticeni 0, , et axem 0, E. Aqueae guttulae , per quas transeunt 0, B' , 0, B", rubeos colores vibrabunt in O, ; guttulae vero , per quas transeunt 0,3,0, B" , radios violaceos. Hoc pacto oculus radios illos rubeos advenientes sub angulis BẢO , E , B " O , E , item violaceos sub angulis BO, E, B' ' ' O, E, referens ad basim respondentis coni videbit circulares rubeosque arcus abc,a'b'c', nec non circulares violaceosque arcus por , pg'r', quorum arcuum commune centrum in E.

8.º Apparens latitudo iridis primariae ( 49) BO , E - B '" O , E = 42 ° 1'8 " ~ 40 ° 16 ' 10 = 1 ° 44' 58 " , secundariae ( 50) BO, E-B’O, E=54° gʻ 36 — 50 ° 58 38" =3° 10' 56' ' ; intervallum apparens inter primariam et secundariam iridem B'O, E-BO, E = 50 ° 58 ' 38 " -42° 1 ' 48 ' = 8 ° 56 ' 50 " .

9.º Angulus E'O, D' , seu altitudo solis supra ho rizontem DD' , dicatur & : quoniam angulus DE0,=90° ; efficiet iris cum horizonte angulum D = 90 ° ta. 1 Ad haec : exhibente \beta quemvis ex angulis BO, D, B'O, D, BO , D , B " O , D , erit B=k-a.118 eo Quo igitur altior fuerit sol supra horizontem , eo con spicua iridis segmenta et minora erunt , et magis ad ho rizontem ipsum inclinata : solis altitudine a superante maximum valorem k , nulli amplius cerni poterunt colo res iridis : sole horizontem obtinente , ut sit a=0 , iris et aequabitur semicirculo , et ad perpendiculum insistet horizonti .

10.° Quo magis vel minus ab oculo distat rosci da nubes , eo majoris vel minoris circali segmentum erit iridis arcus ; siquidem ( 70) peripheria baseos in cono major vel minor exsistet , quo is caeteris paribus magis vel minus producitur. Hinc a diversis spectatoribus nun quam cernitur eadem iris.

11.° Radios tantummodo ex centro solis evibra tos consideravimus , seu consideravimus solem tamquam punctum lucidum ; quia vero ejus apparens diameter O'0'0 ' = 32' ( Fig. 108 ) , ideo latitudinibus supra ( 8° ) in ventis 1 ° 44' 58", 3010' 56' ' addenda erunt 32' , ac tantun dem ab intervallo 8 ° 56' 50" subtrahendum . Incidat enim ra dius OA' ex centro solis in guttulam A' ; et oculo con stituto v . gr. in 0, , intelligatur describi circulus trans iens per 0, , A ', C : anguli OʻAO,, O'A'O ,, O '" A " O , sunt aequales : et consequenter radius ex A' in O, eum. dem facit angulum cum suo directo O'A', quem radii ex A " , All in O, faciunt cum suis directis O’A " , OA '" . Inferimus colorem , quem oculus videret in A' si lumen ex centro tantum solis erumperet, visam iri ab ipso oculo per spatium A'O , A " = 16 ', itemque per spatium A'O ,A '" — 16' : propterea etc. . . Observationes revera praebent apparentem iridis primariae latitudinem proxime = 2016: 58 "; secundariae 3 °42' 56 " ; intervallam inter primariam et secundariam iridem-8° 24' 50 " .119 COD boo Tante colo iris -Sistet TOSC un er

Varia explicantur luminis phaenomena in systemate emissionis.

222. In emissionis systemate haec recipiuntur ad explicanda luminis phaenomena.

1.° Luminis particulae etsi certa quadam attractionis vi tendunt in corpus luminosam ubi sunt; quia tamen pollent validiore vi a se invicem recedendi, ideo ex luminoso corpore prosiliunt, et sese undequaque diffundunt.

2.° Non omnes luminis particulae eamdem habent naturam , provenientem ex diversa densitate , ex diversa dispositione inertis materiei unde coalescunt, etc. Aliam habent naturam, quae sensationem pariunt rubei coloris; aliam, quae sensationem violacei; etc. . .

3º. Corporum particulae agunt in particulas luminis, eas ad se trahendo, vel a se repellendo certa quadam distantiarum lege: istiusmodi vero actio est notabilis in minimis dumtaxat distantiis; estque diversae energiae non solum prout a particulis diversorum corporum emanat, sed etiam prout in diversas luminis particulas enila 000 coim.) alo on exercetur. 0,1 radi 01 OSOS 0 ,

4º. Proprium est cujuscumque particulae luminosae, ut progrediendo nanciscatur binas dispositiones contrarias, quae aequalibus revertuntur intervallis; quaeque in eo sitae sunt, ut in una ipsarum adveniens luminosa particula ad novi medii superficiem promptius obtemperet ejus viribus repulsivis quam attractivis, sicque facilius reflectatur; in altera, promptius attractivis quam repulsivis, sicque facilius transmittatur. Reversiones dispositionis ad faciliorem reflexionem Newtonus appellat vices facilioris reflexionis; reversiones dispositionis ad faciliorem transmissionem vocat vices facilioris transmissus; spatium vero a luminosa particula percurrendum ut a dispositione maxima ad reflexionem transeat ad maximam Taria: under120 trajiciendi facilitatem, vel contra, intervallum vicium. Porro ad has reversiones explicandas, posset quis in luminosa particula concipere quosdam veluti polos, ut in magnete, alterum attractivum, alterum repulsivum; simul et motum circa proprium axem, quo fiet ut jam alter polus obvertatur jam alter.

223. Dirimant superficies 00' (Fig. 109) bina media heterogenea; sintque AA , BB' duae superficies hinc inde remotae ab 00' per intervallum r aequale illi, in quo vires attractivae, vel repulsivae ( 222. 3º) incipiunt notabiliter agere in luminis particulam. Ubicumque haec inveniatur extra limites AA et BB', sita erit in medio circum quaque homogeneo per totum intervallum notabilis actionis; et consequenter sollicitabitur viribus undique aequalibus et sese elidentibus; at ubicumque inveniatur intra AA et BB' V. gr. in i, sollicitabitur viribus inaequalibus; visque inde resultans habebit directionem perpendicularem superficiei 00' , sive superficiebus AA' , BB' . Concipiatur enim sphaera habens centrum i, et semidiametrum aequalem intervallo notabilis actionis ; ea necessario secabitur superficie 00 ' v. gr. in pq: sit hk diameter perpendicularis intersectioni circulari pq, et consequenter transiens per centrum m ipsius pq ; sumatur im im' , perque m ' et i ducan. tur plana cd, ef parallela plano pq . Segmenta pqfe , efcd utpote homogenea, aequalia et similia , similiterque posi ta quoad i, dabunt vires sese mutuo destruentes: segmenta quoque pkq, chd sunt aequalia et similia , similiterque posi ta quoad i; quia vero continent media diversa , iccirco prae bebunt vires inaequales : jacent istorum segmeutorum par ticulae hinc inde circa hk aeque distributae ad easdem di stantias . Compositis igitur viribus provenientibus e segmen to superiore, item compositis viribus ex inferiore , ut ex his resullet vis acceleratrix Z, ex illis Z' ; se se diriget Z deorsum in hk, Z' sursum in eadem hk; habebitque tota lis resultans121 siciom. z - Z sin la in ma directionem perpendicularem superficiei 00 '. imule polu

224. Sit $RR'(=c)$ velocitas luminosae particulae ac cedentis ad $AA'$; et dicatur a angulus, quem facit $RR'$ cum recta hk: resoluta RR' in duas, RS perpendicularem et SR' parallelam superficiei 00' , erunt media nc inde quo ni botabil SR' csina , RS = C COSC (a) ; cinte circos action alibus & et N que perbij prima nullam subibit mutationem ex Z - Z '; subibit secun da. Hinc ubi luminis particula praetergressa superficiem 00 pergat moveri in medio inferiore: et quod in ' distantia no tab ili supra 00'est c , a, in distantia notabili infra eamdem 00' sit c' , a' ; profecto in hac altera distantia exhibebit c'siná velocitatem luminosae particulae parallelam ipsi 00 '; a spus eritque 1 intet superbi c sina = csiná ( a '). intere centra i da Luminis particula sollicitata vi acceleratrice Z - Z progreditur ab AA ' versos BB' per curvam planam. Sit z perpendiculum ex ea particula demissum in 00' : quoad par.. ticulae motum in medio QOʻA A erit ( 29: 223 ) fe, que po seguit queper daz rco d (r - z) dt2 2-Z', seu Z - Z (a") ; dca um sdemi segor quoad molum in medio QO'B'B, diriget. d2z ue tot = Z - Z' ( a " ). ( 1.2122

225. Denotet u velocitatem luminosae particulae in di slantia z ab 00' , ipsique 00' perpendicularem ; formula ( a" ) multiplicata per adz praebebit dz2 dt2 =u2=2 2Sz'ds--ſzaz + Const. Quoad ſ z dz, ſ z'da , habemus ( 27. 18º . ) ſīdz= (7 —z zmo.. 'Zdz= (3-c.)Z*m ? zo zo in casu sumimus Zo=0 . Ad haec; si z = r , exsistet ( 224, a) u = c ? cos2Q ; iccirco, exhibitis per lì et Hʼvaloribus ſ zdzet Sz'dz , O 0 c cos ?Q=211-2H+C , Cæc cosa + 211-2 !!'; et consequenter u2 c ? cosạc + 2H - 2H ' + 3zZ'm- 2z7m (a' ' ) .

226. Sit C, velocitas apud 00' , quum nempe evane scit z; sitque (y angulus interceptus directione velocitatis C, et recta hk : erit ( 225. a " ) Ci ’ cosa di = c ? cos? + 2H - 2H' ( a") . Pertinget igitur particula luminis ad 00 ' quotiescumque fuerit123 cºcos? + 2H - 2H ' > o , seu H ' < H + c cos?a ( a " ). Haud expleta ( a " ), fiet uro in puncto v . gr. x( Fig. 110 ) ante appulsum luminosae particulae ad 00' : describet nimirum lu minosa particula curyam quamdam R'xR" coalescentem duo bus ramis R'x, R x similibus et aequalibus ob vires aequa les in aequali distantia z ( 223 ) ab 00 '; regressa ad AA in R ' habebit ibidem velocitatem ( 224 ) non mu tatam csing parallelam 00 ', et velocitatem recuperatam ccos perpendicularem ipsi 00' ; ac perget moveri per ejusmodi rectam R ” R , quae dabit angulum reflexionis R R " Q' aequalem angulo incidentiae RR'Q.

227. Expleta ( a" ) , ingredietur lumiuis particula me diuin OO'B'B ( Fig. 109 ) : quoad particulae motum in hoc medio , formula ( a '" . 224 ) prius multiplicata per 2d : ac dein integrala suppeditat dza dez = 42 = 2 2 zdz-2ſz'dz + c. Assumpta z = 0, erit «> = 0% , cos , itemque ( 225 ) ſ zd=== 0, Z'da = 0; iccirco C=C, ?cosadı , seu ( 226. a ) C = C2 C0820 + 2H - 2H '; et consequenter u2 = c cos2x + 21 — »I'+ 2 zdz — 2 a Z'dz (a" " ' ).

228. Apud BB' formula ( a "" ) dat (224 )124 Ćcos2 = c>cos2x + 2H -218 + 2 | Zdz— 2z j2o 2ofrus. seu ( 225) c'2cos á = c2cosa + 4H - 4H ' ( a " ). Pertinget igitur luminis particula ad BB' , fuerit quotiescumque cºcos2x + 4H -4H'> 0,seu H '< H + * cºcos?ce (a" ) . Ex duabus ( a " ) et ( a " ) expleta dumtaxat prima, fiet u = 0 in puncto v. gr. ác' ( Fig. 111 ) ante appulsum luminosae particulae ad BB : regredietur nimirum luminis particula ad AA' per curvilineum ramum x'R" similem et aequalem ra mo x'R '; suumque motum postea continuabit per ejusmo di rectam R’R “, quae praebebit angulum reflexionis R "'R'Q aequalem angulo incidentiae RR'Q.

229. Fac ut, expleta ( a " ), expleatur quoque ( a " ) : la minosa particula delata per curvam R’DR" ( Fig. 112 ) e gredietur ex BB' , ac perget moveri in recta RR' ' . lam vero binae (a' ) , ( a " " ) suppeditant c'2sinad + c2cosú = casin ut-c cos at-4H - 4H ', seu ( 2 = C2 + -4H - 4H ' (a") : igitur sing V c? + 4 ( H - H ') sin RR'O sina sinRRQ ) ( a " ); èlo с с125 formula praebens constantem rationem ( exhibuimus ( 154) per n ) inter sinum incidentiae et sinum refractionis. Erit itaque n> vel <1 prout H - H ' > vel < 0; prout nempe medium OO'B'B majori vel minori pollet vi refringendi prae medio AA'OʻO. Obtinente H - H' diversos ( 222. 2º. 3º. ) valores quoad luminosas particulas diversimode coloratas, orietur inde lu minis dispersio ( 201 ) .

230. Radius RWR" e secundo medio , superficiebus parallelis 00' et O'O ' " terminato, transeat in tertium me medium 0 " O'CC ; et quod in 00'0 " O " est d ', H, in O'O'C'C sit a " , H". exsistet sin a since's V 02 +4( H " -H) . c' Pone AA O'O, O'O ' " C'C nihil esse aliud nisi unum i demque medium positum supra et infra 00'0'0: erit H " = H '; unde ( 229. a' ) с sin á sina ' V7 + 4 (H ' - H ) c' Vc +4 ( H' - H ) Propterea ( 229. a " ) sin á sin á sina "

et consequenter a = Q . sio u

Recole, quae diximus sub finem n' . 179. Obiter hic notamus illud: ex ( a " ) intelligitur in cry stallis dupliciter ( 156. 1º. ) refringentibus aliam esse velo citatem c radii ordinarii, aliam velocitatem c " radii extra 1126 ordinarii. Si per e denotatur angulus, quem cum optico cry stalli axe continet radius extraordinarius, et per b quanti tas pro eadem crystallo constans, > vel <o prout crystal lus fuerit positiva vel negativa, assumpto C"' C'2 tbsin?, compertum est hypothesim istam satis bene responsuram re lativis radii extraordinarii positionibus quoad radium or dinarium.

231. Fieri potest ut ex duabus luminosis particulis delatis ad superficiem dirimentem bina media, etsi ambae ponuntur ejusdem esse naturae (222.2°), altera tamen habeat ibi dispositionem ( 222. 4º) ad faciliorem transmissum, altera ad faciliorem reflexionem: tunc fieri quoque poterit, ut quoad primam particulam expletis ( a " . 226 ) et (a" *. 228), quoad secundam vel non expleatur sola (a " *), vel nec ( a " ) nec ( a " ). Hinc vero intelligimus cur idem luminis radius delatus ad superficiem dirimentem bina media partim reflectatur ( 154), partim refringatur.

232. Ex binis ( a" ' ) , (a' ) liquet reflexionem luminis prope superficiem dirimentem duo media eo difficilius vel eo facilius obtineri, quo refringentes mediorum vires ad mutuam aequalitatem magis accedunt vel a mutua aequalitate magis recedunt. Hinc facile intelligimus cur v. gr. charta accessio ne olei fiat pellucida; quia nempe oleum, quantum attinet ad vires agentes in lumen, minus differt a chartae fibris quam differat aer inde expulsus. Intelligimus quoque cur vitrum, si contunditur in pulverem, ex diaphano evadat opacum; quia nempe contusione dividitur in scabras irregularesque particulas, dissociatas interstitiis diversae magnitudinis et figurae; in quae interstitia ingreditur aer. Sic etiam aqua resoluta in vapores, aut molarum rotis concussa, ob interjectas aeris particulas, amittit priorem pelluciditatem. Simili de causa bullulae per interiora vitri disseminatae reddunt ipsum vitrum minus pellucidum; etc.127 TTH Ball

233. Lenti convexae PAQ (Fig. 113), quae sit sphaerae satis magnae segmentum, superpone vitrum planum $MM'$; et in MM' projice homogeneum lumen prismate separatum, albaque charta exceptum: illico circa contactum A tanquam centrum sese exbibebunt annuli ejus coloris, quo imbuitur projectum lumen. Apparebit nimirum in A macula nigra annulo colorato cincta; coloratum annulum ambiet obscurus; hunc novus annulus coloratus, cui rursus circumfundetur obscurus; atque ita porro. Si charta excipiens luminosos radios observaretur trans vitra PAQ, et MM', sese exhiberet ea dem annulorum series, at ordine inverso; qui enim annuli cernebantur colorati, ii apparerent obscuri; et contra. Non pluribus opus est, ut intelligamus coloratos annulos oriri ex luminis reflexione, obscuros ex ejus transmissione: in diversis igitur a contactus puncto distantiis lumen alternatim reflectitur, ac transmittitur. Hae luminis reflexiones atque transmissiones adscribendae sunt variis interjecti medii PAM... profunditatibus BD, B'D',. .. ; etenim si vitra ad se invicem tantisper adprimuntur , ut datae profunditates BD, B'D ', ... fiant remotiores ab A, ampliabuntur pari gradu respondentes annuli.

Annulorum semidiametris AB, A'B', ... accurata mensuratione determinatis, Newtonus invenit eas esse in ordine ad coloratos annulos ut pilte bec elmi Tags 1 , 13,19, V 9 , ... , in ordine ad obscuros ut que 12,14,16 , ... ; aer. ! quodcumque caeteroquin adhibeatur homogeneum lumen. Denotante autem pl cujusvis annuli semidiametrum AB, A respondentem interjecti medii profunditatem BD, r sphae rae semidiametrum AC, habemus pozila riding128 A ( 2r - A ) = p2. rem milten propterea, si r' est admodum parva praer, tra M. p / 2 A 2r to gr. fundita: quae nempe profunditates interjecti medii respondent annu lis coloratis seu lumini reflexo , erunt ut numeri impares quorum tar int dire at 1,3,5,7 , ... ; cesare quae respondent annulis obscuris seu lumini transmisso, ut numeri pares Hi, etc. 0109815 uteria 0,2,4,6 , ... Et ante Ad istorum phaenomenorum assignandam rationem, re praesentet oo' intervallum vicium ( 222. 4. ) ; luminis par ticulae ibi ad regressum facile determinabuntur: palet quoad particulas incidentes in punctum o cum dispositione ad fa ciliorem reflexionem ; quae vero incidunt cum dispositione ad faciliorem transmissum, ingredientur quidem interjectum medium , sed apud o facile determinabuntur ad regressum, utpote jam denuo habentes dispositionem ad faciliorem re flexionem . Idipsum manifeste contingit luminosis particulis subeuntibus medium in ejusmodi puncto B, cui respondeat intervallum BD triplum, quintuplum, septuplum , etc., in tervalli simpli oo'; dispositio namque apud B ad faciliorem transmissum vertetur apud D in dispositionem ad faciliorem reflexionem . At si sermo sit de luminosis particulis sub euntibus medium cum dispositione ad faciliorem transmissum in ejusmodi puncto B ', cui respodeat intervallum B' D' du plum , quadruplum , sextuplum etc ... intervalli simpli oo', profecto apud D' recuperabunt dispositionem ad ipsum facilio. pored pe denota lucis mo sinun r129 IDM rem transmissum , ideoque facile per vitrum PA transmittentur.

234. Haec notentur.

1º. Si aeri v . gr. intra vitra MM, PAQ succedit aliud medium magis refringens, v. gr. aqua, contrahentur annuli, minoribusque medii profunditatibus respondebit reflexio: mutatis nempe mediis, equorum altero in alterum transit luminosus radius, mutatur intervallum vicium; fitque majus aut minus pro mi pore aut majore indice refractionis.

2°. Si radii diversimode colorati projiciuntur successive in $MM'$; caeteris paribus, annuli rubei erunt onnium maximi, paulo minores aurantii, adhuc minores flavi , etc. . . minimi violacei: permanente videlicet medio, luminosis particulis minus refrangibilibus respondet longia intervallum vicium, magis refrangibilibas brevius. Quoad radios, qui exhibent colorem interjacentem confinia flavi et aurantii, quique transeunt ad perpeodiculum e quovis medio in aerem, observando deduxit (233) Newtonus intervallum vicium esse unsels nem 1 let of 178000 partem pollicis . Joek Kerjen THE

3º. Crescunt, vel decrescunt annulorum diametri, crescente vel decrescente oculi inclinatione ad MM': inferimus eo majora vel minora esse vicium intervalla pro data luminis particula, quo haec magis vel minus oblique incidit in superficiem refringentem. Exibeat o intervallu quoad perpendicularem incidentiam, quoad obliquam i; experimenta Newtoni praebent parti etc. O 1 acili 0 cosi cosx uliss BDI mple x denotat angulum, cujus sinus est prima ex 106 arithme ticis mediis proportionalibus inter sinum incidentiae i et sinum respondentis refractionis h; nimirum 9130 sinx = sini + ( sinh – sini ) , 107 sini scu ( 154 ) , ob sinh - n sinx 106n+1 107n sini . um

4º. Rarescente aere intra MM' et PAQ, annulorum colores fiunt vividiores: eo major igitur luminis copia reflectitor in transitu ex densiore medio in rarius, quo major fuerit differentia inter ipsorum mediorum densitates.

5º. Ex lumine in suos radios colora tos nondum diviso prodeunt lucidi annuli discolores: ratio est, quia (2°) radiis magis refrangibilibus brevius respondet vici intervallum, minus refrangibilibus longius; sic enim, quae profunditas sufficit reflectendis radiis v. gr. violaceis non sufficiet reflectendis simul et flavis; erunt que lucidi annali totidem diversorum colorum congeries.

6º. In exiguis profunditatibus, non autem in paulo majoribus, obtinent annulorum phaenomena: ratio est, quia luminosi radii, etsi ejusdem coloris, non gaudent tamen eadem prorsus refrangibilitate, neque per consequens aequalibus prorsus vicium intervallis; ex ipsa spectri prismatici formatione (159) patet ab extremo violaceo ad extremum rubeum transiri per gradus continuos intermediorum radiorum mutantium refrangibilitatem per gradus similiter continuos. Sic igitur oo' intervallum vi cium respectu dati radii v . gr. rubei ; denotante k fra ctionem quamvis admodum parvam , exprimet oo' (1 + k) intervallum vicium respectu aliorum quorundam radio rum pariter rubeorum : propterea , designante mi nu merum quemlibet > 1 , factoque v. gr. B'D' = m. oo' ,131 continebit B " D " m intervalla respecta dati radii, et itk intervalla respectu caeterorum . Nunc m F mk 1 +k 1 tk ubi pro exiguis vel majoribus profunditatibus B ” D " quantitas mk 7 I stk poterit acquirere valorem vel admodum tenuem, vel sa tis notabilem. In primo casu cum quantitas illa ad sen sum non turbet aequalitatem inter m et neque itk efficiet ut, dum datus radius vicem non mutat in D " , alii mutent; poterunt ergo rubei omnes , qui eandem habebant dispositionem apud B " , eandem quoque habere apud D " ; ideoque vel omnes simul reflecti, vel omnes simul transmitti : obtinebunt nimirum annulorum phaenomena. lo secundo casu cum quantitas praefata notabiliter tur. bet aequalitatem inter m et dabit apud D ' di 1 =k scrimen etiam pluriam intervallorum: sic profunditas B'D " , quae respectu dati radii continet intervalla v : gr: 1000, continebit intervalla 1 1 1000+ 1001, 1001+ > 1002 , etc. 2 respectu aliorum quorundam pariter rubeorum ; proinde in D " tot fere rubei radij transmittentur , quot reflectun tur. Idipsum valet quoad aurantios , flavos, etc. ... ; com miscebuntur itaque omnium colorum radii in lumine et132 lame refrac denti dinat Talla divers tione, men sites , teriae reflexo , et transmisso , nullusque color gignetur distin clus ab albo.

235. Ex diversis vicium intervallis explicantur diversa tenuium lamellarum phaenomena; atque inde colores lum permanentes in plerisque corporibus, tum variabiles in aliquibus.

Ac 1º. quae dicta sunt (233 : 234) circa exiguas interjecti medii MAP profunditates , manifeste aptantur tenuibus lamellis : hinc pro diversa sua crassitudine te nuissima lamella alios colores abundantius reflectet , alios abundantius transmittet. Si crassitudo lamellae , quam ra dius normaliter permeat, sit admodum exigua , transibunt omnes radii : si paulo major , ut radius ingressus cum dispositione ad faciliorem transinissum habeat in egressu dispositionem ad faciliorem reflexionem , is retrogradietur : si adhuc major , ut redeat rursus dispositio ad faciliorem trausmissuin , transmittetur ; et sic deinceps.

2º. Laminae satis crassae reflectunt in secunda superficie plurimos radios omnium (234.6.°) colorum, et plurimos transmittunt; dum tenues laminae radios ejasdem coloris vel omnes, vel fere omnes aut simul transmittunt, aut simul reflectunt ( 1º) . Determinati ergo colores exhibebuntur a tenuibus lamellis; modo et lamellarum crassities maneat eadem, et radii normaliter incidant.

3º. Si radii oblique incidunt, atque insuper tenuis lamella est inulto magis refringens quam medium circumjectum, fiet valida refractio ad perpendiculum , et semita radii intra lamellam parum ab ipso perpendiculo abludet: propterea , ubi tenuitas lamellae admittat paucissima vi cium intervalla , numerus intervallorum , utcumque caetero variet obliquitas incidentiae , ne dimidii quidem intervalli mutationem subibit, ut idem fere colores trans mittentar semper , vel reflectentur ; permanensque erit color corporis coalescentis ex ejusmodi lamellis. acida. aptaran plksas. ܕܐ ܂ se stes lamellis i de pia trans interjecta minis rei parum , larum te. 1133 etc.

4º. Quod si et radii obliqne incidant , et tenuis lamella sit minus refringens quam medium circumjectum , refractio fiet recedendo a perpendiculo ; pro diversa inci dentiae obliquitate variabunt plurimum longitudo et in clinatio semitae intra lamellam ; vicium proinde inter valla , et intervallorum numeri mutabuntur plurimum ; diversique apparebunt colores pro diversa oculi inclina tione , uti videre est in cauda pavonis , in collo colum bae

5º. Observantur et alii colores variabiles , ut in spuma , in bullis ex aqua et sapone , etc. ; qui ta men colores ideo variant , quia variat aqueae lamellae crassities , aqua descendente ad imum .

6º . Si lamellae fiunt crassiores intima novae ma teriae unione, aut veteris materiae subtractione redduntur tenujores , corpus mutabit colorem suum : sic ob variatam lamellaram crassitiem virescit caeruleus violarum syrupus, adfusa substantia alcalina ; vel rubet , adfusa substantia acida . Item mutabit corpus colorem suum acquisitione vel amissione lamellarum determinatis coloribus reflectendis aptarum, ut alius inde exsurgat colorum reflexorum com plexus. Mutabit quoque accessione novae materiae ; per quam lamellarum textus , quantum attinet ( 232 ) ad vires in lumen agentes , fiat magis vel minus homogeneus : sic accessione aquae , olei , etc. hebetatur panni color ; siquidem occupante aqua , oleo , etc. spatiola tenuibus lamellis intercepta , minuitur differentia mediorum.

7º. Lamellarum textus potest esse talis, ut aliud colorum genus majori copia reflectatur , aliud majori co pia iransmittatur : sic auri bractea duabus laminis vitreis interjecta apparet coloris flavi quum adspicitur ope lu minis reflexi ; apparet coloris viridis aut caerulei quum ope luminis transmissi adspicitur , viridis si auranı parum , caerulei si minus purum . Potest quoque lamel larum textus esse talis , ut quod colorum genus praeva est134 loris ligate omnib demp caeter 2 explica omola let in lumine reflexo, idem praevaleat in transmisso : exem plum habes in vitris coloratis.

8.° Cum nulla radiorum coloratorum combina tio praebeat nigredinem , cumque insuper corpora eo ap pareant nigriora quo minore collustrantur lumine ; sequi, tur nigredinem non esse proprie colorem, sed potius co loris defectum . Itaque radii in corpns nigrum incidentes, maxima ex parte absorbentur : post plurimas nempe re fractiones et reflexiones internas vel omnem amittunt ve locitatem , vel admodum variata velocitate ita ex corpo re quaquaversus erumpunt successive , ut ad lumiais sen sationem excitandai parum sint apti .

9.º Corpora apparent alba quum abunde reflectunt omnis generis radios inter se permixtos : albo namque so lis lumine in coloratos radios distracto , tum ope lentis unitis radiis , iterum ( 159. 6. ° ) emergit lumen album.

10.º Atmosphaera nostra modo pallet , modo rubet , modo tingitur caeruleo colore, etc. ; quorum co lorum varietas , tanquam ex varia lamellaram tenuitate ac dispositione , pendere videtur ex varia tenuitate ac di spositione vaporum atmosphaeram ipsam subeuntium.

236. Obiter notamus illud: si quis objectum aliquod vivido quopiam colore tinctum, nigrisque objectis circumseptum contempletur fixo obtulu donec incipiat oculus fatigari, tum obtutum repente convertat in chartam albam; cernet in hac novum quempiam colorem diversum a praefati objecti colore: intuitus v. gr. objectum rubeum cernet colorem viridem. Istiusmodi colores dicuntur accidentales, videnturque pendere et ab oculi defatigati constitutione, et a diversa radiorum natura: porro sensus nostri post vehementiorem dati generis impressionem haud sunt apti ad debiliorem proxime sequentem ejusdem generis impressionem rite percipiendam; hinc etsi alba chartae superficies reflectat omnium colorum radios, oculus tamen in eam repente conversus pulsiones rubei co there sed F goose What are penatis de fre pelenti des tar escillati da no tempe to sim135 loris non sentiet, utpote fixa rubei objecti contemplatione fa tigatus : inde fiet ut anima non ideam coloris albi , ex omnibus coloribus simul upitis oriri soliti , acquirat; sed, dempto rubeo , ideam nanciscalur coloris provenientis ex caeterorum permixtione.

Varia in systemate vibrationum explicantur luminis phaenomena.

237. In vibrationum systemate haec recipiuntur ad explicanda luminis phaenomena.

1.° Aethereum fluidum ubique diffusum permeat omnia corpora habetque generatim pro varietate corporum variam quoque intra ipsa corpora et densitatem, et elasticitatem.

2.° Ratio inter elasticitatem, ac densitatem aetherei fluidi non permanet eadem in diversis corporibus; sed eo minor est elasticitas prae densitate respondente, quo corpus est magis refringens.

3.° Aethereae vibrationes ex libero spatio propagantur per diversa media ope respondentis aetheris interni.

4.° Quemadmodum ex magis vel minus frequencibus aerearum particularum vibrationibus dato tempusculo peractis dependet varietas tonorum,

sic ex magis vel minus frequentibus aetherearum particularum ad retinam appellentium vibrationibus dato tempusculo peractis dependet varietas colorum. Ex majore vel minore amplitudine oscillationum, quas efficiunt aethereae particulae, desumitur major vel minor intensitas luminis.

5.° Luminosus radius nibil est aliud, nisi recta normalis ad aetherae undae superficiem; ad illam nempe superficiem, cujus puncta eodem temporis momento simul concutiuntur.

6.° Quum propagatur vibratorius motus per aetherem, unaquaeque vibrans aetheris particula considerari potest veluti novum centrum, ex quo promanat systema undarum secundariarum.

238. Perpendicularis reflexio luminis explicari solet per analogiam cum globulis elasticis, quorum alter incidens in alterum quiescentem majoris massae (24. 3.°) resilit. Si globuli sunt aequales, fiet propagatio (24.2.°) absque ulla reflexione; talis est propagatio luminis per aetherem uniformem.

• Perpendicularem luminis reflexionem melius intelligimus ex iis , quae hic subjiciuntur.

1º. Tubo cylindrico longitudinis indefinitae con tineantur duo fluida elastica, alterum se protendens ( 129. 7.0 ) ab x = 0 ad x=2 , alterum ab x=a ad x= 0 ; et quod in ordine ad primum est ', v, & , c , fi F' , sit g " , vié , c' , fi', F', in ordine ad secundum : ab x = 0 ad x = a erit poterit v == f'(x + 1) + F'( x - ct ), ce = F '(x – ct)—f'xtet) ; et ultra x=a , v = f ( x + c't) + F (x c't ), c'é' = F1(x c't)—f'ı ( tól).

2.º* Apud x=a non solum velocitates v et s' , sed etiam pressiones w (1 + i) et a"( 1 + ) manent aequa les per totum motus decursum ; hinc e conset f (a + ct) + F'( a — ct) = fi(a + c't) + F ':(amci), itemque , ob a' = " , ( h) Fla- ct) -f( a +ct) F ';(a - c't - f'(a + d'i) с с137

3º. * In secundo fluido nulla obtinet sive initialis velocitas , sive initialis condensatio ; motus namque ponitur a primo fluido transfundi in secundum quin secundum alia ratione concutiatur. In initio igitur motus , quum nempe i =0 , erunt v = 0 , i = o quoad x > a ; ideoque ( 1.0 ) f ' ( x ) = 0, F1 ( x) =0 ultra x=a : propterea fı(atce) = 0 ; et eliminata Flamc'l) ex duabus ( h) , Fact) = (1 + 3 ) p.(a +c1) - ( h' ). с 1

4º * Quoad primum fluidum cum sit 1+ > 0 , с poterit t+ substitui loco positivae quantitatis t in с ( h ) ; sic habebitur iting F '( x - ct) f '(2a - x + ci) ; et consequenter ( 1.9 ) in primo fluido138 с 1 - | - - | - - | -f '(2a — x + cu + f '(x + ci), 웅 (h ' ) с 1 CS f '(2a - x + ct) - $'\ x + ct ). 1

5.° * Fac ut initio motus quiescat utrumque flui dum , nullibique condensationem subeat ; tum vero, sta tim ac incipit esse t >o , fac ut stratum primi fluidi apud x = 0 concutiatur , moveaturque velocitate expressa per ejusmodi functionem ft) , quae non solum evanescat eva nescente t , sed etiam praetergredientet brevissimum tempusculum 9' , multo scilicet minus quam tempus necessarium ad motus propagationem ab x=o ad x = a . Tempori t=0 respondebunt v = 0 , < =0 ; et consequenter ab x=0 ad Xa erunt f'( 2a—x) =0 , f (x ) = 0 ; evanescet nimirum functio f' quoad omnes valores quan titatis variabilis sub ipsa f'interceptos limitibus o et 2a. Facto insuper x = 0 , erit veft) ab t =0 ad 1-0' : cum igitur intra istos limites sit f ' ( ct) =0 , iccirco A to 응 f ' ( 2a + ct ) = f(t) ; с 1 functio videlicet f' desinet evanescere quoail valores quan titatis variabilis sub ipsa p' interceptos limilibus 2a et 2a+c9' .139 6. ** Si ponitur 2a - a -ft= 2a, habebimus i

• . + 1 = f

f ' ( x+c ) =f ( 2x) =0 ; et crescente t , ui fiat i =

• + 0 , usque ad 1 = +6', erunt fi fac tot )

th с 1+ c' 1+ f '(2x + c9) = 0 , f '(2a- xtct). f (2a + ch) C ololo c 1 1 702€ 210, 8 idigt fø = (2- ). Quod si ponatur 8 +ct =2a,exsistent sca! 2aX f '( 2a - x + ct ) = f '( 4a ) = 0 ; et crescente t , Cassini porit ra 2a-x 2a-X ut fiat ta +9, usque ad 1 = to , erunt с с f (2a — x + ct) = f"(4a-+ co = 0 , f '(x + ct) = f (2a +9) = Det –9: 6 с с 1 - f(0 = ( -24 ") . 1+ 1

Pertinget itaque concussio ad primi fluidi stratum in distantia x et in fine temporis et in fine temporis 2 es que 2: 2a-

hinc bini successive motus in eo strato ; unusqui140

que subsistens tempusculo ( ; alter directus , ad quem spectat F V = CE = f ( - :-) ; et alter reflexus , ad quem pertinet ( h' ' ' ) 1 - CE f ( -2004). FE 2 70 * Aequationes ( 1. ) respicientes molum secundi fluidi reducuntur (30) ad n ' = c'é' = F.( x - c't ). Prima ( h) suppeditat ( 30 ) 1+ F'la - c't ) = f (a + ct) + f ' (a tact ) 1 2 iz f '(x + 1) ; с 1 erte in hoc polest loco positivae quantitatis i substitui t + modo sit tt > : hinc a с с141 ade 2. F ( x - cit ) : C [a(1+ + - ] : ㅎ 1 1 et consequenter 2. (h ) c'e' = f" [ e (i + + ct - Sx] (A ). 1 C Facto at 1 + ) + t - cle x = -2 , unde t = 0 + 응 0 um secu ; tum crescente t, ut fiat t= +9, usque C c' ad te + , erit ( 59) c f [ a ( 1 + i) tex] = f(20+ 1) = C - 응 r( -- ), f( 9 ) == verteturque ( h " ) in 2 . ostituit v = ce = ( 2 ). 141 + ( - )142 Unumquodque itaque stratum secundi fluidi semel exci tabitur ad motum ; incipiet motus in distantia x quam subsistetque tempusculo 6.

8.°# Comparantes velocitatem v ex prima ( h ": 6. ) cum velocitate v ex secunda quoad eumdem valorem f, inferimus velocitatem aethereae particulae in lumine directo ad velocitatem in lumine perpendiculariter reflexo esse ul1 + 2 : 1 - ; et consequenter laminis directi intensitatem ad intensitatem reflexi ut ( 1 + seu ( 154 : 240 ) ut ( 1 + n )2 : ( 1 - n ) . Simili modo, collatis (h' ' ' ) cum (h ) quoad eumdem valorem f, facile determinabitur ratio inter intensitatum luminis sive directi sive reflexi et intensitatem luminis transmissi .

9.° * Denotantibus pi et pe " densitates primi ac secundi fluidi , praecisisque parvulis densitatum variationi bus & et é ' ; vires vivae in ordine ad lumen directum , ad lumen reflexum et ad lumen transmissam exprimentar ( 6. ° 7.0 ) per he's [f(9)]?dx, l' S [ FO) ] ?dx , S [fb ) ] ?dx , seu, ob dx = cdo in primo fluido et dr = c'do in secundo , per143 CU cut'S[ 19 . ] * d9 , elle ( m ) S [103]-do, &#" ( ) S [19]*29 . oren sumptis integralibus ab h = 0 ad h = 0 . Ponamus Lesot eu'S [ 9 ] 9 -cuC ]20 + 1 oza (cm ) [103;Doda; do .: le det Cireci deleto communi factore S[RO] ado , 2 pris Canadi c # = ex ( + év " ( ) quam facile perducemus ad Tipo cau' = cope " , seu ( 129. 7.º ) =="; ad legitimam ( 1.9) videlicet aequationem. Inferimus ( re spicit principium ( 84. 5. ) de conservatione virium vivarum ) vim vivam in lumine directo aequari summae ex viribus vivis in reflexo ac transmisso lumine.

239. Ad obliquam reflexionem quod pertinet, sit AB (Fig. 60) superficies plana dirimens duo media u. et pé; KCK ' recta perpendicularis superficiei AB ; K punctum radians, ex quo propagantur luminosae sphaericaeque undae CDD' , C'EE , etc. appellentes ad AB in C, C' , etc. Fiet luminis reflexio in C, C' , etc., et habitis C,C', etc. pro novis secondariarum undarum centris, ipsae secundariae undae partim transmitentur per medium pi cum velocitate C diversa a velocitate undae principalis provenientis a puncto radiante K, partim remittentur ad medinm cum eadem principalis undae velocitate: has ultimas dumtaxat undas considerantes, ex dictis ( 131 ) facile intelligemus, quemadmodum oculus collocatus v. gr in C videt punctum K juxta rectam CK perpendicularem undae incidenti CE', sic oculum collocatum in C " visurum ope luminis reflexi imaginem ipsius K in K' juxta rectam C'K ' undae reflexae AQB perpendicularem, quae recta efficiet cum AB angulum C'C - B aequalem angulo ACʻK; angulum iccirco reflexionis aequalem angulo incidentiae. Ad haec: etsi un. da reflexa non est sphaerica , adhuc tamen reflexionis an gulum fore aequalem angulo incidentiae liquet ex eodem n ” . 131 .

240. Quod spectat ad refractionem; sit AB (Fig. 114) superficies dirimens duo media fe, le'; K punctum radians, ex quo promanant undae C'E, HE", ... BB' , BB" continuatio superficiei sphaericae BB '; c velocitas qua propagatur lumen in medio fh ; c' velocitas qua propagatur in me dio . Cum C , H , ... sini totidem centra undarum secundariarum sese diffundentium per medium is si centris C, H , ... et semidiametris c ' -.CP, HP' , ... с с 4 describantur sphaerae, superficies BD eas tangens erit lo cus aetherearum particularum , quae incipient simul affici motu luminis refracto statim ab adyenlu undae ex K in B; erit nempe BD superficies undae refractae. Fac ut punctum H sit infinite vicinum ad C ; duc normales CC , HQ ad BD; item perpendicula Ah , Ah , alterum in C'C ' seu in radium refractum apud C' , alterum in KC' ; demum noraia'em 00' ad AB apud C. Erit 1145 . Ch = cc’– HQ = ... CP - HP = -CP— MP")= [(KB-KC )-(KB-KH )]= (KH-KC )= = . C'H'; ideoque с q C'h ! C'h . 'Triangula rectangula C'Hh', C'Hh dant C'h ' CH sin h'HC' , ch CH sin hHC; propterea siph'HC с sinhHC lamvero ob latera HC, Hh' anguli h'HC perpendicu Jaria lateribus C'O' , C'h' anguli O'C'k', est h'AÇ = OʻCh'; et ob latera HC', Hh anguli hHC' perpendicularia lateri bus C'O ', C'h anguli hC'O' , est hHG ' = hC'0 ': igitur sin O'C'h ' C sinO'C'h formula praebens constantem rationem inter sinum inci dentiae et sinum refractionis.

241. Sint duo specula plana metallica CP, CQ (Fig. 115) sub angulo PCQ constituta: ex puncto radiante F duc perpendicula FO, FO , alterum ad CP, alterum ad CQ; et 10146 0 b sume HO = FH , H'O' = FH' : recta 00' junctis duobus punctis 0,0', ipsam 00' divide aequaliter in M; et in pla. no perpendiculorum FO, FO' duc ex M rectam MM' , quae secet in C communem speculorum intersectionem. Triangula rectangula CHO , CHF dapt CO = CF; siquidem HO = HF, et latus CH commune : eadem ratione triangula re ctangula CH'O ', CH'F dant CO' = CF; propterea CO = CO'. Non pluribus opus est ut intelligamus punctum quod. vis rectae MM' aequidistare ab 0 et O' . Hinc si la minosus radius Fa' reflectitur speculo CP in punctum v. gr. A ipsius MM ', et luminosus radius FK' reflecti tur speculo CQ in idem A, binae semitae incidentium reflexorumque radiorum ab F usque ad A erunt aequa les inter se, nempe Fa' + ad = Fk' + k'A; quandoquidem ( 172) Fá ta'A = 0A , Fk' + KA = OA. Quoad radios Fa, Fk alterum reflexum speculo CP , alterum speculo CQ in idem punctum B extra MM' , profecto binae semitae Fata B, Fk + kB non erunt aequales, sed quemadmodum ( Fk' + k’A ) - (Fa' +a'A = O'A — OA, sic ( 172) (Fk + kB) – ( Fa taB) – O'B - OB ; semitarum videlicet differentia exhibebitur per O'B - OB. lam si angulus PCQ fiat obtusissimus, ut anguli OAO , OBOʻ prodeant admodum tenues; ejaculante F lumen ho mogeneum, etsi radii reflectuntur longe ( 160 ) a specu lorum extremitatibus P , C, l, adhuc tamen luminosae , 10 RUL147 le obscuraeque fimbriae sese exhibebunt videndas ; quae fim in briae exsistunt parallelae communi speculorum interse Poctioni: punctum A constanter erit luminosum ; punctum ni vero B vel obscurum , vel luminosum, prout valor dif ferentiae O'B - OB repraesentatur vel per aliquem termi se num seriei 1,35 ....... yel per aliquem seriei 22.04.0 .... valor à pro variis colorum gradationibus varius est ; vi de subjectam tabellain Valores , apud limites colo rum principalium Valores à apud medium colorum principalium Violac.extrem.0,000406millim . Violac. 0, 000423 millim . Viol. indic. 0, 000439. Indic. 0 , 000440. Indic. caerul . 0 , 000459. Caerul. virid . 0, 000492. Caerul. Virid. 0, 000475 . 0, 000521 . Virid. flav. 0 , 000532 . Flav. 0,000551 . Flay.aurant. 0 , 000571. Aurant 0, 000583 . Aurant. rub. 0, 000596. Rub . 0, 000620. ! Rub. extrem. 0 , 000615 .148 1 1 Interceptis radiis, qui ab alterutro speculo reffectun tur, disparebunt fimbriae , lumenque uniformiter sese fer me diffundet per AB; etsi non eadem vivacitate , quam a pud splendidas fimbrias habebat, sed minore.

242. Nunc facile stabilitur illud: si duo radii homoge - 1 nei et habentes eamdem originem, et parum admodum invi. cem inclinati , occurrunt sibi mutuo; unius splendor adjun get se alterius splendori quotiescumque semitarum differen \lambda tia fuerit = 2 m ; destruet vero unius splendor splen 2 1 dorem alterius quotiescumque semitarum differentia fae \lambda rit = ( 2m +1) î : exhibet m quemvis terminum se riei 0 , 1,2,3,4 , .... Huc spectat interferentiarum principium. Quod pertinet ad lineam , ubi , variatis OB, O'B , et permanente semitarum differentia O'B - OB, invenitur pun ctum respondens B; pone hyperbolae ( Fig. 116 ) centrum in M , focos in 0 et O' . Si ex 0 , O' ducuntur rectae OB, OB ad quodvis curvae punctum B, et ex B in abscissarum a xem RR' demittitur perpendiculum, seu ordinata y, erunt ( 57. 4º. ) OB’ = ( x -ca)2 + y == (x - ea)2+ (1-2)(a2-x2) = ( ex - a )', O'Bº = ( x + 2) + y = (x + ea)2+ (1-2)(a2-x2) = (Ex + a)”; proinde O'B - OB = 2a. Differentia scilicet inter O'B et OB aequatur quanti. tati constanti; quae quantitas constans nihil est aliud pisi axis transversus hyperbolae.149 1 sese te 70201 homme domi oradie Non pluribus opus est ut intelligamus illud: variatis OB, O'B ( Fig : 115 ) , et permanente O'B — OB, punctum respondens B, sive luminosum sit , sive obscurum , invenie tur alicubi in ramo hyperbolico; cujus videlicet centrum in M, foci vero in 0 et O' .

243. Ad istiusmodi mutuam radiorum actionem expli candam, sumamus duas ultimas formulas (29.59) respicien tes oscillantem particulain, quam in praesens ponimus es • se unam ex materialibus luminosi corporis particulis, unde proveniunt aetherearum particularum vibrationes. Sit cveloci. qua defertur lumen; A distantia inter materialem corporis luminosi particulam et particulam aetheream; exprimer --tem pus a lumine impensum ad percurrendam distantiam A, motusque aethereae particulae determinabitur ( 126) per tas inne с erentia 3,01 nitary

)

v = VC.sina (6-4),x= vc. 277 COS -( t 27 0

) (6 ) :

ae OR issario a g; er inde assequimur quoad fluidum aethereum quae jam obti vuimus ( 126 ) quoad aereum fluidum . His positis , de notet à undarum latitudinem c9 ; aethereum fluidum a 314 pud punctum B sollicitabitur duobus vel conspiranti bus, vel contrariis aequalibusque motibus , prout differen Flert tia O'B - OB semitarum , quas incedunt homogenei ra dii habentes eandem originem et parum admodum invicem 2 inclinati, fuerit vel 2m vel ( 2m+1 ) : in primo 2 casu splendor unius radii manifeste adjungel se splendori alterius , in secundo splendor unius destruet alterius splen dorem.

244. Haec subjicimas ad mutuam radiorum actionem magis declarandam . 1º. Amplitudo oscillationis, quam con ar aliad wemo150 ficit aetherea particula, exprimitur ( 29.50 . ) per VC. sitis igitur -: po voor = 20 , 27 0 \beta ( 6 ), formulae (6) poterunt sic scribi v== \beta sin 20 ( e - 44 ),és= Ucos 276 0 ( -4- ) ( 6' ' ) . 2º. Cognita velocitate 270 (3 sin 3 ( t to e ) -CE. с datae particulae spectantis ad luminosum radium, innotescit A origo ipsius radii: nam E , ideoque A 3º. Quantitas C nibil est aliud ( 29. 1º. ) nisi qua dratum velocitatis, quam habet oscillans particula rediens ad aequilibrii positionem : cum igitur in eodem radio lumino so sit C ut a? ( 10.6' ) , poterit quadratum c2 assumi tanquam proportionale ipsius radii intensitati. 4º. Si duorum radiorum alteri respondent 271 271 v= Rsing ( t + E ), é= ucos 10B + E) (6), alteri 277 Del' = B'sin f' sin (e + 2 + r'), = c cos 2 (0+ + ') ( 6 ' ' ) ,151 ii erunt ejusdem quidem coloris ( 237. 4º) ob idem o tam in ( 6'" ' ) quam in (6 " ) , sed ' non ejusdem originis ( 20 ) ob diversas e et e te', neque ejusdem intensitatis ( 3º) ob di versas a et á . Fac ut istiusmodi radii sibi mutuo rant parum admodum invicem inclinati : ad motum inde resultantem in aetherea particula apud occursus punctum spectabunt formulae occur iii V " = vtu' = \betasin Eſsin 2 ( 0 +2 ) +B'sin 277 o ( t + e + e'), 277 277 2 = 2' + = acos + E) + 'cos (tt- s -te'). 0 Pone 27 277 276 fsin ( +8) + \beta "sin Ğ (1 + 2 + ') = Bsin 7( 2 + E + H ), 27 27 277 acos 0 (2 + 8) + a'cos (2+2 +)= Acos ä + + '); habebis 277 ( + \beta"cosamez") sin 2 ( + 2)+ \betasin e ty,008 cos (4+5) = 277 Bcos 2 H sin 2 (0+ 5) + Bsin 276 0 H cos - (0 % 2), (atacos 27 2') cos 20 (1+z) -c'sin 27 sin ( + E ) =152 A cos H cos 4 (2 + 2)-Asia . H sin 24 ( ete ) , et consequenter 277 277 Bcos THEH = B + f.cos 0 E ' , Bsin a = Bösin e 277 277 A cos 277 0 H = a + acos E' Asin - H'=za'sin a * 2 , Hinc 277 B'sin 277 tang H 6 27 B'sin E o B= sia H 0 5 27T 27 B + \beta'cos - o E VBO 8'2 +258" cos 276 6 E ( 6" ) 277 a'sin É ', 277 a'sin o E 277 tang e H' = A 277 277 a ta'cos B ' sia H' o7 Væ+ + zuz.cos 277 B : 6 ex quibus cum prodeant reales valores quantitatum B , H , A, H' , cumque ( 10 , 6' )153 S'sin 276 · B 0 -277 0 a sin 27 B A 0 271 27 27 . B + s' cos 277 0 at á cos 6 276 asin E 0 277 a tácos 0 formulae quoad motom resultantem in aetherea particula apud illud occursus punclum traducentur ad 277 277 v" "=Bsin 3 4(2 + 3 + HH),,zz " = AA cos ( 2+3 +H) ( 6 " ). 5 ° , Radius resultans (6 " ) est ejusdem coloris ac radii componentes (6 ' ') et ( 6 " ). 6º. Binarum - ce et - c { + B' ) altera suppeditat ( 29) originem radii (6 " ), altera originem radii ( 6 " ); praebe bit ergo -ce' differentiam inter ejusmodi origines. Sit (243 ) -ce'vel = 2m 22을 2m co a vel = ( 2m + 1) 2 2 (2m ( 2m +1 c9 ) 2 in primo casu ( 4 ° 8° ) A = Vasta'at zuz cos2in1 =atai B-V 1 + '2 + 255.cosamt = B + B =154 277 27 -lata '), tang -H=0, - H=0 ; 0 0 1 proinde 27T grata )sin : (+ ) , z" = (at )cos ( ) ( 6 ' ' ); in secondo A = VQ2 + a2 + 2ax'cos (2m +1) =«- , B = V 62 + 62 + 255'cos (2m +177 = B-B= 24.la -a), tang **-H = 0 , H =0 ; propterea 277 277 277 a ' - a ) sin e + ( 6 + B ), z" = ( - a)cos ( + E) ( 6 " ). 70. Si a = a, binae (6 " ) praebent 277 277 v ' ' . a sin 0 0 -{ {+E ),z"" = 24cos ( + E ); binae vero (61 ) dabunt (243 ) 2 " = 0 , z" = 0. 8. Sume ( 6 )155 CA CE ——= 4 habebis ( 4º . 6º. 1º, 6' . ) TT V azt 6x + zuz'cos -V ata' 2 77 B'sin 2 tang6 27 HН = B+B'cos 2 TT 2 S P $ B = V B2+ 3:2+ 26$ cos V 2V 627313 Vatan : et in hypothesi a =EÚ , A = av2, tang- H = 1, 276 2-1 - HC B2 a V2. 8 Inferimus, in ea qua sumus hypothesi , et intensitatem ( 39) radii resultantis fore duplo majorem intensitate upius cujusque componentis, et differentiam inter originem radii \lambda resultanuis ac originem uniuscujusque componentis fore 8156

9º. Repraesentet OAB. . . (Fig. 117) superficiem undae manantis ex centro S: sintque considerandi motus perlingentes ad aetheream particulam D ex omnibus simul punctis superficiei OAB.... tanquam ex totidem novis centris ( 276. 6º. ) undarum secundariarum . Sumantur ejusmodi par tes finitae OA , AB , BC , ... in superficie undae, ut ex sistant (243 ) AD = OD + 2 , BD == AD + , CD = BD + ,.. semitarum nempe AD et OD , BD et AD , ...differentia === * . Singulae OA, AB , ... intelligantur dividi in ejus modi elementa infinitesima , ut designante h intervallum inter D et unumquodvis ex istis elementis, et dh infini tesimam constantemque differentiam , sit h +dh interval lum inter D et elementum immediate subsequens: bina in tervalla h quoad msimum elementum partis , v. gr. OA et quoad msimum partis immediate subsequentis AB exprimea tur, alterum per OD + m. dh , alterum per AD +-m.dh = OD + m.dh + 2 ; adhuc nempe semitarum differentia 2. Etsi OA > AB > BC > ... , attamen discrimen inter duas quasvis istiusmodi partes se se immediate excipientes ita semper attenuatur, ut ad quam • dam distantiam ab O eae censeri possini atquales: sic ex L et K ductis perpendiculis Li et Ki in KD et MD , quoniam triangula rectangula LiK , KiM practer aequa157 quae dividuntur lia latera Ki ( = id ) , Mi' ( = į1) habent quoque angu los LKi, KMi aequales ob exiguissimum angulum KDM , iccirco LK= KM. Elementa igitur, in par tes OA , AB , BC,..., decrescent quidem recedendo ab 0; ita tamen ut ad quamdam distantiam assumi queant ve luti aequalia . Propterea ( 6º. 70.) obtinebit in D aliqua tantum destructio motuum provenientium ab elementis spe ctantibus ad partes OA, AB, BC , .... , parum remotas ab 0; crescente partium distantia ab 0, major fiet re spondentium motuum destructio in D, donec ad quan dam distantiam evadat quasi totalis . Haec applicantur lumini vel reflexo , vel refracto ( 238: 239: 240) , modo superficiei OAB ... substituatur super ficies vel reflectens, vel refringens , et rect ae SD substi tualur luminosus radius , qui vel reflexione , vel refractio ne observatur.

10º . Facile intelligitur illud: motus aethereae particulae D idem ferme erit sive spectetur tanquam proveniens ex centro radiante S, sive spectetur tanquam procedens ex omnibus simul punctis superficiei OAB ... veluti ex totidem novis centris undarum secundariarum . Aliter se res haberet si , per aliquod obstaculum inter cepta notabili undae portione, transiret exigua tantum lu minis quautitas prope 0, appelleretque ad D. 110 * Sit w quantitas ita pendens ab angulo , quem recta ducta ad D ab uno quovis ex praefatis ( 9º. ) e lementis facit cum OD, ut imminuto angulo augeatur w juxta certam quamdam legem , evanescente angulo fiat w = 1 : quod in ordine ad elementum apud 0 est ( 19.6 ' ) a, in ordine ad aliud quodvis elemen tam o poterit expri- . mi per a.w. Hinc ( 1º . 6 " ) velocitas ab elemento o transmis sa in D ( 243 ) ,158 h v = B.w.osin 27-10---B.w.csin 27 (7-5 ) ; respondens spatiolum , ( 65 ) 1 = 0.0.ccos 20 )= 2.1.003276. * .

245. Ut aliquid nunc dicamus de apnulis coloratis( 233), sit stratum v. gr. aereum BD ( Fig: 113 ) crassitiei h , in quod incidat normaliter homogeneum lumen , cujus in tensitas = 1. Distrahetur lumen in duas partes , alteram intensitatis = i ( a ) reflexam apud aerei strati superficiem B, alteram intensitatis = 1 - i ( 8 ) traductam a B ad D: lumen ( 3 ) distrahetur adhuc in duas partes, alterain intensitatis = i ( 1 - i ) ( 5' ) reflexam apud inferioris vitri superficiem D versus B, al teram intensitatis = 1 - i - i ( 1 - i ) ( 6 ) traductam infra D: lumen ( s ' ) distrahetur iterum in duas partes, alteram intensitatis i2 ( 1 - i ) (g " )159 reflexam apud superioris vitri superficiem B versus D, al teram intensitatis , =i ( 1 -i ) -is (1-2) la') traductam supra B: lumen quoque ( 8" ) distrahetur in duas partes, alteram intensitatis = 3 (1 - i ) ( 8 ' ') reflexam apud inferioris vitri ruperficiem D versus B , + alteram intensitatis 12 ( 1-1) - 1361 - i) ( 6') traductam infra D, etc. Quoad radios ( a) et ( a) , quisque videt differentiam inter eorum origines esse zh ; hinc ( 244, 4° 6° ) 2h -ce' = 2h , e' == с Ad haec : quum lumen propagatum per medium / incidit in dirimentem superficiem medii d' , reflectetur qui dem ex parte , sed vibratorius aetherearom particularum motus fiet vel in una vel in contraria directione , prout densitas medii u fuerit major , vel minor quam densitas medii Hi sic globalus elasticus incidens in elasticum globu lum quiescentem pergit moveri vel in priore , vel in contraria directione , prout ( 23) massa impellentis globuli major, vel minor fuerit quam massa globuli impulsi # Pro fecto id melius intelligitur ( 240) e secunda ( h ""'.238.6 ° ) ; siquidem v , caeteris paribus , allicitur uno vel contrario signo , prout c<vel >c' * 1160 Iamvero ( a ) spectat lumen reflexum apud aerei strati superficiem B, et ( a' ) lumen reflexum apud vitri superficiem D ; erunt igitur ( 244. 1.0 3.0 ) binis V(a ) , Vla ') prae figenda signa contraria , et consequenter in ordine ad ra dium ex ( a) et ( a' ) resultantem exsistet intensitas ( 244. 4.° b. b . ) 271 A=(a )+a ') - 2V(alv(a' cos 0 ob quantitatem i admodum exiguam praetermissis i?, 13, . , (a) =i , v (a )= $(1— (21— ; ) ) = i (1–2 ); iccirco ( 243, ) 2h AP-_- 21-2icos 276 4isin? 277 h sin22 2à ( c ) : formula pertinens ad annulos reflexos. Quoad radios ( 6) et ( 6' ) , differentia inter eorum ori gines est pariter 2h : idem insuper signum manifeste erit praefigendum binis vb) , v 16 ). Propterea in ordine ad resultantem radium AP= 6337163 +2V10 (")cos( m .2.) rursus attenta exiguitate quantitatis i , ( b) =1-2i , V (6 ) = 1 - i , V (6 ') = i ; iccirco161 2A 2A A1-1-2t + 2icos211 = 1

ܐ2-1

) -2ܕ 3 ( h 14isina 2ܕ ( c) : formula pertinens ad annulos transmissos 246. Ex ( c) inferimus maximam A' , seu annulorum reflexorum puncta maxime lucida respondere valoribus .,ܐ , x ܂ ܃ ܂ܐ ܕܒܬܐ ܕ minimam vero A ’, seu puncta maxime obscura , valoribus 2 .ܐ , ܐ܊ .ܐ ; . .ܐ.ܐ ; , c= ܬ \lambda Ex ( c ') deducimus maximam A , seu annulorum transmis sorum puncta maxime lucida respondere valoribus. ix , 4 .ܘ = ܬ

ܙ

ܐ .ܐ : ,, ܕܐ .., 4 minimam vero A’ , seu puncta maxime obscura valoribus 3 .... ܐ;. ,ܙ |ܫ ܗܬ Quisque intelligit interyallum vicium alibi ( 222. 4º : 233 ) consideratum aequivalere dimidiae semiundarum la titudini , videlicet 1 ܐ ܙ 11162 247. Fac ut lumen album coalescat ex m radiis ru beis , ex m' immediale sequentibus radiis juxta refran gibilitatis ordinem , atque ita porro ; intensitas autem in singulis radiis sit ubique eadem. Quoad annulos reflexos prodeuntes ex lumine albo normaliter incidente in BD , erit ( 245. c ) h A : = m.fisin 21 + m '. + m '. 4isin ? 276 seu compendii causa h h A > = 4:Smsin ^2 x =4iZm– 4iSacos^ 27 à ( c " ). Quoad annulos transmissos prodeuntes ex eodem lu mine albo ( 245. c' ) , h A2 = mtmtor . --m.4isin221 h -m4isina 273 a seu h \alpha 2-Σm-4ΙΣmsin32π = (1-4i)Σm-1-4iΣmcos22π a h a (c ' ' ). Facile assequimur significatum terminorum in ( c " ) et (c' " ' ) : sic v. gr. Em exhibet album incidensque lumen ; 4iEm lumen album intensitatis = 4i ; ( 1-4i) Em lumen al h bum intensitatis = 1_4i , 4imcos227 ä rubeum colorem in tensitatis = 4 ; etc. ... Mistione luminis albi languescunt variae annulornm coloratorum tincturae . 248. Lumen homogencum Sa ( Fig. 118 ) incidat oblique in aereum stratum interceptum planis parallelisque superficiebus HH' , H'H ' " medii ; quarum superficierum commune perpendiculum aa'l=h). Apud aeris superficiem HH' distrahetur lumen in duas partes ; alteram intensitatis ita reflexam juxta aR ut angulus Rag aequelur angulo Sag; alteram intensitatis =1 -i (9) traductam ad H'H ” juxta ac ; pendet i ab angulo Sag: lumen (9) distrahelur in duas partes ; alteram intensitatis =y ( 1-1) ( g) sic reflexam apud superficiem H'H ” medii pe versus HH' juxta o'o , ut angulus oo'H " aequetur angulo ao'a'; alte ram intensitatis = (1-1)-0(1-1) ( p) traductam infra HH " juxta directionem o'T parallelam ( 179 ) directioni Sa ; pendet v ab angulo ao'a ' : lumen (9' ) distrahetur in duas partes ; alteram intensitatis va(1-1) ( 9 ) reflexam apud superficiem HH medii pe versus H " H " juxta directionem oe facientem cum perpendiculo ob ( =aa' ) angulam eob aequalem angulo boo' ; alteram intensitatis = ( 1-1) -- 2 (1-1) ( k)164 traductam supra HH ' in directione oR' parallelam directio ni aR : lamen ( g) distrahetur in duas partes ; alteram intensitatis = v3(1-1) ( 9 '"') reflexam apud superficiem H " H " medii p versus HH ' ; alteram intensitatis = v2 (1-1)-23(1 ---) (p ) . traductam infra H " H " juxta el' parallelam directioni oʻT ; etc. 249. His positis , veniant 1.º consideranda ( k ) et (k' ) . Non incipit lumen ( k') sese diffundere ab o ad R' motu uniformi et velocitate c nisi post percursum spatium ao' to o'o motu pariter uniformi et velocitate c' : dum igitur in o formatur prima unda luminosa of ex ( h ) , lumine (k) jam propagato uniformiter cam velocitate c ab a per spatium v. gr. af ' , formabitur simul in f' luminosa unda f'p" : et quoniam of , f'p " spectari possunt tanquam plana per pendicularia binis aR , oR ', modo punctum radians S po natur satis remotum ; exhibebit fpre constans interval lum inter undas of et f'p " jugiter instauratas , progre dientes versus R et R '. Itaque cum sit ob motuum uni formitatem af ao' to'o , c et consequenter af'= lao' too .. 2c ao'ET: aa' . sec a'ao ' =165 h sec a' ao ' , cumque af - a0.cos oaf = 2a'o'. sin Sag = 2aa'lang a'ao'.sin Sag 2h tang á ao'. sia Sag ; erit ( 240 ) 2h ffaf - af cos a'ao lo' — sin d'aó' sinSag) 00:22. l - ġ sin•d'ao') –2c cos d'ao'; et facto a'ao' = W , 2hc ffa cosa : proinde ( 244. 4. 6.° ) 2hc --CE' cos 2h COSC ) . 1 Ad haec : pertinet ( k) ad lamen reflexum apud super ficiem HH' aerei strati , et ( k' ) ad lumen reflexum apud superficiem H'H ' " medii j. Ergo quoad lumen inde resul tans obtinebit (245 : 244. 4. ° 6'. 6 " ) intensitas 2hcosa A == (k ) + (h') — 21 (k )V (k')cos 276 0 hcosas)166 seu A ’ = i + 11_ ) (1-0)-2ViV V(1 — i) (1— ) cos 27 2hcosa 2 ( 1) , denotat à latitudinem undae in aere. Veniant 2º consideranda (p ) et (p ). Dum, post per cursum spatium o'o + oe uniformiter cum velocitate c' gignitur in e prima unda ee' ex lumine (p ) , gignetur si mul in e ' unda e" e" ex lumine (p ) sese diffondente ab o' per oT ; eritque e'e " constans intervallum inter undas ee' , e'e' progredientes versus T' , T. Eadem ferme ratio ne ac supra ( 1. ) pervenitur ad é'e ' 2hc COSW : c' proinde quoad lumen resultans ex ( p ) et (ø ) 2hcosa A2 = (p ) + (p') + 2V (PV (p')cos 17 2hcass), seu 2hcosa A>=( 1-1) (1–0) [ 1 + 12 + 2ycos27 a ] ( 1 " ) . 250. Mutata dumtaxat aerei strati crassitie h in (l) maxima A2 respondebit valoribus 3 7 h = 1 4cosa 2 à , 5 a 4cosa 2 ... , > 4cosw 4cosa167 minima A2 valoribus 4 6 h=0 , 2 \lambda 4cosa 9 à 7 a . 4cosa 4cosa Item mutata dumtaxat h in ( l ' ) , maxima AP respondebit valoribus 4 h=0 , 2 4cosa a , ao 6 a . 4cosa 4cosa minima A2 valoribus 1 7 h à 3 4cosa ao 5 4cosw à , a ,. 4cosa 4cosa Istiusmodi valores h majores vel minores sunt pro maiori vel minori 6 ; et facto w=0 , recident in valores jam obtentos ( 245 : 246 ) ex ( c ) , (c' ) : hinc intelligimus cur ( 234 : 3. ) crescant vel decrescant annulorum coloratorum diametri crescente vel decrescente oculi inclinatione ad MM ( Fig. 113).

251. Ex duobus radiis ( 241 ) OB , O'B (Fig. 115) ad sensum parallelis fac ut alter dumtaxat v. gr. OB ad stringatur transire normaliter per laminam v . gr. vitream satis tenuem , collocatam inter B et 0. Quoniam ( 240 ) velocitas c ' , qua propagatur lumen per laminam vitream minor est quam velocitas c , qua propagator per aerem , et consequenter undarum latitudo (243) c'O in vitro minor quam undarum latitudo co in aere ; sequitur molum lu minis OB retardatum iri ob interpositam laminam ; quae retardatio motus aequivalet certae cuidam recessioni origi nis 0. lam si talis est. crassities laminae, ut retardatio sit 3 5 \lambda a 2, ... , obtinebit in B moluum opposi 2 2 2 1 >168 tio si ibi , non interposita lamina , obtinebat moluum con spiratio , et viceversa ; sese nimirum exhibebit obscurum punctum ubi sese exhibebat luminosum , et vicissim. Quod si laminae crassities praeberet retardationem= 2, 22, 32, .. ibi perstaret motuum sive opposito , siye conspiratio , ubi erat antequam interponeretur lamina.

252. Sit h laminae crassities : dum lumen OB mo tu uniformi et velocitate c percurrit in vitro spatium h, profecto lamen O'B motu pariter uniformi et velocitate c percurret in aere spatium h + x ; repraesentabitque x prae fatam originis recessionem . Quia vero ob moluum unifor mitatem 1 k htx ideo ( 243 ) = ( - 1) = ( --). Uodarum numerus in aere respondens recessioni x expri metur per ir = ( - )

253. Hinc D. Arago desumit explicationem scintillationis, seu illius tremoris quasi continui qui in stellarum lumine observatur. Rem attente perpendentes deprehendemus scintillationem consistere potius in eo quod sese exhibeat stellae lumen sub diversis successive et intensitatibus et coloribus, quam in motu proprie dicto ipsius luminis. lntelligatur itaque almosphaera dividi in strala AA O'O ,169 OO'B'B , ... (Fig. 111) perpendicularia parallelis radiis QR' , QʻR" , ... a stella ad observatoris oculum evibratis; quorum stratorum crassities ( =h) sit ita tenuis , ut , licet densitas, temperies , etc... exsistant aliae v. gr. apud R ' et R” , maneant tamen constantes per totam h ab R ' ad 00', constantes per totam h ab R " ad 00 ': sic vis re fringens in strato AA'O'O variabit ab AO ad A'O ', non ab AA' ad 00' ; item in strato QO'B'B variabit ab OB ad O'B, non ab 00' ad BB'; etc ... Denotent l , l ' , ... undaruu latitudines in stratis AA'O'O , OO'B'B, • quoad rubeum v. gr. lumen radii QR' ; L , L' ... undarum la titudines in iisdem stratis quoad rubeum lumen radii QʻR" : praecisa atmosphaera , aequales haberentur numeri unda rum , in binis radiis QR' , Q'R " a stella ad oculum ; sed interposita, atmosphaera, ii numeri fient inaequales; et cum ex AA'O'O oriatur ( 252 ) differentia h ex OO'B'B ( - ),eso differentia h ( - ) etc. exprimelur totalis diffe rentia per h ( - ++ - ++ - 1 + ... ) . à Iam haec differentia poterit esse = (2m + 1) 3 ; quo in casu ( 242) rubeum lumen radii QR' rubeumque ra dii ( R " sese destruent apud oculum ; et stella appare bit coloris viridis , provenientis ex caeterorum permixtio ue. Interea radiis QR' , Q'R ' succedunt alii radii, in qui bus, ob mutatum brevi atmosphaerae statum, non rubeum sed alterum quoddam lumen destructor apud oculum, sicque desinet stella apparere coloris viridis , ut illico appareat alterius cujusdam coloris , etc, ... Si stellarum imagines diverse coloratae ita rapide170 3 sibi succedunt in oculo ut efformetur ultima antequam prima defecerit , una imago superimponetar alteri ; in deque resultabit sensatio unica: et cum possint eae ima gines referre colores omnes , poterunt identidem stellae per aliquod tempus splendere fixa uniformique albedine. Observatione revera constat id saepe contingere : istud vero phaenomenon repetendum esse ex iis imaginibus super positis facile quisque sibi persuadebit , si observando stel lam ope telescopii astronomici agitet aliquantulum telescopium ipsum quum stella perstat in fixa uniformique al bedine tunc enim loco puncti repraesentantis stellam videbit lineam , cujus partes erunt varie coloratae. In planetis.non deprehenditur scintillatio , quia eorum appareas diameter habet sensibilem longitudinem. Spectemus planetam veluti punctorum lucidorum congeriem: singula puncta gignent in oculo suas peculiares imagines ; et quoniam istiusmodi punctorum radii diversas in atmo sphaera semitas incedunt, certe non praebebunt imagines eodem praeditas colore. Ex harum imaginum colores omnes referentium superimpositione resultabit unica imago splen descens lumine albo . Caeterum planeta incipit scintillare , nbi sic recedit a tellure ut ejus apparens diameter ad modum minuatur,

254. Obiter notamus illud: impressio luminis facta in oculi fundo videtur extendi aliquantulum in retina circa interni coni (158) apicem; eoque magis, quo lamen est magis vividum. Inde fit v. gr. ut fixarum imago sese exhibeat tanquam discus exiguissimus quidem, majoris tamen vel minoris diametri: ejusmodi effectas dicitur irradiatio.

Nonnulla circa luminis diffractionem explicantur, tum in emissionis, tum in vibrationum systemate.

255. Quoad emissionis systema, vires (222.3.°) in aliis distantiis attractivae, in aliis repulsivae detorquent171 am Elae Ene. tud ber stel. les al laneo eur. ges ; mo motum luminis transeuntis prope corporum margines et

recurrentibus quibusdam vicibus (222.4.°) , jam aliae vi res suum praestabunt effectum jam aliae . Hoc pacto lu men quo propius transibil , eo magis detorquebitur et (231) aliae ejusdem radii particulae attractae flectentur introrsum, aliae repulsae flectentur extrorsum alii insuper

colores aliter ( 234 , 2.0 ) patientur haec ipsa . Fiet autem ex ejusmodi inflexionum varietate ut aliae luminis par ticulae coeant in unum , aliae in aliud punctum quae

puncta extrorsum reperientur in variis lineis curvis sen sibili intervallo invicem separatis . Non pluribus opus est ut intelligamus qua ratione in emissionis systemate ex plicetur fimbriarum (160) formatio, et curvilinea earum propagatio item splendoris imminutio in fimbriis lumino sis, et imminutio nigredinis in obscuris ab A ( Fig. 71) versus M etc.

256. Quoad systema vibrationum, sit S (Fig. 117) luminosum centrum HH' illa undae portio ex cujus punctis tamquam ex totidem centris undarum secundariarum (244.10°) procedit motus aethereae particulae D; exhibeaturque per a intensitas luminis apud D ex dimidia portione OH', ut repraesentetur per 2a intensitas ex tota HH'. Inhaerentes jam demonstratis (244.9") facile intelligemus quod qui motus transmittuntur in D a duabus partibus contiguis OA et AB vel AB et BC, vel BC et CE , etc.... , ii sese partim destruent , adeo ut Od praebeat in D intensitalem luminis > a , OA+AB intensitatem < a , OA + AB + BC intensitatem > a simulque < intensitate ex OA ,0A + AB + BC + CE intensitatem <a simulque > intensi tate ex OA + AB , OA + AB + BC + CE- + EF intensitatem Sa simulque < intensitate ex OA+AB + BC , atque ita porro. Inferimus , ubi per aliquod obstaculum intercipi tur lumen ab H versus 0 , fore D punctum luminosae fine briae si obstaculi margo est in A , C , F , . , obscurae si ines 1 nes en re , ada acta cir Whi. id172 in B , E , ... Denotante A differentiam inter lineam rectam SD , et summam rectarum ab S et D ad obstaculi margi nem ductarum, in primo casu ( 224. 9.° ) A , 2. 2. ... , in secundo A=2 , 22 , 32 , ... Patet itaque quomodo praefata ( 255 ) diffractionis phaenomena explicentur in systemate vibrationum

257 * Haec subjungimus.

1.º Sit AB (Fig. 119 ) obstaculum; AOH' undae superficies, cujus puncta transmittunt (244. 9.') simul motum in D; SC recta ex centro luminoso S ducta per obstaculi marginem; DC perpendiculum ex D ductnm ad SC; habeaturque dumtaxat ratio illorum motuum, qui fiunt in plano SCD. Centro D (ponitur admodum puncto C vicinum) radioque DO describe circulum PQ; et ductis DEE', SE ad punctum quodvis E ' prope O, ex E' , E demitte perpendicula Ea , E'a' in SD. Fac SA =r , AC=r , OE' =S , DE ' = h , DC=x; et pone DC satis remolam ab A ut, attenta exigua portione efficacis (244. 9. ) superficiei AOE' ... , Bogulus EʻDO exsistat tenuissimus . Eront x2 DO-SD- =V(r + rja tor ? -r = rts + rtr' 2Fr ) r2 urt 2 {rtr') '173 EE=aa'– Oa't0a-- - + . h = DE + EE = DO + EE = r' + Zister's ' + ( + -) . et ( 244. 11. ) osds , w=1 . Hinc formulae (65 244 11.° ) quoad motum transmissum in D dabunt Vi = psds.sin 20 [c- ( + x² + sa ) ] , 2 (rto) 2rr ' 276 x2 Z = as ds. cos. o [e- ? ( + 2(x+ 1) s“) ]. 2rper

2º. Variato s, permanent i et x in ordine ad pun ctum datum D ; igitur 2rp ' V = Bain 2 [ -u( +26 *rs)] Sds.comment peos 27 [ -z( +2* )]Sds.sin a ti , 20 [ - +-(**-+ )] Sal.com [ - +- (* + ent ] Sds.sin 27 : 2 1 ZacOS 2769 rte' өс 2rr ve + asin 277 1 ptr 2rr'174 et cum sint -sin cas25 [ _ * (1 + 2 **)] -sin 24 ( - + (* + 267 )- ] sin => [ - + (- + zimetrs)] as 2 [ - (* + pl- a ] COS poterit lumen in D spectari tanquam resultans ( 243: 244 . 4º. 6º. ) ex binis radiis, quorum origines quarta undae par te differunt inter se; eritque ( 244. 8°. ) ejus intensitas 2π ds.cos 0 1 rte' ( Sds.sina . 52 2rri' ):] seu ( 243 ) roti ds.cos27 22 / r' 52 2 ) +(Si$ as,sin2 : Meta» ) : ] sumptis integralibus ab s = -- A versus s = +00 .

3º. Ponatur175 -[26+ "] = v, 2 (r + r') Arri ideoque Arri yz Jødv , Zdra

exprimetur intensitas illa per a [part 1 (Sdn.com")e+ (S dr.si * *) ]. et radiorum componentium alteri respondebunt s [ aipati der ' 2( rto) x2 πν2 v= P[ . ] "sin27 [[ 6 - + 1) ] S .cos

= a [archeting ] cos21 [ 6 - 1

dv . cos 2 (rto? 2 X2 πν2 ; 21m *r )] S du.co 2 alteri u " -[2 de en ]* cos 2- [ -- ( -)] S de.sin egen X2 2 (rto }176 z " = Love to ] -sin 27 [6- Zinutos)] S do.sin TOV ? 2 samptis integralibus ab r2rt ) der' 2]. AO versus " y = to co ; se u , propter ra CS : AS = CD : AO AS , CD CS ab bv= --=[with the ] versus V Sto . 1

4º. D Fresnel in suo opere de diffractione deter minat plures istoram integralium valores diversis limi tibus respondentes; atque inde ostendit Inminis intensi. tatem extrorsum variare secundum quamdam maximo rum ac minimorum seriem , uti videre est in annexa tabella.

Valores $\nu$	intensitas luminis
1 , 2172	2 , 7413	1um. maximum
1 , 8726	1,5570	1um , minimum
2, 3449	2, 3990	2um. maximum
2,7392	1 , 6867	2um , minimum
3, 0820	2, 3022	3um. maximum
3, 3913	1 , 7440	3um minimum
3, 6742	2, 2523	4um. maximum
3 , 9372	1 , 7783	4um. minimum
4, 1832	2, 2206	5um , maximum
4, 4160	1 , 8014	5um, minimum
4 , 6069	2, 1985	6um , maximum
4 , 8479	1 , 8185	6um , minimum
5, 0500	2, 1818	7um , maximum
5 , 2442	1 , 8317	7um. minimum

Nullam ex minimis prodit 0: decrescunt insuper maxima, etescunt minima, prout' importat prompta splendoris immigutio in fimbriis luminosis, promptaque nigredinis imminutio in obscuris.

5º. Fimbriarum distantia ab C obtinetur ex ae quatione ( 30. ) : 12178 == [home ] = > [ ] ubi admittit v successive superiores ( 4º. ) valores.

6º. Permanentibus v, , r' , et imminuta r, auge scet x; decrescente nimirum distantia obstaculi AB a centro luminoso S , et manentibus caeteris, crescet datae fimbriae distantia ab Ce qaod experientiae consonum est; quodque cum emissionis systemate difficile admodum conciliatur. Non enim apparet ratio cur accedente obstaculo ad luminosum centrum , et manentibus caeteris, debeant variari repulsivae vires .

7º. Si in aequatione ( 50) x =r (+3 ) habentur ju et x pro coordinatis, facile intelligimus (57.40) eam fore ad hyperbolam transeuntem per A ; propagabitur nempe data fimbria per hyperbolicam curvam .

8º. Ad determinandam luminis diffusionem introrsum in D, satis erit integrationes perficere sive ab s = to AO' versus s Etc , sive ab V = ts 2r + r ) 12/을 versus V = to . 1 D. Fresnel, inito calculo, haud est assequutus maxima et minima sibi succedentia, uti contingit extrorsum, sed rapidam constantemque luminis imminutionem usque ad perfectam obscuritatem.

258. Umbra visibilis non definitur tolali luminis defectu, sed potius oculorum judicio: si tanquam visibilis umbra (160) in plano MN (Fig. 71) spectatur totum illud spatium, quod minus illustratur quam spatium ultra fimbrias, ea baud parum praetergredietur geometricam (151) umbram A. Hinc explicatur amplificatio umbrarum ab exiguis corporibus projectarum: in lamella plumbea, ait Newtonus (Optices b. 3. obs. 1.), foramen exiguum acicula feci, cujus latitudo esset vnciae : nam 21 quidem e 42 jusmodi acicularum in ordinem compositae semiunciam ex plebant latitudine. Per id foramen immisi in cubiculum meum tenebrieosum solis luminis radium , comperique um bras capillorum , filorum , acicularum , stramenti , aliorum que id genus parvorum corporum , in illo luminis radio positorum , multo esse latiores quam deberent utique es be, si radii luminis prope corporum istorum extrema in li neis rectis transirent ; et nominatim capillum humanum , cujus latitudo esset dumtaxat unciae, in illo lumine 280 collocatum intervallo circiter duodecim pedum a foramine, umbram projecisse , quae intervallo quatuor unciarum a capillo haberet in latitudinem 60 ° partem unciae, hoc est amplius quatuor partibus latior esset quam ipse capillus; intervallo autem duorum pedum a capillo haberet in lati. tudinem circiter uncire, hoc est decem partibus latior 28 esset quam ipse capillus; et intervallo decem pedum ha 1 beret in latitudinem unciae , hoc est 35 partibas la. 8 tior esset quam ipse capillus , etc. Pergit Newtonus ( obs. 2 ) dicendo umbras corporum omnium in hoc lumine collocatorum fimbriatas esse ternis inter se parallelis luminis colorati limbis, sive fasciis etc.

259. Cono ABC (Fig. 120) ex lumine v. g. albo inseratur opaca lamina, longa quidem scd modice lata, latitudine tamen DD non nimis parva , V. gr . poll. Umbra BC sese exhibebit divisam in plures fimbrias parallelas; quarum fimbriarum media, quae nempe transit per punctum medium M, erit alba. Porro differentia semitarum, quas percurrunt radii incedentes per ADM et AD'M, ap pellentesque ad M, cum sit = DM — D'M = 0 , umbra BC illustrabitur in M duplo magis quam illustraretur lumine inflexo apud unum dumtaxat ex marginibus D et D' ; a liud quodvis panctum ipsiusiambrae BC respondebit fimbriae lucidae vel obscurae, prout differentia DODO fuerit aequalis numero pari vel numero impari semiuoda rum. Caeterum, interceptis radiis qui apud alterutram mar ginem inflectuntur, disparebunt fimbriae. Observat P. Grimaldi ( omnium primus praecipua phaenomena diffracti luminis perspicua fecit ) fimbrias lu cidas in umbra visibiles et servare quidem parallelismum cuin extremis lateribus umbrae, et rectas esse si haec fue rint recta : nihilominus cum umbra fuerit angulosa , illas curvari circa angulum umbrae. Quin etiam ad praedictum angulum apparent aliae breviores lucidae fimbriae super ombra, curvatae et ipsae, sed instar cristarum quae in ga lero post aliquam ipsarum elevationem pendent ad utram que partem . Vide fig. 121 , in qua praeter fimbrias supe. rius explicatas, et in umbra ABC ita extensas ab A ver sus C, et a B versus D, ut prope angulum umbrosum cur venlur, nolantur praeterea inter D et C paucae aliquot bre viores finibriae item lucidae, curvatae huc illuc a media DC , et convenientes versus D, ac nullo modo sequentes ductum illarum , quae lateribus umbrae coextenduntur in longum ( Physico Math. de lum . Propos. 1. n. 16. ) . lam si A'C' B' D' ( Fig. 122 ) est angulosa lamina inserta lumino 80 cono ; interceptis radiis, qui vel apud D'C'B ' vel apod D'C'A ' inflectuntur, disparebunt omnino curvatae fimbriae: inferimus cas oriri ex radiis, qui apud unum apguli latus181 inflexi occurrunt radiis apud alierum ipsius angoli latus inflexis.

260. Quoad lumen per exigua foramina transmissum haec potamus.

1º. Cono luminoso, cujus vertex est solis imago in principali foco datae lentis, inseratur opaca lamina arctissimo foraminalo circulari instructa; tum in directione illius foci et foraminuli collocetur ocularis convexa, atque bujus ope observetur foraminulum. Apparebit imago foraminuli tanquam lucida macula cincta circularibus fibriis; quarum fimbriarum et colores, et diametri, mutata distantia inter foraminulum et ocularem, varias admittent mutationes.

2º. Ubi ocularis lens satis recedat a foraminulo, centralis macula erit alba; fimbriarumque colores illum proxime sequentur ordinem, qui obtinet in annulorum (234) coloribus.

3º. Oculari ad foraminulum accedente, decrescit alba macula; reducitur ad simplex punctum, ac demum disparet: se contrabunt magis et magis circulares fimbriae; transeunt successive per foraminuli centrum; ibique aliis colorum commissuris subeunt aliae, mutatis interea fimbriarum lincturis , 40. Transmisso lumine per duo foraminula aequalia et vicinissima, formabuntur fimbriae circa unumquodque foraminulum perinde ac esset solitarium. Apparebunt insuper et fimbriae rectilineae inter bina foraminulorum centra; quarum fimbriarum aliae orthogonaliter insistent rectae jungenti ipsa centra; aliae vero erunt aeque inclinatae hinc inde ad rectam illam ( Fig. 123 ). Quod si foraminula sint inaequalia, istiusmodi fimbriae induent hyperbolarum formam ( Fig. 124 ).

De luminis polarizatione.

261. Recta linea per punctum quodsis luminosi radii ducta in plano ad eumdem radium perpendiculari, vocatur radii azimutum. Iam qui laminis radii quoad omnia azimuta exhibent eadem constanter phaenomena, dicuntur naturales; qui vero non exhibent, polarizati. Hactenus de lumine, praecisa polarizatione: pauca nunc subjicimus de lumine, habita polarizationis ratione.

35° 25' = $\theta _{2}$

262. Fac ut radius $RR'$ (Fig. 125) directe adveniens e sole vel ex alio corpore de se luminoso cadat sub certo quodam angulo in speculum vitreum $AB$ rotatile circa $RR'$: permanente angulo, et rotato $AB$ ut reflexionis planum (153) transeat per, varia azimuta radii $RR'$ non solum reflectetur $RR'$ juxta consuetam legem (153), sed reflexus radius $R'R''$ deprehendetur ejusdem semper intensitatis; exhibebit nimirum radius $RR'$ eadem et directionis, et intensitatis phaenomena quoad omnia azimuta; eritque proinde naturalis, non polarizatus. Fac nunc ut specula vitrea $AB,A'B'$ inclinentur ambo constanter sub angulo 35°25' ad axem $R'R''$ tubi cylindrici; speculum vero $A'B'$ exsistat volabile circa $R'R''$ ope annuli portantis ipsum $A'B'$, in quem annulum inseritur cylindrus apud $R''$. Luminosus radius $RR'$ cadens in $AB$ sub eodem angulo 35°25' reflectetur secundum $R'R''$, offendensque in $A'B'$ reflectetur iterum juxta rectam $R''R'''$ inclinalam ad $A'B'$ sub ipso angulo 35°25'. Posito oculo in $R'''$, imago proveniens ex $A'B'$ observabitur variae intensitatis pro vario angulo (=b), quem intercipiant duo reflexionis plana, alterum quoad speculum $AB$, alterum quoad $A'B'$: si b = 0, intensitas erit maxima; decrescet, crescente b; ferme evanescet, facto b = 90°: rursus apparebit imago, eunte b ultra 90°; rursusque crescet ejus intensitas a b = 90° ad b = 180 °, etc ... Radius igitur $R'R''$ exsistet polarizatus, quippe qui non eadem exhibet intensitatis phaenomena quoad omnia azimuta.

Si, facto b = 90º, quaeritur angulus interceptus specalis $AB$ et $A'B'$, is obtinebitur ex (o^iv. 174:2º).

263. Planum $R'R''R'''$ continens radium polarizatum $R'R''$ simulque reflexum $R''R'''$ maxima pollentem intensitate, dicitur planum polarizationis: item peculiaris incidentiae, angulus sub quo debet luminosus radius accedere ut polarizationem acquirat, angulus polarizationis.

264. Ex dictis (262) consequitur ratio sciendi utrum luminosus radius $R'R''$ sit polarizatus necne. In hunc finem excipe radium $R'R''$ speculo $A'B'$ sub angolo 35°25': tum, haud mutato angulo, fac ut revolvatur $A'B'$ circa $R'R''$: sic reflexionis planum transibit per omnia azimuta. lam si inomnibus azimutis obtinetur ex $A'B'$ imago ejusdem semper intensitatis, radius $R'R''$ non exsistet polarizatus; exsistet autem, si in certo quodam azimuto disparet imago; planumque perpendiculare huic azimuto, transiens per $R'R''$, erit polarizationis planum.

265. Illud generatim experimentis compertum habemus circa polarizationem luminis ex reflexione: superficies omnes reverberantes gignunt polarizationem luminis sub consentaneis angulis; nisi quod superficies metallorum mediorumque perquam refringentium, imperfecte gignunt; non enim reflexus radius omnino tunc disparet quando polarizatus radius prorsus extingueretur. Consentaneus autem unicuique medio angulus polarizationis variat, variato medio; habetque pro trigonometrica tangente respondentem refractionis indicem.

Quoad media perquam refringentia angulus polarizationis nihil est aliud nisi ille incidentiae angulus, sub quo lumen reflexum ad completam polarizationem maxime accedit.

266. Si radius jam polarizatus incidit sub angulo polarizationis in reverberantem superficiem medii apti ad completam luminis polarizationem, edocet experientia intensitatem radii reflexi repraesentatum iri per ejusmodi periodicam functionein anguli ( =b) intercepti plano polarizationis et plano reflexionis, quae et negativos valores minine admittat, et maximum obtineat valorem quum b vel = 0° vel=180°, minimum vero quum b vel = 90° vel = 270º. D. Malus proposuit functionem $A^{2}\cos ^{2}b$, simplicissimam sane, satisque experimentis comprobatam; exprimit $A^{2}$ maximam reflexi luminis intensitatem, respondentem videlicet angulo b=0°.

In hypothesi medii valentis gignere incompletam dumtaxat polarizationem, obtinebit quidem reflexio aliqua quum b=90°; sed reflexi luminis intensitas multo minor erit quam in casu luminis haud polarizati.

Ubi angulus, sub quo polarizatus radius incidit in reverberantem superficiem, sit alius quam polarizationis angulus, compertum est intensitatis legem in radio reflexo non amplius repraesentari per functionem illam.

267. Haec facile nụnc stabiliuntur.

1.º Incidat naturalis radius in reverberantem superficiem, et incidentiae angulus sit ipse angulus polarizationis: cum habeamus (154: 265) ! sini sin h [ = cos ( 90.~ ) ]= sini = cosi langi erit 90° -h= i , et consequenter hti= 90°.

Sed incidentiae angulus i aequatur angulo reflexionis; ergo bini simul anguli, alter reflexionis, alter refractionis, in casu dant summam=90.º Inferimus, si luminosus radius sic incidit in superficiem medii ut reflexus radius exsistat polarizatus, reflexum cum refracto radio intercepturum angulum rectum .

2.º Pro eadem superficie non idem prorsus est (265: 159. 7.0 ) angulus polarizationis quoad radios varie coloratos. Hinc si lumen album incidat in datam superficiem sub angulo polarizationis proprio radii v. gr. me dü ex flavis respectu superficiei datae, lumen insuper reflexum incidat rursus in novam superficiem sub angulo polarizationis proprio ipsius radii medii ex flavis respectu novae superficiei, planumque secundae reflexionis, perpendiculariter insistat plano primae reflexionis: lumini semel iterumque reflexo deerit (262: 266) ille radius medius, caeterorum vero radiorum eo minor deerit pars quo magis ii radii ad extremos rubeos et extremos violaceos appropinquant: etsi enim non incidunt accurate sub respectivis polarizationis angulis, cum tamen ab bis angulis parum differant incidentiae anguli, cumque differentia crescat usque ad extremos rubeos et extremos violaceos, debebunt, sin omnimodam, certe partiariam subire polarizationem, eoque magis quo ad medium flavum magis accedunt: inde fit ut lumen post secundam reflexionem ex albo vertatur in coloratum . Porro lumen partialini polarizatum spectari solet tanquam coalescens ex duabus partibus , quarum altera est omnimode polarizata, altera pol lo modo. In ordine ad lumen album, pro angulo polarizationis sumitar ille polarizationis angulus, qui ad radios maxime fulgentes spectat, nimirum ad medios flavos.

3.° Quod spectat ad angulum ( =B), qui intercipitur binis illis (2º ) superficiebus, quique obtinetur ex (o " : 174. 2,0 ) , sit n index refraclionis quoad primam superficiem , n ' index refractionis quoad secundam; erunt ( 265 ) 1 cosl= Vitinn 1 1 + lang ? Vitra cosC= 1 1 V 1 -targ* C v 1 tri's ideoque186 cosB V 1 + na + n'a + nºn's , , et tangB = naV + na + n ?n "

4.° Duo polarizati radii ponantur et ejusdem esse intensitatis, et habere polarizationis plana invicem perpendicularia; ponatur insuper his duobus radiis constitui luminosus fasciculus: si fasciculus iste incidit in reverberantem superficiem sub polarizationis angulo, intensitas reflexi luminis constabit duabus partibus (266), altera $=A^{2}\cos ^{2}b$, altera $=A^{2}\cos ^{2}(90^{\circ }-b)$; adeo ut intensitas reflexi fascicali exhibeatur per $A^{2}\cos ^{2}b+A^{2}\cos ^{2}(90^{\circ }-b)=A^{2}$, sitque proinde independens ab angulo $b$: quod cum proprium sit naturalis luminis, inferimus fasciculum naturalis luminis, habita solummodo ratione intensitatis, spectari posse tanquam compactum ex duobus radiis polarizatis habentibus et communem cum ipso naturali fasciculo intensilatem, et polarizationis plana invicem perpendicularia. Bini ejusmodi radii dicuntur contrarie polarizati; alter videlicet ad 0°, alter ad 90°.

268. Lumiuis polarizatio obtinetur etiam per simplicem refractionem: obvertatur lamina vitrea luminoso naturalique fasciculo; sub perpendiculari laminae inclinatione ad incidentem fasciculum, nullam deprehendemus in transmisso radio polarizationem; deprehendemus autem sub aliis inclinationibus, eoque ampliorem quo inclinatio magis accedit ad 35°25 '; planumque polarizationis proprium transmissi radii exsistet perpendiculare plano polarizationis proprio radii reflexi.

269. Illud generatim edocet experientia circa lumen minime polarizatum incidens in superficiem medii diaphani: tantum polarizati luminis exsurgit in lumine reflexo quantum in lumine transmisso; semperque respondentia polarizationis plana sunt invicem perpendicularia; maximum insuper lumen polarizatum, sive reflexum, sive transmissum, obtinet sub angulo polarizationis proprio reverberantis refringentisque medii. Et quoniam in ordine ad media hactenus cognita istud maximum longe minus exsistit quam dimidium incidentis luminis, iccirco transmissum lumen non acquiret completam ad sensum polarizationem nisi postquam plures ex dato medio laminas permeaverit.

270.

270. Exprimat itaque 1 lumen incidens sub angulo polarizationis in primam ex n laminis v. gr. vitreis; $x+y$ lumen transmissum, ideoque $1-x-y$ lumen reflexum; denotat $x$ partem polarizatam, $y$ partem non polarizatam. Incidente $x+y$ sub illo ipso angulo in secundam laminam, cum pars $x$ et habeat planum polarizationis perpendiculare plano incidentiae, et incidat sub polarizationis angulo, transmittetur tota (266) quin ullam patiatur mutationem sive in sua intensitate, sive in suo polarizationis plano: simili modo, praecisis semper absortionis causis et servato superiore incidentiae angulo, pars $x$ transmittetur intacta per tertiam laminam, atque ita porro. Ad partem $y$ quod pertinet, ea suppeditabit lumen

$$y(1-x-y)(a)$$

reflexum apud superficiem secundae laminae, simulque lumen

$$y(x+y)(a')$$

transmissum e secunda lamina in superficiem tertiae, Portio

$$xy$$

tam in (a) quam in (a') erit polarizata; et quatenus invenitur in (a'), permeabit intacta tertiam, quartam, ... nsimam laminam: altera portio minime polarizata in (a'), nempe $y^{2}$, dabit polarizatum lumen

$$xy^{2}$$

similiter permeans absque ulla mutatione tertiam, quartam, ... nsimam laminam, unaque lumen haud polarizatum $y^{3}$ ex tertia lamina transmissam in superficiem quartae: inde nova portio luminis polarizata

$$xy^{3}$$

permeans quartam, quintam, reliquasque sequentes laminas; et sic deinceps, adeo ut ab nsima lamina egrediatur luminosas fasciculus coalescens ex portione polarizata

$$x+xy+xy^{2}+xy^{3}+...+xy^{n-1}=x{\frac {1-y^{n}}{1-y}}$$

et ex portione non polarizata $y^{n}$; quarum portionum secunda magis semper decrescet, crescente laminarum numero $n$, quin tamen evanescat omnino, nisi facto $n=\infty$. Haec in hypothesi luminis $y$ nullam subeuntis modificationem, ut censet D. Arago, in transmissu per laminas: alia namque res foret si, ut contendit D. Brewster, lumen $y$ in transmissu subiret ejusmodi modificationem, ob quam redderetur aptius polarizationi. Caeterum in determinando fasciculo egrediente ab nsima lamina non habuimus rationem illius luminis, quod apud singulas superficies reflectitur, quodque retro commeans penetrat saltem ex parte laminas omnes, ut sese egredienti fasciculo immisceat.

271. Luminosus fasciculus jam polarizatus cadat sub polarizationis angulo in primam ex dictis laminis, planumque incidentiae ponatur perpendiculare plano polarizationis. Excepta ea luminis parte, quae vel absorbetur a materia vitri, vel inordinate dispergitur ob superficieram asperitatem, reliquum fasciculi lumen transmitetetur intactum per totam laminarum congeriem quin aliquid de ipso lumine reflectatur, quicumque caeteroquin sit laminarum numerus: quod si , permanente incidentiae angulo ,, revolvatur laminarum congeries circa incidentem fasciculum; quo magis incidentiae planum accedit ad planum polarizationis, eo etiam magis minuetur transmissum lumen, augebiturque reflexum; ita at, congruentibus planis, illud fiat minimum, hoc maximum. Constat iteratis experimentis.

272. Observare est quid simile in congerie illarum lamellarum, ex quibus coalescunt laminae sic exscissae ex turmalina (crystallus dupliciter refringens) ut habeant latera parallela axi crystalli. Sume duas ejusmodi laminas: si inter candelae flammam v. gr. et oculum ponis laminarum unam, eadem facilitate transmissum lumen videbis, utcumque de caetero axis laminae ad horizontem inclinetur. Teneat ista lamina eumdem firmiter situm; inter eam et oculum pone laminam alteram, quam in proprio plano revolve ut volubilis axis et transeat per varia azimuta laminis a prima lamina ad secundam pertingentis, et diversos angulos efficiat cum axe firmo: lumen traductum ad oculum per secundam laminam non ejusdem esse exhibebit intensitatis; maximam offeret intensitatem quum axes fiunt paralleli; eo minorem quo magis a parallelismo recedunt: nullam (certe minimam) quum evadunt invicem perpendiculares. Naturale itaque obtinet lumen a candela ad primam laminam: polarizatum a prima lamina ad secundam.

273. Hinc quoque ( 264) consequitur ratio sciendi utrum luminosas radius sit polarizatus necne: obverte radio unam ex dictis laminis, eamque io suo plano revolve; si quoad omncs positiones laminae traductus radius eamdem retinet intensitatem, id erit indicio radiam appellentem ad laminam non esse polarizatum; contra, si respectu cujusdam positionis vel disparet traductus radius, vel multum amittit de sua intensitate. Planum polarizationis transibit per axem laminae habentis eam positionem, cui respondet minima traducti radii intensitas .

274. Radii luminosi, ordinarius (156.1.°) nempe atque extraordinarius, in quos dividitur naturale lumen quum permeat medium dupliciter refringens, exsistunt ambo polarizati; respondentiaque polarizationis plana sunt invicem perpendicularia: constat experientia. Sume crystallum v. gr. islandicam; cuilibet ex ejus faciebus applica chartam nigrefactam, angustoque foramine instructam; obverte tectam faciem ad candelae flammam; sic verodisponantur res, ut lumen penetrans crystallum transeundo perstringat principalem (156.3.0) sectionem: oculo sese exhibebunt videndas duae foraminis imagines; altera ex radio ordinario juxta rectam ab oculo, ductam ad ipsum foramen; altera ex radio extraordinario juxta directionem deviantem ab illa recta in sectione principali. Binae imagines apparent quidem aeque vividae; sed interposita (273) tormalina, dum haec in suo plaņo revolvitur, notabile io iis prodit vivacitatis discrimen. Maxime splendet ordinaria imago, simulque deficit extraordinaria, quotiescumque tormalinae axis fit perpendicularis principali sectioni; maxime splendet extraordinaria, deficitque ordinaria, quotiescumque axis fit eidem sectioni parallelus: unde sequitur binos radios esse contrarie polarizatos, ordinarium in plano sectionis principalis, extraordinarium in plano ad eandem sectionem perpendiculari: id ipsum evinceretur ex (264). In istis phaenomenis observandis satius erit uti prismate ex materia crystalli dupliciter refringentis confecto; maxime si prisma per vitrum v.gr. aple junctum fiat achromaticum: angulus refringens, prismatis suppeditabit duas t $ ID la O 1 iz le de191 1 simul bene distinctas imagines objecti remoti; quae imagines ope tormalinae, vel speculi vitrei, alternis vicibus disparebunt, rursusque apparebunt .

275. Quoad lumen jam polarizatum, incidens in superficiem crystalli dupliciter refringentis, haec duo explorata habemus.

1.° Haudquaquam obtinebit luminis separatio, sed totum lumen immittetur vel in ordinariam, vel in extraordinariam imaginem, quotiescumque planum primitivae polarizationis fuerit vel parallelum, vel perpendiculare plano sectionis principalis.

2.° In ordine ad aliam quamvis prioris plani respectu secundi inclinationem =B) , obtinebit luminis separatio in binos radios contrarie polarizatos et inaequaliter vividos eritque A cosa \beta radius ordinarias , Arsip extraordinarius; denotat Az incidens lumen.

276. Notetur illud: lumen adveniens ex innubilo serenoque coelo est ex parte polarizatum: eo major exsistit polarizati luminis quantitas, quo magis in coelo usque ad quemdam limitem, nondum accurate definitum, distat a sole punctum unde lumen adventat: crescente adhuc puncti distantia a sole, decrescil polarizati luminis quantitas donec apud novum quemdam limitem fiat nulla; planum polarizationis recidit in verticale planum transiens per solem et per punctum illud. Ultra novum limitem versus plagam soli oppositam sese quidem exhibet iterum luminis polarizatio; sed, ut observavit D. Arago, priori polarizationi contraria. Vid . supplément au traité de la lumiére de Sir. J.-F.W. Herschel. pag. 554.

Aliquid subjungitur de vibrationum systemate ex luminis polarizatione.

277. In luminoso polarizatoque radio vibratorius aetherearum particularum motus non fit, quemadmodum sono contingit, juxta ipsius radii longitudinem: si enim vibratorii motus directio ponitur eadem ac directio radii, profecto vibratorius motus aeque se habebit ad unumquod que azimutum; et consequenter nulla erit ratio cur plano reflexionis trauseunte per varia azimuta, debeat variari intensitas luminis: Get itaque ejusmodi vibratorius motus transversim in ordine ad longitudinem radii. Et ne alia species vibratorii motus admittatur in lumine naturali; etiam in naturali lumine adstruuntur transversae aetherearum particularum oscillationes: ita tamen ut una et eadem sit transversarum oscillationum directio in lumine polarizato, omoimoda in lumine naturali. Praeterea, sive inpolarizato sive in naturali lumine, sic assumilur vibratorii motus directio ut rectum angulum efficiat cum directione luminosi radii, recidatque proinde in directionem alicujus azimuti: vide fig. 126. Rectae $AB,A'B,A''B''$: denotant totidem luminosos radios; intervalla aequalia $AC,CE,...A'C',,C'E',...A'C'',C''E'',...$ designant undarum latitudinem c9 (243) ; rectae $ms,nt,ru,...m's',n'e',r'u,...m''s'',n''z'',r''u'',...$ ex variis punctis radiorum $AB,A'B',A'B'$ perpendiculariter ductae ad ipsos $AB,A'B',A''B''$ , lineisque sivuosis $AacC...,A'a'c'C'.,.,A''a'c''C''...$ terminatae , repraesentant velocitates aetherearum particularum et quoad directionem, et quoad magnitudinem; differentia semitarum (243) est 2m îin AB 2 et A'B ' , ( 2m + 1 ) in A'B' et A'B ' .

Haec facile nunc intelliguntur

1.° Formulae (243:244) respicientes mutuam radiorum actionem valent relate ad istiusimodi transversas vibrationes pariter ac relate ad vibrationes longitudinales.

2.° Cum polarizatio in luminoso radio importet vibrationes omnes particularum juxta unum et idem azimutum, cunque in naturali lumine diversae particularum vibrationes peragantur juxta diversa azimuta; poterit naturale lumen spectari tanquam coalescens ex innumeris radiis polarizatis, quorum unusquisque habet proprium ac suum azimutum.

3.° Quoniam velocitas aethereae particulae in radio quovis polarizato resolvi potest in duas velocitates pa rallelas, binis rectis datis invicem perpendicularibus, hinc radio cuivis polarizato substitui poterunt duo radii similiter polarizati, qui babeant vibratorios motus rectis illis parallelos. Quapropter , facta ejusmodi substitutione quoad singulos radios polarizatos ex quibus ( 2. °) naturale lumen emergit, licebit naturali luminis fasciculo subrogare binos fasciculos ita polarizatos, ut alter habeat vibratorios motus parallelos alteri earum rectarum , alter parallelos alteri ( 267.4. ' )

278. Qui fiat ut aethereae particulae non oscillent juxta longitudinem luminosi radii sed transversim, id sane repetendum ex peculiari lege virium quibus particulae subjiciuntur. D. Fresnel haec admittit: aetheris particulae ea lege sese repellunt, ut ipsarum decursio inter altigua strata v. gr. kh et l'h' molto facilior sit admotio sive ad kh sive ad l'h ': velocitas insuper, qua condensationes dilatationesque per aethereum fluidum propagantur, immensum est major quam velocitas vibratorii motus in solido corpusculo, unde aethereae oscillationes dimanant. Quibus admissis, infert aethereum flai dum, ob grandem resistentiam qua suimet compressioni obnititur, rapidissime recuperare aequilibrium ab oscillante corpuscolo turbatum; dumque corpusculi oscillatio perficitur, singulis propemodum instantibus circa corpusculum restitui aequilibrium inter attiguam fluidi partem, quam accessu SILO corpusculum densare conatur, et partem oppositam, quam recessu conatur dilatare; sicque praecipuos aetherearum particularum motus nihil fore aliud nisi quamdam circulationem vibraloriam circum corpusculum oscillans. Iam hi motus per vices communicantur ulterioribus stratis concentricis, magis semper debilitati ac temperati; ita ut ad modicam a luminoso centro distantiam non supersint nisi vibratorii aetherearum particularum motus perstringentes undae superficiem, et consequenter normales longitudini luminosi radii. Vid. Annal. de Chim. et de Phys. Tom 17. pag. 179: 180

279*. Sit MR (Fig. 127) luminosus polarizatusque radius incidens in reverberantem refringentemque superficiem AA' , NR radius reflexus, RO refractus; velocitas (244.3º) vibratorii motus in MR denotetur per v , ia NR per u , in RO per v '; ducto perpendiculo PBʻP' ad AA' , designetur angulus incidentiae PB'D » per i, refractionis P'B'C ' per h: proponitur invenienda relatio inter v et v. Exhibeant B'D ' , D'D ' , ... BE' , E'E ' , et BC" , C'C " , ... undas in radio incidente , reflexo et refracto , ut sint ( 243 ) B'D " = D'D " = ... = BE " = E " E " = ... = . = co, BC' = CC" = ... = * = 60 ; habemus $B'D(=BE)=BB'\cos BB'D=BB'\sin DB'P=BB'\cos i,BC=BB'\cos CB'B-BB'\sin CB'P-BB'\cos h$: erit igitur volumen undae incidentis ad volumen undae refractae ut BB '. cocosi : BB'. c'Ocosh = C. cosi: c' . cosh. In praesenti quaestione ponimus eamdem obtinere elasticitatis vim tam in aethereo fluido praebente lumen sive incidens sive reflexum quam ia aethereo fluido suppeditante lumen refractum ; iccirco ( 129) densitas undae sive incidentis sive reflexae erit ad densitatem undae refractae ut c': c ; et consequenter massa undae sive incidentis sive reflexae ad massam undae refractae ut cc2.cosi: c'c2.coshac.cosi: c.cosh, nimirum ( 240) ut sinh cosi : sipi cosh. Hinc, ob principium de conservatione virium vivarum, vasinh cosi = v'lsinh cosi + va sinį cosh, seu ( wa - "'? ) sinh cosi = v'a sini cosh ( f ) . Haec admittimus cum Dno . Fresnel ( Annal. de Chim. et de Phys. tom . 46. pag . 227: 228 ...) : velocitates ú' et r erunt vel perpendiculares vel parallelae plano incidentiae, ' prout v fuerit vel perpendicularis vel paral lela eidem plano. In primo casu , ú et ' perstabunt eae dem quum recedunt a superficie AA ', exsistetque utu = v ". In secundo ( resolatis v, v' v' ' respective in binas, alteram parallelam superficiei AA ', alteram perpendicularem eidem AA, expressisque per u, ú, u " componentibus parallelis dictae superficiei ) perstabunt u' et u" quum secedunt ab AA' , eritque utu' = u".

His admissis, fac

10 , ut $v,v,w''$ sint perpendiculares plano incidentiae : divisa ( fi per ( v tv' )2 = v's, prodibit ve sinhcosi sini cosh ex qua sini ) siu (ith) ( f').

Fac 2º. ut », u ', w " siot parallelae plano incidentiae; erunt u = vsin DB'P Evcosi , u = w'cosi,, u '== v'cosh ; proinde vcosi + v'cosi = v'cosh , (utv ')?cos’i = v'acos? h . Per hanc secundam divisa aequatione ( f ) , exsurget ( v - v ') sinh sidi (vtvcosi ; cosh ex qua a= sivi cosi sioh cosh sini cosi + sinh cosh V tang(i - 1 ) langlith) ( f " ). Fac nunc ut v neque perpendicularis , neque parallela sit plano incidentiae, sed sese dirigat juxta azimutum inclinatum sub angulo w ad planum illud: resolutaque v' in duas, alteram perpendicularem, alteram parallelam plano incidentiae, componentes quoad v erunt v, item vsing VCOSO) ;197 quoad u ( sese dirigit o ' jaxta azimutum inclinatam sab an gulo a ad incidentiae planum ) v'sina , N'cosa iccirco ( 1º, 2º. ) v'sing' = (f) sin w , V'cosa ' = ( f“) cosa ; ex quibus v = ~~ V sin% — h) tang ? i - hi sin ?w + cosa , sia ith) tangth) ( f " ). tanga ' ( f ) ( " ) tanga cos( ih) langa : cosi + h )

280* Assumpta v = 1 , intensitas (=m) reflexi radii exprimetur generatim per sin ?(i -h) sinaith) tang?i-h) sia’wt lang ? ith) cos’W ( f " ) . Traducitur ( f " ) ad sin ? i -h) sin ? i - h ) [ cosi+ h ) cos22– h ) + ( 1 cosºlith) cos ?(i - h ) sin w ], cujus maximus valor respondet angulo w = 90° : inde sequitur (263) in vibrationum systemate planum polarizationis nihil fore aliud nisi planum et transiens per polarizatum radium, et normaliter insistens directioni, juxta quam vibrant aethereae particulae in ipso radio. Erit itaque ( 266) w = 90° — b ; ideoque intensitas reflexi radii exprimetur quoque per sin ? i - h ) sin’i + h ) tang ? i - h ) cosa 6-7 -sinab ( f") . lang ? ith) Si denotat b' angulum, quem cum plano incidentiae efficit planum polarizationis proprium radii reflexi, ut sit w = 90°— b' , secunda ( f ' ) traducetur ad cotb ' cos( i - h ) cos(i +h ) cos( i + h ) cotb, seu tangb' = tangb ( f" ) . cosih( )

281 * Haec notentur.

1º. Si b=90° et ith=90°, erunt cosb=0, tang(i + h )= co ; proinde ( f" } = o: nullum vi delicet obtinebit reflexum lumen , ubi planum polarizationis intercipiat angulum rectum cum reflexionis plano, simulque directio radii reflexi normaliter insistat directioni radii refracti; quod consentit cum iis, quae diximus ( 266: 267. 1º . ) .

2º . Angulus i , ac proinde etiam h, ponatur infinitesimus; erunt ( 154) sini i = n , sin (i – h ) = tang(i - h = i - h = h (n - 1) , sinh h sin (i + h ) = tang (i + h ) = ith = h ( n + i) . Propterea 2 2 ( + ) cos2b + ( 70 ) sin26 ( **) : n- t n - t199 intensitas videlicet reflexi luminis sub perpendiculari incidentia ; eadem profecto ac illa, quam, praecisa polarizatione, invenimus ( 238. 8º. ) . Ratio istius consensus desumitur ( 267. 40: 277. 3º: 279. 10. 2° . ) ex eo quod tam naturali quam polarizato radio substitui possint duo radii contrarie polarizati, alter nimirum juxta incidentiae planum , alter perpendiculariter ad istud planum, in quibus singulis obtineat v2 =- Ş.

3°. Eadem de causa, si naturale lumen incidit subangulo i in reverberantem refringentemque superficiem AA ', intensitas reflexi luminis exhibebitur per sinih) 1/ 을 sini+ h) tang ? i - h ) lang'i + h ) ( fº " ) . 40. Quod si incidens lumen fuerit partiatim dumtaxat polarizatum, poterit ( 267. 20. ) in duas partes decoinponi; alteram intensitatis ( =a) omnimode polarizatam in plano, quod cum incidentiae plano intercipiat angulam b ; alteram intensitatis ( = I - a ) nullo modo polarizatam: quoad primam partem, intensitas reflexi luminis repraesen tabitur per sin ?(imh) sin ? ith) tang ? i - h ) cos’b ta lang ? ith) sinab , quoad secundam per 1 - a sin’i - h ) sin'i + h ) 1 <a tang ?(i – h) 2 tang ? ith) 2 Istarum intensitatum summa dabit totalem reflexi luminis intensitatem.

282. In crystallo dupliciter refringente aethereum fluidum non admittitur pollere eadem ubique elasticitatis vi :200 licet autem in directionibus v.gr. ABAC (Fig.128.) ponantur elasticae vires esse diversae, poterunt tamen librari a tertia quadam elastica vi apte applicata in A juxta directionem v . gr. AD. Hac ratione, excitato motu vibratorio, neque obtinebit in aethereis particulis eadem vis acceleratrix juxta directiones omnes, neque proinde eadem propagationis velocitas. Hinc ( 240 ) non eadem totius luminis crystallom subeuntis inflexio, et consequenter separatio ipsius luminis in ordinarium extraordinariumque radium.

Considerantes v . gr. crystallum unius axeos, resumentesque experimentum (274), facile intelligimus vibratorium motum apud crystallum resolvi in duos, alterum (280) perpendicularem sectioni principali, alterum perpendicularem plano rectum angulum intercipienti cum ipsa principali sectione, seu, quod eodem redit, alterum perpendicularem, alterum parallelum axi. Ex primo habetur ordinarius radius, e secundo extraordinarius: et quoniam radius ordinarius in data crystallo, etsi variat incidentiae angulus, propagatur tamen cum eadem constanter velocitate, non item radius extraordinarius; iccirco in vibratorio motu ad axem perpendiculari vigebit constanter eadem vis acceleratrix, non item in vibratorio mota ad axem parallelo. Nunc vides cur lumen permeans crystallum in directione ad axem parallela non separetur (156) in ordinarium extraordinariumque radium: cum enim (277) in casu omnes vibratorii motus exsistant perpendiculares axi, velocitas propagationis erit eadem sive in ordinariis, sive in extraordinariis radiis. Vides quoque cur lumen polarizatum in plano ad principalem sectionem inclinato sub angulo \beta, separetur in duas partes, ordinariam nimirum et extraordinariam, quarum intensitates (275.2°.) exhibentur per $A\cos \beta$ et $A\sin \beta$: resoluta namque velocitate motus vibratorii in duas, alteram perpendicularem, alteram parallelam axi, erit illa (280) at cos , haec ut $\sin \beta$. -201 Generales duplicis refractionis leges sive in crystallis unius axeos, sive in crystallis duorum axium , eruuntur ex aequatione ad superficiem curvam luminosae undae per ipsas crystallos propagatae: sed haec hactenus.

De circulari luminis polarizatione.

283. Polarizatio luminis hactenus considerata vocatur rectilinea; quia nempe aetherearum particularum excursiones fiunt in lineolis rectis. Solet et alia considerari luminis polarizatio, videlicet circularis; per quam aethereae particulae constituentes luminosum radium describunt in eadem directione circellos, quorum plana perpendiculariter ipsi radio insistunt. Certe sub ea, quam diximus ( 113. 1. ' ), lege viriam poterunt particulae corporis luminosi, itemque aethereae particulae moveri motu elliptico vel circulari (57.8º); ibi existente ellipseos vel circuli centro, ubi particula nativam obtinet aequilibrii positionem.

284. Pone motum puncti ( x, y) in fine temporis e determinari coordinatis orthogonalibus ( 244. 10. 20.) 271 x = acos ē ( + e) , y = cos - 277 0 ( te) (m) . Inde habes Loco 271 - ( + e = arc ( cos 0 ht ), 7 (2+1)= arcſcort eliminato t, 2013–2")=arc cost) arc( cos = - — ) sumptisqne cosinibus quoad utrumque membrum,202 cosmos.co * +[1-1 *(1-12 vj?. Propterea in x .Yу X 277 ) 2 + á 2—2) COS a 27 (2—6)=-sin 7 (E-B") ( m '); aequatio ad ellipsim, cujus centrum in ipsa origine coordinatarum x, y. Inferimus illud: ellipticae aetherearum particularum excursiones resolvi possunt in binas rectilineas ( m ). Quod autem aequatio ( m' ) pertineat ad ellipsim, cujus centrum in coordinatarum origine, sic ostenditur. Praeter orthogonales axes ( Fig. 129 ) $OX,OY$, ad quos refertur curva ( m '), sint alii duo axes similiter orthogonales $OX',OY'$, quibuscum ii efficiant angulos designatos per $(xx'),(xy'),(yx'),(yy')$: si curva illa referenda sit ad axes OX' , or, relatio inter veteres coordinatas x, y et novas x' , j exhibebitur ( 85) per ad x cos( xx ' ) + y'cos( xy ' ) , 05 y = x'cos ( yx' ) + y cos ( yy'): et quoniam ( xy' ) = 90 ° — ( xx' ) , (yy ') = ( xx '); ( yx' ) = 90° + ( xx' ) , iccirco T x = x'cos ( xx' ' +y'sin ( xx' ) , y = y'cos ( xx' ) - x' sin ! xx' ) . F Valores istos x, y substitue in ( in ' ) ; factis compedii causa203 cos (xx') sinºax ') a2 a's 2sin ( xx ') cos(xx ') aci 276 COS sin (xx ') cos(xx) ö(3-8') = A , a2 as 2sin ( xx cos (xx ) \alpha \alpha COS 2TC 0 ( 2 — B ') = B , aksin(x:x")cos(xx')+ sin (xx')– 276 cos ? (xx') )cos (~ 3) = 8 ~ ' = C , traducetur (m' ) ad : 276 Ax'2+ By's + 2Cx'y' = sin (2-3 ): posita C = 0 , seu \alpha \alpha ' tang + xx ) + 2π 22--2 tang( xx " ')) — 1 = 0 ; COS 0 ( E -E') cum inde reales valores tang( xx') eruantur , poterit ( m ) traduci ad 27 Ax's + By's = sin (B ( E - B '). Propterea ( 57. 1. 2°. ) etc ....

285. Haec potentur.

1º Fac ut eadem sit luminis intensitas in (m ), simulque differentia inter origines radiorum consistat in quarta parte latitudinis undae luminosae; erunt (244. 3º. 6º. ) a = 4 , -0( 8 -me') 4 i et consequenter 276 276 sina 17 (2 —r')= sin?2 =-11 , cos 3 (8-3) SCOS = o . Vertetur itaque (m' ) in 22 + y = 0 % ; quae cum sit aequatio ad circulum, consequitur excursionem aethereae particulae ( x,y) in ea qua sumus hypothesi fore circularem.

2º. Utcumque se habeant a et á, si nulla inter origines radiorum obtinet differentia, ut sit —(8 — E ') = 0 , traducetur (m' ) ad X a a quae rectam exhibet lineam: excursio igitur aethereae particulae $(x,y)$ exsistet rectilinea.

3º. Quod si differentia inter origines radiorum fuerit aequalis semilatitudini undae luminosae, ut sit - c(E -x') 2 co traducetur (m' ) ad an2 . Y a205 adhuc nempe excursio aethereae particulae erit rectilinea.

4º. In hypotesi Q = d', rectilinea excursio ( 20 ) fiet juxta azimutum 00 ' dividens bifariam angulum rectum $XOY$.

5º. In eadem hypothesi « = a' , rectilinea excur sio ( 3º . ) fiet juxta azimutum 00 " normaliter insistens a zimuto 00 '.

6º. Etsi lumen circulariter ( 1º ) polarizatum non offert characteres ( 264 ) polarizationis rectilineae, videturque omni polarizatione destitutum ; ubi tamen aliqua de causa à duplicetur in progressu differentia inter origines radiorum, lumen illud recuperabit ( 30. ) eos characteres: quod sane naturali lumini minime contingit.

286. Parallelepipedum vitreum ABCD (Fig. 130) habeat latera sub ejusmodi angulis constituta, ut luminosus radius $oo'$, polarizatus in plano incidentiae, appellens normaliter ad faciem $CD$, ac permeans vitrum usque ad internam superficiem $AD$, totus ( 155 ) ibi reflectatur apud $o'$ versus $BC$, ibique apud $o''$ totus iterum interne reflectatur versus $AB$, indeque emergat normaliter ad ipsam $AB$. Explorantes emergentem radium $o'o''$ deprehendemus eum de sua polarizatione nihil amisisse : id ipsum deprehenderetur, si luminosus radius esset polarizatus perpendiculariter ad incidentiae planum. At adhibito luminoso fasciculo , cujus planum polarizationis efficiat angulum semirectum cum incidentiae plano, emergens fasciculus $o''k''k'''o'''$ invenietur vel ex toto, vel ex parte (magis minusve pro varia luminis inclinatione in $o'$ et $k'$) depolarizatus. In vibrationum systemate depolarizatio ista explicatur per conversionem polarizationis rectilineae in circularem. Radius namque polarizatus ad 45° ab incidentiae plano aequivalet (285.4.°) duobus radiis, quorum alter est polarizatus ad oº, alter ad 90° : et quoniam hi duo radii post reflexiones internas retinent singuli propriam polarizationem; haud dubie, si differentia inter origines maneret constanter nulla, fasciculus emergens perstaret in rectilinea polarizatione ad 45° ab incidentiae plano. Cum igitur id non contingat, differentia illa ob reflexiones internas fiet $\lambda$ aliqua v . gr. : inde vero ( 285. 1.0 ) in emergente fasciculo conversio rectilineae polarizationis in circularem, et consequenter ( 285. 6. °) ipsius fasciculi emergentis depolarizatio.

287. Depolarizatus fasciculus emergens ex parallelepipedo ABCD ingrediatur alterum parallelepipedum vitreum aequale ipsi ABCD , ut ibi quoque subeat duas reflexiones internas omnino similes prioribus apud o' , k : Explorantes fasciculum egredientem e secundo parallelepipedo inveniemus eum rectilinea polarizatione rursus affeclum . Ratio est ( 285. 5.0 ) , quia ob novas reflexiones internas 2 crescit adhuc differeutia inter origines radiorum con 4 2 trarie polarizatorum , evaditque v. gr. = 2

288. Sint duo radii luminosi in uno eodemque plano ( P) polarizati , ad quos pertineant 2π 271 XO COS ( Inte) , x ' = A cos 0 @ + + + 3 item duo alii radii luminosi in uno eodemque plano ( P' ) polarizati , 277 y = x cos .(2 + s8 + ),v =a 277 U cos ( tts ) : ex duobus primis resultabit ( 244. 8.0 )207 x=aV2 cos (*+ -+ ). polarizatus in plano ( P) ; ex duobus secundis , Y = AV 2 cos 27 ( 276 o a its g) , polarizatus in plano ( P') . Fac ut ( P) et ( P' ) intercipiant angulum rectum: lumen resultans ex binis X et Y afficietur ( 285. 4. ° ) polarizatione rectilinea; lumen resultans ex binis x et y afficietur (285. 1. °) circulari polarizatione versus partem v. gr. dexteram ; lumen resultans ex binis x' et go afficietur circulari polarizatione versus sinistram. Hinc luminoso fasciculo praedito polarizatione rectilinea substitui poterunt duo fasciculi circulariter polarizati, alter dextrorsum, alter sinistrorsum: vicissim ex duobus ejusmodi fasciculis resultabit luminosus fascicalus rectilinea affectus polarizatione.

Ad haec: permeante lumine medium aliquod, si medium est ita comparatum ut fasciculus circulariter polarizatus dextrorsum permeet vel citius vel tardius quam fasciculus circulariter polarizatus sinistrorsum, planum polarizationis fasciculi resultantis, rotando se vel a dextera parte versus sinistram vel a sinistra versus dexteram, deviabit a pristina positione. Ratio est, quia in primo casu major obtinet vis acceleratrix apud sinistram plagam, minor apud dexteram; in secundo major apud dexteram, minor apud sinistram: sic in compositione binarum virium ubi una fiat major quam altera, ad eam quasi rotando accedet resultans vis. Quisque autem intelligit in illo polarizationis plano angularem deviationem a pristina positione eo esse debere majorem, quo major erit differentia inter velocitates fasciculorum circulariter polarizatorum in permeando medio.

289. Non pluribus opus est ad explicandum phaenomenon, quod observatur in laminis excisis ex crystallo montana perpendiculariter ad opticum crystalli axem. Fac ut luminosus fasciculus rectilinca polarizatione affectus incidat normaliter in unam ex istis laminis, eamque permeet: explorantes egredientem fasciculum, deprehendemus ipsum adhuc affectam rectilinea polarizatione, sed cum plano polarizatiouis mutato: pro varietate crystalli, ex qua exciduntur laminae, modo planum polarizationis rotabit se a dextera versus sinistram, modo a sinistra versus dexteram. Proprium videlicet est hujusmodi laminarum transmittere cum diversis velocitatibus luminosos fasciculos circulariter contrarieque polarizatos; quorum fasciculorum systemati aequipollet fasciculus praeditus rectilinea polarizalione.

290. Istam velocitatum diversitatem experimento confirmavit D. Fresnel: in Fig. 131 vides parallelepipedum coalescens ex tribus prismatis seorsim fabrefactis ; inter medium BDH habet in B angulum=152º , latera BH et BD aeque inclinata ad AD , estque excisum ex crystallo montana rolante planum polarizationis a dextera v. gr. versus sinistram; extrema ABH, BCD sunt excisa ex alia crystallo montana rotante planum polarizationis a sinistra versus dexteram; sic vero tria prismata conjunguntur ut optici eorum axes communem directionem HD, binaeque facies AH, CD normaliter insistant ipsi HD. Iam si polarizatus fasciculas 00' in directione HD permeet prisma ABH, is observabitur divisus in duos fasciculos sub angulo satis sensibili emergentes ex parallelepipedo: crystallus nempe montana duplicem gignit luminis refractionem in axeos directione. Haec duplex refractio genita in directione axeos differt omnino ab ea, quae consuete ( 156 ) obtinet in ipsa crystallo montana, caeterisque crystallis dupliciter refringentibus; revera bini fasciculi ex parallelepipedo emergentes nullum exhibent polarizationis vestigium; certe prismate dupliciter refringente (274) excepti, constanter suppeditant singuli binas imagines aeque vividas; quod cum alibi (275) stabilitis minime consentit. Bene vero explicatur duplex illa refractio per dictam velocitatum diversitatem; quae proinde diversitas ab experientia firmatur. Intelligatur enim polarizatus fasciculus appellens ad AH tanquam compositus duobus fasciculis ( f) et (f ') circulariter ad partes contrarias polarizatis, parique velocitate delatis: si, permeantibus ( p) et ( f' ) prisma ABH , fasciculus v. gr. ( f) propagatur citius quam (fi) , minus (240) refringetar (f) quam (f') in egressu ab ABH ; ideoque disjungetur alter ab altero: fasciculi sic disjuncti permeabunt prisma BDH; ibique cum citius incedat (p ') quam ( p , minus refringetar ( f' ) quam ( f ) in egressu ex BDH ; el consequenter disjungentur amplius fasciculi: permeantibus denique ( f ) ep ( f' ) prisma BCD, quoniam ( f ) rursus evadit citior quam ( f ' ) , crescet adhuc fasciculorum disjunctio in egressu ex BCD; sicque minima etiam divaricatio fiet demum salis sensibilis. Emergentes fasciculi, utpote circulariter polarizati, sese exhibebunt ( 285. 6.9) veluti omni destitulos polarizatione.

291. Haec iteratis experimentis explorata subjungimus.

1.° In laminis ex eadem crystallo montana excisis rotatio plani polarizationis est proportionalis ipsarum laminarum crassitiei.

2.° Varii colores spectri prismatici eo majorem in respondente polarizationis plano rotationem patiuntur, quo magis exsistunt refrangibiles .

3.° Praeter crystallum montanam non aliud cognoscitur solidum corpus, cujus proprium sit rotare planum polarizationis: cognoscuntur tamen et liquida, et fluida elasticaque corpora, quae, istiusmodi rotationem valent progignere.

Subjiciuntur nonnulla ex mutua radiorum polarizatorum actione.

292. Luminosus polarizatusque fasciculus homogeneas, cujus intensitas =A , incidat in laminam ex crystallo v . gr. montana excisam juxta directionem axi parallelam; egressus ex lamina transeat per islandicam rhomboidem; sintque, PCP' ( Fig . 132 ) planum primitivae polarizationis , RÇR' principalis sectio laminae, QCQ' principalis sectio rhomboidis, SCS et TCT' binae rectae perpendiculares, altera ad QQ, altera ad RR' . Fasciculus (A ) , jam polarizatus juxta PP', permeans laminam resolvetur (275. 2.' ) in duos fasciculos, ordinarium nempe ( A.) polarizatum juxta CR , et extraordinarium (Ac) polarizatum juxta CT'; eruntque $A_{o}=A\cos \beta ,A_{e}=A\sin \beta$. In transitu per rhomboidem resolvetur ($A_{o}$) in ($A_{o+o'}$) polarizatum juxta CQ et ($A_{o+e'}$) polarizatum juxta CS ; similiter ( A) in (Acto) polarizatum juxta CQ et ( Acté) polarizatum juxta CS' : eruntque A.46 = A , cos ( B - B') = A\cos \beta\cos( \beta - B ) , Aote = A , sin ( \beta - B = A\cos \beta\sin( \beta - B ) , Acto = A.cos(900- ( \beta - R')) = A\sin \sin ( \beta - \beta ), Acto = A_sin (90 ( \beta - ')) = Asin \beta \cos( \beta- ).

Egrediente lumine ex rhomboide , fasciculi ( Autó ) et ( Acto ) , conspirantibus motibus polarizati , dabunt imagi nem ordinariam ( B) ; fasciculi vero ( Acté) et ( Akte) , contrariis motibus polarizati, praebebunt imaginem extraordinariam ( B' ) ; adeo ut ( B) nihil sit aliud nisi lumen resultans ex (Ac+ 0') et (Actó ) , ( B) vero lumen resultans ex (Acte et - ( Acte ).

293. Fasciculi (A.) , (A.) non eadem velocitate ( 240) emergunt ex lamina ; quae autem semitarum differentia i o - e) obtinet quoad ( A.) , ( A.) , manifeste obtinebit et quoad componentes fasciculos ( Ao+07 , (Acto ) , et quoad componentes (Acte ) , - (Acte ). Itaque aut intensitas B2 imaginis ordinariae ( B) , aut intensitas B' ? imaginis extraordinariae ( B ') proponatur determinanda, eo redibit quaestio ut in primo casu determinetur intensitas fasciculi resultantis ex binis ( A270 ) et (Acto 4 habentibus originum differentiam = 0 - e, in secundo intensitas fasciculi resultantis ex binis (Aote ) et - ( Acte ) habentibus adhuc originum differentiam = 0 - e. Hinc sumpta (244. 4º. 6 ) Q2 + 4 + 2ac cos 270 e B factisque 1º. a = A.to , a Acto , la с llo slo e 20. « = Aote',a = Acté' , B prodibunt B * = A^2 [\cos a \cos?( - B') - \sin - \sin-( \beta - B ') + 2\sin \beta\cos \beta\sin( \beta - B )cos( \beta - B ')cos27 (3 - ( 79 ] , B'a = A ( cosa sin ( \beta - B ') + siu \betacos (B B O 2sin ScosBsin \beta - B )cos( \beta — B*)cos271 ) ] :212 et quoniam secunda membra possunt scribi in hunc modum , $A^{2}[(\cos \beta \cos(\beta -\beta ')+\sin \beta \sin(\beta -\beta '))^{2}-2\sin \beta \cos \beta \sin(\beta -\beta ')(1-\cos 2\pi {\frac {o-e}{\lambda }})],A^{2}[(\sin \cos(\beta -\beta ')-\cos \beta \sin(\beta -\beta '))+2\sin \beta \cos \sin(\beta -\beta ')\cos(\beta -\beta ')(1-\cos 2\pi {\frac {o-e}{\lambda }})];$ iccirco B --= A* [cos23-— sin23si12(B — B )sin°76 °7 ] , ( a) B ’ = A ?[ sin> $* + sin23sin2(3 — F")sin?7147 0e Formulae (a) suppeditant intensitatem cujusque luminis homogenei in ordinaria atque extraordinaria imagine , dependentem scilicet a respectiva undae latitudine , et a differentia o-einter cursus radiorum permeantium laminam.

294. Haec facile nunc stabiliuntur.

1º. Determinato valore medio quantitatis à quoad septem colores spectri prismatici , adhibitisque substitutionibus in ( a ) , assequemur intensitalem cujusque luminis homogenei tam in ordinaria quam in extraordinaria imagine , atque inde pro prium singularum imaginum colorem per Newtoni con structionem experimentis innixam. Ita se habet Newtoni constructio ( Oprice lib. 1. parte 2. prop• 6) : centro 0 ( Fig. 133 ) , semidiametro OD describatur circulus ADF, distinguaturque circumferentia ipsius in septem partes $DE,EF,FG,GA,AB,BC,CD,$ quae sint proportionales tonis septem musicis sive intervallis sonorum octo illorum in octava, sol , la , fa , sol , la , mi, fa , sol; hoc est , quae 1 1 . 1 sint proportionales numeris 9 10 1 1 1 Repraesentet prima pars DE colorem 10 ? 16 9 rubeum, secunda EF aureum , tertia FG flavum , quarta GA vi ridem, quinta AB caeruleum, sexta BC indicum, et septima CD violaceum .... Porro sit p centrum gravitatis arcus DE, et $q,r,s,t,u,w$ centra gravitatis arcuum $EF,FG,GA,AB,BC$ et CD comparate, et circa haec centra describantur circuli, qui siat comparate proportionales radiis singulorum colorum in data mixtura , hoc est circulus p proportionalis nu mero radiorum rubeorum in data mixtura, circulus 9 pro portionalis numero radiorum aureorum in eadem mixtura, etc. Inveni deinde centrum gravitatis commune omnium istoram circulorum $p,q,r,s,t,u,x$; quod quidem centrum sit Z , et per istud Z a centro circuli ADF ducta ad circumferentiam linea recta OY, locus puncti istius Y in illa circumferentia ostendet quis nasciturus sit color ex com positione colorum omnium in data mixtura , et OZ erit proportionalis largitati sive saturati istius coloris.

Haec Newtonus, qui addit : verum id hic observandum est si punctum Z incidat in lineam OD, vel proprius ab ea, cum jam colorum simplicium praecipuus sint rubeus et violaceus , colorem compositum non utique futurum ullius ex coloribus prismate exhibitis simitem, sed purpureum rubescentem, aut ad violaceum accedentem pro eo ut punctum Z ex hac vel illa parte lineae DO ad E vel C versus ceciderit; et in universum, colorem violaceum compositum , quam simplicem , semper magis clarum esse atque igneum Concludit autem, se hanc regulam satis accuratam existimare ad experimenta agenda, quamvis non sit mathematice accurata.

Notetur illud: quae de vicium intervallis in emissionis systemate ostendimus ( 234. 6º . ) quoad radios ejusdem quidem coloris, sed non ejusdem refrangibilitatis , simili ratiocinatione quoad ipsos radios in systemate vibrationum ostenduntur de undarum latitudinibus. Exigua nempe laminae profunditas tot ad sensum continebit undarum latitudines respectu dati radii, quot respectu aliorum ejusdem coloris radiorum: notabilis vero profunditas, si respectu da ti radii continet undarum latitudines v. gr . 1000 , continebit 1000+ ) , 1001 , 1001+ 4 , 1002 , .... respectu aliorum quorumdam ejusdem coloris radiorum . In secundo itaque casu commiscebuntur omnium colorum ra . dii in lumine per laminam transmisso, nullusque color gi. gnetur ab albo distinctus; non item in primo casu .

2º. Fac vel sin2B = 0, vel sin2 (3-B ) = 0 ; fac nempe ut principalis sectio laminae exsistat vel parallela , vel perpendicularis, sive plano polarizationis primitivae, sive principali rhomboidis sectioni: in ( a ) evanescet terminus qui variat una cum colore variato, quique pro diversis radiis coloratis importat diversam luminis intensitatem. Propterea utraque imago apparebit alba.

3º. Si \beta = 0 et \beta = 45° ; si nempe principalis sectio laminae intercipit angulum semirectum cum plano polarizationis primitivae, simulque principalis sectio rhomboidis est eidem plano parallela, erit sin2 \betasiu2 ( \beta - ) = 1 ; coefficiens nimirum termini variantis una cum colore variato maximum acquiret valorem, et consequenter utraque imago apparebit maxime colorata. In casu B? = A [1– sin ? 1879 (° 7 %]] == AA??cos cos29 ? A ( ( a ). 0 B'2 = Azsin 2014 =

) ( a " ).215

4°. la secundis membris ( c : c. 245 ) pone 4i=Az et h= ; 2 vertetur (c) in secundum membrum ( a") , vertelur (c') in secundum membrum (a' ) . Consimiles igitur apparebunt colores in coloratis annulis reflexis et in imagine extraordinaria , itemque consimiles in coloratis annulis transmissis et in imagine ordinaria : modo tamen (obtinet in plerisque crystallis ) differentia ome , variatis coloribus, haud patiatur notabilem mutationem ; siquidem h, mutatis coloribus, nullo pacto mutalur.

5º. Denotante m numerum integrum , erit vel \lambda (d')=0 vel ( a " ) = 0 , prout fuerit vel ome= ( 2m + 1) 2 vel o - e = md. In primo videlicet casu , evanescente imagine ordinaria, perstabit sola extraordinaria; totumque lumen emerget ex rhomboide polarizatum normaliter ad planum polarizationis primitivae: in secundo, evanescente imagine extraordinaria, permanebit sola ordinaria; totumque lumen egredietur ex rhomboide polarizatum in plano polarizationis primitivae.

6º. Retento \beta 45°, sit o - es utcumque sumatur B, formulae generales ( a ) praebebunt ( 2m + 1) B2 = A [cosas-cos2 \beta ' '] = A², B '? = A ( sin- \beta '+ cos2B '] = { A’ , et consequenter B2 = B ' ?: utraque scilicet imago erit ejusdem constanter intensitatis, utcumque caeteroquin revolva216 (2m+ 1 1) . tur principalis sectio rhomboidis. Inde fit ut lumen emergens ex ipsa rhomboide videatur polarizatione destitutum.

7.º Pone o e = m2 et B = 0; ex (a ) habebis B'? =0, utcumque de caetero sumatur \beta. Adhuc habebis à B' = 0, si B = 23 et o - e = Ista omnia consentiunt cum experientia. Vid. Annal. de Chim. et de phys. tom . 17. pag. 111. '

8º. In summam contractis valoribus B2 et B2, disparebunt termini variantes cum variata undarum latitudine: ex conjunctione igitur colorum, quibus ordinaria extraordinariaque imago diverse imbuuntur, non alias orietur color nisi albus: id quoque experientiae consentaneum reperitur. Hinc est quod ejusmodi imaginum colores dici soleant , alter complementum alterius.

90. Deficit colorum varietas ubi polarizato lumini naturale substituitur lumen. Perinde nimirum se gerit naturalis fasciculus ac si ( 267. 40: 277. 30. ) foret systema duorum fasciculorum ( p) et (p ') contrarie polarizatorum: color extraordinariae imaginis ex (p ') adjungit se ad colorem ordinariae imaginis ex ( p ), itemque color ordinariae imaginis ex (p' ) adjungit se ad colorem extraordinariae imaginis ex (p ) ; sicque binae duntaxat enascentur imagines aeque ( 8 °.) albae .

10°. Si luminosus fasciculus est partiatim polarizatus, apparebunt quidem binae coloratae imagines, colorque in una erit complementum coloris in altera; sed eo languidiores observabuntur imaginum tincturae, quo minor polarizati luminis quantitas in fasciculo admiscebitur ( 267.2º) ad naturale lumen.

295. Incidant in laminam innumeri fasciculi constituentes luminosum conum, cujus vertex in oculo sito trans rhomboidem, sintque omnes juxta communem directionem polarizati: dabunt singuli binas imagines, ordinariam videlicet atque extraordinariam; sicque habebuntur variae imaginum congeries sese oculo exhibentes instar annulorum: huc spectat phaenomenon de coloratis polarizatisque annulis, qui in tenuibus dupliciterque refringentibus laminis observantur. Sume eres laminas admodum tenues T, M, T' , extremas T ac T' ex tormalina ( 272) , mediam M ex crystallo v. gr. montana: naturali lumini obverte istud laminarum systema, ut lumen permeans laminam v. gr. T appellat polarizatum ( 272 ) ad M: collocato oculo ultra T', videbis plures annulos diverso imbutos colore. Haec de ejusmodi annulis satis sit attigisse: caeterum multa sese offerrent dicenda circa eorum formam, colores, dimensiones etc. . .

296. Priori laminae superponatur secunda similiter excisa ex crystallo dupliciter refringente; sitque $KCK'$ (Fig . 132 ) principalis sectio novae laminae, et $HCH'$ recta insistens normaliter ipsi $KCK'$, Duo fasciculi ( A.) , (A.) , polarizati ( 292) juxta $CR,CT'$, permeantes secundam laminam suppeditant quatuor fascicnlos ( 1oto' ) , ( Acte ) , ( Actó) , ( Acte) , respective polarizatos juxta $CK,CH',CK',CH'$; eruntque Actó' = A.cosu . Até' = A sing ; Aeto Asing , Acté' = A, cos : quatuor isti fasciculi permeantes rhomboidem praebent octo fasciculos (Aotótó ), (Actó te'), (Asté to" ), ( Antéte ), ( Actóto') , (Acto'te' ), ( Acte to“ ), ( Acte'te ' ) , respective polarizatos juxta $CQ,CS,CQ,CS,CQ,CS',CQ,CS'$; eruntque Autóto " = Actó cos(a + B - B ) = Acosxcos ecos(a + B - B ) , A oto to = Actó sin (a + B - ' = Acosacos sin (x + B- '), Aoté'to" = Aote'sin(a + B - 3 ') = Asinacos siu( + B - S'),218 Aotete Asté cos(a + \beta - B') = Asinacos \betacos(a + BwB) , Actoto" = Acto' cos (a + B4B ) = Asinasin \betacos(a + \beta - \beta '), AAetote Acto sin(a + \beta — B = Asinasin sin(a + B - B '), Acté'to " = Acte sin (a + s — ) = Acosasinſsin (a + B — B ) , Acte té" = Acté cos( + B - 6 ) = Acosasin cos(a + \beta \beta ) : ordinaria imago ( B ) resultat ex ( toto'to ' ) , (Aoté to'),— ( Actoto " ) , (Acté to ') [a " " ) ; extraordinaria vero ( B ') ex ( Acto'te') , - (Atéte ) , -( Acto té") , - (Acré'te) [a ' '). Quaestio igitur de invenienda aut intensitate B2 imaginis ordinariae, aut intensitate B's imaginis extraordinariae , eo redibit at in primo casu inveniatur intensitas fasciculi resultantis ex quatuor [a " " ] , in secundo intensitas fasciculi resultantis ex quatuor [ a " ].

297. Ponatur 1º. a = 0 ; evanescentibus ( Aote to ), - ( Actótó ) , - (Acté'te ') , (Actote" ), restabunt quoad imaginem ordinariam, Actóto" = Acos \betacos ( \beta - B ), Antó to" Asinſsin ( \beta - 8 ); quoad extraordinariam , Antóte" = Acos \betasin ( \beta - B '), -Acté'te" = - Asin \betacos( —8 ): proinde ( 293)219 Bº = A * [cos? g —sinaſsina(3— B)sinsrcem ], B':= A [sin B'+ sinaſsina{ \beta — B*)sin?7(e-oto - ]. Ponatur 2º. a = 90° ; evanescentibus (Aoto toO" ). (Acté'to ) , é ) . ( Acte'te' ) , remanebunt quoad imaginem ordinariam , ( Aoto té A této" = Acos \betacos( 3 — B ) , -Actótó" = Asinſsin ( \beta— B' ); quoad extraordinariam - Acté'to" = Acossin( - B) , • Aetote " Asinſcos(3 - B ) : propterea ( 293) , B- = A*[ cos»B — sineſsin2(B — B"jsin?7(-6-czóté ,j, B' = A [sinº $ tsin26sina( – ")sinºn (-e-exotó )]. Si binarum laminarum altera v. gr. $RR'$ exscinditur ex crystallo positiva ( 156. 2° . ) , altera ex crystallo negativa , exsistent ( 240) o - e > 0,0 - e < 0 : quodsi exscindantur ambae vel ex crystallo positiva , vel ex crystallo negativa , exsistent vel o -e >0,0' - e' > 0 , vel o - éx0,6 - é' < 0 . Hinc per binas laminas satis crassas, sibique superpositas, poterunt sub angulo a=0 obtineri ea colorum phaenomena, quae obtinentur per unicam laminam tenuem , si laminarum altera est positiva, altera negativa; poterunt sub angulo a =90°, si ambae sunt vel positivae vel negativae. Ex his profluit simplicissima ratio investigandi utrum proposita crystallus dupliciter refringens sit positiva vel negativa : ex ea abscide laminam ita crassam ut inde colorum phaenomena minime oriantur; tum ex alia jam cognita crystallo v. gr. ex crystallo islandica (est negativa) sume pariter laminam satis crassamn: superpositis laminis, si colorum phaenomena apparent sub angulo a = 0 , proposita crystallus erit positiva; si apparent sub angulo a=90° , erit negativa.

298. Ad obtinendam intensitatem fasciculi resultantis sive ex [ a"] sive ex [ a ] utcumque se habeat angulus a, baec animadvertimus.

1º. Amplitudo oscillationis ( 144. 1º. ) in luminoso fasciculo (6º . 244 ) resultante ex duobus quibus vis fasciculis (6' ' ' ; 6 " . 244 ) perinde se habet ad ampli tudines oscillationum in ( 6' ' ' ) et ( 61V) ac si ( 9. 3° : 244.40. ) illa esset vis composita, hae vero componentes vires sub angulo E ' constitutae. 0

2º. Sint itaque $P,P',P''$, ... vires dato puncto applicitae; R , quae ex iis resultat ; a ', a " , a " , ... a anguli, quos continent P' , P " , P "' , ... R cum primo ex ordinatis orthogonalibusque axibus; .6', 6 ”, 6 ",... b anguli, quos continent cum secundo; c' , c " , c , ... C ; anguli , quos continent cum tertio . Erunt 27 CO P'cosa ' , P " cosa " , P " cosa " q .. Rcosa projectiones virium in primo axe; P'cosb ' , P " cosb " , P cosb '" ... Rcosb project. vir . in secundo; P'cosc', P"cosc " , P " cosc ,... Ricosc project. vir. in tertio: unde ( 9. 4º. )221 Rcosa P'coşa' + P " cosa " + Pcosa'" + ... Rcosb = P'cosb' + P'cosb " + Pcosb'" + . Rcosc = P'cosc' + P " cosc " +Picosc"+ .

3º. Quoniam ( 50. 70. ) cos'a + cos2b + cos'c=1 , cos ? a ' +cos2b + cos? c = 1, etc. cos( P'P') = cosa' cosa" + cosb'cosb " + cosc'cosc" , cos(P'P' ' ' ) = cosa'cosa '"' + cosb'cosb'" + cosc'cosc'", etc. .. ; iccirco. R? = P2+ P" + P+ 3 + ...+ 2P"P" cos(PʻP") + 2P'P"'cos(P/P" ) + ... + 2P"P "cos(P" P") + ...[i] .

299. His animadversis, ad obtinendam intensitatem B- fasciculi resultantis ex[a " ] satis erit (244.30. ) ponere in [: ] R = B, P = Aotóto" , P = Atéto P " = -Aeto + P " = Até tó" , P' = 0, P " = 0, etc ... e o é ( P'P ') = - 276 2 ( P'P"" ) 277 2 ( P'p " ) = - 276Octo =&", (P"P") = 0 - etero e 276 , ( P " P " ) = - 276 __ 2222 omé ( P " P " ) = - 27 \lambda ad obtinendam vero intensitatem B2 fasciculi resultantis ex [a"' ] satis erit ponere in eadem [i] R=B, P = Aotó'te"",, P " = - Aoté'te": P "" = - Actótei, PW Acte'te"" , p = 0 , p = 0, etc... o ' - e' ( P'P' ) = 271 ( PʻP ') a 21. a -216 , (P'P ' ) = aeto - é (P'P " ) = - 27 \lambda o - etéto 276 \lambda (P"P" )= – 27.970 . ó ( P ' P " ) = - 27 3 scribendis formulis inde provenientibus supersedemus.

300. Obiter haec notamus.

1º. Ex crystallo dupliciter refringente, binisque axibus praedita, abscindantur plures laminae juxta directiones respectu ipsorum axium diversas; ad aequalem vero crassitiem redigantur omnes: quisque facile intelligit (251) quo pacto investigari possit utrum lumen permeans istas laminas patiatur ubique eamdem retardationem, necne; et consequenter utrum per illas propagetur lamen eadem velocitate, necne. Rem in duabus laminis ex topazio expertus D. Fresnel, pro diversa abscissionis directione diversam quoque in utroque luminis fasciculo velocitatem deprehendit: indeque habuit quo firmaret id, quod jam ipsi praebuerat sua vere admiranda theoria; in crystallis videlicet dupliciter refringentibus, duplicique axe praeditis, binorum radiorum, in quos transmissom lumen dividitur, neutrum sic refringi ut ratio inter incidentiae sinum ac sinum refractionis maneat constans.

2º. Crystalli dupliciter refringentes varie polarizatum lumen absorbent pro varia positione quam obtinet polarizationis planum relate ad ipsorum crystallorum axes. Habes exemplum in tormalinae laminis, quarum latera sunt parallela axi crystalli: absorbent enim (272: 273) totum ferme lumen polarizatum in plano sectionis principalis; transitum praebent lumini polarizato juxta contrariam directionem.

3º. Luminosus igitur naturalisque fasciculus incidens in ejusmodi laminas resolvitur in binos fasciculos; quorum alter, polarizatus in plano principalis sectionis, absorbetur; alter, polarizatus in plano ad principalem sectionem perpendiculari, transmittitur.

4º . Haec luminis absorptio non fit in instauti, sed per gradus: quod ut tibi persuadeas, redige tormalinam ad prisma triangulare habens latera parallela axi, simulque refringentem angulum admodum parvum; colloca istud prisma inter oculum et objectum aliquod exiguum satisque remotum: oculo applicato ad tenuiorem prismatis partem, videbis binas objecti imagines; at oculo gradatim adducto versus crassiorem prismatis partem, manente una ex imaginibus, altera (ordinaria) gradatim languescet donec pereat demum extincta.

5º. Sive lumen sit polarizatum sive non, gradata ejus absorptio in medio quovis homogeneo admitlitur fieri ea lege ut, diviso medio in plura strata aequalis crassitiei, quam partem xe suae intensitatis datum lumen homogeneum appellens ad primum stratum amittit permeando ipsum primum stratum, eamdem suae intensitatis partem residuum lumen appellens ad secundum stratum amittat permeando ipsum secundum stratum, et sic deinceps. Designata igitur per 1 primitiva dati luminis homogenei intensitate, exprimetur per 1 - X , ( 1 - x2, (1 - x ;} , ...( 1 - x ) "224 intensitas luminis egredientis ex primo, secundo, tertio ,... rsimo strato: tametsi idem retinetur medium absorbens, constat nihilominus experimentis adhibendam esse diversam x pro luminosis radiis diversae refrangibilitatis. Hinc lumen album ( 247 ) m + m ' + m + ... appellens ad primum stratum, fiet m (1 - x ) + m '(1 - x ')" + m " (1 - x " )" + ... in egressu ex rsimo strato .

6º. Datum lumen homogeneum, postquam permeavit r strata primi medii, ponatur permeare k strata aeque crassa novi medii similiter homogenei; et quod in ordine ad primum medium est x, in ordine ad secundum sit y: intensitas luminis egredientis ex ksimo stra 10 secundi medii manifeste exprimelur per ( 1 - x )? ( 1-3 )* ; lumenque album in egressu ex hoc ipso strato fiet m( 1 — x ) " (1- y )* +- m '(1- x ')" (1-3' )* + m (1 -- X " ) (1 — y " )* + .... ; atque ita porro , crescente mediorum numero.

7º. Animadvertit D. Brewster, etsi perstat medii natura, attamen, variata ejus duntaxat temperie, va quoque mutuas rationes inter x , xo' , xc " , Certe , colores corporum ob calorem evadunt generatim saturatiores.

ASTRONOMIAE PRINCIPIA

Varia posuimus ex Astronomia in Mechanica et Optica; prout nempe sese obtulit occasio disserendi de rebus, quae cum astrorum phaenomenis connectuntur. In animo nunc est praecipua, quae ad ipsam Astronomiam seu astrorum scientiain pertinent, breviter et ordinatim exponere: neque brevem istam ac ordinatam expositionem putamus inutilem, etsi inter philosophicas tertii anni scholas suam in Romano Soc. Jesu Collegio sibi vindicat Astronomia; si quidem fit plerumque ut tirones nostri vel diversis curis distracti, vel contenti philosophicarum institutionum primi et secundi anni, institutionibus tertii minime vacent.

Notiones praeambulae

Sphaera mundi aequator, horizon, meridianus, ecliptica boreale nimirum et australe: quorum alteri respondet polus arcticus, alteri antarcticus

301. Coelum e tellure nostra contemplantes effingimus nobis quandam sphaeram immensam, in cujus centro nos ipsi simus; omniaque astra, ut ut inter se distant, ad istius sphaerae superficiem referimus. Videtur haec sphaera converti aequabiliter circa unam e suis diametris veluti circa rectam fixam, et spatio viginti quatuor ferme horarum absolvere integram revolutionem, secum ob ortu ad occasum cuncta corpora coelestia communi motu in gyrum pertrahendo; adeo ut viginti quatuor ferme horis appareant singula describere singulos circulos normaliter ad rectam illam per ipsorum circulorum centra transeuntem. Recta haec dicitur axis mundi: extrema ejus puncta dicuntur poli mundi; alter nobis conspicuus vocatur arcticus, alter antarcticus.

302. Pleraque astra mutuas inter se distantias ac positiones conservant; caetera non item: hinc astrorum divisio in fixas errantesque stellas. Ex errantibus stellis aliae (dicuntur planetae) praeter motum communem cum sphaera celesti ab ortu ad occasum deprehenduntur insuper habere proprios et suos motus ab occasu ad ortum in ipsius coelestis sphaerae saperficie; uti videre est v.gr. in luna, quae si conferatur cum fixis apparebit a fixa maxime vicina recedere appropinquans ad alias per vices versus ortum, donec post 27 circiter dies redeat ad illam unde primo recessit. Aliae (appellantur cometae) sese in coelo identidem exhibentes nunc certo quodam capillitio, nunc longo luminis ductu comitatas, praeter motum illuma communem deprehenduntur quidem habere proprios et suos motus, sed omoimodae directionis. Ad astrorum positiones determinandas, varii in coelesti sphaera concipiuntur circuli maximi; qui utpote cum ea commune centrum habentes, ipsam aequaliter partiuntur: ejusmodi sunt aequator, horizon, meridianus, ecliptica.

303. Aequator ad perpendiculum secat mundi axem, partiturque coelestem sphaeram in duo hemisphaeria, boreale nimirum et australe: quorum alteri respondet polus arcticus, alteri antarcticus. Axis mundi est simul (173.3) axis aequatoris; astraque motu coinmuni (301) vel aequatorem describunt, vel minores circulos aequatori parallelos.

304. Binorum hemisphaeriorum, in quae dividitur sphaera coelestis ab horizonte, alterum dicitur superius, alterum inferius, illud nobis conspicuum, hoc nostris subductum oculis: horizon duas habet partes, orientalem nempe in qua astra videntur oriri, et occidentalem in qua videntur occidere. Ex duobus horizontis polis ( 173. 3.°) is, qui respicit hemisphaerium superius, vocatur zenith, qui inferius nadir: imminet ille capiti nostro, hic nostris respondet pedibus.

305. Arcus aequatoris, vel circuli aequatori paralleli, qui supra horizontem extat, vocatur arcus diurnus; altera circuli pars, quam sol infra horizontem depressus percurrit, vocalur arcus nocturnus: quo major alicujus circuli aequatori paralleli pars extabit supra horizontem, eo longior erit dies, eoque brevior nox, ubi sol hunc circulum decurrat. Huc spectant dies, qui dicuntur artificiales; naturalis enim dies est tempus illud, quod effluit dum sol, in gyrum actus cum caeteris astris, ab uno coeli puncto ad idem seusibiliter revertitur: naturalis dies est constancer 24 horarum.

306. Euntes versus aliquam mundi plagam, cum quo quoversus videamus horizontem gradatim deprimi et elevari astra eodem ferme et aequabili modo, simulque apud contrariam plagam pari gradu elevari horizontem et de primi occultarique astra; consequens est ut tellus nostra spectari possit tanquam proxide sphaerica, habens centrum in ipso sphaerae coelestis centro. Ad haec: sive ex puncto D ( Fig. 108 ), sive ex quovis alio puncto с superficiei terrestris observentur binae fixae O' ac o " ut apto instrumento determinentur anguli O'DO" , OʻCO" ' , cum nullum prodeat discrimen sensibile inter angulos O'DOM et O'CƠ", consequitur tellurem esse spectandam veluti exiguissimum punctum comparate ad coelestem sphaeram.

Zenith-Nadir-Horizon

307. Duplex distingui solet horizon, rationalis videlicet ac sensibilis: horizon rationalis transit per telliris centrum; horizon sensibilis, respondenti horizonti rationali parallelus, tangit ipsius telluris superficiem. Caeterum , etsi ambo horizontes non aeque dividunt coelestem sphaeram, haec tamen inaequalitas prae nimia stellarum a tellure distantia pro nihilo habetur. Per cujusdam terrestris prominentiae suminitateni (0) concipiatur transire planum (P) tangens in aliquo puncto (p) superficiem telluris, ut (P) sit planum horizontis sensibilis quoad (p); in plano (P) intelligatur duci recta linea jungens (p) et (Q); exibeaturque per k verticalis altitudo prominentiae. Collecta illius rectae mensura ( = i) , et ( 94 ) determinata k, innotescet terrae semidiameter ( =r) : nam 12-k2 iz =k ( ar +k) ; unde r = 2k Es observationibus institutis in aperto mari constat, si k = 1 metr. , fore į = 4444 metr. circiter. Hinc r =6583044,58 metr. = 20265244 , 44 ped.

Editissimorum montium verticalis altitudo non excedit 8000 metr.; neque proinde partem 1/1645 diametri ter restris. Maximae metallorum effossiones non pertingunt ad profunditatem 800 metr.; neque propterea ad partem 1/16457 illius diametri,

308. Meridianus transit per polos mundi et per polos horizontis; proinde exsistit perpendicularis tum aequatori tum horizonti. Non idem est meridianus pro omnibus terrae locis, quia non potest idem meridianus transire per singula zenith; licet non tot sint meridiani quot sunt horizontes, quia potest meridianus transire per plura zenith. Ex duobus hemisphaeriis, in quae dividitur sphaera coelestis a meridiano, alterum dicitur orientale, alterum occidentale: cum sidus aliquod ab horizonte ad meridianum pervenit, tunc medium supra horizontem cursam tenet; meridies est cum sol ad meridianum supra horizontem , media autem nox cum sol ad meridianum infra horizontem devenit: quaecumque loca sub eodem meridiano sunt posita, meridiem habent aut mediam noctem eodem instanti. Horizon et aequalor, utpote perpendiculares meridiano, transeunt per ejus polos; hi poli sunt verus oriens et verus occidens: si in his sol oritur et occidit, aequatorem describet motu communi cum coelesti sphaera; diesque aequabuntur poctibus. Puncta duo apud sphaerae coelestis superficiem, in quibus meridianus horizontem secat, vocantur punctum septentrionale et punctum australe: recta, in qua sese intersecant plaņa horizontis sensibilis et respondentis meridiani dicitur linea meridiana. Meridianam lineam sic duces: plano horizontaliter composito, elige in eo punctum aliquod (C), et circa (C) tanquam centrum plures describe lineas circulares; quo facto, stilum in ( C) eriges perpendicularem unius v. gr. pedis altum, cujus stili extremilas superior acumine paullulum obtuso terminetur. Ante meridiem adverte quandonam um bra stili desinat in aliquod puuctum ( A) unius ex descriptis circumferentiis, et illud punctum signa in plano: advertes etiam post meridiem quandonam desinat umbra stili in eamdem circumferentiam , et punctum ( B) in quod desinit ex altera parte signabis pariter. Arcum ( AB) divide bifariam in ( D), et recta lirea ( CD) erit linea meridiana . Ratio est quia hora meridiana, qua solis altitudo exsistit maxima pro quavis die, umbra corporum ( 151 ) est omnium illius diei brevissima; imminuta solis altitudine, fiet umbra longior prout sol a meridiano magis distabit; ita ut duobus tempo ribus aeque distantibus a meridie umbrae sint ferie quales: igitur stilus his duobus temporibus projicere debet nunc ad occidentem nunc ad orientem umbram ferme eam dem, simulque aequaliter a linea umbrae meridianae remo tam; et consequenter puncta ( A) et ( B) aeque distabunt a linea umbrae meridianae, quae nihil est aliud nisi ipsa me ridiana linea: propterea etc .... Ideo plures describuntur circumferentiae ut certior e vadat operatio, sumpto in alia quavis circumferentia medio arcus ( A'B' ) eadem ratione ac suptum fuit medium arcus ( AB). Potest loco stili perpendicularis adhiberi stilus obli quus, vel etiam recurvus; sed tunc circunferentiaruin cen ae.230 trum erit punctum illud , quod summitati stili normaliter respondet. Recta linea meridianae perpendicularis ostendit puncta veri orientis et veri occidentis.

309. Sol deprehenditur ( 302 ) gaudere suo et proprio motu ab occasu ad ortum in superficie sphaerae coelestis: ipso insuper sole meridianam obtinente , datum corpus opacum habens altitudinem h supra horizontem projicit umbram minimae longitudinis u die 21 junii , maximae longitudi nis u " die 21 decembris: crescit meridianae umbrae lon gitudo a die 21 junii ad 21 decembris; qua vero ratione crescita 21 junii ad 21 decembris, eadem ad sensum decrescit a 21 decembris ad 21 junij : igitur designata genera tim per u longitudine umbrae meridianae , et per a meridiana solis distantia a zenith ; quoniam ( 151 ) 1 ! tange = h profecto crescente vel decrescente umbrae longitudine cre scet simul vel decrescet Q. Inferimus viam solis ( appel latur ecliptica ) ab occasu ad ortum in superficie sphae rae coelestis esse planam et circularem . Ad haec : die 21 martii et 21 septembris non solum prodit eadem um brae longitudo u , sed praeterea dies ubique noctibus ae quantur: hinc via illa seu ecliptica erit circuli maximi pe ripheria secans aequatorem in duobus punctis. Denotanti bus "' , , a , meridianas solis distantias a zenith quo ad u ' , u ' , u' , ut sint u u' tanga tanga " u " h h , tanga = h i harum formularum prima manifeste suppeditabit distantiam aequatoris a zenith computatam in meridiano, et consequen ter altitudinem poli supra horizontem ; aliae duae praebebunt231 2 versus maximam minimamque meridianam solis distantiam a zenith, á á ac proinde angulum ( = - ) interceptum ecliptica et aequatore: iste angulus dicitur obliquitas eclipticae ; est que 23° 28 '.

310. Nisi post 365 dies non apparet iterum sol pro pe fixam illam , unde ab occasu ortum primo ( 302) discessit : cum autem post id tempus non incipiant subsequentibus 365 diebus umbrae redire aeque longae ac per vices jam inceperant obtinere praecedentibas 365 diebus, sed vel paullo longiores vel paullo breviores, prout vergit u vel versus minimam u vel verst maximam ú' ; consequitur solem impendere paullo plus quam 365 dies ad conficiendum cursum suum per totum eclipticae ambi tum. Non solum post primam periodum dierum 365 , at neque post secundam , neque post tertiam incipiunt umbrae redire aeque longae: incipiunt vero post unam diem ul tra quartam periodum , videlicet post dies 365 + 365 + 365 + 366. 1 9' 9 ", 6 Intervallo igitur dierum 365 = 3654 6lor absol 4 vet sol totum eclipticae gyrum : huc spectat annus side reus ; qui exquisitius determinatus emergit 3654 6 365d , 2563611 .

311. Transit ecliptica per medium cujusdam fasciae latae sexdecim gradus, quae concipitur in superficie sphae rae coelestis, quaeque nominatur zodiacus : non sol tan tummodo, sed nec luna nec majores planetae in suis mo tibus ab hac fascia digrediuntur. Zodiacus dividitur in duodecim aequales partes, quae per totidem distinctos stel larum circa eclipticam positarum manipulos seu constel lationes designari solent, vocarique signa zodiaci. Nomi na siguorum his versibus comprehenduntur:232 Sunt aries , taurus , gemini " , cancer , leo , virgo ; Libraque , scorpius , arcitenens , caper , amphora, pisces . Incipit communiter numeratio signorum ab initio arietis , in quo fit intersectio eclipticae et aequatoris ; et inde itur deinceps per alia signa, ab occasu scilicet versus ortum : sex priora sunt borealia ; sex posteriora australia; singula per triginta gradus extensa . Motus , qui fit juxta hanc seriem signorum, ab occidente nimirum versus orientem, appellatur directus; qui vero fit contra hanc seriem signo rum ab oriente in occidentem, retrogradus. Sua cuique aoni tempestati tribuuntur signa : tria veri,, a ries, taurus, gemini,, quae signa verno tempore sol deprehen ditur percurrere: tria aestati,, cancer, leo, virgo,, : tria autumno,, libra, scorpius, arcitenens,: tria hiemi , caper, amphora, pi sces... In sex prioribus signis paullo diutius sol immoralur quam in sex posterioribus; unde ver et aestas aliquanto ( septem circiler diebus ) superant autumnum et hiemem; motusque solis per eclipticam non est uniformis. Puncta arietis et librae, in quibus ecliptica secat ae quatorem, vocantur aequinoctialia, quia cum sol in hisce punctis invenitur noctes aequantur diebus. Puncta cancri et capricorni, in quibus sol quam maxime distat ab ae quatore , vocantur solstitialia , quia sol stare in iis punctis videtur, nec per aliquot dies ad aequatorem accedere, nec ab eo notabiliter recedere . Signa, quae reperiuntur inter puncta solstitialia a solstitio capricorni ad cancri solstitium , sunt signa ascendentia; sic vocata, quia sol haec signa per currens ad nostrum zenith singulis diebus accedit : signa descendentia sunt a solstitio aestivo cancri ad solstitium brumale capricorni ; in his sol singulis diebus a nostro zenith recedit, et dicitur descendere. Circulus transiens per polos mundi et per puncta ae quinoctialia, vocatur colurus aequinoctiorum ; circulus vero transiens per polos mundi et per puncta solstitialia colu rus solsiitiorum .233 per totidem Apparens ( 158. 4º. ) diameter solis modo major est, modo minor : propterea modo minas , modo magis sol di stat a nobis. Maxima diameter ( = 32' 35" , 6 ) , et con sequenter minima solis distantia, respondet diei trigesimae primae decembris : minima diameter ( =31 ' 31" ), ac proin de maxima solis distancia, respondet diei primae julii . So lis locus quam maxime remotus a terra dicitur apogeum , quam maxime vicinus ad terram . perigeum.

312. Dixi ( 311 ) duodecim partes zodiaci stellarum manipulos seu constellationes designari: ut enim stellas melius astronomi recenserent, varios plurium stel larum juxta jacentium manipulos seu constellationes effin xerunt in coelo; quas e fabulis et superstitiosa deorum suo rum religione veteres plerumque nominarunt, quamvis eae nominis sui imaginem vix referanı: sic taurus stellas com plectitur, quae tauri imaginem visae sunt prae se ferre. Con stellationes hujusmodi 48 enumerat Ptolemaeus: ex his con tinentur 12 in zodiaco; quarum nempe nomina sunt ea dem ac signorum nomina: quindecim in regione coeli au strali ultra zodiacum respectu nostri : reliquae 21 in re gione boreali citra zodiacum: his accesserunt decursu tem poris aliae multae, praesertim ad partes australes. Mos est astronomorum ut notabilioribus stellis graecas litteras assignent , stellamque nuncupent per assignatam litteram adjiciendo nomen respondentis constellationis, v . gr. a leo nis , \beta scorpionis, etc... Si fixae nudis oculis inspiciuntur, non omnes appa rent ejusdem magnitudinis et splendoris , sed aliae aliis lumine et mole praestare videntur. Hinc ab antiquissi mis usque temporibus in sex classes ( postmodum adjecta est etiam septima ) distinctae fuerunt stellae eo ordine, ut quae maximae essent appellarentur magnitudinis primae, quae minimae essent magnitudinis sextae.

313. Aggressi sunt astronomi in diversis temporibus fixas in catalogum referre: earumque positiones determi234 nare sive quoad eclipticam per longitudines ac latitudi sive quoad aequatorem per ascensiones rectas et de clinationes . Latitudo est arcus circoli maximi transeuntis per polos eclipticae et per centrum astri , interceptus astro et ecliptica: longitudo est arcus eclipticae computatus ju xta signorum seriem ab aequinoctiali arietis puncto usque ad latitudinem . Declinatio est arcus circuli maximi tran seuntis per polos aequatoris et per centrum astri , inter ceptus astro et aequatore : ascensio recta est arcus aequa toris computalus juxta signorum seriem ab aequinoctiali arietis puncto usque ad declinationem . Primus inter veteres Hipparchus tum ex propriis tum ex aliorum observationibus numeravit 1022 stellas, pro prio loco quoad eclipticam singulis attributo: aliae dein ceps additae sunt stellae , ita ut a Flamstedio numeratae sint 3000, omnesque ad aequatorem relatae; quarum tamen pleraeque ut videri possint, telescopio opus est . Sed li cet major etiam stellarum numerus habealur in catalogis recentioribus ( in catalogo v . gr. quem anno 1814 edidit P. Piazzi , stellarum numerus = 7646 ) , innumerae nihilo minus adhuc sunt, quae ne telescopiis quidem conspiciuntur: quo enim instrumenta ista magis perficiuntur, eo etiam magis crescit siderom visibilium numerus. In ea coeli zona , quae dicitur via lactea seu galaxia, quaeque cingens coelestem sphaeram dividitur apud quoddam suimet punctum in duos ramos distinctos rursus post aliquod intervallum in unum coalescentes, mirum quot conglobatae stellae exquisitioribus telescopiis discernantur! Idipsum dic de pluribus nebulosis ( sunt quaedam maculae albae hac illac per coelum disper sae ) ; quae aptis telescopiis inspectae deprehenduntur tan quam congestus minimarum stellarum.

314. Ex plurimorum annorum observationibus inter se collatis intellexerunt astronomi latitudinem fixarum fere nullis obnoxiam esse variationibus; non item longitudines et ascensiones rectas: illae ferme aequabiliter, hae inaequaliter crescunt. Ad declinationes quod spectat, earum aliae crescunt, aliae decrescunt, pro varia scilicet astrorum positione in superficie sphaerae coelestis respectu punctorum aequinoctialium; maximis declinationum variationibus obnoxia sunt astra aequinoctialibus punctis vicina, ferme nullis vicina sol stitialibus punctis. Haec omnia manifeste important aequatoris motum proxime uniformem in ecliptica versus occasum , servata interim ad sensum ipsius eclipticae ( 309 ) obliquitate; seu, quod eodem redit, circularem polorum aequatoris motum proxime uniformem circa polos eclipticae ab orta ad occasum, permanente ad sensum angulo , quem eclipticae et aequatoris axes intercipiunt: aequinoctialia nimirum puncta jugiter regrediuntur versus occidentem; unde fit quod sol ab aequinoctiali puncto digrediens revertatur ad illud priusquam totam percurrat eclipticam: huc spectat praecessio aequinoctiorum. Istiusmodi regressus aequinoctialium pun ctorum censetur esse quotannis 50" , 1; adeo ut aequatoris poli circa polos eclipticae, punctaque aequinoctialia in ecli ptica , nisi post 25868 annos non absolvant integram con versionem: ab Hipparcho ad nos usque puncta illa retro gressa sunt 30 circiter gradibus; sicque factum est ut arie tis constellatio, quae tempore Hipparchi prope vernalem ecli pticae et aequatoris intersectionem videbatur, nunc in si gno tauri reperiatur, et unaquaeque zodiaci constellatio in locum sibi proximae transierit. Finge tibi solem S, qui motu uniformi totam percur rat eclipticam eodem prorsus lempore periodico ( = 365d, 2563611 ) , quo eam percurrit ( 310 ) sol verus S : descri 3600 bet quotidie Seclipticae arcum = 365 , 2563611 0° , 9856 = 0° 59'8" , 16. Hinc facile determinatur annus tropicus, seu tempus impensum a sole ficto S ut rever tatur ad illud punctum aequinoctiale unde discessit: cum 50 " , 1 enim effluat tempus 24* • 24 . 59'8 , 16 3548" , 16 50 " , 1 1236 acce 04., 33887 = 01. 20 ' 19", 93 dum S' percurrit ecli pticae arcum 50' , 1 ; ad habendum annum tropicum sa tis erit subtrahere 04 20' 19 " , 93 ab anno sidereo . Prodi bit igitur annus tropicus 365d. 54. 48' 49' , 67 365d. , 2422415.

315. Caeterum axis aequatoris convertitur quidem circa eclipticae axem; ita tamen, ut simul certo quodam notationis motu nunc ad ipsum eclipticae axem dat, nuuc ab ipso recedat : maximus accessiis = 9 " , 25; maximus item recessus = 9 " , 25; neque ab uno ad alle rum prevenitur nisi post 19 circiter annos : inde res pondens varietas in eclipticae obliquitate. Ad haec: praeter varietatem in obliquitate eclipti cae respondentem nutationi axeos aequatoris , admitten da est alia variatio. Plurimorum enim annorum obser vationes inter se collatae praebent obliquitatem sic diver sam, ut evidenter appareat eam ab antiquis temporibus ad nos usque esse sensibiliter imminutam : vide subje ctam labellam . Anno 992 obliquitas eclipticae erat 23° 32' 20 " , 1500 23° 29 ' 47" 1581 23° 29 ' 30 1660 23 ° 29' 0 " 1690 23° 28'48 " , 1750 23° 28' 18 " . 1800 23° 28 ' 0' .237 Falleretur ( alibi demonstrabimus) qui conjiceret et fuisse olim aequatori perpendicularem eclipticam , et fore ut demum cum aequatore ipso coincidat.

316. Temporis intervallum inter fixae appulsum ad dati meridiani punctum et appulsum immediate sequentem ad idem punctum vocatur dies siderea: hoc ipso temporis in tervallo partes omnes aequatoris transeunt per meridianum motu uniformi; adeo ut intra boram sideream transeant 15°, intra minutum primum sidereum transeant 15' , atque ita porro . Ob motum proprium solis S ( 314) versus ortum, una quaque naturali die ( 305 ) plus quam 360° transibunt per meridianum, unaquaque hora plus quam 15° , etc: ic circo dies , horae etc. solares erunt longiores diebus , ho ris etc. sidereis. Excessus diei solaris supra diem sideream · pendet ab incremento, quod obvenit ascensioni rectae solis S ab uno ad alterum transitum per meridianum , quodque respondet incremento solaris lovgitudinis. Non idem instauratur quotidie incrementum in ascensione recta solis S; motas namque proprius ipsius S et fit in orbita ad aequato torem ( 309 ) inclinata, et est varius ( 311 ) de se: dies igitur solares modo exsistent longiores, modo breviores.

317. Praeter S ( 314) fingamus alium solem S " , qui motu uniformi aequatorem incedat, totumque percurrat eo dem tempore periodico, quo S integram percurrit eclipti cam: describet S " quotidie aequatoris arcum 0° 59'8" , 16; ac proinde ab uno ad alterum subsequentem transitum so lis S " per datum meridianum idem semper tempus effluet; illud videlicet, quod effluit dum per ipsum meridianum tran seunt 360° 59' 8" , 16 aequatoris : istud tempus vocatur dies media. Horologia dicuntur indicare vel tempus medium vel tempus verum ( appellatur etiam apparens , prout in iis constituendis temperandisque attendimus vel ad solem fi ctum S' vel ad solem verum S: quod si attendatur ad ali238 quam fixam , indicabunt tempus sidereum ; loco fixae assumi solet aequinoctiale arietis punctum. Quisque videt diem sideream expressam per tempus medium fore 360° 360°, 9856 241 . - 23 ", 9344704 = 23. 56' 4' , 09 ; diem vero mediam expressam per tempus sidereum fore 360° , 9856 360° 24h . 24h., 0657066 24" 3'56 ' , 54. 318. Sint A , A " ascensiones rectae, altera solis Sad datum meridianum (M) appellentis , altera solis S “ ; et po natur 1º. A < A", ut S " appellat ad ( M ) aliquanto post . S. Dum aequatoris arcus A " - A transit per ( M ) , pergit S " moveri uniformiter versus ortum motu proprio , descri bitque aequatoris arcum a " ; adeo ut S “ pon appellat ad ( M) nisi postquam arcus A"+2" -- A transierit per ( M ). Est autem ( 317 ) 360° 59'8", 16: 0° 59'8" , 16 = A ' + a " - A : a " ; et consequenter 360° : 360° 59'8" , 16 = A " - A: A " ta' - A. Igitur A " ta" -A = 360° 59'8 " , 16 360° ( A " — A ) ; et denotante O tempus medium , quo tolus arcus A " + a " - A transit per ( M ), erit ( 317)239 IN . 0 24 . 360 ( A " -A) ( A" — A ) . 15 Ponatur 2º A > A " , ut, appulso S ad ( M) , jam S sit praetergressus ipsum ( M ) : attento motu proprio solis S" versus ortum, facile intelligimus ab appulsu solis S ad appul sum solis S transiisse per ( M) arcum A A " ta' ' ; et ratiocinando ut in primo casu assequimur A - A ta" 360° 59'8 " , 16 360° ( A - A " ) : designate nunc O tempus medium , quo totus arcus A — A ' + a " transit per ( M) , erit ( 317 ) 241 . A ( A - A " ) ( A - A ) . 360 15 Differentia igitur ( ab astronomis vocatur aequatio tempo ris ) inter tempus verum et tempus medium exprimelur generatim in hunc modum. gh . ( "A " - A ) . 15 nes : 319. Circuli maximi in coelesti sphaera transeuntes per zenith, et consequenter perpendiculares horizonti , di cuntur verticales. In his observantur astrorum altitudi si nempe per astrum et per zenith ducas maximum circulum , arcus in isto circulo numeratus ab astro ad ho rizontem dabit altitudinem astri supra ipsum horizontem. Verticalis transiens per intersectionem aequatoris et hori zontis vocatur primus verticalis ; estque ( 173. 3º. ) meri diano perpendicularis: arcus horizontis interceplus puucio240 . australi ( 308) et circulo verticali dicitur azimutum ipsius verticalis seu respondentis astri . - 320. Inter minores circulos (303 ) aequatori parallelos maxime notandi duo tropici et duo polares. Tropici contin gunt eclipticam in punctis solstitialibus; unde ( 309) ab ae quatore distant hinc inde gradibus 23 et 28': tropicus ecli pticam contingens in parte septentrionali vocatur tropicus cancri; in parte meridionali, tropicus capricorni. Qua die sol devenit ad solstitium cancri, respondentem tropicum per currit motu suo diurno seu motu communi cum coelesti sphaera; sequenti die accedet tantisper ad aequatorem , et aliumn circulum magis aequatori vicinum ipsique paralle lum decurret, et sic deinceps; nisi quod, cum sol non tan tum singulis diebus sed singulis quoque instantibus mutet locum, fiet ut stricte loquendo circulos percurrat non vere aequatori parallelos sed quasi in spiram conformatos; pro inde non eamdem omnino habebit altitudinem mane et ves pere horis a meridie pariter distantibus, sed paullo majo rem post meridiem quam ante meridiem quando ad tropi cum cancri accedit, paullo minorem quando versus tropi cum capricorni regreditur. Hinc tradita ( 308 ) methodus ducendi lineam meridianam indiget aliqua correctione : caeterum, tempore solstitiorum discrimen illud est levissimum . Circuli polares ab aequatoris' polis distant gradibus 23 et 28' : cum autem poli eclipticae tantumdem distent ab aequatoris polis, iccirco poli eclipticae in circulis polari bus inveniuntur. Circulus polaris ad polum arcticum vici nus, dicitur polaris arcticus; alter vocatur antarcticus.

321. Transferuntur in globum terrestrem circuli sphae rae coelestis ; globus enim terrestris suum habet aequatorem , suos meridianos, suos tropicos, suos polares. Aequator ter restris seu linea aequinoctialis est maximi terrestris circuli peripheria, in qua planum coelestis aequaloris intersecat ter rae superficiem : calcantibus aequinoctialem lineam videtur coelestis aequator ad perpendiculum imminere. Simili mo241 do terrestres meridiani sunt maximorum terrestrium cir culorum peripheriae, in quibus plana meridianorum coeles tium intersecant ipsius terrae superficiem . Quod ad mi nores circulos pertinet, si e singulis punctis coelestium v. gr. tropicorum intelliguntur duci totidem rectae ad terrae cen trum, eae in terrestri superficie signabunt minores circulos, nimirum tropicos terrestres: his circulis incolentes habent suum zenith in respondente coelestis tropici puncto. Id ipsum dic quoad reliquos minores circulos. Tropici et polares terrestres distinguunt terram in quin que zonas; quarum quae media est, torrida appellatur; se quentes duae ex parte utraque dicuntur temperatae ; ulti mae ex utraque parte glaciales. Zonam torridam bifariam di vidit linea aequinoctialis; pars proxima nobis dicitur septen trionalis , altera meridionalis: zonae itidem temperatae et gla ciales sortiuntur septentrionalis ac meridionalis nomina , prout ad polum arcticum vel antarcticum vergunt. 322. Locorum positio in telluris superficie determina tur per longitudinem et latitudinem geographicam. Lalitu do loci geographica est distantia inter locum et aequatorem computata in meridiano proprio ipsius loci : est vel septen trionalis vel meridionalis; nulla sub aequatore ; nonaginta graduum in polis; nec major haberi potest . Geographica loci longitudo est aequatoris arcus versus orientem numera tus a primo meridiano usque ad meridianum loci: inter me ridianos nullus quidem est proprie primus; consenserunt ta men plerique geographi ut illuin pro primo haberent, qui transit per insulam nomine ferream , ex insulis videlicet ca nariis maxime occidentalem. Quisque intelligit latitudinem geographicam tot gra dus etc. continere, quot continet distantia aequatoris coe lestis a zenith, computata in meridiano: geographica ergo la litudo dati loci adaequabit respondentem poli altitudinem . Poterit etiam absque umbrae ( 309 ) subsidio determinari altitudo poli , et consequenter geographica latitudo , si ad 16242 at a . aliquam stellam circa polum attendamus, quae observato ri nunquam se subducat infra horizontem, ipsiusque stel lae maximam (= a ) necnon minimam ( =a' ) elevationem supra horizontem definiamus; quaesita namque poli altitu a - a' do erit manifeste = d' + 2 2 Ad Geographicam loci ( B) longitudinem quod spectat; ea poterit determinari, si coeleste quodpiam phaenomenon observetur ab uno in loco ( B), et simul ab alio in quodam alio loco ( B' ) longitudinis jam cognitae: differentia enim ho rarum v . gr . siderearum ( 316) , quae sub eodem utriusque observationis instanti numerantur apud ( B) et ( B' ) , ,multi plicata per 15 , praebebit differentiam inter geographicas longitndines locorum ( B) et ( B) , seu angulum qui meridia nis ipsorum ( B) et ( B' ) intercipitur, quique dicitur angulus horarius.

323. Considerantes astrum , quod molu communi cum coelesti sphaera incedit circulum minorem ( c ) aequatori parallelum , concipiamus ternos circulorum maximorum ar cus ( 6 ) , ( b ) , ( 6 ) , primum a polo v. gr. arctico ad punctum in quo circulus ( c ) secat horizontem dati loci , secundum ab illo sectionis puncto ad zenith , tertium a polo ad zenith ; sitque k angulus interceptus (6 ) et (6 " ), D declinatio astri , G geographica latitudo loci seu ( 322 ) poli elevatio : ex k habebitur numerus graduum , qui continentur in semiarcu diurno circuli (c ) , idest ( 305) in semiarcu circuli (c) supra horizontem extante; eruntque (6) = 90° FD , ( 6 ) = 90° , (6 " ) = 90° FG , sumpto signo superiore si respondens vel D vel G est borealis, inferiore si australis. Propterea ( 173. 7º. 9' ) . cos 90º = COS( 90° F D )cos( 90° FG ) +243 sin ( 90° FD ) sin ( 90° F G )cosk ; unde cosk cos( 90° ED ) cos( 90 ° FG ) sin ( 90° FD) sin ( 90 ° FG ) col( 90 ° F D ) cot ( 90 ' F G ) : quae sic potest exprimi , cosk tang D tang G , --- sumptis positive Det G borealibus , negative D et G australibus . Non debet tang2 D tanga G esse > 1 : si poni tar v. gr. lang? D tanga G 1 , ut sit D =+ ( 90° — G) , emerget cosk === 1 ; et k vel 180° , vel = 0º. Circu lus videlicet (c) habebit in utroque casu unicum punctum commune cum horizonte; extabit in primo casu tolus (c) su pra horizontem ; erit in secundo totus ( c ) infra horizontem depressus; astrumque incedens circulum ( c ) aut nunquam Occidet aut nunquam orietur. Vergente D vel ab 0° ad 900 -G , vel ab 0° ad - ( 90°-G), verget cosk vel ab 0 ad —1 ,vel ab 0 ad + 1 : in primo casu angulus k, simulque'semiarcus diurnus circuli (c), crescet ab 90° ad 180°; in secundo angulus k , unaque semiarcus diurnus circuli ( c) , decrescet ab 90o ad 0°. Con sequitur orientalem solis semiarcum diurnum a solsticio hiemali ad aestivum fore minorem respondente occidentali, fore vero majorem a solstitio aestivo ad hiemale : recole num. 320, Tropicorum declinatio haud praetergreditur 23° 28' : sub geographica igitur latitudine G = 90° — 23° 28' = 66° 32 ' ( spectat ad polares circulos , alter ex binis tropi cis extabit tolus supra horizontem , alter erit totus infra ho244 1 rizontem depressus; ita tamen , ut uterque cum horizonte habeat commune punctum. 324. Dicuntur coelestem sphaeram habere rectam , qui habitant sub geographica latitudine G = 0°; obliquam sub G > 0° et < 90° ; parallelam sub G = 90°. In primo ca su planum circuli (c) eſficit cum horizonte angulum re ctum, ipseque (c) secatur aequaliter ab horizonte; in secun do angulum ex una parte acutum et ex altera obtusum ; in tertio angulum nullum: haec notamus circa istas sphaerae coelestis positiones. Sphaera recta : cum omnes circuli aequalori paralleli in duas partes aequales ab horizonte dividantur, eorum ar cus diurnus aequabitur arcui nocturno, diesque omnes ae quabuntur noctibus: sol eundo a tropico cancri ad tropi cum capricorni transit per aequatorem , iterumque per ae qualorem transit redeundo a capricorno ad cancrum; ergo qui lineam aequinoctialem incolunt, sub geographica scili cet latitudine G = 0 , bis in anno solem vertici suo immi nentem vident; tunc autem hora meridiana umbra corpo rum nulla est: uterque polus in horizontis plano conspi citur, nec potest alteruter polus elevari , altero depresso : singulis diebus apparent stellae omnes; per duodecim siqui dem horas horizonti eminent, et per totidem horas sub horizonte latent. Sphaera obliqua : dies aequatur nocti 214. martii et 214. septembris; his enim diebus sol aequatorem percurrit : sub geographica latitudine ( 323 ) septentrionali G haud > 66° 32' longissima dies est 21 " , junii , brevissima est 214 decembris; siquidem 21 junii sol percurrit tro picum cancri , et 21 decembris tropicum capricorni: con trarium accidit sub meridionali G haud > 66° 32 ' : ultra 66 ° 32' una cum tropicis alii quoque ex circulis aequa tori parallelis, quos describit sol , vel extant supra hori zontem, vel infra horizontem sunt depressi; eoque plu res , quo magis itur ultra 66° 2' versus polos: dies cre245 au scunt a 21 " . decembris ad 21am . junii sub G septentrio nali; crescunt a 214. junii ad 21am. decembris sub G me ridionali : dies longiores sunt noctibus a 214. martii ad 21am. septembris sub G septentrionali, quo tempore dies breviari incipiunt et superari a noctibus : contrarium ac cidit sub G meridionali: qui habitant intra terrestres tro picos, bis in anno habent solem verticalem sibi ; qui vero extra tropicos habitant, nunquam solem vertici suo im minentem vident , sed illum versus aliquam mundi par tem media die declinantem vident , scilicet versus strum populi septentrionales, versus septentrionem populi meridionales; unde fit ut umbra meridiana vergat ad se ptentrionem apud primos, ad austrum apud alios. Sphaera parallela: istiusmodi sphaerae positio spectat ad solos terrestrium polorum habitatores : habent hi ho rizontem suum in plano acquatoris, et zenith in polis coelestibus : annum totum dividit una dies et una nox : sol gyrare videtur vel in horizonte, vel in circulo ho rizonti parallelo; et consequenter etiam umbrae gyrare con spiciuntur circa corpora : neque oriuntur neque occidunt stel lae; sed eaedem constanter apparent, eaedemque constan ter latent. 325. Pauca subjungimus de astrorum parallaxi , et de refractione astronomica . Parallaxis astrorum est discrimen seu distantia, quae reperitur inter verum alicujus astri locum et ejusdem astri locum apparentem: locus verus astri est illud pun ctum N ( Fig . 134 ) in superficie sphaerae coelestis , ad quod pertingeret linea recta CN ducta a terrae centro C per astri centrum S: locus apparens est illud punctum K in superficie sphaerae coelestis , ad quod refertur as trum ab observatore M constituto iu superficie terrae , seu ad quod pertingit recta MK ducta ab oculo specta toris M per astri centrum S: puncta N et K sunt am bo in circulo verticali ( 319 ) ZQ transeunte per zenith246 Z ipsius M. Hinc parallaxis deprimit semper astra ; lo cus nempe astri apparens minus ab horizonte distat quam locus verus in eodem circulo verticali : proinde ascensio recla ( 313 ) , declinatio, longitudo et latitudo erunt aliae quoad locum astri apparentem , et aliae quoad locum ve rum. Denotet r terrestrem radium CM ; h distantiam SC astri a telluris centro; i angulum KMZ seu apparentem astri distantiam ab observatoris zenith; p angulum CSM seu parallaxim NK: erit h rsin : SMC ( sin KMZ sini ) : siop , unde sinp= ī sini. Haec inde manifeste profluunt. 1º. Quo sidus est horizonti vicinius, eo caeteris paribus major erit ejus pa rallaxis. 2 ° . Sideris , quod est in zenith , nulla exsistit pa rallaxis. 3º. Ex diversis astris illa majorem habent pa rallaxim, quae caeteris paribus sunt viciniora terrae. 40. Si infinita sit astri distantia a nulla poterit esse parallaxis , et vicissim : hinc quia nulla adhuc inventa est fixarum parallaxis , colligimus eas immensum terra distare. 5º. Distantia sideris cognosci poterit, ubi illud habeat parallaxim sensibilem . 6º. Cognita sideris distantia et diametro apparen te , poterit cognosci ( 158. 4º. ) vera sideris magnitudo. 7º. Si parallaxis astri ad eamdem supra hori zontem altitudinem est variabilis, astrum modo magis modo minus a terra distabit . 8º. Inventa sideris parallaxi , habebitur angulus sub quo spectatori in centro sideris collocato appareret semidiameter terrestris. а247 90. Determinata parallaxi horizontali ( = p ' ), co gnoscetur parallaxis cuilibet altitudini respondens: sit enim i = 90° ; erit sinp = ñ-, ac proinde sinp = simp'sini. 10º . Com parallaxes hactenus cognitae genera tim sint satis tenues , sinibus parallaxium substituuntur ipsae parallaxes ; adeo ut ( quod est pop, h, in ordine ad astrum s, sit P, P , H in ordine ad aliud astrum O ) sub eadem i obtineat р P H h p' P' Item, expressis per \beta , & apparentibus diametris a strorum S, 0 ; et per B, E veris eorum diametris , sub eadem pariter i erit ( 158. 4º. ) E B р P . B p' . 326. Parallaxis horizontalis p sic observatione po terit definiri : exhibeat RR' meridianum binorum puncto rum M, M ' in superficie terrae; Sastrum in meridiano RR' ; Z zenith puncti M; Z zenith puncti M' ; QQ ae quatorem , ac per consequens ZQ = 2) altitudinem poli quoad M, ZQ ( = L ) altitudinem poli quoad M'; astri insuper pa rallaxes respectu observatorum in M et M'sint KN et K'N; apparentesque ipsius astri distantiae KZ et K'Z ' a duo bus zenith Z et Z ' designentur per i et I. Erunt ( 325. 10°. ) KN =p'sini , K'N = p'sinl ; unde248 1 KN + K'N ( = KK ') = p' ( sini + sinl ) : est autem 1 KK' ( KZ + K'Z') - ( ZQ + Z'Q ) = ( i+1 ) – ( +L ) . Igitur p' (i + I ) - ( 1 + ) sini + sini Alterum observatorem posuimus in hemisphaerio se ptentrionali, alterum in meridionali: ponantur nunc am bo in eodem hemisphaerio ; retentisque superioribus de nominationibus relate ad poli altitudines et ad apparen tes distantias, verus astri locus N interjaceat bina ob servatorum zenith Z, Z " . Exsistent KN - p'sini , K " N = p'sinl , KN + K " N ( = KK " ) = p( sini + sin () , KK" = (KZ + K " Z ") — (ZQ - Z " Q ) ( i + I ) - ( ( L ) : propterea p' ( i + ) - ( 1 - L ) sini + sin1 Quod si verus astri locus N non interjaceat bina obser valorum zenith Z, Z "" , erunt KN = p'sini , K " N = p'siol ,KN – KN ( = KK ""') = p'(sini — sint ) , KK".249 (KZ K 'Z) — (ZQ — Z." Q) = (i - 1)-1- L ) ; ideoque (i= ) - ( 1 - L ) . p= siui sin 327. Ad refractionem astronomicam quod pertinet, ra dius SF ( Fig. 135) adveniat oblique ex astro S ad atmo sphaeram MN; tum permeatis omnibus almosphaerae stratis appellat ad oculum A: sentiet omnes omnium refractivas vi res. Quia vero stratorum densitates indesinenter ( 94 ) cre scunt a suprema atmosphaera ad terram neque, ac proin de vires refractivae caeteris paribas jugiter crescunt, iccir co singulis instantibus mutabitur ( 154 ) radii directio ex F in A , et radius non ad punctum B per lineam rectam sed ad oculum A per lineam curvam FxA appellet; spectator igi tur ( 158. 2º. 3º. ) videbit astrum s juxta directionem tangentis AO, illudque referet ad punctum 0. Inferes a stra per refractionem elevari supra verum locum , haberi que elationis mensuram ex angulo OAS intercepto tan gente AO et recta AS: eo minus autem attolluntur astra per refractionem quo magis accedunt ad zenith ; adeo ut nulla exsistat refractio in zenith, evanescente ibi angulo OAS; maxima in horizonte , ubi existimatur OAS 33' . Apud apparentem altitudinem 45° censetur OAS = 57" . Haec facile nunc intelliguntur. 1º . Si depressio solis v . gr. E infra horizontem sit vel vel 33' , radius ER permeads atmosphaeram incurvabitur , atque per li neam RzA ad spectatorem A perveniet; qui proinde solem existentem infra horizontem adhuc videbit. Aucta vero de pressione, cum radius E'R semitam curvilineam RyD intra atmosphaeram describens minime pertingat ad A, sol ocu lis spectatoris subducetur; sed quia atmosphaerae portio DFRy lumine perfunditur, omnesque aeris DFRy particulae 1250 1 . lumen ( dicitur crepusculare ) ad nos usque reflectunt, at mosphaera adhuc illuminata apparebit . 2º. Crescente solis depressione, magis semper con stringetor portio DFRy ; evanescet tandem , desinetque crepusculum vespertinum. Non pluribus opus est ut ex plicetur crepusculum matutinum . 3º. Nocte aliqua et coelo maxime puro obser vetur motus baseos Ry D, quae portionem illustratam DFRY terminat; atque illud temporis momentum definiatur quo disparet RyD , et per consequens RE' abit in RE ", tangit que tellurem v. gr. apud A ': si pro eodem momento de terminatur solis depressio infra horizontem, ea responde bit Gini crepusculi vespertini , vel etiain initio matutini . Ex binis observationibus sub zona torrida habuit Cail lius depressiones 16° et 17 ° : veteres astronomi sumebant generatim 18° 4º . Quoniam CA' CA CR sinCRA sin ARA CA ' CA sinį ( 180° - HRE" ) cos į ARE eo major vel minor erit altitudo RR' atmosphaerae re flectenlis lumen, quo major vel minor fuerit depressio HRE“ . 5º. Sol prope horizontem videtur induere figuram ovalem: non longe videlicet ab horizonte, imminutis magis ac magis distantiis ab horizonte ipso, rapide crescit refractio ; unde fit ut verticalis diameter solis appareat notabiliter minor quam horizontalis diameter. Idipsum dic de luna etc ... --

De relationibus inter quosdam sive arcus, sive angulos in superficie sphaerae coelestis ad varias resolvendas quaestiones astronomicas.

328. Sit P ( Fig. 136 ) polus aequatoris Q' ; Z po las horizontis 00' ; OZP meridianus; S astrum , per quod251 ex Pet Z ducantur arcus circulorum maximorum PC et ZB: pone astri declinationem = D , distantiam ab zenith == z , azimuthum BZO=a; itemque geographicam latitudinem QZ = L. In triangulo sphaerico PSZ erunt PS=90 — D, SZ =z, PZS = 180 ° —a, PZ = 90°— L: hinc denotante h angulum hórarium SPZ, prodibunt (173: 7,9 , q"") cOSZ = sinL sind +cosL cosD cosh , sinD = cosz sinL sinz cosL cosa , sinz sinh cosD sina coth sina = colz cosL + sinL cosa , cota sinh sinL cosh - tangD cosL ; per quas formulas, dalis tribus ex quinque quantitatibas 2, D, h, L, a , invenientur aliae duae. Ad angulum PSZ (di citur parallacticus) quod attinet , is facile determinatur: sic datis v . gr. L, h, D, erit ( 173 : q " ) sinh cotPSZ = tangl cosD- sinD cosh (p). 329. Si astrum est in horizonte v. gr. in A, et con sequenter z = 90° ; angulus h tot continebit gradus , quot ( 323) semidiurnus astri arcus ( =k ); azimuthuinque a fiet OA = OQ + Q'A = 90 ° +Q'A. Propterea, designante a arcum Q'A , primae quatuor (o: 328) praebebunt sinL sin D + cosL cos D cosk =0 , sind = cosL sina ' , ( 0') 1 sink coSD cosa ' colk cosa' + sinL sina' = 0 ; 7 per quas formulas, dalis duabus ex quatuor quantitatibus D , , L, a' , definientur reliquae duae. Arcus á nihil est252 aliud nisi distantia inter verum orientem ( 308) vel verum occidentem et punctum illud, ubi reaspe oritur vel occidit astram: ea vocatur amplitudo ortiva vel occidua. 330. Sit nunc P' ( Fig. 137 ) polus eclipticae EE' se cantis aequatorem QQ sub angulo EOQ ( = £ ); per ecli pticae et aequatoris polos Pet P transeat circulus maximus QEP'; ex iisdem P' , P per astrum S ducantur circulorum maximorum arcus P'H, PC, alter ad eclipticam, alter ad ae. quatorem; exhibeatque A astri longitudinem OH, A ascen sionem rectam OC, D'latitudinem SH , D declinationem SC . In triangulo sphaerico PSP' erunt PP = €, PS =90° — D, P'S = 90° - D' , PP'S EO - ΕΗ 900 - A' , P'PS = 180° — CQ = 180° — (OQ – OC) = 90° + A: proinde ( 173: 9,9 , 9 " ) sinD = cos & sinD ' + sin e cos D ' sinA ' cosD sinD ' = cose sinD - sin e cosD sin A, cosD' cosA' COSA ( o" ) tangA cosA = cos e sinA' — sin ε tangD' , tangA' cosA = sin ε tang D to cos ε sin A; quarum formularum ope, datis tribus ex quinque quanti tatibus A, A , D, D , E , invenientur aliae duae. 331. Si astrum ab ecliptica non discedit , cujusmodi est sol; facta D' =o in primis quatuor ( o") , emergent sin D = sine sio A ', cose sin D - sine cosD sin A , = 0 , cos 1 COSA' COSA lang A cosA' = cos e sin A' ;233 ea quarum formularum subsidio , datis duabus ex quatuor quantitatibus A, A , D, E , invenientur reliquae duae. In formulis ( 0 ) , (o') , ( o " ) , ( 0") posuimus D , L , a' , D ' boreales, censuimusque positivas; ubi vertantur in au strales, erunt habendae pro negativis. Quae inso per ambi guitas potest occurrere in ordine ad valores A et A ' , saepe Lollitur ex circumstantiis. 332. Fac ut ante et post transitum per meridianum observetur astrum apud eamdem altitudinem supra hori zontem ; sitque i tempus medium primae observationis , temporis intervallum inter primam el secundam: si astri de clinationi nulla obveniret variatio ab una observatione ad alteram, transitus responderet tempori itãi at si declinatio subeat variationem aliquam , transitus respon debit tempori i' t + 76. 2 b. Pone variationes, quas recipiunt D et h, ita tenues ab observatione prima ad secundam ut spectari queant instar differentialium dD et dh : sic poteris definire correctionem 0. In puncto medio inter unam et alteram observationem horologium indicabit tempus tt h + h +dh 2 seu tt 15 (u + du)

transitus autem per meridianum manifeste respondet tem porit + h ; proinde 15 1254 1 A - dh . 30 Iamvero prima ( o) differentiata quoad D et h suppeditat dhe tangL sinh tangD sinh ). dD: propterea tangL sinh tangL tangh -) dD 30 Si agitur v. gr. de sole, correctio 6 ' ( dicitur aequa tio altitudinum correspondentium) sumenda erit negative ab hiberno solstitio ad aestivum, positive ab aestivo ad hibernum. 333. Eadem prima (o ) differentiata quoad z et h dat dz dh cosL cosD sinh sinz ; quae ob tertiam (o) vertitur in dz dh cosL sina . Hinc ( 28 ) verticalem assequimur velocitatem , qua sidus ascendit supra horizontem, videlicet dz 15 cos L cosD sinh sinz 5 15 cosL sina. 1 dh 15 Si dz exhibet apparentem astri diametrum, ex ista formula 1 eruetur tempus - -dh efluens dum astrum ascenderdo per 15 transit datum circulum horizonti parallelum ; ipsumque ho255 rizontem, ubi fiat z=90°: quod si fiat insuper dz=33' , suppe ditabit 15 dh sive ortus anticipationem, sive occasus retar dationem ex horizontali ( 327. 1º. ) refractione. 334. Sumentes ( 327. 30. ) depressionem 18° quoad fi nem crepusculi vespertini , vel quoad initium crepusculi matutini, ponamus z = 90° + 18º in prima ( o ) ut sit cos 108° = sinL siuD + cosL cosD cosh ( m) , indeque eruatur h: determinato k ex prima ( o ' ) , erit 1 ( h - k ) 15 diuturnitas crepusculi apad latitudinem geographicam L , obtinente sole declinationem D. Si subtraherelur ( m) ex prima (o' ) , proveniret ( cosk - cosh ) cosL cost sin 18° , et consequenter 2sin į ( h +k ) sin ļ (h - k ) sin 180 cose cost unde sin ; ( h -k ) = sia 180 h .k 2sin ( h cosL cosD 2 Consequitur ( 27. 22º. ) formulam dih - k ) dh dh dD = O seu ID dD256 spectare ad minimam crepusculi diuturnitatem . Iam vero ex prima ( o ) differentiata prodit 0 = (sip L cosD - CosL sinD cosh ) dD — cosLcos Dsinh dh ; quae ( 328. f: designamus per S angulum PSZ) traducitur ad 0= cosL sinh cotSdD -cosL cosD sinh dh : propterea dh cors dD cosD Inferimus illud : in ordine ad minimam crepuscu li diuturnitatem, trigonometrica quaevis functio anguli pa rallactici S eumdem retinebit valorem et quoad z = 108 , et quoad == 90°. Est autem ( 173.9: 328) cosS= sin L - cosz sind sinz cosD igitur sinL cos 108° sin D sin 108° cos D sinL cos D et consequenter sin D ( 1 - sin 108° ) sin L cos 108° ( 1 - 003 18° ) sinL cos 180 tang 9° sinL :257 ex qua elicitur solis declinatio respondens minimae cre pusculi diuturnitati apud geographicam latitudinem L. 335. Prima et quarta ( o) differentiatae in hypothesi & et D' constantium suppeditant dA = ( tangA tangA' + cose ) dA ' , cos-A cosDdD = sine cosD ' cosA ' dA ' . Ab istarum altera elimina tanga' ope quintae (o " ), ab altera cosD ope tertiae (0 " ) ; devenies ad dA = (sinA sine tangD + cose ) dA ', dD = cosA sing dA'. Facto ( 314 ) dA ' = 50" , 1 , habebis annuas varia tiones dA et dd obvenientes ascensioni rectae et declinatio ni stellarum ex aequinoctiorum praecessione: vides in varia tionibus ascensionis rectae esse terminum stellis omnibus communem , nempe cose dA' , independentem a positione propria cujusque stellae. Supersedemus in praesens consi derare effectus ex mutata ( 315 ) eclipticae obliquitate . 336. Habitis L et a pro constantibus in tertia et quar ta ( o) , sumptisque differentialibus prius in quarta , deinde ia tertia, prodibunt dh dz sin’h sina = cosL , sin'z sina coz dz cosh cosD dh sinh sind dD . Istarum prima dat 17258 sinh dh = sinh sinz cosL -dz, sinz sina seu , ob tertiam (o ) , cosL dh sinh sinz dz : cos D quo valore dh substituto in earum secunda, itemque valore sina ex tertia (0), et valore cosz ex prima (o ), emerget dD = cosh sin D cosL sinz cos DsipL sinz -) dz. Nunc si habetur dz pro parallaxi p ( 325. gº , 10º ) , ut sit dz = p'sini = p sin ( + + dz ) = p' sinz , assequemur dhe sinh cosL -p' , dD = (cosh sinD cosL- cosDsinL )p '; cosD yariationes nimirum obvenientes (325 ) ascensioni rectae et de clinationi ex parallaxi p. 337. Quod spectat ad variationes longitudinis ac lati ludinis ex parallaxi p, intelligatur circulus maximus O'ZP' ( Fig. 138 ) transire per polos Pet Z eclipticae OE et horizontis O'O ' ; sitque 0 aequinoctium vernale , ut OH exhibeat longitudinem ( = A' ) astri S, HS ejus latitudi nem ( = D' ) , OE longitudinem ( = x ) puncti E , ubi e cliptica secat circulan O'ZP' , EZ distantiam ( = y ) ipsius E ab zenith. In ( 0) substitutis D ' , y , ( x — A' ) pro D , L , h , formulae inde provenientes mauifeste pertinebunt259 ad triangulum P'SZ ; depresso insoper astro ab S in S ob parallaxim , dl x — A' ) =d( EH ) = - di OH ) =- dA '. Inferimus variationes illas fore ( 336 ) dA ' = sin (x— A').cosyp , cosD' dD ( COS ( 3C A' ) sinD ' cosy – cosD' siny )p . Etsi ecliptica diurno motu revoluta secat circulum OZP et horizontem O'O ' in punctis E et E' perpeluo diver sis , eorum tamen punctorum distantia seu arcus EE' est constanter = 90° ; et cum arcus quoque E'O ' sit = 90° , erit y

900 - EO ' = 900 EEO' .

Denolet BK arcum meridiani secantis eclipticam OE in B' , aequatorem OQ in l, horizontem 0" Oʻin K: triangulum B'OQ habet angulum rectum · B'QO , et ( 330 ) angulum QOB' = ; determinato igitur latere OQ, innotescent ( 173) latera B'Q, B'O, angulusque KB'0 : sic in triangulo B'E'K praeter angulum rectum BʻKE' habebis insuper angulum KB'E ' et latus B'K = B'Q + QK = B'Q + 90° — L; co gnosces ergo angulum KE'B ' seu EE'O , nec non latus B'E ', et consequenter B'E = B'E — 90 °; unde x = OE = B'OB'E . Latus OQ determinari potest ex angulo horario et ascensione recta sideris: punctuar E dicitur nonagesimum .260 338. Si parallaxis p non esset talis exiguitatis, qua lem importat positio p = dz , loco differentialium seu differentiarum infinitesimarum sumerentur ( 334 ) finitae formularum differentiae : sic habitis L et a pro constan tibus , et expressa per ò variatione declinationis D ex pa rallaxi p , secunda (o) praeberet sin ( D +0 ) —sinD = ( cos( z +p ) – cosz) sinL – ( sin ( z +p ) - sinz ) cosL cosa ; unde sin( D + ) cos d = sin ( z + p ) ( sinL sin p t cosL cosacos p ) .

339. Data ( Fig. 136 ) declinationc CS ( = C'S ' ) stellae S descendentis motu diurno in S " , datisque distan tiis SZ, SZ ab zenith Z, simulque angulo horario SPS ', invenire geographicam latitudinem L. Triangulam isoscele PSS suppeditat ( 173. g ", q') angulum PS'S latusque SS' : sic in triangulo SZS' prae ter latera ZS et ZS' cognoscemus quoque latus SS' ; in notescet igitur ( 173. q' ) angulus SSʻZ , et consequen ter angulus PSZ = PS'S - SSZ . In triangulo ZSP habes itaque latera ZS , PS' , an gulumque interceptum PSʻZ : habebis ergo ( 173. q' ) la lus PZ ; et consequenter geographicam latitudinem L = 90° PZ : angulus SPS eruitur ex tempore descensus ab S in S.261

340. Datis et declinationibus SC , ZQ , et ascensio nibus rectis EC , EQ fixarum S , 2 , itemque distantiis S'S, S'Z puncti S'ab S et Z in coelesti sphaera , inve nire declinationem S'C' et ascensionem reclam EC' ipsius S. Quoniam in triangulo PSZ cognoscimus latera PZ ( = 90° - ZQ ) , PS ( = 90°-SC ) , et angulum SPZ ( = EQ EC) , innotescet angulus PSZ, latusque SZ. In triangulo igitur SSʻZ nota erunt latera omnia : elicietur inde angulus ZSS' ; sicque in triangulo SPS' sciemus la tera S'S, PS una cum angulo intercepto PSS'( = ZSS :-PSZ): hinc deducelur latus PS' , angulusque SPS. Non pluri bus opus est ut obtineamus puncti S' declinationem - S'C' = 900 PS >, et ascensionem rectam EC = EC SPS.

341. Datis ( 328) Det h quoad solem S , itemque geographica latitudine L; invenire angulum , quem in pla no horizontali efficit umbra stili ( 308 ) cum linea meridiana. Solutio problematis eo manifeste redit, ut ex quin ta ( 0) eruatur angulus azimuthalis a. Facto itaque initio ab intersectione seplentrionali lineae meridianae et cu jusvis peripheriae ex descriptis ( 308) circa centrum ( C), in peripheria illa sumatur arcus = a ad plagam orien talem vel occidentalem , prout sol fuerit e contrario oc cidentalis vel orientalis , ducaturque recta linea ex ( C) ad terminum arcus assumpti : angulus, quem recta ista intercipit cum linea meridiana, erit angulus quaesitus. Lon gitudo umbrae in ea recta habetur multiplicando stili al titudinem per tangz; eruitur z ex prima (o). In solstitiis et aequinoctiis declinatio solis potest con siderari veluti constans per totam diem : in illis nimi rum D =# 23° 28' , ac per consequens262 cota = sinL coth F cosL tang 23. 28 sinh in his D = 0, ac proinde cota =sinL coth , Faciendo h = 150, tum progrediendo per 30° , 45° etc , inveniemus totidem azimuthales angulos, totidemque rectas exhibentes directionem umbrae horis a meridie ae que distantibus. Obiter notamus illud : sit MM' ( Fig. 139 ) linea meridiana et Omm' circulus descriptus centro Cio plano horizontali MOM' ; CC' ( = c ) stilus , mCm ' angulus ae qualis angulo azimuthali a; Cm " ( = c. tangz ) longitu do umbrae : ex vertice stili C ad MM' duc rectam CC " sub angulo CC " C = L ; duc quoque ex C " ad m " re ctam C'm " . Habito C pro centro ( 306 ) sphaerae coe lestis, sumptaque CC " = CC", repraesentabit C“C' ' axem mundi ; C'm " intersectionem plani horizontalis MOM' et illius circuli, in cujus plano sunt C ", C' ", S; eritque с CC " = tangL Cm " una In triangulo igitur CC " m " cognoscimus latera CC " , cum angulo intercepto C " Cm " ( =180° — a) ; innotescet per consequens angulus CC" m ", latusque C'm ". Facut recta C'Q' normaliter insistens axi C"C" occurrat lineae meridianae, et per punctum occursus l' duc rectam el" in plano MOM' sub angulo QQ M = 900 : repraesentabit C'Q'Q aequatoris planum ; recta vero QQ " intersectionem aequatoris et plani MOM' . In aequinoctiis umbra Cm '" desinet constanter in aliquod punctum m '" re clae Q"; exhibebit Q'C'm " angulum horarium ( = h ) ; erunique263 CQ = c. tangL , Cơ = > cosL Q'm = C'Q'. tangh c. tangh cosL proinde tangm "" C " Q' Q'm ' ' CC" + CQ tangh sin , tangah Cºm * »* =[ cos? L + ( cotl + tangL)"] = c - ] of [ tang+h + [ tangah cos L + 1 sipaL cosPL win Z ] 1 sin'L Haec pertinent ad Gnomonicam , sea ad scientiam ho rologiorum solarium : C " dicitur centrum horologii; C'm" , C'm ' ' vocantur lineae horariae; etc.

Aliquid annotatus de refractionum astronomicarum theoria juxta emissionis (149) systema.

342. Haec praemittimus:

1º Ex figura proxime sphaerica sive telluris, sive superficierum terminantium homogenea strata atmosphaerae, consequitur vires refractivas, ut pote normales ( 223 ) superficiebus illis, dirigi ad sensum in ipsius telluris centrum C ( Fig. 135 ) . Molus igitur luminosae particulae ( 327 ) per curvam FxA fiet secundum legem curvarum , quae viribus ad centrum tendentibus describuntur.

2º. Recta AS, ob immanem astri distantiam, est ad sensum parallela rectae BS; poteritque angulo OAS ( = ) substitui angulus 06S interceptus extremis curvae tangen tibus BS , AO. '

3º. Sit c velocitas luminosae particulae accedentis ad atmosphaeram, c' velocitas in A; concipiatur atmosphaera divisa in n strata, unumquodque constantis densi tatis ; iisque respondeant velocitates V1 , N2 , 13 , ... VI luminosae particulae , ut ( adhibitis ( 229: 230) H, , H, ... pro H , H" , .. , . ; in praesens H ' = 0} existant (229. a") Vi? = 2 + 4H , , v2 = N;? + 4H , - 4H, , vzd = v ,' + 4H3– 4H ,.... vºn_1 = » ?n_2 + 4H ,_-41 ... , c ' = W ? c_1 ܬܐ + 4H, - 4H-, : permanente prima , caeterae vertentur in vy? = 2+ 4H2 , v23 = c +4H3 ...vn_1 = c2 + 4H ,_ , d' = ( + 4H , . Inferimus illud : quaecumque in atmosphaerae consti tutione fiat mutatio; dummodo apud aliquod stratum v , gr. postremum A constitutio manserit eadem , etiam velocitas lumipis ibidem manebit eadem.

4º. Parum admodum inter se differunt velocita tes ejusdem radii luminosi per totam atmosphaeram : pa tet ( 3º. ) ex eo quod et lumen in atmosphaeram ingreditur cum ingenti velocitate c, et singulae 4H, , 4H,, ... 41 , -1, 4H, sunt perquam exiguae ob admodum exiguam ipsius atmosphaerae vim refractivam .

5º. Ratio igitur ( 47 ) perpendiculorum , quae ex centro C ducuntur in rectas tangentes curvam FxA , erit proxima rationi aequalitatis: unde sequitur positionem tangentis v. gr. AO paullulam abludere a positione tangentis FS, ideoque curvaturam luminosi radii atmosphaeram permeantis fore admodum exiguam.

6º. Ducta Cb ex C ad intersectionem duarum tangentium A et BFS , efficiet generatim Cb cum CA an gulum ACb satis tenuem prae angulo OAZ : triangulum namque CbA suppeditat Cb: CA = sin CAB: sia CbA = sin OAZ: sin (OAZ -AC6). Alqui ratio Cb: CA parum differt ab aequalitatis ra tione ob exiguam atmosphaerae altitudinem (327. 4º. ) ; id ipsum ergo dicendum de ratione sinOAZ: sin (OAZ - AC6). Tenuis vero mutatio in sinu importat tenuem mutationem in angulo, ubi non nimis acceditur ad rectum: propterea etc. c' 7º. Ratio determinatur ( 229 ) ex refractione C adeo ut , luminis transeuntis e vacuo in aerem, dividendo videlicet sinum incidentiae per sinum anguli refracli. Quisque videt eam rationem pendere a stata barometri ac thermometri : sub temperie = 0, et barometrica hydrargyri elatione = c' 0 , 76 metr. = 2, 33958 ped. , inventa est 1,000294 ; ć facta = 1 + B , habeatur \beta = 0 , 000294. 343. His praemissis, denotet i angulum OAZ, w an gulum ACb , ducanturque ex C duo perpendicula p et p' , alterum ad tangentem FS , alterum ad tangentem AO : erit CbA = OAZ - ACb = i - W , et ( 342. 2º. ) СЬВ СЬA + АБВ = CA + 06S = i w to Q ; itemque p sin CA = sin ( i - W = СЬen 1266 sin CbB = sin ( i - w + a ) = eo Hinc (47: 342. 10.) sin ( i - w ta) р sindiW) pa انه و ( a) ; p' et consequenter sin(i — W cosa * cos(i — W )sina sipli - w ) с Si ob exiguitatem ( 342. 5º. ) anguli a sumitur 1 pro ejus cosinu, et is ipse pro suo sinu, emerget c' 1 to a cot ( i w ) , seu ( 342. 70. ) acotéi — W ) = \beta, unde a = \beta tang ( i - w ) (a') .

344. Attenta ( 342. 6º. ) exiguitate anguli w prae i, in telligimus refractiones in distantiis i ab zenith non nimis ad quadrantem accedentibus fore quamproxime ut ipsarum distantiarum tangentes; modo tamen ( 342. 3º. 70.) perma neat constitutio almosphaerae in A, quaecumque caeteroquin accidat mulatio in superioribus atmosphaerae stratis . Dixi in distantiis ab zenith non nimis ad quadran tem accedentibus : cum enim variatio obveniens superio ribus atmosphaerae stratis mutet formam curvae , muta bit positionem intersectionis b duarum tangentium AO et BS in AO determinante distantiam apparentem ab zenith, ideoque mutabit etiam angulum AC6 = w : hic angulus in distantiis non ita proximis quadranti est ( 342. 6º. ) exiguus, ac parum turbat valorem tang(i - W ), etsi omit titur totus; multoque proinde minus ejas variatio tur babit valorem illum. At prope quadrantem et angulus de trahendus w valde major variat magis , et parva quoque ipsius variatio admodum turbat valorem dictae tangentis, siquidem tangens anguli recti est infinita, licet tangens anguli utcumque parua diversi ab angulo recto sit finita. Hoc spectat potissima ratio discriminis magni, quod in re fractionibus horizonti proximis observalur.

345. Formula ( a: 343 ) praebet etiam sindi c' sin ( i w + 2 ) - sin( i - W ) w + Q ) + sin ( i w ) B c' toc 2 + B primum membrum traducitur ad tangia tangli - (W- ) ) iccirco B tangas 2+ \beta tang( i- ( )) (á ) .

346. Denotet nunc a'angulum ACF : ex quadri lineo CAF habetur angulus CFb ( aequalis angulo in cidentiae in summam atmosphaeram ad verticem opposi to) seu CFB = 3600 AOF - BAC ACF 360° ( 180 ° - 06S) — ( 180 ° — OAZ) – ACF = a -ti - . Designante ó rectam CA , et k atmosphaerae altitudinem RR' , obtinebunt . sin CFB ( = sin(@ + i ^ «')) = р tk268 1 sin CAB' ( = sin i ) = se k facto igitur Ek' , erit sini sind a ti - ) p' P с o + k ở 1 + k 1 + \beta (a ' ' ) ; et consequenter sini — sinca ti - á ) sipit sinca ti - a ) k -B 2 + k + B Primum membrum istius aequationis traducitur ad tangil ( 2 ) tangi- lama)) ergo tang ( x - 4 ) = k' - B 2 + k' + \beta lang (i ila- @ )) (a ").

347. Sit AoA' ( Fig. 149 ) arcus infinitesimus, quem refracta luminis particula pergit describere tempusculo de postquam tempore t descripsit arcum quemvis finitum FA; AA' respondens chorda ; A'm ' recta tangens curvam in A' ; A'm lineola recta occurrens in m tangenti OAB' , et pa rallela rectae AC; v velocitas in A; ò recta CA, a an gulus 06S seu b'bb"; a angulus ACF. Triangulum b'A'm praebebit269 Ab : A'm = sin A'mb' : sin A'b'm . Habemus ( 27. 15º. 16º. 20 ° : 50. 2°) A'B' - TAAAA' = A0A {AA = jvdt ; denotante insuper qvim refractivam , erit ( 42 ) A'm = odť ; cum praeterea sit sin A'mb' = sin CAm sinCAA' ob an gulüm infinitesimnm A'Am , cumque sinCAA' : sin ACA' = CA ': AA' , seu sin CAA: sinda' = 0 - do: vdt, exsistet sin A'mb' ôm dà) sinda vdt o dá vde demum ex A'b'm = F'6 " b ' -Fbb' intelligimus fore sinA'6'm = sinda = da . Igitur ivdt : odia Odci vdo da da 200 : do ; unde ( a ) : aequatio exprimens naturam curvae , utpote quae ratio nem exhibet inter incrementum da refractionis, seu fle xum tangentis respondentem cuivis arcui AA', et angu lum ACA' ( = dá ) quem ipse AoA' subtendit ad centrum. da 348. Si datur per Ò , dabitur et ratio ' eamdem d . Duc enim ex A' perpendiculum A’A" in CA, el ex A " perpendiculum Ako' in AA': resoluta q in binas alteram (=0 ) juxta AA ' , alteram normaliter ad AA', erit.270 8: q ' = AA "": Ao' = AA ' : AA " – vdt : - do . Per consequens op odo vdt : est autem ( 50. 30. ) d' = = du dt ; ergo dvบ de odd vdt Hinc vdy odd ; et v2 = -2Sodo : propterea etc ... Constans atque arbitraria quantitas de terminatur ex quadrato velocitatis initialis c in summa atmosphaera.

• Etiam sic: formula (m: 50. 100.) differentiata suppeditat

1 d2 vdus OCó + Jad dD ; Da D da2 igitur ( 50. 8º. b. ) vdv OdD : in casų vdv = odo. 349. Io (a") spectari potest tanquam constans ad sensum per totam atmosphaerae altitudinem : mutatis nam que distantiis , mutantur parum admodum ( 342. 4º. ) velocitates , et ob exiguam ipsius atmosphaerae altitudi nem ratio earum distantiarum est proxime ratio aequa da litatis. Erit igitur ut vis refractiva : hinc sub hy pothesi vis refractivae constantis, & ad « habebit rationem constantem. Si haec ratio exhibetur per n ut sit a па , vertentur ( a ) et (a' ', in dd 1271 sini 1 + k 1 + \beta sin (i- ( n - 1 )2 ) , (a ") tangaz ? k' + \beta 2+ k + \beta tang (i —" a). Vis refractiva o exsistet constans, ubi densitas ae ris atmosphaerici crescat uniformiter in descensu versus terrae superficiem : patet ex eo , quod vis o nihil est aliud ( 223 ) nisi excessus actionis ex inferiore quovis aereo strato supra actionem e superiore strato.Caeterum, quoad aeris densitatem apud varias altitudines supra terrestrem superficiem recole n.um 95 .

350. Sit AC diameter circuli osculantis ( 27 , 20° . ) curyam in puncto A, et ex C " ducatur perpendiculum C'C' in rectam AC productam ; circulus osculator transibit per C ' ; eritque angulus ACA' aequalis angulo A’Am ; anguli praeterea alterni AA'm , C'AA' sunt aequales. Trian gula igitur mA'A , AA'C erunt similia ; ac proinde 2 v ? d12 va A'm : AA ' = AA': AC' AA A'm qata Ducto perpendiculo CB '( = p") ex Cin tangentem OAB' , ob C‘A perpendicularem eidem OAB' anguli alterni CAC", ACB' exsistent aequales, et consequenter triangula rectangu la ACC“ , AB C similia; ergo AC. AC' 228 CB' : AC = AC': AC" = CB' up Est autem ( 47 ) V : c' =p': p ", et ( Fig. 135) p = AC. sin CAB' = dsini; propterea272 p'c' c'Ósini p" = V V et diameter AC" ( Fig. 140 ) circuli osculatoris exprime tur per 238 oc'o'sini 138 inde vero differentialis aequatio ad curvam eruitur ( 27. 210.) per formulas cognitas.

351. Quoniam c , d sunt constantes quoad omnes lu minosos radios, et sini est constans quoad unicum quemvis radium, erit diameter circuli osculatoris generatim ut psini 038 et pro unico quovis radio ut Ad haec: cum v et o 9 parum admodum ( 349) mutentur per totam atmosphaerae altitudinem , diameter illa apud puncta diversa ejusdem ra dii luminosi erit proxime in ratione reciproca vis refra , clivae o • Hinc si o ad sensum est constans , prodibit eadem ubi. que ad sensum diameter circuli osculatoris; ideoque in hy pothesi vis refractivae proxime constantis, forma curvae exsi stet proxime circularis: quam formam jam olim assumpse rat Cassinus. Notetur illud: circularis forma curvae importat aequalita tem cangcntium ( Fig. 135 ) Ab et Fb. Atqui ( 346: 343 ) Cb FÉ sinCF6 siaFC6 sinli + a- ) sin FC6 С. Ab sinCAb sin AC6 sin OAZ sia AC6 sini sinACI273 Ergo sin ( ita - Q ) sinFC6 sini sinACb Est autem proxime sind i + a - ) = sini : igitur sinFCb = sin ACb, et FCb = ACb; propterea ACF = 24Cb, seu a = 2w . Itaque , sub hypothesi vis refractivae ad sensum constantis, in ( a ) et (a " ) erit W - a = ica -a) .

352. Ex éadem hypothesi vis refractivae constantis pro fluunt regulae Simpsoni et Bradleyi ad comparandas in ter se refractiones respondentes diversis distantiis a ze nith : regula namque simpsoniana reducitur ad primam ( a " : 349 ) , bradleyana ad secundam . Simpsoni regula sic habet : fiat in quadam ratione data sinus distan tiae apparentis a zenith ad sinum cujusdam anguli; et hujus differentia ab illo erit ad refractionem quan sitam in alia quadam ratione data . Nimirum 1 + \beta 1 : 11 sini : sind i ( n - 1 ) 0 ) , 1+ k ' n – 1 : 1 = i- ( i- ( n - 1 ) « ) : a Bradleyi regula sic exprimitur: refractio est pro portionalis tangenti distantiae apparentis a zenith -im minutae per quoddam multiplum refractionis ipsius: sum pto videlicet angulo pro ejus tangente in primo mem bro secundae ( a " ).

353. Regula bradleyana multo minus est apta quam simpsoniana ad refractionum tabulas conficiendas : data 18274 enim refractione a respectu distantiae i, si proponitur de finienda refractio a, respectu novae distantiae i , juxta bradleyanam regulam erit tang( i- " 74.« ). Ung(,1 - -a DE Q : Qis 2 et cum secundus quoque terminus proportionis coutineat incognitam Q,, nihil poterit directe deduci nisi jam in notuerit proxime Qy substituenda in secundo termino ut ipse habeatur abludens a vero per quantitatem exiguam respectu sui , sicque quartus terminus a,, exiguus per se, obtineatur discrepans a vero prorsus insensibiliter . Id autem indiget restitutione calculi ut accurate succedat, mo lestiamque affert non ita parvam . Quod si adhibealur simpsoniana regula, ex aequatione + B sind i, - (n -1 ) Q, ) = -sini, 1 + k invenietur valor i; - ( n − 1 ) ą, ; qui subtractus ab i; relinquet (n - 1) ( 1, dividendum per n -1 ut cognoscatur a,.

354. Si distantiae apparenti a zenith libet substituere apparentem altitudinem ( = I = 90° - i ) supra horizon tem , poterit assumi 1+ \beta 1 tk sini = cosH ( a " ) : tunc prima ( a " . 349) dabit cosH sin i- ( n - 1 ) « ) ; iccirco H + [ i- ( n – 1 ) a ] 900275 H- ( n - 1 ) = 90 ° -i = I ; unde H - I ( a " ). . 1 Quod si luminosus radius adveniat ex objecto depres so infra observatoris horizontem ( istiusmodi observationes occurrunt v. gr. in montibus editis, ex quibus in horizon tem sensibilem ( 307 ) patet despectus ) , valor I fiet ne gativus , eritque HI ( a " ) . n Hinc vides augeri plarimum refractiones infra hori zontem ; siquidem illa, quae supra horizontem fuerat dif ferentia angulorum H et I , infra evadit sudima. In ipso videlicet transitu per horizontem vertitur I ex positivo in negativum ; auctaque depressione, crescit H simul cum va lore I: nam crescente i ultra 900 in (a " ) minuetur cosH una cum primo membro, ac per consequens augebitur H.

355. Fac ut ex observationibus dentur binae refra ctiones a et a, respondentes binis i et i;: sic poteris de 1+ terminare numeros n et Habes 1 +k - 11a - sin (i- ( n 1 ) () = sini cos(n - 1 ) 0 - cosi sin ( n n-1 ( 1 ~ 2sina a ) sini - cosi sin ( n 1 ) ; 2 n-1 hinc, assumptis sin -O , sin(n- 1 = 2 2276 ( n - 1 ) , et attenta prima (a " . 349 ) , 1 + B 1 tk sini = sini - } ( n - 1 )22 sini — ( n -1 ) a cosi; proinde 1 + itk = 1- iln - 1 )^ 2 - (n - 1 ) coti : simili modo , ( a“) 1 + \beta -- 1 -- } ( n − 1 ) ?«?, - ( 1 - 1 ) « , coli, 1 + k Istarum alteram subtrahe ab altera; devenies ad n - 1 == 2 acoti &, coli, Q2 ( a " ) . 1 + B Per (a " ) determinabis n ; lum tk (a*), vel per eamdem primam (a " . 349). Simpsonus adhi buit a = 1 ' 30 " , 5 pro i= 60° , et a = 33' pro i, 90° : inde, redactis 1 ' 30 " , 5 et 33' ad partes radii 1 , profluunt 1 + \beta n - 1 = 5 , 5 , 1th - 0, 9986066 ( a " ) . Si a est refractio ita remota ab horizontali , ut coti non sit valor nimis exiguus, omisso i ( n - 1 ) 282 in pri ma ( a " ). erit 1 + \beta 1 +k ' -1- ( n 1 )a coti , seu ( 343. a : 344 )277 1 + \beta 1 + k = - ( n - 1 ) B (all) .

356. Formulae (a'l) , (at ) dant 0, 9986066 = 1 - 5,56 , unde \beta = 0, 0002533 ; quo valore \beta ( est aliquanto minor quam alibi ( 342. 70.) traditus ) substituto in seconda ( a ""'), assequemur 0, 0016467 k' = 0, 9986066 - 0, 001649 ; rationem videlicet (346) inter altitudinem atmosphaerae re fringentis et semidiametrum terrestrem . Bradleyuspro su pra dictis ( 355) distantiis i = 60° et i, = 90 ° adhibuit a = 1 ' 38 " , 4 et a , = 33' ; factis substitutionibus in ( a " ) , n - 1 = 5 , 992 ; tum ex prima ( a " . 349), 1 + \beta 1 tk sin ( 90° — ( n-1 ) 0, ) sin900 cos( n - 1 ) = cos 3 ° 17 ' 44 " , 4 = 0 , 998346 . Hinc ( 355. a "' ') 0, 998346 — 1 — 5 , 992 \beta , et \beta = 0,0002760 : propterea tot 0 , 0002760 1 tk = 0, 998346 , et k' = 0 , 001930 0 , 998346 0, 001933.278 21 n Quoniam ex Bradleyo est proxime n - 1 = 6; sum -1 plo a pro tang -« in secunda ( a " . 349) , e 2 2 rit refractio a ut tang( i - 36) : atque huc spectat regula , quam is paullo ante obitum invenit leste La- Landio, quod nempe refractio sit ut tangens distantiae apparentis a ze nith imminulae per angulum triplum ipsius refractionis.

357. Hoc etiam pacto inveniri potest ratio k' : trian gula ABC , 6CF praebent СЬ sinCAb sinCA sin OAZ АС sinCbA CF СЬ sin CF sioCF6 sinC6B sinCF6 1 seu ( 346: 347 ) СЬ 8 sini sind i o'tk Cb sin (i - wta) sin (i + ama) > unde ( a " )

• =1 +

= 1 + k ' sinli -w -a ) ) sini sin( i - (4- a) ) sinli -w) a' Sed ( 349' : 351 ) a = na 2 -2; igitur n sin (i- ( 1 ) a ) sini 2 1 + k' = (a ") ; sin{ i = ( n — 1 ))sin ( i – a) per quam formulam ratio k' inter atmosphaerae altitu279 dinem et semidiametrum terrestrem invenitur e singulis refractionibus. Ad haec : Cb = Ce + eb = 3 ' + eb ; propterea eb facto ở é , сь sini sini 1 + e = (a" ) ; sin ( i - w ) sin( i – ža) formula suppeditans rationem e' inter altitudinem pancti b supra terrae superficiem et semidiametrum terrestrem pro eo radio luminoso , cui respondet refractio a.

358. In hypothesi vis refractivae constantis numerus n pro locis utcumque supra terrae superficiem elatis est ( 349 ) ad sensum idem ac pro ipsa snperficie terrae: non item 1 + \beta etsi ergo luminosi radii adveniunt 1 + k

sub eodem angulo i ad loca diverse elata, non ideo ta men obtinebit eadem refractio a . Iam apud datum locum , cujus elatio supra terrestrem superficiem designatur ( 346: k - 18 347 ) per Ò -d' , facto = ket ( 347: numerus do ) tur per 342, 79. ) = 1 + \beta ', numerus ille variabilis exprime 1 + \beta! ubi satis erit determinare terminum 1 + k "

incognitum \beta '. Habemus itaque ú =c ( 1 + B '), et eodem = (( 1+ B ) : hinc 22 2c218 + Ba ) , c'2 ( = 2c ( \beta + B2 ) , seu quam proxime pacto c' vi - (? = 2c - \beta , c2 - = 2c2 \beta. Sed ( 348 ) quoad y constantem ,280 025 200 + C = - 200 + c2 + 29 ( ' + k ) , 02 = -290° +62 + 20 ( 8' + k ) ac proinde 22 - 6 = 20 ( + k- ) , da 62 = 20k. Igitur . . . 8 + k - 8

• • k

ozlesel 8 et \beta! ở + k = 0 k k " - \beta . ki 1 Etiam sic: ex ( a * " .355) eruitur 1+ 1 + k " 1- (n - 1 ) 3' ; unde \beta' k " n + k ( n - 1 ) Propterea ! k 1 + B 1 + k " 1+ nt k (n - 1 ) 1 + k " ( a " ). n + k ' in - 1 )

359. Est ( 358. arv ) 1 +B 1 + k ' a [n+k " (x –1)] - 1 K ( n - 1 ) quamproxime: n designante a refractionem horizontalem apud elationem o—ở supra terrestrem superficiem , habetur ( 355, a" )281 1 + B 1 + k " 1 - ((n - 11202. Quare 02 2K" n(n-1 ) 2 [k- (9- ] n ( n 18 2 [k — à — ' ] n(n-1 ) [otànd ]== 2[k_a_M)]quamproxime. n (n - 1 ) Huc traducitur regula, quam tradidit Bouguerius, quae que est hujusmodi: subtrahatur elevatio loci ab altitu dine tota atmosphaerae ( ipse pro altitudine ista exhibet hexapedas 5158 ) , et refractio horizontalis erit ut ra dix residui.

360. Quod spectat ad objecta terrestria sita intra at mosphaeram , et visa per luminosum radium a vi refra ctiva curvatum , sint bina loca S et a ( Fig. 141 ) sive ae qualiter , sive inaequaliter elata supra terrae superficiem , quorum alterum concipi' etiam potest in superficie ipsa. Si spectetur Sex A, repraesenteturque per SoA curva lumi . nosi radii , quam curvam subtendit chorda SA ; per А ducta tangente AO , erit OA directio apparens , SA di rectio et OAS refractio vel addenda depressio ni objecti S infra horizontem loci A , vel subtrahenda ab elatione objecti S supra horizontem loci A. lam si per punctum quoque S ducitur tangens SB , relineatur que hypothesis vis refractivae ad sensum constantis, trian gulum ( 351 ) isoscele ABS dabit OAS 06S. Atqui a ACS ( 349 ) a = seu in casu 065 = igitur vera , - . n n OAS ACS 2n282

361. Hactenus et stabilivimus quae non dependent ab ulla hypothesi circa legem virium refringentium , et evol vimus quae dependent ab hypothesi virium refringentium proxime aequalium: superessent expendendae aliae virium hypotheses ; sed quoniam ex una parte hypothesis vis refra ctivae ad sensum constantis omnium certe simplicissi ma , suppeditat refractionum tabulas vel cum observatio nibus plane congruentes , vel ab iis parum admodum dissentientes , utcumque de caetero densitas aeris atmos phaerici crescat in descensu versus terrae superficiem ; ex al tera vero parte hypotheses aliae non videntur ab ipsis ob servationibus comprobari magis quam hypothesis illa: ic circo supersedemus expendendis aliis hypothesibus. Satius erit notare illud: observata ( 342. 70.) refra ctione luminis in transitu ex vacuo Boyliano in aerem alia atque alia densitate donatum, invenit Hauxbeius valorem \beta proportionalem ipsius aeris densitati, Exhibentibus igitur a et a. pressiones atmosphaericas, alteram sub temperie therm . centr . et altitudine barometrica b, alteram sub temperie = 0 et altitudine barometrica = 0 , 76 metr. , insuper fe et flo respondentes aeris densitates ; cum sit 0, 000294 : B = fo: tl, cumque ( 87.70. . ) Ho: M = .: b et ( 94. 3º. 4º. ) 1 - + - 0,00375 7 0,76 5550 ( definitur q' per thermometrum barometro apoexum ) , erit generatim B= 0, 000294 L po 0, 000294 ದ . 1 + 0 , 00375 7 0, 000294 1 +0,003757 76 1+ 5550283

362. Restat ut aliquid dicamus de inquisitione in refractiones astronomicas per observationes : id praesta bimus supponendo regulam ( 356) Bradleyi. In memoriam autem redigendum, quod jam ( 344 ) ostendimus; posse nimirum usque ad certam quamdam distantiam i assu mi refractiones ạt proportionales tangentibus ejusdem i ni hil imminutae. Hoc licei apud Bradleyum usque ad i 70° citra errorem unius secundi : ibi enim apud ipsum est a = 2.35", 1 ; ideoque 36 = 7' 45', 3, et cum habeatur lang 700 tang 70o 1 , 0064 , tang ( 70cm 7 " ' 45', 3 ) tang 69° 52 14' , 7 certe adhibito i pro i-- 3a, committetur error 0, 00640 0, 0064 ( 2' 35", 1 ) = 0, 0064 ( 155 " , 1 ) < 1" . Apud Caillium non licet nisi usque ad i = 480: sed caillianae refractiones videntur omuino majores justo.

363. Spectatis itaque duabus fixis , sint i et i, meri dianae distantiae a zenith observatae infra et supra polum quoad alteram, I et I, quoad alteram , sintque O, Qy, A, A, refractiones iis respondentes: erunt i + 2,1; + Q ,, I + A ,1, + A , distantiae verae . Quisque intelligit ( 322) veram poli di stantiam a zenith expressum iri sive per it i , tata 2 sive per 1 + 1 , + A + A , 2 (m) , habitis i , a , I, A pro negativis si fixae in superiore ap pulsu ad meridianum praetergrediuntur zenith ; igitur i + i + a + a , = 1 + 1, + A + A , (m '). Assumptis ( 362 ) refractionibus proportionalibus tangenti ap parentis distantiae nihil imminutae, exsistent284 a tangi, A tangi tangi tangi tangt, tangi ( m ' ) ; \alpha a et in ( m' ) substitutis valoribus ,, A , A ,, ex (m ), prodibit ( I + 1 , -i - i, Jtangi : tangi + tangi, tangl — tang!, ( m " ). Obtenta refractione a per ( me' " ' ) , obtinebuntur refractiones Q ,, A , A, per ( m ”).

364. Sic determinatis refractionum valoribus vero pro ximis, si ii designantur per v , x , v" , 1 ' " , poterit restitui calculus ex regula Bradleyi ( 356), sumendo nimirum formulas 3v' ) A tangli, tangli - 3v ) tang( I - 37" ) tangli — 3v) > ( m " ) A, tang( I1, tangli 3y " ) 3 ) et substituendo in (m ) valores a, , A , A, ex ( m' ' . ) : hoe pacto assequemur ( I + I , -imi) tang(i - 3v) tang(2-3v) + tang (4,-3v')-tang (1-3v" )-tang(1,-3v) (m ), valorem nempe correctum refractionis a : tum ex ( m " ) valores correctos refractionis ac , A , A, ; itemque veram poli distantiam a zenith per alterutram ( m ) , atque inde veram ipsius poli alticudinem.

365. His positis, denotet p correctam poli P ( Fig.136) distantiam PZ a zenith Z ; erit pm (i + a ) vera distan tia inter fixam v. gr. F et polum: expectando adventum fixae ad quemvis numerum ( = i ) graduum , vel gradaum285 et denorum v . gr. minutorum a zenit , obtinebimus momentum ejusdem adventus, ac proinde temporis intervallum ( =O) ab appulsu ad meridianum usque ad momentum illud; singula vero temporis intervalla dabunt respectivos an gulos horarios ZPS" , atque id independenter a refractionibus; non enim eae afficiunt tempus appulsus ad circulos verticales ZB '. In prima igitur ex formulis ( 0.328 ) cogno scentur L , D, h ; siquidem L PO 90. D CS" = 900 PS " = 900 FP = 900_ [ p - lit) ] , h = 159 : inde eruetur z seu vera fixae distantia a zenith . Iam si ex z subtrahatur respondens distantia observata i , residuum , - i manifeste exhibebit refractionem . - = 900 P2 = P,

Varia philosophorum systemata circa coelestium corporum dispositionem.

366. Fixarum immensa (313) fere multitudo est; planetae ( 302 ) vero (quod saltem novimus) pauci numerantur, mercurius videlicet, venus, mars, vesta, ceres, juno , pallas, jupiter, saturnus et uranus; qui omnes in propriis et suis motibus digrediuntur hinc et illinc ab ecliptica: non omnes aequali velocitate ac tempore, sed alii: citius alii tardius, integrum gyrum absolvunt: non ejusdem ubique magnitudinis se produnt, sed alicubi minoris, alicubi majoris; et consequenter unusquisque planeta modo magis modo minus distat a nobis: aliquando progrediuntur planetae ab occasu in ortum secundum veros ipsorum motus; dein paullatim tardescunt donec tandem immobiles conspiciantur; mox motu retrogrado ferri videntur et in partem veris eorum motibus contrariam tendere; tum rursus quasi immobiles stare donec post aliquod tempus iterum ab occasu in ortum progredi videntur; unde planeta directus ( 311 ) , stationarius et retrogradus appellatur: dum planetae retrogradi exsistant, majores et velociores cernuntur; minores, ac tardiores dum exsistunt directi: retrogressiones sunt magis diuturnae in urano quam in saturno, magis diu turnae in saturno quam in jove , et ita porro usque ad martem; at retrogradationis spatium minus se prodit in ura no quam in saturno, etc: frequentiores sunt retrogradatio nes in urano quam in saturno, frequentiores in saturno quam in jove, ete: illud praeterea in planetis observatur, quod venus et mercurius motum solis constanter co mitantur, adeo ut venus ab illo nunquam recedat plusquam 48°,, mercurius vero plus quam 29°; ambo solem quandoque praecedunt ante illius ortum apparendo supra horizontem ad orientem, quandoque sequuntur post illius occasum ad occidentem; reliqui non ita soli alligati sunt, ut integro semicirculo ab eo elongari non possint. Mer curius, venus , mars , jupiter , saturnus innotuerunt us que ab antiquissimis temporibus , uranus innotuit anno 1781 , ceres 1801 , pallas 1802, juno 1804, vesta 1807 . Atque hi quidem planetae primarii dicti sunt; alii vero, quia a suis primariis nunquam discedunt, secundarii et satellites appellantur: quatuor sunt jovi , satellites , septem saturno, sex fortasse (duo certe) urano; et in hypothesi telluris motae circa solem, unus nempe luna telluri ipsi. Cingitur praeterea saturnus annulo tenui et lato, qui ab ejus corpore undequaque divisus est: hic sese exhibet vi dendum sub diversis formis pro diversa solis oculique positione. Spatium interceptum inter annulum et satur num est ejusdem ferme latitudinis ac annulus: ipse denique annulus componitur ex duobus annulis concentricis, qui conspiciuntur invicem separati per spalium vacuum nobis apparens instar lineae obscurae et circularis. Quin imo D. Short , aliique asserunt, se vidisse plures hujus modi lineas: quod si ita est, saturni annulus ex pluri bas sejunctis annulis constabit. Cons. opusc. cujus titu lus: memoria intorno ad alcune osservazioni fatte al287 la specola del collegio romano nel corrente anno 1838: pag. 10 et 11 . Cometarum ( 302 ) numerus longe major est quam planetarum : non desunt qui putent cometas distinctos , partim annalibus memoratos, partim astronomice observatos, plus quam septingentos esse. Cometae per immensa coeli spalia vagantes tunc conspicui sunt, quando in coe lestes regiones soli proximiores descendere incipiunt ; tunc vero occultantur, quando a sole longius recedentes abeunt in remotiores coeli plagas. Cum homines siderum motus admirarentur, eos incendit cupido investigandi causas et rationes coelestium phae nomenorum: sed cum intelligerent, ob maximas astrorum distaatias, aegre se posse aliquid definire, coeperunt multa conjicere, nonnulla supponere, plura forlasse comminisci, et varia componere systemata: quaerendi namque defatiga tio, inquit Tullius, turpis est, cum id quod quaeritur sit pulcherrimum. Tria potissimum memorantur systemata, quae diversis temporibus floruerunt, nimirum ptolemaicum, co pernicanum et tychonicum .

367. Systema ptolemaicum: in hoc systemate tellus no stra ponitur tanquam centrum totius mundi fixa et immo ta; caetera corpora ultra lunam porrecta una cum ipsa sta tis temporibus omnia vertuntur circa tellarem eo ordine ut tellurem immediate excipiat orbita lunae , hanc orbita mercurii, tum veneris, tum solis , solem vero excipiat mars, deinde jupiter, postea saturnus, Supra orbes hos omnes sta tuitur sphaera stellarum fixarum , quae firmamentum voca tur: supra firmamentum . tres aliae sphaerae additae sunt ; duae videlicet quas crystallinas vocarunt; et ultima , quae omnes complectitur, ac primum mobile dicitur quia reli quas sphaeras motu suo abripit circa tellurem viginti qua tuor horarum spatio. Quare in hoc systemate undecim sphaerae in coelo sive undecim coeli numerantur; quibus si illud adjungitur quod empyreum appellatur, jam duode288 stea vero cim habentur. Porro licet Ptolemaeus nihil definiverit de coe lorum substantia , posteriores tamen philosophi, apud quos systema istud diu obtinuit , et ab iis auctum fuit , coelos solidissimos esse voluerunt ut constantes astrorum motus salvarentur. Motus itaque diurnus siderum et planetarum omnium ab ortu in occasum imprimitur a primo mobili, quod ver tigine sua reliquas inferiores sphaeras secum rapit; sed cum sidera motu proprio ab occidente ferri in orientem aesti matum fuerit ex observationibus (314) , hunc motum alle ri coglo nempe firmadienio veluti proprium tribuerunt: po ex computatis stellarum positionibus judicantes quidam astronomi stellarum motum non esse semper aequabilem , ac praeterea non eundem ( 315) angulum eclipti cae cum aequatore constanter servari, duas supra dictas sphaeras crystallinas supra firmamentum finxerunt , quarum utraque motu librationis moyeretur, altera modo in orien ' tem modo in occidentem, altera modo in austrum modo in boream. Ut phaenomenis planetarum satisfieri possit, inventi sunt circuli excentrici et epicycli; quorum primo nempe circulo excentrico redderetur ratio majoris vel minoris velocitatis ac distantiae planetarum a terra; altero nempe epicyclorum statio, directio et retrogradatio explicarentur. Nam si planeta movetur in orbe excentrico CDEF ( Fig. 142 ) sub zodiaco GOHK , quamvis ejus motus aequabilis sit , nobis tamen in terra A, ideoque extra centrum B orbis CDEF existentibus, inaequalis apparebit: cum enim recta GH trans iens per telluris centrum A non dividat bifariam orbem CDEF, planeta diutius morari videbitur sub sex illis zo diaci signis, quibus respondet segmentum majas DCF, quam sub reliquis , quibus minus respondet segmentum DEF. Pariter cum recta AC magnitudine superet rectam AE, planeta eril terrae proximior cum fuerit in puncto E quam cui versabitur in superiore parte C orbis excentrici; 1289 trum quapropler in C videbitur minoris diametri quam in E. Sit nunc epicyclus CHLO ( Fig. 143 ) in quo moveatur planeta a puncto C versus HL . , . dum ipsius epicycli cen movetur in excentrico OH ab 0 versus H secun dum seriem signorum : planeta ex terra A inspectus ap parebit directus dum per circuli arcum CH deferetur, quo niam secundum seriem signorum progredi videbitur ; cum vero arcum HR percurrit, nec progredi nec regredi sed sub puncto D zodiaci stare apparebit, quia arcus HR cum re cta AD fere congruit; denique ubi a puncto R per arcom RZS movetur, apparebit retrogradus, utpote contra signo rum seriem delatus ; et quoniam recta AC transiens per epi cycli centrum B est maxima omnium rectarum AO, AO' , AO " , AO'" etc , recta AL omnium minima, reliquae suc cessive deficiunt ab AC , iccirco planeta sensim augebitur dum a parte superiore C ad inferiorem L descendit , et vi ceversa dum ab L ascendit ad C; adeoque planeta retro gradus apparebil major quam directus : apparebit etiam ve locior, siquidem arcus RLR' minor est arcu HCO. Şi sol nunquam retrogradus cernitur, ideo est quia ille non in epi . cyclo sed in orbe tantum excentrico movelur: caeteras hujus systematis explicationes sive potius ambages praetermitto.

368. Systema copernicanum: solem in medio systematis constituit Copernicus fixum et immobilem, circa quem in orbibus excentricis converterentur coelestia corpora secundum diversas periodos; primo mercurius, tum postea tellus in orbe quem dixit magnum, cui luna adjungitur circa tellurem ipsam acta veluti in epicyclo, deinde sequuntur orbitae martis, jovis, denique saturni; tellus dum molu periodico circa solem spatio unius anni movelur ab occasu in ortum, vertitur interea ab occasu pariter in or tum circa proprium axem spatio viginti quatuor horarum siderearum: post planetas ad immensam ac pene infinitam distantiam locabantur a Copernico stellae fixae . Cum autem detecti fuissent jovis saturnique satellites; ut horum quoque venus 19290 ratio haberetur , circa jovem et saturnum additae sunt a copernicanis orbitae respondentium satellitum . Adjecti etiam comelae circa solem ; et decursu temporis uranus cum suis secundariis ultra saluruum ; itemque vesta , juno, ceres, pal las inter martem et jovem. Systema istud vocatur passim systema solare, quia sci licet sol tenet centrum totius systematis: quemadmodum ve ro sol , unum ex inerrantibus sideribus, constituitur in centro omnium planetarum cometarumque, ita reliqua sidera iner rantia habentur a recentioribus copernicanis tanquam toti dem soles suis fortasse planetis cometisque stipati . Sic in. finita propemodum existent solaria systenjala nostro si millima.

369: Systema tychonicum: convenit hoc syslema cum ptolemaico in eo quod ponit terram immotam, et solem mo veri; in caeteris consentit copernicano. Commutatis itaque locis atque officiis solis ac terrae, posuit Tycho tellurem im mobilem, circa quam proxime circumfertur luna, cum sol ad distantiam multo majorem; circa solem vero constituit pla netas omnes, primo mercurium , deinde venerem , lum mar lem , postea jovem, denique saturnum: orbitae martis, jovis ac saturni praeter solem complectuntur quoque tellurem ; non item orbitae mercurii, et veneris .

370. Aliqui admittunt motum in lerra circa axem , negant autem circa solem ; qui proinde molum diurnum tribuunt tellari, et proprium soli concedunt: quod semico pernicanum systema vocatur. Alii mixtum quoddam syste ma ex puolemaico et lychonico confecerunt; et systenia plo lemaicum reformatum a nonnullis appellatur: in hoc omnia se habent prout in ptolemaico praeter mercurium et vene rem , qui circa solem in parvis circulis excentricis prout ia tychonico systemate moventur.291

De phaenomenis corporum coelestium in systemate copernicano.

371. Non immoror systemali vel prolemaico, vel tychonico; utrumque hac aetale obsolevit : prolemaicum re pugnal phaenomenis mercurii ( 366) et veneris; omissis etiam orbibus solidis , qui comelarum motibus penitus destru unlur ; et orbibus illis excentricis cum adjectis epicyclis , qui naturae simplicitati opponuntur : tychonicum nihil aliud tandem est quam copernicani perturbatio ; nec naturae legibus et simplicitati consentaneum exsistit . Ad copernica num quod attinet ; ut ab apparentia motus annui incipiam ; spectator, si locaretur in sole, videret terram , dum haec circa solem moveretur ab occidente in orientem , trapsire successive per stellas, et in coelo describere circulum , cajus centrum in centro solis; at si spectator in ipsa ter ra locatus sit, apparebit circulum illum describi a sole : ita si lerra percurrens orbitam TRE ( Fig. 144 ) est in T , patet solem S videri in parte coeli opposita O; dum terra est in R, sol videbitur in O'; et quando ad E per tingit, sol apparebit in O " . Quare ubi tellus totam descri pserit orbitam , videbitur sol similem orbitam descripsis. se in eodem plano, eodem tempore et versus easdem par tes, qualis est ecliptica; hoc tamen discrimine, quod dum terra successive respondet signis arietis , tauri etc, sol re spondebit signis oppositis librae, scorpionis etc. Periodus itaque siderea telluris erit ( 310 ) 3654 , 2563611 : quoad sidereas aliorum planetarum periodos , ecce illas. In ordine ad mercurium 874, 969258 ; venerem 224", 7007869 ; marlem 686a , 9796458; vestam 13254 , 7431 ; junonem 1592d , 6608 ; cererem 1681d , 3931 ; palladem 16864, 5388 ; jovem 43324, 5848212; saturnum 107594 , 2198174; uranum 30686a , 8208296.292 372. Denotanle T tellurem , S solem , Il planetam aliquem, Q'TSE planum orbitae terrestris ETE' seu pla num ecliplicae, erit HS di - tantia planetae a sole, HT di stantia a tellure; et ducto perpendiculo HK ex ll in QTSE, erunt KS, KT illarum distantiarum projectiones in pla no eclipticae: angulus HTK dicitur geocentrica planetae latitudo , HSK heliocentrica; STK elongatio, seu angala ris distantia planetae a sole respectu telluris . Jam deter minata solis longitudine ( 331 ) quoad bina orbitae terrestris pancta v. gr. T et E, inde manifeste babebis angulum EST; ope parallaxeos definiri queunt distantiae ST et SE solis a tellure ( 325. 5º. ) in T et E: poteris ergo cognoscere et chordam ET, et angulos STE, SET ; tum ( definitis pla netae elongationibus apud T et E ) angulos KTE, KET, et consequenter latus quoque KT in triangulo TKE : ex triangulo insuper KTS obtinebis KS et angulos SKT , KST ( primus dicitur parallaxis annua, alter vero est dif ferentia inter longitudines planetae ac telluris prout e so le spectantur ) ; itemque HK et HT ex triangulo reclan gulo HKT , definita prius latitudine geocentrica HTK ; de mum ex triangulo rectangulo HKS poleris assequi HS, nec non heliocentricam latitudinem HSK. Quemadmodum planeta e sole spectatus latitudinem he liocentricam successive variare conspicitur, ita pariter visus e terra apparet per vices sub diversa latitudine geocentrica. Verum latitudo heliocentrica , quotiescumque planeta in eo dem orbitae suae puncto invenitur, est semper eadem; lati tudo vero geocentrica matatur pro vario terrae situ ad pla netam, etsi planeta in eodem orbitae suae puncto conspici tur: sunt enim HK=KT. tang HTK, HK = KS. tangHSK ; KS ac proinde tangHTK KT tangHSK ; ubi , permanen tibus KS et tangHSK, est tangHTK reciproce ut KT. Quoniam angulns SKT = OSK - OTK , inferes pa rallaxim annuan aequari differentiae inter longitudinem pla293 netae e sole spectati et longitudinem ipsins planetae ex ter ra visi , idest inter heliocentricam et geocentricam plane tae longitudinem . Quisque videt haec aeque aptari planetis inferioribus: dicuntur planetae inferiores , quorum orbitas amplectitur orbita telluris; superiores , quorum orbitae complectuntur telluris orbitam. Tunc planeta dicitur esse in conjunctione cum sole , quum illius elongatio = 0 ; tunc vero dicitur in oppositio ne, quum ejus elongatio 180° . Hinc planetae inferiores nunquam erunt in oppositione ( 366 ) : binas tamen conjun ctiones habebunt; alteram saperiorem v . gr. in K' , cum nempe supra solem ascendunt; alteram inferiorem in K , cum infra solem descendunt.

373. Maximus Jatitudinis heliocentricae valor suppedi tal inclinationem orbitae planeticae ad ecliplicam. Quoad mercurii orbitam habemus inclinationem 7 ° 0'9", 1 ; veneris 3° 23' 28" , 5 ; martis 1 ° 51 ' 6 " , 2 ; veslae 7º 8' 9 " ; junonis 13° 4' 9 ", 7 ; cereris 10° 37 ' 26 " , 2 ; pal ladis 34° 34' 55 " ; jovis 1 ° 18'51" , 3 ; saturni 2° 29 ' 35" , 7 ; urani 0° 46' 28 ' , 4. Bina puncta , in quibus planum orbitae planeticae se cat eclipticam , dicuntur nodi ; aller ascendens, per quem ab australi ( quoad eclipticam ) plaga trajicitur planeta in bo realem; alter descendens, per quem a boreali trajicitur in australem: recta judgens nodos transit per solis centrum , vocaturque linea nodorum. Subjungimus longitudinem nodi ascendentis pro diversis planetarun orbitis: pro orbita mercurii 45° 57 ' 30 " , 9 ; veneris 74 ° 54' 12" , 9 ; martis 48° 0' 3 " , 5 ; vestae 103° 13' 18 ", 2 ; juno nis 171 ° 7 ' 40 " , 4 ; cereris 80° 41 ' 24 " ; palladis 172 ° 39' 26", 8 ; jovis 98° 26' 18 " , 9 ; saturni 111 ° 56' 37' ' , 4 ; urani 72 ° 59' 35", 3. 374. Planetae, utpote corpora proxime sphaerica solis Jumine splendentia , ea solum facie splendent , qua solem294 spectant: hinc varia figura, qua nonnulli planetae nobis splen dere observantur pro diverso situ quem obtinent respectu solis ac lerrae, et phases planetarum dicuntur. Sit 'T ( Fig. 145 ) tellus, S sol , ABC .... orbita veneris : si venus est in A, nimirum in conjunctione superiore, conspicietur ex T instar lucidi circuli ; quia facies sole illustrata terrae to ta obvertitur: in B latebit pars aliqua hemisphaerii illumina ti , et pars obscuri obversa erit terrae; unde veneris facies deficiet aliquantum ab integro circulo, et apparebit gibbosa; in C dimidium bemisphaerii lucidi ex T videbitur, et venus dimidiala apparebit: in D minus quam dimidia pars illumi nati hemisphaerii sese spectatori exhibebit; et cum sphaerica veneris figura ob magnam a terra distantiam appareat plana, fiet ut pars illuminala visibilis protendi cernatur in coroua a sole aversa: demum in conjunctione inferiore E, cum totum hemisphaerium tenebrosum sit obversum terrae, venus haud poterit videri , nisi forte quasi macula per solem transiens: eas dem phases habebit venus ordine inverso, dum per FG ad H transit. Hae veneris phases quae , cum ante telescopii usum inobservatae essent , olim Copernico opponebantur tanquam consectaria ex eius hypothesi, poslea a Galileo primo observatae copernicanos in suo systemate confir marunt, verum id esse ostendentes quod Copernicus ipse futurum praedixerat, nempe easdem phases in venere vi dendas fore ac in luna : porro lunarium phasium ratio facile intelligitur si , designante ABC... orbitam lunae, in S coucipiatur tellus, in Tsol. Phases eaedem contingunt etiam mercurio; sed cum mercurius videri non possit nisi in elongationibus a sole majoribus, raro apparet rotundus ; aliquando dimidiatus, vel gibbosus , vel corniculatus. Alia est ratio de planetis superioribus ; cum enim isti sint in admodum magna distantia a sole, haec di stantia in causa est cur illustratum eorum hemisphaerium sensibiliter totum appareat, adeoque ii semper instar la295 tur, sed cidi disci videantur. Quoniam vero mars minus a sole distat , et fertur in orbita ad telluris orbitam accedente, ejus facies soli obversa non semper tota tellurì obverti pars aliqua illuminata obtegitur ; sicque fit ut aliquantum gibbosus interdum appareat. 375. Ex centro H veneris ( Fig. 146 ) intelligantur duci binae diametri AA et BB' normaliter insistentes altera rectae HS jungenti centra veneris et solis, altera HT jungenti centra veneris ac telluris ; demisso perpen diculo Ak ex A in BB ', magnitudo totius circuli illumina ti erit ad magnitudinem partis nobis conspicuae ut AA ' : Bk = 2AH: AH( 1 - COSAHB) = 2 : 1 - sinBHS = 2 : 1— sin (SHT- BHT) = 2 : 1- sin (SHT – 90° ) = 1 2: 1 + cosSHT = 2: 2cos24SHT = 1 : cosa SHT ; et quia ( 162. 2º. ) intensitas luminis est in ratione duplica ta distantiarum inversa a puncto radiante, splendor partis visibilis erit ut cos?! SHT HT2 Ad haec : sin SHT ST HS sin T ( a' ) ; et demisso perpendiculo SE in TH productam , HT = ET - EH = ST.cos'T — HS.cosEHS , seu HT = ST. cosT + HS. cosSHT ( a " ) .296 Quibus positis , solvi poterit quaestio de inveniendo angulo T , sub quo venus maxime splendet: fiet enim ( 27. 22º . ) d ( a ) = 0 , ideoque d ( HT ) d SHT)

• HT. tang · SHT ;

tum sumptis differentialibus formularum ( a' ) et ( a ") in hy pothesi HS et ST constantium , atque eliminato dT , d ( HT ) d {SHT) = - HS. sinSHT - HS. cosSHT. tangt ; quae ob (a' ) el ( a " ) vertitur in d HT ) d( SHT) - HT. tang T. Propterea 2tangT = lang I SHT ( a " ) : nunc si in ( a ' ') pro SHT substituitur ejus valor expressus per T , ST, HS, obtinebitur quaesitus angulus T. Venus censetur prae se ferre maximum splendorem sub elon gatione 40°. 376. Quoniam solaris diameter ( 325. 6º. ) longe supe ral planetarum diametros; iccirco ( 151 ) illuminabit quidem sol aliquanto plus quam dimidium planetam , sed negligitur excessus iste utpote admodum exiguus, diciturque sol pla neticum illuminare hemisphaerium . Ecce varias diametros , as . sumpta diametro terrestri pro unitate: diam . solis 111 , 454 ; mercurii 0, 398 ; veneris 0,975 ; martis 0 , 517 ; jovis 10 , 86 ; saturni 9 , 987 ; urani 4 , 332 ,297

377. Planetarum ( 366 ) stationes, retrogradationes etc. sic explicantur. Sit 1º . MNO ( Fig. 147 ) orbita cujuscumque superio. ris planelae moti juxta MN ... ab occasu in ortum, TAD orbita telluris motae versus eandem plagam, PQR superfi cies sphaerae coelestis : quoniam terra citius ( 371 ) movetur quam superior planeta, si attendilur excessus duntaxat ve locitatis , poniturque planeta quiescere v. gr. in M, videbi lur M in Q dum terra est vel in Tvel in D ; videbitur M percurrere arcum QP juxta signorum seriem dum terra per currit arcum DE ; apparebit M stationarius quandiu ter ra describit arcum EG parum abludentem a tangente MGX, siquidem luminosi radii , sub quibus cernitur M per id tem poris, referunt M in idem proxime punctum P ; videbitur M regredi per integrum spatium PQR dum terra describit arcum GTA; rursus apparebit M stationarius dum terra de scribit arcum AB, et sic deinceps. Quando lerra invenitur in T, planeta M utpote tunc terrae maxime propinquus , seu ( 311 ) perigeus , apparebit maxime retrogradus :: accedente tellure ad A, minuetur ve locitas regressionis donec apud ipsum A videatur nulla : au gebitur directionis velocitas a B usque ad adventum tellu ris in D, ubi planeta exsistit apogeus: ex D incipit decre scere velocitas directionis donec videatur eyanescere dum terra est in E: ex G incipit crescere velocitas regressio nis etc. Non pluribus opus est ut intelligamus cur plane la retrogradus cernatur major et velocior quam planeta directus. Distantia inter Mac T major est ( 325. 2º. ) pro ura po quam pro saturno, major pro saturno quarn pro jo ve, etc : arcus proinde AG , definitus duabus tangentibus MGX et MAN, major existet pro urano quam pro saturno, major pro saturno quam pro jove, etc. Hinc desumitur ratio cur magis diuturnae sint retrogressiones in urano quam in salurno, magis diuturnae in saturno quam in jove , etc.298 Cnm planeta ex dictis toties appareat retrocedere quo lies illum assequitur terra , cumque eo citius assequatur quo planeta est tardior, jam patet cur frequentiores habeantur retrogradationes in urano quam io saturno, frequentiores in saturno quam in jove, etc. Si tellus T ( Fig. 148 ) percurrit arcum TB, videbi tnr vranus M " percurrisse arcum OP, saturnus M' arcum OQ, jupiter M arcum OR, etc : retrogradationis videlicet spa• lium minus se prodit in urano quam in salurno, etc. Sit 2° . tellus in T ( Fig. 149) , et planeta inferior v. gr. venus in A: si tellus quiesceret , dum venus percur rit AB videretur describere arcum LM in superficie sphae rae coelestis ; at tellus interim mota, dum venus est in B , attingit punctum H orbitae suae , ex quo puncto venus videbitur in N delata per arcum LMN sphaerae coele stis , adeoque magis in orientem progressa motu nimirum directo; idque donec venus ad C perveniat ac tellus in G, ita ut conspiciatur venus apud 0 in recta GC tangen te ejus orbitam : venus ex C ad A' delata, dum tellus percurrit GK, videbitur apud p' in conjunctione videli cet inferiore, et per arcum OP' regressa apparebit; inter motum vero progressus et regressus idest inter C et A' medius quidam locus erit, quo venus nec progredi nec regredi sed consistere per aliquod tempus videbitur: ubi venus devenerit ad E et tellus ad F , ita ut conspiciatur venus apud P in recta FE , quae ejus orbitam tangal , motus ex retrogrado incipiet fieri iterum directus ; erit que inter A'et E alter locus , quo venus morari appa rebit. Quibus declaratis intelligimus cur venus in su periore conjunctione directe incedat , in inferiore autem regrediatur. Haec quidem valent etiam de mercurio; sed conjun ctiones, directiones, stationes et regressus sunt frequentia res in mercurio, quippe qui venere velocior et in minori orbita delatus saepius tellurem assequitur. --- 1 when299

378. Axis, circa quem (368) intervallo 24 hor. sider. vertitur terra ab occasu in ortum, ponitur sibimet ad sensum ( 85. 70. ) parallelus dum motu periodico defertur circa solem: quod necessarium esse ad solis phaenomena explicanda optime vidit Copernicus. Ad haec: si axis terrae insisteret perpendiculariter plano eclipticae, aequator terrestris cum ipso plano eclipticae congrueret, ideoque sol de prehenderetur semper aequatorem celestem describere tum motu diurno ab ortu in occasum, lum motu anduo ab oc casu iu ortum: cum autem sol deprehendatur describere motu annuo circulum ab aequatore diversum , motu diur no nunc unum parallelum nunc alium, debet axis terrae esse obliquus ad planum eclipticae; haec vero obliquitas tanta erit, ut inclinatio aequaloris ad eclipticam ( 309 ) sit 23°28': id obtinebitur, si inclinatio axis terrestris ad planum eclipticae fuerit 66° 32'. Ex his ducunt copernicani phaenomena de diurnis conversionibus solis aliorumque coelestium corporum, de vicissitudinibus dierum ac poctium itemque tempestatum, et de praecessione (314) aequinoctiorum.

Ac 1º. tellure vertente se circa suum axem spatio 24 hor, ab occasu in ortum, liet ut sol ab ortu in occasum ferri videatur: dum enim spectator in terrestri superficie apud lineam v . gr. aequinoctialem constitutus spatio sex ho rarum simul cum terra movetur in ortum ab occasu , de bel sol apparere supra horizontem ab ortu in occasum e levatus in meridiano per dimidium arcum diurnum: sic post sex alias horas apparebit in occasu , etc. Quod de sole di citur , intelligendum de qualibet stella et quovis puncto sphaerae spectabilis, quae proivde videbitur tota converti ab oriente in occasum spatio 24 horarum ; et axis revolu tionis apparentis ( 301 ) erit axis telluris indefinite productus . 2º. Cum axis terrae sit obliquus ad axem eclipticae , et semper cum axe mundi parallelismum servet, non sem per habebitur aequinoctium, sed statis temporibus orientur lempestates diversae. Sit S ( Fig. 150 ) sol , cc'c" c ecli300 ptica ad cujus axem inclinatur axis terrestris PP' sibi con stanter parallelos; concipiatur in tellure circulus maximus, ad quem recta jungens centra solis ac terrae normaliter in sistat , nempe circulus terminator illuminationis hemisphae rium illustratum a tenebroso distinguens. Quando tellus est in librae initio c, ubi aequator primo secat eclipticam , li nea conjungens centrum solis cum centro terrae transibit per aequatorem terrestrem EE' sectum plano eclipticae in m, et planum illuminationis terminabit ad utrumque po lum ; unde illustrabitur medietas tum aequatoris lam cir culi cujuslibet paralleli ad aequatorem : inde fiet ut , dum terra aequabiliter volvitur circa suam axem , spectator in quovis circulo positus tanto tempore versetur in luce diur na, quaolo in tenebris nocturnis ; videlicet aequinoctium obique sit. Post tres menses tellure delata ad c' in capricorno, li nea centralis non transibit amplius per aequatorem EĘ' sed per tropicum borealem BB' , ideoque planum illuminationis DQ' protendetar ultra polum borealem P in D, termina bitque circa australem P' in Q' . Si per D describitur pa rallelus DD' , et per Q' parallelus d'e, erunt ( 320: 321 ) duo circuli polares; patet autem primum illuminari totum el consequenter perpetuum ibi diem esse, secundum lumi ne destitui ac proinde noctem esse perpetuam . Quoniam ve ro ex parallelis inter polarem arcticum et aequatorem po sitis arcus major in lumine versatur, minor in tenebris, longiores erunt dies noctibus ; eoque magis quo ad pola rem magis accedunt: vice versa ex parte opposita. Quod de hisce duobus punctis c et c dictum est , intelligatur de duobus punctis oppositis : c " et c " : videli cet in c” paralleli omnes iterum secantur aequaliter a ter : mino luminis, adeoque erit ubique aequinoctium : in c' " ' ve ro, transeunte linea centrali per tropicum australem AA , paralleli omnes secantur inaequaliter, et idem continget anstralibus in c "' quod borealibus in c' . Praeterea si haec cum301 1 proportione applicantur ad reliqua puncta intermedia , fa cile patebit quaenam dierum ac tempestatum variationes debeant prodire in singulis punctis : recole quae expo suimus nº. 324. 3º. Dixi quod terrestris axis ponitur sibimet ad sen sum parallelus; nam ei , praeter molum periodicum cir ca solem , tribuitur et alter motus, quo paullulum a pa rallelismo deflectat; lentissime quidem , ita ut aberratio a parallelismo nonnisi post longissimum tempus deprehendi possit: talis autem exsistit novus iste molus, cui respon deat circularis ille apparensque motus polorum aequalo ris coelestis circa polos eclipticae, unde ( 314 ) praeces sionis aequinoctiorum ratio desumitur. Terrestris itaque axis, dum ab occasu in ortum circa solem defertur, movebi. tur etiam ab ortu in occasum conico ( vertex in centro terrae ) proximeque uniformi motu circa eclipticae axem, permanente interim ad sensum angulo ipsis axibus in tercepto; nec integram conversionem absolvet nisi andos. Hic porro notandum non modo telluris sed ter restris quoque orbitae radium esse velati punctum prae immensa ac pene infinita ( 368) a nobis distantia, ad quam stellae fixae locantur a Copernico: re vera eae non mo do parallaxi ( 325 ) , quam vocant altitudinis, suot destitutae; sed annua ( 372 ) quoque parallaxi sensibili carere videntur. 379. Cum non alias orbitas in coelo nisi circulares admittendas putaret Copernicus ob earum simplicitatem , voluit quidem tellurem in peripheria circuli aequabiliter moveri ; at solem non in centro istius circuli sed extra in determinata a centro distantia collocavit, quemadmodum a Ptolemaeo factum vidimus ( 367 ) respeclu terrae. Hinc red debatur ratio cur sol majus tempus in una portione ecli pticae ( 311 ) quam in alia insumeret, cur uno tempore magis abesset a terra quam alio, cur motus aliquando tar dior aliquando velocior; atque ita motum terrae inaequa bilem non realem esse sed appareniem staluebat. Verum post 25868302 magnus Keplerus deprehendit talem theoriam motibus pla netarum non congruere : cum enim locum martis pro quovis dato tempore computaret , vidit in certis locis di stantias martis a sole minores existere quam ferret na tura circuli ; atque ex repetitis observationibus collegit fi guram orbitae planeticae esse ellipticam , motumque pla netae in ellipsi , cujus alterum focum occupat sol, aequa bilem non esse sed pro diversa it sole distantia intendi ac remitti. Caeterorum quoque planetarum orbitis ellipticam fi guram , cujus alterum focum teneat sol , analogia ductus tribuit Keplerus; at decursu temporis analogiam omnino confirmarunt ( 77. 2º. ) observationes. Idem dic de proportionalitate ( 77.1 ° ) inter areas de scriptas a radiis vectoribus e sole ad planetam ductis et respondentia tempora ; quam proportionalitatem in martis mota deprehensam a Keplero, et analogia pariter ab ipso reliquis planetis adjudicatam, postmodum observationes pro barunt in eorum omnium motibus re vera obtinere . Subjicimus valores semiaxis transversi ( 55. 11 °. ) , ex centricitatis ( 57. 10.) et longitudinis perihelii quoad ellipti cas planetarum orbitas: porro perihelium est punctum or bitae maxime vicinum ( 55. 12º.) ad solis centrum; pun. ctum e diametro oppositum, seu punctum a centro solis maxime remotum, dicitur aphelium . Orbit . semiax. transv. excentr. longit. perihel. mercurii 0 , 3870981 0 2055149 74° 21 ' 46 " , 9 ; veneris 7233316 0,0068607 128 ° 43' 53" , 1 ; telluris - 1 2 000000000,0167836 990 30' 5 " , 0) ; martis 1 , 5236923 0 , 09330 70 332° 23' 56 ' , 6 ;303 vestae 2 , 3678700 0 0891300 249° 33' 21" , 4 ; junouis 2 , 6690090 0,2578480 53° 33' 46 ' , 0; cereris 2 , 7672450 0 0784396 147 ° 7 ' 31 ", 5 ; palladis 2 , 7728860 0 . 2416480 1210 7 ' 4 " , 3 ; jovis 5 , 20277600 7 0481621 110 8 34 ' , 6; saturni 9 , 5387861 0,0561505 890 9' 29' , 8; urani 19 , 1823900 0 0 166794 167 ° 31 ' 16 " , 1 ; Idem ipse Keplerus omnium primus animadvertit cu bos semiaxium transversorum esse ( 77. 3º. ) in diversis planetis ut quadrata temporum periodicorum. Hic recolen da sunt, quae jam eruimus ( 78 etc. ) ex tribus keplerianis le gibus in ordine ad causas physicas molus planetarum etc. 380# . Ad binorum vel plurium planetarum motus in ter se comparandos, referri solet eorum positio ( 372 ) ad planum eclipticae: exhibeat H ( Fig. 151 ) planetam, K ejus projectionem super eclipticae plano, S solein , NN lineam nodorum , X punctum aequinoctii veroalis, B. punctum quodvis datum in orbita planetica v . gr. perihelium ; ut sit NSX ( = b ) heliocentrica nodi ascendentis longitudo , HSK ( = ) heliocentrica planetae latitudo , KSX ( = B ) heliocentrica planetae longitudo, BSN = k ) angularis di stantia perihelii a nodo N, BSH ( W ) angularis distan tia ( dicitur anomalia vera ) planetae a perihelio . Consi derantes trianguluin sphaericum , cujus latera respondent angulis HSN =- BSH + BSN = wtk, KSN = KSX - NSX = S -b , HSK = 0 ,304 designantesque per i inclinationem orbitae planeticae ad eclipticam ; quoniam primum ex iis lateribus opponitur an gulo recto, tertium angulo i, propterea ( 173. 9 ". q' '. ) sinw + K ) sina sini cot ( w + k ) sin B - 6 ) - cos ( \beta - 6 ) cosi 0. seu since = sin ( w +k) sini , lang( \beta- b ) = tang(6) +k} cosi ; per quas formulas, dalis w, k , i et b, innotescent a et B.

• Haec subjungimus in ordine ad ellipticum plavetarum motum. 1º. Denolante T tempus periodicum quoad planetam H, sume 271 T ( dicitur angularis mediaque planetae velocitas) : et computato motu a perihelio, ita ut tempus t et ano malia vera w simul crescant simulque decrescant, finge tibi novum planelam H ’ ( Fig. 152 ) , qui motu uniformi movealur , suasque revolutiones pariter cum Hsic absol vat ut ambo simul discedant simulque redeant ad peri helium B ; alter incedendo peripheriam circularem BEB' , cujus diameter BB'; alter incedendo ellipticam perimetrum BMB' , cujus axis transversus ipsa recia BB' . Certe , quo tempore t conficit Hangulum w, eodem fictus planeta H' conficiet angulum nt: iste angulus nt dicitur anomalia media; differentia autem inter veram mediamque anomaliam , idest W - nt, vocatur aequatio centri. 2º. Si in ( 0: 57. 10. ) computantur abscissae x versus aphelium B , et loco x substituitur a ' - ea , pro dibit ( 57 , 5º. ) aequatio ad ellipsim305 D = al1 - 82) 1 + ecos (0 ) ; hinc a = arc ( cos = al ? - 82 ) - D ) , et ( 27 , 90. ) dw = DE av T- 82 DD DV a ? 82— ( D - a ) ? Sed ( 50.8°: 57. 70. ) D2 dw = Cdt 2 Ade T 21122V7 $2 dt T = na ?: Vi- g di : igitur nadt =

• DAD Ꭰ

Va282- ( D - a ) Ad hanc formulam integrandam , pone D = a ( 1 - & cos0 ) ( 0") ; erues nadt = a (1 - Ecos ) do , ideoque nt -to' = 0 – Esin 0 : nt est angulus ( 1º. ) H‘CB , quem cum BC facit recta H'C jungens H' et ellipseos circulique centrum C; insuper si per pendiculum OH demissum ex H in axem transversum BB' producitur ultra H donec occurrat peripheriae circulari in H ” , recta H " C efficiet cum BG ejusmodi angulum H ” CB qui : nihil erit aliud nisi angulus 0 ( vocatur anomalia excen trica ) ; ducta enim HS ab H ad focum S, exsistet ( 57. 1º .) cos H"CB = CO CH " CS + OS CH " . CS + HS.cosHSO CH " 20306 ae + Dcoso et substituto valore cosa ex (0) , - D cosH " CB = = cos 0: as iode patet in B, quum nempe nt = 0, fore 0 = 0. Pro plerea d ' = 0; et consequenter nt = A - E sin 0 ( 0 ). Ad haec: ex ( 0 ) et ( o' ) habemus al 1-8 ) 1 +ECOSW & + cosa = a ( 1 -- Ecoso), unde cost = 1 - + ECOSW atque hinc 1 - coso ( 14 € )(1 - cosa ) 1 +ECO86 ) 1 + cos ( 1- + 5 ) ( 1 - + -cosw ) 1 - t- ECOSW ex quibus emergit 1 COSW 1 fo & cos 1 + cosa 1 + cos seu tang sww ==VE tang se ( o " ). E Formulae (6) . ( o' ) et (0 "' ; determinant planetae positio nem in propria ejus orbita: nam ( o' ' ') et (o' ) dant w et D per 0 ; habetur autem per nt ex ( o " ).307 3. Possunt w et D obtineri per nt quin adhi beatur anomalia excentrica 0: ostendimus negligendo ex centricitatis potentias altiores secunda. Formula (o ) praebet Di = a *(it1-2)'vra VT GO ( 1 * & cow ) -- = 3 azV18:11 — 2£cosc + 38° cosºw — 2 82 ) : et cum sit cos * 6 = 1+ cos20 2 cumque ( 20 ) De dw = nad Visa de , iccirco ndt = ( 1-2ecosa + 12/을 & * cos2w ) da ( o " ); sumptisque integralibus animadvertendo quod wet t simul ex hypothesi evanescunt , 6 ) Ent + 2 € sing . ܘ 3 4 sin 20 ( o ) . Si pro w substituitar nt in secundo membro (o) , emer get valor w vero proximus, W =nt + 2 € sin nt 3 4 & sin 2nt ; quo valore substituto pro w in eodem secundo mem bro ( o ' ), erit308 3 w = nt to 2 € sin ( nt + 2 € sin nt $2 sin 2nl ) 4 3 4 3 $2 siu 2 ( nt + 2€ sin nt ---4 a sin 2nt ) : sed ( 27. 29º. ) , missis terminis qui continent excentrici Lalis potentias altiores secunda, ECOS ( 2€ sin nt * 3 -82 sin 2nt) = € , & sin ( 2 € sinnt 4 3 27 음 &? sin 2nt ) = 282 sin nt , &2 cos 2 ( 2ssin nt 3 2 음 er sin 2nt ) = 23 , 2 sin2 ( 2ɛ sin nt 3 -2 sin2nt) = 0 ; 4 3 igitur w=nt + 2 € sinnt +-482 siont cosnt - -s2siu2nt, seu 4 5 w = nt + 2 sin ne + sin 2nt (o " ). Resumentes nunc formulam (o), substituentesque valorem w ex ( o" ) , assequimur 5 D = a ( 1 – €2 ) (1 + Ecos [ né + 2€ sin nt+ 4 E sin2nt ])-' aí 1 - 82 ) ( 1 + E cosnt — 2 : sinnt ) = – al 1 - ) ( 1 - E cosnt + 2 sin ’ nt +$ a cos ? nt) = al 1 - 82 ) ( 1 + 32 - Ecos nt + - 22 sin nt ) :309 1 -- cos 2nt est autem sin ? nt ; igitur 2 22 Deal1 + E cos nt - cos2nt) ( " " ). 2 . 4º. Ex K ( Fig. 151 ) duc bioa perpendicula ; alterum KM in Sx ut prodeant coordinatae orthogonales SM ( = x ) , MK ( = y ) et HK ( = 2 ) puncti cujusvis H sumpti in plano orbitae planeticae; alterum KO in SN, et age HO: habebis HOK = 1,2 = KO. tangi , KO = KR . sin MRS = KR. cosb = ( KM - RM) cosb =(KM —SM . tangb) cosb ( y - x tangb ) cosb . Hinc aequatio ad planum orbitae planeticae , z =y cosb tangi - x sinb tangi ( o " "" ). 5º. Coordinati axes , ad quos referuntur y et 2, sint SY et SZ ; alter in plano eclipticae similiter ac SX, alter eidem plano perpendicularis: si ducitur in plano or bitae planeticae recta SC normaliter ad SB, poterunt x, y et z exprimi per binas po eta sumptas in ipso orbi lae plano quoad povos axes SB et SC; siquidem ( 85 ) . x = l cosBSX + cosCSX , y = u cosBSY + cosCSY , z = cosBSZ + cosCSZ . Quod spectat angulos BSX , CSX , BSY etc ; triangu lam sphaericum , cujus latera respondent 'augulis NSX , BSN et BSX , praebet ( 173. 7º. 9 ; }310 COS BSX = cosb cosk + sinb sink cos( 180°-i) = cosbcosk - sinb sink cosi ; substituto 90° + k prok , cos CSX = cosb sink sinb cosk cosi . Triangulum sphaericam , cujus latera respondent an gulis NSY ( = 90° —b ) , BSN et BSY , suppeditat cosBSY = COS( 90° —b ) cosk + sin ( 90° —b ) sink cosi = sinb cosk +cosb sink cosi ; substituto 90° + k pro k cos CSY =-sinb sink +cosb cosk cosi. Triangulum sphaericum , cujus latera respondent an gulis BSN , ZSN ( = 90 ) et BSZ , praebet cos BSZ = cosk cos90° + sink sin 90 ° cos ( 90° mi ) sink sini ; substituto 90° + k pro k , cosCSZ = cosk sini. 6º. In ordine ad planetam H , H = Dcosa , Dsinw : qui valores cum ob (0 ) et (o ') tradacantur ad je = a ( cosø — ) , x = a V1— g*sino ( 0" ) ; manifestum est coordinatas planetae x , y et z exprimi posse per a , £ , 0 , k , b , i. 7º. Angulum w computavimus (20.) a perihelio B ( Fig. 152 ) , ibique posuimus t = 0 : fac nunc ut i com putetur a data quavis epocha, et w a data recta v. gr. SA intercipiente angulum ASB ( = h ) cum SB ; w sic com putalus dicitur longitudo verà planetae in orbitae plano, h longitudo perihelii in eodem orbitae plano. Exhibebit wh anomaliam veram ; eritque adhibendum nt to c' loco nt in311 ( 0 " ), et wh loco w in duabus ( 0 ) et ( 0 '). Hac ratione, permanente ( o'), habebimus a (182) Da 1 tecosWh( ) 9 D = a ( 1 - ecos O ) , ( 0 ) nt tac'= 6 – ssing , tang) (w_h) = 1 tee -tangen ; 1 E ubi cum angulus 0 computetur a perihelio prorsus ut in (o ) , comparantes tertiam (0 *) cum ipsa ( o ") intelligimus ni to nihil esse aliud nisi anomaliam mediam . 8º. Quo pacto ex ( o) obtinuimus (o " ) , eodem ex prima (0 *) obtinebimus 3 ndt = [ 1 - 26cosWh( ) + ** cos 2 Wh( )] d'w ; sumprisque integralibus, ni + c = ~ --Zesia (w -- h ) + * ** sin 2( w -- ) : nt + c est id quod evaderet w si , abeunte S in C ac proinde evanescente & , ellipsis BMB verteretur in cir culum BEB' ; exhibet nimirum angulus nt + c circula rem uniformemque motum ( 10. ) planetae ficti H' : iccirco ( 70.) nt + c dicitur longitudo media veri planetae H in orbitae plano. Constans c est id quod evaderet w sub hy pothesi < = 0 ac t = 0 : vocatur longitudo epochae. Ulti ma formula dat w = nt tocto2esin Wh( ). 3 4 82 sin2(w_h) (o " ) :312 si substituitur ni +c loco w in secundo membro ( o " ) , emerget valor w vero proximus ; quo valore substituto pro w in eodem secundo membro ( o " ), assequemur ( 3º. ) 5 w =nt +c + 2€ sin (nt to - h ) + şin2(nito - h) ( o *?"). Quisque videt anomaliam mediam aequari longitudini me diae imminutae longitudine ( 70. ) perihelii: hinc nt + = nt + c - h ; et c' =c -h. 99, Substituentes valorem w ex ( 0 " " ) in prima (0* ) , deveniemus ( 3º . ) ad 82 D =a [ 1 +* & * – Ecos( nt + c - h ) 3 cos2(ne + c-— " )] ( o " " ) 381. Quaecumque sit luminis et caloris natura; quo niam a sole effectus 'proficiscuntur similes illis, quas igni ta corpora gignunt, ut est lacere, calefacere, rarefacere, ideo solaris massae substantiam existimamus ignitam : dico igni tam; neque enim e solo et puro igne componitur sol , quemad modum ex maculis, quae in ipso observantur , quisque col. ligere potest. Plures ex hisce maculis primó videri incipiunt in me dio solis disco; aliae eodem dissolvi et evanescere cer nuntur; plures saepe in unam confluunt; una saepius in plu res diffluit: per varios praeterea continuatos annos maculae nullae conspici potuerunt; per alios vero postea plures su binde apparuere, quae varias mutationes subierunt. Hinc falso censuerunt nonnulli maculas istas esse veluti planetu las, qui circa solem revolvuntur ad modum satellitum jovis. Maculae fuere, quae duas ac tres periodos absolverunt singulae spatio 27d. 124. 20' circiter , lantumque temporis313 per solis superficiem nobis obversam transeundo impen derant , nempe 134. 184. 10' , quantum in parte aversa quum post solem latebant. Quaedam igitur maculae habent regularem motum; non habent autem a se ipsis, cum ex di clis non sint corpora fixa, constantia et regularia: habent ergo a molu solis; dum nempe rotatur sol circa proprium axem. Cum vero solis motu deferuntur, vel in ejus superficie vel non longe versari debent; si enim longius abessent, ea dem macula haud videretur in superficie solis per totum suae semiperiodi tempus. Motus macularum e terra spectatus apparet fieri ab ortu in occasum ; ergo revera fit ab occasu in ortum: spe ctator enim sub sole constitutus inferiorem ipsius solis se micirculum videt. Rursus , quo tempore macula describit 360° progreditur tellus in orbita sua ; periodus igitur ob servata major erit vera periodo: Sic m numerus grada um, qui percurruntur a terra dum macula conficit360º, exsistet 360° + mad 360° ut tempus ( = 274 124 ' 20' ) revolutionis apparentis ad tempus ( =x ) revolutionis ve rae. Ex hac analogia eruit Cassinus 15d, 14h. 8 . Si macularum molus conficeretur juxta eclipticam jaceret solis aequator in plano eclipticae, nec unquam la titudinem suam mutarent maculae : cum igitur latitudinem mutent , dicendum quod solaris aequator sit ad eclipti cam inclinalus : haec inclinatio est 70. 20 '; intersectio insu per planorum eclipticae et aéquatoris solaris efticit angu lum 80° 21 ' cum linea aequinoctiorum . Nihil immoror in macularum natura expendenda; utrum enim eae sint scoriae, fuligines aut exhalationes quaedam instar nubium ab ipso sole efformatae, vel potius solidae nuclei solaris partes, quas aliquando non contegat ignea substantia nucleum ipsum circumdans, vel aliud quodcum314 seu que superficiei solis adhaerens , omnino ignoramus. Dao. tantum hic annoto: 10. maculas apparere nigras in media sui parte, versus limbum vero extimum tenui aliqua qua si penumbra seu potius nebulositate cinctas :

2° , praeter maculas quandoque observari in sole etiam faculas, puncta quaedam lumine vividiore splendentia quam caetera solaris disci puncta.

382. Maculas in marte observavit Hookius anno 1666 ; quae maçulae situm mutabant, nec restituebantur nisi post certum tempus: easdem observarunt Cassinus, Hugenius, a liique. In jove pariter et saturno yariae maculae et quae dam veluti zonae detectae sunt, quae restituebantur at que apparebant temporibus diversis. Venus quoque et mer curius videntur interdum prae se ferre partes aliquas ma gis minusve nigricantes; quod tamen multo difficilius in mer. curio observatur ob ejus exiguitatem, et ob magnam solis proximitatem : porro apparens mercurii diametervariat ab 5“ ad 12 " ; apparens autem veneris diameter pertingit ad 61". Ex macularum motu collegerunt astronomi motum mer curii, veneris, martis, jovis et saturni circa proprium axem ; analogia vero ducii' eundem motum caeteris etiam planetis tribuerunt. Mercurius et venus volvuntur circa suos axes eodem ferme tempore, quo tellus circa suum: mars rotatur intervallo 24h . 39' 21 " sider; axeosque inclinatio ad eclipti cae planum est 30° 18' cireiter: jupiter intervallo g . 55' 50 " sider; habetque rotationis axem perpendicularem zonarum directioni: saturnus intervallo 104. 18' sider; axemque ha bet itidem perpendicularem zonarum directioni; quae zonae exsistunt parallelae plano ( 366) annuli. 383. In lunari corpore tot sunt ac tam conspicuae ma culae ut nemo de illis dubitare possit, sed multo plures et grandiores offerunt telescopia: et quopiam luna eandem sem per faciem ( praecisa videlicet libratione ) nobis obvertit ; profecto ejus rotatio circa proprium axem eodem tempore conficielur, quo revolutio circa tellurem .315 Dixi, praecisa videlicet libratione: cum enim lana cir ca suum axem aequabiliter convertatur, complures vero su beat velocitatis vicissitudines ( 80: 81.) in sua circa tellu rem orbita ; necesse est alterum ex his binis motibus inter dum ab altero notabiliter dissentire. Sic fiet ut, quum sub eodem tempore absolvit luna et integrum v. gr. quadran tem in sạa circa tellurem orbita, et plus vel minus quam quadrantem in sua circa axem conversione, novae in orien tali vel occidentali limbo maculae nobis reddantur conspicuae: huc special ea , quae dicitur libratio in longitudinem . Quia insuper axis rotationis, sibi parallelas , non est orbitae plano accurate perpendicularis, lunares poli alterna tim promovebuntur aliquantum in hemisphaerii visibilis in teriora: huc pertinet ea , quae dicitur libratio in latitudinem.

384. Si nos in luna, aut in marte, vel in alio plane ta locaremur, et inde terram nostram optimis telescopiis intueremur, certe globus terrestris videretur " lamine solis illustratus instar lunae vel alterius planetae; atque in hoc globo apparerent partes quaedam magis clarae ac lucidae, et partes aliae subobscurae ac digricantes: siquidem fieri debet ut inter sinus et cavitates montium lumen facile amittatur; so le namque cavitates illas oblique irradiante, et ejus lumi ne attingente tantummodo limbum externum , profundiores partes manebunt obscurae. Quare valles, quae inter eos mon tes subsident, veluti maculae tenebrosae apparebunt, et in gentes ipsarum tractus instar fasciae cujusdam obscurae; pro diversa autem positione tum planetae respectu solis , tum terrae respectu planetae, diverse res apparebit. Rursus, quo. niam tellus in diversis locis materia magis vel minus candi cante quam in aliis constat, partes illae vividiore lunine ful gebunt; ac proinde aliae subobscurae ac tenebricantes vide buntur. Cum itaque planetas contemplantes videamus simi lia phaenomena, cumque nihil obstet, quin easdem causas ex jisdem effectibus inferamus, dicendum est montes ac valles in planetis haberi.316 Ad lunam speciatim quod attinet, si lunare corpus non constaret partibus eminentioribus, nec eminentioribus tantum sed montibus et vallibus, linea recta in luna dimi diata ( 374) aut curva regularisque linea in reliquis phasi bus semper disterminaret confinia laminis et umbrae; ve rum ubi tubo optico inspiciatur lana, confinium illud appa rebit dentatum multisque anfractibus intercisum . Quin etiam in tenebrosa lunae facie prope dictum confinium dantur areolae quaedam illustratae formam figuramque suam paul latim cum lumine crescente mutantes, donec parti illumi natae omnino annectantur et cum locis vicinioribus lumi ne prorsus imbuantur; mox novas iterum in tenebrosa fa cie orientes areolas cernimus , et in locum antecedentium succedentes: contrarium accidit in phasibus lunae decre scentibus; lucidae nimirum areolae , quae nunc confinio et parti illustratae adhaerent, paullatim avelluntur, et con finio relicto diutius tamen conspiciuntur. Quod fieri non posset nisi eae areolae essent partibus reliquis altiores ; montium videlicet vertices, qui citius a sole attinguntur , seriusque ab ejus lumine deseruntur. 385. Quoniam luna, caeterique planetae telluri nostrae similes sunt quatenus habent montes ac valles , quaeritur ulterius utrum similes etiam sint quatenus atmosphaera cingantur. Conceditur communiter quoad planetas, et col ligitur ex phaenomenis diversis :- lunam quoque sensi bili praeditam esse atmosphaera voluerunt nonnulli . Ve rum si luna cingeretur sensibili atmosphaera , deberet in occultatione stellarum ( quum nempe luna sese inter stel las et nostros oculos interponit ) deprehendi mutatio ali qua coloris in stellis; pallerent enim , eoque magis quo profundius immergerentur lunari atmosphaera, donec to tum ipsarum lumen tandem interciperetur : atqui tamen momento quasi temporis absque praecedente sensibili mu tatione fit earum occultatio. Accedit quod, extante ejus modi atmosphaera , non posset extrema lauae ora tam 1317 V praecise circumscripta spectari quam re vera spectatur (ni si notabiles almosphaerae terrestris mutationes variatio nem inducant) sed eyanido quodam lumine finiretur, gra dalim scilicet solis lumine desinente . 386. Absolutam fixarum aberrationem explicavimus in Optica ( 165. 140. 15° etc.) perannuum telluris molum pro gressivo lumiois motui combinatum ; et quae respiciunt ejus moại phaenomenon , ibi tradidimus : restat ut hic formulas eruamus quoad aberrationem (330) in latitudinem ( = dD ') , in longitudinem ( = dA ) , in declinationem ( = dD ) , in ascensionem rectam ( = dA ) . Ac 1º, sit astrom in H ( Fig. 153) , ejus projectio su per plano eclipticae in K, tellus in T, sol in S: per Ket S duc rectam KS ; in quam ex T demitte perpendiculum TF , quod producator versus m : in orbita terrestri ( ha betur in praesens pro circulari ) sume punctum m' ila vici num puncto T ut, ducta ním parallela ad KS, triangulum Tmm considerari possit tanquam rectilineum . Triangula similia Tmm ', FTS praebent ' mm ' Tm ' TF ST sin FST ; unde mm ' = Fm '. sin FST. Exhibente Tm ' absolutam telluris velocitatem ; quemad modum Tm' respondet absolutae aberrationi, sic mm ' exhi bens velocitatem juxta SK respondebit aberrationi in lati Ludinem : erit igitur ( 165. 14°. k. 159) sin ( dD ' ) seu dD' = mm veloc, luminis sin HFK = Tmi veloc. luminis sinFST. sin HFK . Habemus ( 165. 16º. ) Tm veloc. luminis veloc. terrae veloc. luminis318 sin 20 ” : insuper ( 378. 30. ) HFK = HTK = D ' ; et deno tante A " longitudinem solis , positoque in X pancto aèqui nocti vernalis , FST = FSX - TSX = A- ( A - 180 ° ) = 180° — ( A " - A' ). Propterea dD = 20 " sin D'sin ( A " - A ). 2° Ex iisdem ( 10.) triangulis Tmm ' et FTS proflait Tm Tms' SF ST = cosFST ; ac per consequensTm = Tm '. cosFST : ubi lineola Tm repraesentat telluris velocitatem normaliter ad planum verticale HKS. Cum angulus HTF censeri ( 378. 30.) debeat = 90°, si per H ducitur recta parallela et = Tm , ea apud T apparebit ( 165. 140. k ) sub angulo Tm Tm HTH sin HTF veloc luminis veloc. lumiois In coelesti sphaera per eclipticae polum P concipe binos circulorum maximorum arcus, alterum transeuntem per H , alterum per H ': intercipient eclipticae arcum K‘K " ; qui ar cus manifeste erit aberratio in longitudinem . Iam vero HH' spectari potest tanquam arcus admodum exiguus circuli pa ralleli plano eclipticae : ex cujus circuli centro Q ductis QH et QH' ; cum exsurgat angulus HQH' aequalis angulo KÄSK" , bini HH' et K'K ' exsistent similes inter se; erit que HH ': K'K " = QH : SK ' ( = 1 ). Hinc K'K'= HH' QH Tm QH. veloc. luminis Tm' veloc , luminis X cos FST cos HK veloc. lerrae veloc. luminis cos FST cosHK319 seu ( 19.) dai 20" cos ( A " - A) cos D '

3º. Ad aberrationem dD quod pertinet: sumpta prima (o" : 330), et habita D. pro functione variabilium Á, D ' ( & est constans ) , erues ( 27. 23 ° . ) dD = cose cosD' — sinesin D'sin A ' cos D dD ++sinscos4 cosD'dA ': cos D eliminato sinĄ per eamdem primam ( oʻ. 330), COše sinDsinD' sine cosA' dD cosD'dA . cosDcosD cosD dD ' + Substituendi valores dD ' et dA'ex ( 10.) et ( 20.). 4º. Quod vero spectat ad aberrationem dA; ba bita A pro functione binarum A' et D ’ in quarta ( 0" . 330.) , emerget sing cos - A DA COSA COSA (sinAsinA ' + - COSECOAcOSA ")dA COSA'cos -D.dD ': et quia , ob tertiam ( o " . 330), cosA cosD cos - A COSA ' cosD cos'D ' COSPA cos - D

ideo

DA cosD cosD (sinAsinA ' + cosecosAcosA'DA - sinecos A ' dD . cos2D Substituendi pariter dD ' et dA ' ex ( 10.) et ( 20. ). 50. Valores dD et dA traduci queunt ad simpli ciorem formam ope ( Fig. 137) anguli PSP ( = f ): P de notat polum aequatoris QQ , P polum eclipticae EE ' , S astrum , 0 punctum aequinoctii vernalis. Obtinent320 PP'S = HE - OE - HE = 90° — A ' , P'PS = Q'o + OC = 90 ° + A , PS = 90° –D , PS 90° D , PP' = Triangulum itaque sphaericum SPP' dabit ( 173, q'". q'.9 ) sin( 90° — A' ) sins sinf = sin( 90°-D) cosA ' sine cosD COSE cos( 90° — D) cos ( 90° -- D' ) cost = sin ( 90° — D ) sin ( 90 °D' ) COSE siad siuD' cosDcos D , cosf = sin ( 909 7. A ) X sin ( 90 ° — A ') cose — Cos ( 90 ° - + A ) cos ( 90° — A' ) = COSE COSA COSA ' + sinA sinA' . His positis, valor dD traducetur ad dD = cosf dD' + sinf cosD'dA 20" [ cosf sin D sin ( A " -A ) -sinf cos(A " — A' ) ] ; valor autem dA ad dA cosD'cosf dA cosD sinfdD ' cosD 20 ' [ cosf cos{ A" A') + sinf sin D'sin( A” — A ')] . cosD321 Obtinet aberratio etiam quoad coelestia corpora in mota posita , nimirum quoad planetas , cometasque : sed haec hactenus, 387. Satius erit alia quaedam sabjicere in ordine ad stellas, ad cometas, ad planetas secundarios: Ac 10. mullae sunt stellae, quae telescopio inspectae inveniuntur duplae ; resolutae videlicet in duas veluti componentes stellas: inter dum resolvuntur in tres etc. D. W. Herschel recensuit am. pliqs 500 stellas duplas, quarum mutua distaptia < 30 " : ejusmodi stellarum catalogum pene quincuplicem fecit D. Struye; alii adhuc auxerunt. 2º. In stellis duplis non paucis ( vocantur specia tim binariae ) variat et mutua componentiam distantia , et positio lineae qua componentes ipsae junguntur; bae varia tiones observantur fieri longe aliter ac importaret paralla xis annua ex motu telluris in sua orbita circa solem; fiunt e nim perinde ac stellarum binariarum altera relativo atque elliptico motu deferretur circa alteram occupantem ellipseos focum ; adeo ut locorum observatorum consensus cum locis computatis in respondente ellipsi sit certum indicium gravi tationis dominantis apud singula binariarum stellarum sysle mata. Subjungimus tempus periodicum , semiaxem transver sum et excentricitatem relate ad quatuor stellas binarias : nomina stell. , tempus period. semiaxis transv . excentr. w virginis 628, ann . 9000 12 " , 090 0 , 83350 ; O coronae 286 6000 3 , 679 0 , 61125 ; castor 252 6600 8,086 0. , 75820 ; & ursae 58 2625 8,857 0 , 4164 . 21322 30. Sunt stellae duplae; quae , dum altera volvi tur ( 2 ) circa alteram , observantur devehi simul communi molu versus quasdam coeli plagas : sic v. gr. binae stellae constituentes sexagesimam primam cygni , etsi permanent in mulua distaatia quindecim circiter secundorum , singulae tamen in coelesti sphaera dimotae sunt quatuor minutis pri mis et viginti tribus secundis e loco quem quinquaginta sal lém ab hinc annis tenebant; adeo ut utraque habeat motum annuum 5 % , 3. In pluribus quoque stellis simplicibus obser Varunt astronomi progressionis motum ad quasdam coeli partes : le cassiopeae exhibet progressam annuum 35 , 74 ; maximum videlicet progressuum hactenus observalorum in stellis simplicibus. Nunc si isti motus admitterentur esse mere apparen les , non alia suppeteret ratio eos explicandi nisi per quen dam 'translativum motum totius systematis solaris. Transfe ralur sol ab S ad S ( Fig. 154') spalio centum v . gr. an. norum. Stellae A et B, quae ex S videbantor in punctis a et b sphaerae coelestis sub angulo asb ; ex S' videbuntur in a et b sub augulo a'S'b': est aʻS'b' > aSb ; iccirco A et B magis inter se remolae apparebunt ex Squain ex S. Hinc novum genus oriretur parallaxeos , quae posset appellari se cularis: et cum stellae videantur carere apnuá parallaxi seq. sibili , profecto SS' foret immensum major quam terrestris orbitae diameter. Uicumque se habet SS' ; quoniam terre stris orbita spectanda est iostar puncti relate ad stellarum distantiam a nobis, facile intelligimus quod, sole obtinente punctum S, ibi sese interseca buut omnes luminosi radii per quos cernimus stellas; et obtinente punctum S ', sese inter secabunt in S' . Determinato igitur puncto intersectionis S , seu ejus ascensione recta et declinatione, per binarum stella rum motus, certe illud idem semper habebitur intersectio nis punctum, seu eadem ascensio recta eademque declina tio, quum ad istiusmodi determinationem adhibentur alii al que alii binarum quarumcumque' stellarum motus. i323 Sit itaque P ( Fig. 155 ) polus aequatoris 00'; O punctum aequinoctii vernalis; aa' progressus unius stellae , bb alterius, ut ha et ah exhibeant datos motus stellae a in ascen. sione recta et in declinatione, kb et bk consimiles motus stel lae b: productis circulorum maximorum arcubus aa et b6' donec concurrant in C, liquet praedictos radios luminosos conventuros in aliquod punctum rectae lineae communis duo bus planis aa' ... et bb' ; adeo ut determinatio puncti, ubi sese intersecant ii radii, traducatur ad determinandam ascensionem rectam (( = OD ) simolque declinationem ( = DC ) puncti C. In triangulis rectangulis aa'h , bb'k data sunt Jatera ah et ha' , bk et kb' ; innotescent igitur anguli haa', kbb': datae sunt insuper declinationes aH et BK; propterea in iriangulis rectangulis aHR et bKQ cognoscentur latera HR et KQ , itemque anguli apud R et Q: datae sunt etiam ascensiones rectae OH et OK; hinc scietur HK , et consequenter KR = AR - HK , RQ = KQ - KR : in tri angulo RQC, cum cognoscantur anguli CRQ et CQR néc pon latus RQ, innotescet quoque latus CQ: proinde ex trian: gulo rectangulo QCD, ubi cognoscimus latus CQet angu lum .CCD, habebimus declinationem DC puncti C; babebi mus QD , undeejus ascensio recta OD = OK + KQ + QD. lam vero diversi obtinentur valores OD et DC prout ad eos determinandos adhibentur motus diversarum stellarum, uti videre est apud P. Piazzi ( Lez. elem . di astron . tom .' 1 . pag. 219 ) : non sunt 'ergo isti motus censendi mere appa reótes. Habent nimirum plures stellae ( probabiliter omnes ) proprios et suos ' motus: et quoniain sol est una e stellis , ipse quoque habebit verisimiliter proprium et soum ' pro gressionis motum simul cum planetico systemate versus quandam coeli plagam, subsistetque secalaris parallaxis una cum propriis stellarum motibus. 40. Mutationes quaedam interdum deprehenduntur in stellis: sunt nonnullae, quae aliquando novae oriuntur ;324 aliae, quae a veteribus observatae nunc frustra quaeruntur: celebris est illa, quae anno 1572 in cassiopea observata fuit, quaeque cum initio caeleras,omnes mole,ac splendore su peraret ita paullatim decrevit ut post 16 menses evanuerit. Stellae quaedam ( dicuntur periodicae) per vices apparent , idque statis temporibus : sic v. gr. stella o in constellatione celi, suam absolvens periodum spatio 334 dierum, maximum servat splendorem per 15.circiter .dies , seque tunc exhibet interdum veluti stellam secundae magnitudinis; decre scit deinde per tres fere menses donec prorsus evanescat ; manet invisibilis per 5 circiter menses; prodit iterum , ejus que splendor augetur per tres alios periodi menses. Forsan stellae aliquae magnum sui luminis decrementum quandoque patiuntur, uti vesuvius noster non semper eodein modo aestuat atque ardet: si ita est, intelligi poterit cur quaedam stellae intereant, et exoriantur aliae. Fortasse lentissima circa proprium axem rotatione diu nobis obver tunt lacidam sui partem , tum perennes quasdam maculas , parle illa lucida nonnisi post longissimum tempus reversura. Periodicae speciatim stellae aliquam forte superficiei suae portionem igne saltem notabili destitutam constanter habent, simulque tempore non adeo magno integram circa proprium axem rotationem absolvunt.

388. Venio ( 387. ) ad cometas: ac

1º. consentiunt cometae cum planetis in servandis keplerianis motuum legibus; eadem proinde est utrobidem motuum causa, nempe gravitatio universalis. Consentiunt quoque in eo quod ma luautur lumen suum a sole, et fortasse etiam in eo quod, in suis orbitis circa solem delati, convertuntur circa proprium axem.

• Notelur illud: tertia Kepleri lex fluit ex alia generaliore, quod nempe areae descriptae eodem tempore in diversis orbitis sunt in subduplicata parametrorum ratione: colligitur ex dictis: ( 50. 150: 57. 5º. 69. 70.). Porro ellipseos et hyperbolae parameter est tertia geometrice proportionalis post axem transversum et axem conjugatum.325

2º. Discrepant cometae a planetis in eo quod per onnes coeli plagas ( 302: 366 ) quaquaversus liberrime excurrant describendo generatim orbitas plurimum oblongatas, ut ejusmodi orbitarum arcum soli proximum liceat ( 57.3º. ) sumere pro parabolico. Certe, etsi cometarum motus prima fronte sunt maxime implexi, adhuc tamen loca observata et loca determinata ex hac theoria parabolica mire concordant. Discrepant quoque in eo, quod atmosphaeris cingantur immensum majoribus, et longissimas interdum caudas emittant. D'da 30. Habemus ( 50. 8°. ) dt = C. . Sed ( 50. 14° 63) D = P. 1+ COSW р 2cosa w ( 8 ) ; p²? dw igitur dt = = 4C cos4 w d} ಬ 2C cos cosa pa d tangs w = 2C cosaw pe (1 + tanga odtangiw ; et consequenter 20 tang ? ) tang + 3 g" ) . pa C Ponatur = n : denotante f vim centralem (3 ) v2326 in distantia D = 1 , cum obtineat ( 50 , 15 °.) - = р na( ), , cumque etiam ( 57. 7 ° : 380. 10. ) р 2 41 % a3 T2 = n? a?: consequitur n' fore angularem me diamque velocitatem planetae habentis semiaxem transver sum P 2 Sit a" semiaxis transversus orbitae v. gr. terrestris et n" angularis mediaque velocitas telluris; erit n'a ( 2 ) = n" a " ), unde n " a " Va" 2c n' na" va" , et ( 5 " ) , pa V2 2 V 2 VP P 2 40* Designent D'et D" binos radios vectores ; W ' et w ' respondentes anomalias; ò angulam interceptum ipsis D'et D " ut sit a' - W = : erit ( 30.8 ) D cos D " cos į lô + ) cos W cosa' coss sin o tang iw . Hipo327 cos fo - V D D' D'Y tang kw cos į o sind (8 '"').

5 ° * Ex ( 5'"') profluit cos į8 V. D ' D ' sino 1 — cos We cos? į c' propterea D seu (30. g .) P D'D ' 2 cos2 { " D ' cos w 1 P 2 COS > cos ? 0 - VD

)

sino unde D' 2/2 = (8 " ) cos ?o- V D D 1+ sin { o 6° * Sit $ ( Fig. 144 ) sol ; T tellus, cujus radius vector TS cognoscitur ; H - cometa , et K ejus projectio in orbitae terrestris plano QTSE. Determinata elongatione ( 372 ) STK, itemque latitudine geocentrica HTK, fingatur pro lubitu valor ( = 9 ' ) distantiae KT: ex triangulo KTS habebimus latus KS angulosque TKS , TSK : ex trian.328 HK ( gulo rectangulo HTK latus HK ; ex triangulo rectangolo HKS latitudinem heliocentricam HSK ( = ) radiumque ve ctorem SH ( =D' ) ; ex altero duorum angulorum TKS , TSK heliocentricain ( 372 ) cometae longitudinem ( == B ). Quod in ordine ad unam telluris et cometae positio nem est q' , d , D ', B , in ordine ad aliam positionem sit G ", d' , D ’, B ": ex respondente elongatione, latiladine geo centrica et distantia ficta q " pariter obtinebimus d' , D " et \beta ". Exhibente nunc P ( Fig. 155 ) polum eclipticae 00' denotent Ha et Ka" latitudines heliocentricas « et a' : quo niam in triangulo sphaerico Paa" data sunt latera Pal= 90° — ) et Pa" 90 ° -- á ) simul cum angulo ala' B ' - \beta '), cognoscemus latus aa " seu ( 40 ) an gulum à; et consequenter (5º.3" ) distantiam periheliam ? binasque (40. gʻ" ) anomalias wet w ': inde vero et positio perihelii in cometae orbita, et respectiva ( 3º. g. ' ) ten pora é et l'; quorum temporum differentia debet congrue re cum intervallo primae ac secundae observationis. Quod si non congruat, mutandi erunt valores ficli q el q” in no vos a veritate minus abhorrentes donec ejusmodi assequa mur differentiam i' - t'i quae cum dicto lemporis interval lo accurate consentiat. Res tamen non fiet certa nisi fingitur tertius valor q' " quoad tertiam telluris et cometae positionem a duabus primis positionibus diversam , eruiturque respondens tempus t '" , ut dispiciatur quantus sit consensus differentiarum t" - tett" — t' cum respectivis observa tionum intervallis etc...

7 ° #. Determinato ( 6º. ) angulo Pa'a in triangulo sphaerico aPa" , cognoscemus in triangulo sphaerico rectangu lo Ka'R praeter latus Ka " ( = " ) etiam angulum Ra “ K : binc innotescent latera a'R et KR, angulusque interceptus KRa ' ; seu distantia cometae a nodo; situs nodi in eclipui ca , et inclinatio orbitae ad ipsaai eclipticam . 1329 Haec innnisse satis sit de parabolico cometarum mo tu, ad quem definiendum multiplex exstat methodus: cae terum ex tribus observationibus quibuscumque possunt qui dem sine ulla attentatione erui veri valores , q'at q' cum reliquis omoibus, quae parabolam determinan !; at aequatio inde profluens est tam alti gradus tamqne implexa , ut in praxi nullam habeat usum.

8º. Nonnunquam in majoribus a sole distantiis orbita ad axem accedit, et a parabola degenerat in ellipsim. Sic cometa v . gr. anni 1680 et 1681 ex Halleyi compu tatione aliquanto accuratius orbitae ellipticae, etsi admodum oblongatae, quam parabolicae satisfecit : et attenta tertia Ke pleri lege , tempus periodicam ipsi Halleyo prodiit ando ruim 500; sed id valde incertum est : cum enim arcus el lipsium satis oblongatarum , quarum aliae aliis sint v. gr. duplo, decuplo, centuplo etc. longiores, ad sensum non dif ferant prope verticem neque inter se , neque ab arcu pa rabolico, certe vel minimus observationis error totam rem plurimum curbat . De reditu cometae securius affirmari ali quid potest ex aequalitate orbitae a pluribus cometis descri ptae, et aequalibus temporis intervallis: si enim iteratis vi cibus eandem proxime orbitam per aequalia temporum inter valla cometa descripserit , argumento erit cometam illum esse unum eundemque; praesertim ubi caetera quoque consentiant. Tales sunt cometae annorum 1456, 1531 , 1607 , 1682, ut jam olim animadvertit Halleyus nullae quoad primum exstant observationes accuratae; reliquorum orbitas paullu lum a se invicem abludere constat ex halleyana tabula, ubi discrimen nusquam binos gradus deprehenditor attingere, el plerumque intra minuta aliquot contineri: nec ita multum dif ferunt intervalla temporum; sunt enim annorum 75 , vel 76: exigaum autein orbitarum, et majus aliquanto temporum pe riodicorom discrimen a mutua coelestium corporum gravita tione oriri facile potuit. Re vera is ipse comela regressus anno 1758 hanc mutuae gravitationis theoriam mirifice con 1330 1 O firmavit: siquidem , computatis aberrationibus ex jovis et sa Luroi actione, D. Clairaut immensa calculorum arithmetico rum congerie definivit retardationem reditus per 20 meo ses , praenunciaviique in antecessum , adjiciens obtenues quosdain serierum terminos nondum calculo submissos , et ob neglectas minorum planetarum actiones, superesse dubiam de uno illius temporis mense: vaticinium autem comproba vit eventus. Hic idem cometa nobis iterum apparuit versus medium annum 1835 . Reversiones periodicas quoad binos alios cometas ex an terioribus eorum observationibus perspicuas fecerunt, D. Eneke quoad alterum anno 1819, D. Biela quoad alterum anno 1820 : cometa D' . Encke describit ellipsim admodum excentricam spatio dierum 1207 : cometa D '. Biela ellipsim 3 mediocriter excentricain spatio annorum 6 4

90. Nollae in comelis visae sunt phases planeticis similes, elsi angulum salis oblusum efficiebant rectae jungentes cometam cum sole ac tellure. Hunc phasium de fectum ex eo patamus oriri, quod minime cernimus solidum comelae nucleum , sed crassiorem almosphaeram, qua undi que cingitur. Porro immensam cometarum ( 20. ) atmosphae ram, antequam ad solidym nucleum pertingat, excipit cras sior sensim alia solaribus radiis sic illustrata , ut nucleum ipsuin haud sinat aspicere: ea imbuitur solis lumine; et ob ingentem refractionem ac reflectiones plurimaş umbra arcta. tur mulium ad plagam opposilam , immo et tola tollitur crepusculo perpelio ac vivido. Eidern forsao crassiori atmosphaerae adscribendum, quod comelae saepius appareant nobis sub irregulari forma, va riasque videantur subire mutationes.

10.• Quod ad cometarum caudas pertinet, impri mis eas non dubitamus ( ait Boscovichius in dissert. de co met. n. 70 et 91 ) ortas esse ab exhalationibus, quae ex ipso cometa, ejusqne atmosphaera erumpunt, et ah almo331 soli oppo sphaera solis in solem gravi truduntur sursum nostrorum fumorum instar ... . Haec sententia, quae jam communis est, causam , profert, quae et vere existit, et phaenomenis omnibus caudarom satisfacit. Patel nimirum cur in acces su ad solem augeantur perpetuo, et post appulsum ad pe rihelium longiores sint quam ante appulsum essent ; aucto nimirum calore, quo vapores et exhalationes excitantur, et aucta densitate atmosphaerae solaris, quae eos sursum pro trudat. Patet cur semper dirigantur in partes sitas: nam ut nostra haec atmosphaera fumos nostros levio res propellit ad partes oppositas centro terrae, in quod gravitat; ita solariş atmosphaera vapores cometae propel lit ad partes oppositas centro solis . Patet cur declinent a directione soli opposita semper in eas partes , quas come. ta relinquit , et cur haec declinatio sit mullo major in minore distantia a sole : nam si cometa staret dum fumus ascendit, columna fumi appareret in ea recta , quae centro solis opponitur: at si progreditur interea comela , columna fumi dirigetur a loco, quem nunc cometa occupal, ad lo cum verticaliter imminentem illi puncto , in quo cometa erat quum ex eo egressa est extreina pars caudae.

11 ° . Si ita se habet, dicendum erit solis atmo sphaeram lumini reflectendo imparem diffundi longissime ul tra eam solis atmosphaeram, quae lucem reflectit, parit que lumen zodiacale ( candorem videlicet quempiam , splen dorem ve viae lacteae similem , qui tempore eclipseos 10 talis quandoque cernitur circa solem sub forma ingentis cujusdam rhombi, binis veluti cuspidibus in oppositas coe li parles versus zodiacum procurrentibus ; quarum cuspi dum alterutra aliis quoque temporibus sese nonnunquam offert videndam in zodiaco vel ante solis ortum, vel post ejus occasum: certe, oblongata zodiacalis luminis forma si mul cum ipsius positura in aequatore solari satis evincit ( 381 : 54 ) illod gigni per solis atmosphaeram reflectendae laci parem ) , ibique etiam esse densiorem fumis copielae:332 út enim demonstravit Mairanius in sua borealis aurorae theo ria ex lumine zodiacali, solaris atmosphaera luci reflecten dae idonea saepe infra venerem continetur, vix unquam pro tenditur ultra tellurem ; cum tamen cometae in maximis quo• que a sole distantiis caudas interdum emittant admo dum longas.

12º. Sulci quidam oblongi , seu ' tractas nigrican tes in cometarum caudis aliquando apparent: forsan oriun tar ex crassiore famo emisso ab aliqua ipsoram cometarum pinguiore parté. Si ita est, revoluto ( 10. ) cometa circa pro prium ' axein , sulcus comitabitur motum ejus partis , unde ille fumus erumpit; et magna exsistet phaenomeni utilitas ad stabiliendam cometarum rotationem circa proprios axes.

389. Restat ( 387 ) ut de planetis secundariis aliquid sub jungamus. Ac 1º. moveantur Met Z ( Fig. 134 ) in or bitis circularibus circa commune centrum C, ambo in ea dem directione, v . gr . alterum ab Z versus Z ', alterum ab M versus M'; sintque T ac T ' eorum tempora periodica , et T < T. Apparentibus M et Z observatori C in con junctione, ut iterum appareant in conjunctione v . gr. apud M' et Z, debebit M percurrere totam snam orbitam , ac praeterea partem MM' dum Z percurrit arcum ZZ'. Deno tent A , A ' sectores MCM ', ZÇZ'; et B, B integras cir culorum areas: tempus vero, quod elabitur ab una conjun ctione ad alteram , quodque dicitur synodicum , exhibea tur per S. Erunt B S - T B А A' ܣܤ T A > S B T et conscquenter S - T T S T.333 que s Quoad lunam v. gr. M, et Solem Z specie motum circa tellarem C, tempus synodicum S vulgo dicitur lunatio, est : 29d. , 530588715; tempus vero ( 81 : 302 ) perio dicam T = 27 d., 321661418. 2º. Lupa vel conjuncta, vel opposita soli , quum nempe obtinet elongationem vel = 0º, vel = 180°, dicitur esse in syzygiis; quum autem obtinet elongationem 90º, dicitur esse in quadraturis. In conjunctione obvertit nobis ( 374: 376 ) hemisphaerium obscurum; et habetur novilu nium: in oppositione hemisphaerium illuminatum ; et ha betur plenilunium: in quadraturis apparet dichotoma , seu dimidia sui parte splendens. 30. Tellus in aversam semper a sole plagam proj. icit conicam umbram ; cujus umbrae dimidia pars eminet super eclipticae plano, dimidia deprimitur ipfra. Ad haec: devolante r semidiametrum solarem, r' semidiametrum terre strem, k minimam distantiam inter solem ac terram ; cum exsi stat r: r' =121834: 1057, cumque k sit leucarum 38570739 ( sermo est de leuca , quae continet 2000 hexapedas) , profecto terrestris umbra habebit ( 151) longitudinem saltem leucarum 1057 120777 38570739 = 337558,235; et consequenter sese protendet ultra lunae regionem : si quidem maxima lunae distantia a terra est leucarum 107106 . Propterea in oppositione patietur luna aliquam eclipsim, seu aliquam sui lupinis defectionem , quotiescumque lati Ludinem habet mioorem quam sit summa semidiametro rum lunae ipsius ac terrestris umbrae respondentis loco lu nae: sub hujusmodi , enim latitudine vel pervenit terrestris umbra ad lunarem orbitam in ipso lunae loco, vel sal tem utraque diameter, lunae videlicet, ac umbrae, ita cor ripitur, ut nullum intercipiatur spatium illuminatuin; quin imo spatium aliquod a luna simul et ab umbra occupatur .334 1 Inde patet car eclipses lunares siat semper omni ter restri regioni visibiles , modo luna sit supra horizontem : pendet ' enim eclipsis ab ingressu lunae in telluris umbram, quae eadem est pro regionibus omnibus ; ac proinde quae portio lunae in eam immergitur, invisibilis omnibus evadet. 4º. Ex ultima aequatione stabilita sub ‘ nº, 151 manifeste eruitur illud : si lunae et solis horizontales pa rallaxes exhibentur per p et p" , apparentes vero semidia metri solis et umbrae terrestris in loco lunae per a'el u' , erit quam proxime I u ' = p ' + p " -a' . Expressa igitur per D' latitudine lonae in oppositione, et per a " 'apparente ipsius semidiametro , patietur luna ecli psim aliquam quotiescumque fuerit ( 30) D ' < p ' + p - áta" 5º. Constat maximos quantitatum p' , p et a " valores non excedere 62' , 9" et 17' ; micimus autem ( 311 ) valor á non fit < 15' 45 ": nunquam igitur erit p + p' a' ta' ' > 63' 24" . Hinc ubi extiterit D', > 64', certe luna non patietur eclipsim. Si per 00' ( Fig. 155 ) repraesentatur ecliptica , per P ejus polus, per Ca lunaris orbita ; quoniam lunaris orbitae ad eclipticam inclinatio K Ra" est 5 ° 8' 47", facile ( 173. 11º. ) in triangulo sphaerico rectangulo Ra'K poterit definiri distap. tia inter lunam a " etnodum R respondens latitudini a" K =64. 6º. Maxima u'est ( 4º. 50 ) 46' 24": minima u'est 37 ' 20" ; siquidem minimi valores p' et p' sunt 53' 30" et 8 ” , maximus vero a' est 16' 18 " . Cum igitur a conti neatur limitibus 14' 27 et 17 ', crassitudo coni umbrosi , ubi per eam potest luna transire , major semper erit diametro lunari.335 7º. Si lunae oppositio in ipsum nodum cadit , e clipsis erit totalis et centralis , nimirum axis coni per cen trum lunae transibit. Si latitudo lunae minor est quam differentia inter binas semidiametros umbrae et Janae i psius , seu D ' < u a " , eclipsis erit totalis solummodo. Quod si fuerit D' U - a , 1 eclipsis erit quidem totalis , sed ut ajuhu sine mora. De nique :isi $ D ' > u a ", eclipses esse non poterunt aisi partiales. ativo ve " } 8º. Cum progrediatur luna'ab occasu in ortum , incipiet semper obscuratio ab orientali ipsius limbo: Ter restris quoque umbra movetur ab occasu in ortum, locitate longe ( 314 ) minore; siquidem luna proprio el suo motu quotidie percurrit '13 º circiter . 9°* Huc spectat relativa lunae orbita , necessario consideranda in eclipsium computatione: exhibeat AH ( Fig. 156 ) velocitatem solis , AB velocitatem lunae in longitu dinem, AC ( = HK velocitatem lunae in latitudinem ; re praesentabit CB absolutam lunae velocitatem in vera ejus orbita C‘B; HB ( = AB - AH) relativam lunae velocitatem in longitudinein quoad solem; KB velocitatem lunae in or bita K'B ; et haec est, quae dicitur orbila relativa, ex qua videlicet pendet computatio eclipsium : porro in eclipsium computatione assumitur lunae molus intra umbram tan quam ad sensum rectilineus atque 'uniformis. Ex formula336 tang HBK HK HB habeinus inclinationem ( = Q ) orbitae relativae ad eclipti cam ; ex formula vero HB KB cos HBK assequimur velocitatem ( =w ) in ipsa orbita relatiya. 10°#. Sit C ( Fig. 157 ) centrum et AA' diameter sectionis umbrosae AB ... in loco lunae, 00 " orbita re lativa ( 90. ) , D punctum oppositionis lunaris, CD respon dens latitudo ( = k ' ), CO' perpendiculam ex C ductum in 00 ", O’a perpendiculum ex O' demissum in CD: inci piet eclipsis quum , designante O lunae centrum , lunaris limbus continget limbum umbrae in B ; desinet quum , eunte O in O ", lunaris limbus contingei limbum umbrae ja B' ; et quoniam. CO = CO " ( utraque est summa e se midiametris lunae et umbrosae sectionis ) , erit O medium eclipseos punctum. Angulus Do'a aequatur inclinationi or bitae relativae ; et quia Do'a = DCO ' , ideo triangulum rectangulum CDO' dabit DO = CD. sin DCO ' = R' sina : et denotante & tempus, quo centrum lunae describit DO , DO k ' sing v : DOʻ = 1 : 0 = Exprimat nunc é tempus oppositionis lunaris: quisque videt mediam eclipsim responsaram tempori337 t +0 , sumpto vel superiore, vel inferiore signo, prout latitudo vel decrescit, vel crescit. Sunt quoque CO ' = CD . cosDCO' = k' cosa , 00 = COCO : et transformata 00' in tempus O' quemadmodum transfor mavimus DO'in 0, assequemur initium eclipseos ex ( 9) — b' , finem ex (1 + 0 ) +0. 110# Quoad eclipses totales proponitur etiam dea terminanda immersio limbi occidentalis apud Q ( Fig. 158 ) versus eclipseos initium; itemque emersio limbi orientalis apud Q' versus eclipseos finem . Triangulum rectangulum HCO', in quo nihil est aliud CH nisi differentia inter semidiametros lunae et sectionis umbrosae, praebet HOʻ; et transformalo valore HO' in tem pus O ', innotescet ( 100) ex ( .t + 0) — 6" momentum quae sitae immersionis, ex ( 1 + 9 + 9" momentum quaesitae e mersionis . 12°# Recta Ph dicitur quantitas eclipseos; compu tari solet in digitis, ex quibus requiruntur duodecim ad con stituendam diametrum lunarem; estque Ph CP +O'h- CO Caeterum in eclipsium computatione, praeter lunae mo tum rectilineom (99) atque uniformem intra umbram , po suimus quoque lunarem motum toto eclipseos tempore fieri in eadem circulari sectione umbrosa AB... : quae quidem etsi accurate vera non sunt; tamen jure assumuntur, cum sint veris proxima. 13º. Luna pallere cernitur, antequam terrestrem umbram ingrediatur; pallere cernitur quum emergit és um 22338 bra. Id sane provenit ( 151 ) a penumbra, qua terrestris um bra undique cingitur: porro si S ( Fig. 159 ) est sol , et r tel . lus , ut prodeat ( 151 ) conus umbrosus pBq; ductis QM et PN, quarum altera inferiorem solis limbum ac superiorem terrae contingat, altera superiorem solis ac inferiorem ter rae, determinabitur penumbra spatio indefinito MpBAN BA . 140. Umbrosum telluris conum ingrediuntur ali qui radii luminosi ab atmosphaera refracti; et quemadmo dum haec refractio ex una parte auget umbrae limites, sic ex alia imminuit umbrae intensitatem . Hi radii ad lunam pervenientes, eam tantisper illuminant: atque inde fit quod raro oculis nostris omnino subducatur luna , etiam quum plenam patitur eclipsin. 15°. Ex interpositione lunae inter solem ac ter ram in novilunio oriuntur solares eclipses. Si recta jungens observatoris oculum et solis centrum transeat quoque per centrum lunae, eclipsis exsistet centralis; eritque vel tota lis, vel annularis , prout nempe lunaris discus vel omnino contegit discum solarem, vel circa ipsum relinquit lamino sam coronam: quod si recta illa non trauseat per centrum lanae, eclipsis aniversim (5º. 6°) non erit nisi partialis . 16º. Diameter lunae = 893 leuc. , solis =365502 ; maxima lunae a sole distantia est leucar. 39994367, mioi ma 38479306. Hinc maxima longitudo umbrae lunaris ( 151 ) 893 365609 . 39994367 = 97686, 163 leue. ; minima ejusdem umbrae longitudo 893 365609 38479306 = 93985 , 6603 lenc: maxima vero ( 30 ) lunae a tellure distantia est leucar. 107106, minima 91433. Aliquando igitur terra in eclipsi339 bus extra lunarem umbram , aliquando intra ipsam inve nietur ; semper autem parvam terrestris superficiei partem occupabit illa umbrae sectio, quam tellus subit. Spectato res itaque terrestres in lunari umbra degentes totalem so lis eclipsim habebunt: sed qui extra umbram degunt, in pe numbra tamen siti , aliquam solaris disci portionem cernent, reliqua per lunam tecta; partialem proinde videbunt ecli psim . Quod si apud conjunctionem tanta exsistat lunaris la litudo, ut lunae penumbra terram non attingat , nulla o mnino erit solis eclipsis . 17 ° # Sit S ( Fig. 160 ) solis centrum ; T centrum terrae; C punctum conjunctionis; BC relativa lunae orbita, quam concipimus in plano ( P) transeunte per C normaliter ad ST; AmÅ'm' circulus terminator ( 378. 20. ) illumina tionis, qui circulus erit parallelus plano ( P) ; sintque A, 0, N, H, ... puncta hemisphaerii terrestris illustrati, quorum projectiones in BC ... Designet a projectionem puncti A ; erit ( 40. ) angulus aAC = ACT =p' : ducatur AR ita , ut angulus RAа sit = p '; observator A videbit centrum solis ja xta AR. Iam eunte lunae centro E versus conjunctionem C, primo apud A videbitur eclipsis, tum per vices apud sub sequentia puncta O , N , H , ... A': incipiet autem videri apud A stalim atque EAr fit summa e semidiametris appa rentibus lunae ac solis , nimirum EAr = a ' ta" , et consequenter distantia centri lunaris a conjunctionis pun clo, seu EAC fit EAC = EAr + rAC = EAr to AAC a Ar : a' ta' + p - pi :340 apod idem A eclipsis evadet centralis quum E pertingit ad r, quum nempe EAC = p – p " . Apud N eclipsis haud se se offeret centralem nisi promoto E v . gr. usque ad n ; apud H nisi promoto E usque ad C. Luna continuante motum suum ultra C, obtinebit successi ve eclipsis centralis apud N' , O' ... ; et postremo apud A', quum distantia inter lunae centrum et punctum con junctionis p' -'p" : apud ipsum A' obtinebit finis ecli pseos, quum distantia illa == a ' ta" + p - p ". Nullam in novilunio posuimus latitudinem lunae: intelli gantur nunc in ( P) describi dao circuli habentes commune centrum C; quorum circulorum alteri sit ( Fig. 161 ) semi diameter CH= á ta' tp - p ", alteri semidiameter CK = p - př . Exhibente AH' intersectionem plani (P) et plani e clipticae, denotet QQ relativam lunae orbitam : primo vide bitur eclipsis apud illud hemisphaerii terrestris illustrati punctum , ad quod pertingit recta transiens per centrum so lis et per E'; tum successive apud illa puncta , ad quae per tingunt reclae transeuntes per centrum solis et per B, B' , L ... ; postremo apud illud punctum, ad quod pertingit re cla transiens per centrum solis et per E ' : insuper eclipsis apud ejusmodi puncta exsistet centralis. Quoad alia hemisphaerii illustrati puncta, eclipsis uni versim non erit nisi partialis ; fieri etiam potest ut apud aliqua ex istis punctis haudquaquam habeatur eclipsis , si nempe distantia inter centrum solis et centrum lunae iu plano ( P ) nunquam fiat < a' ta". 18 ° * Sit CL data lunae latitudo in conjunctione, et CL perpendiculam ex C ductum in QQ: triangulum CLL , in quo angulus LCL aequatur (10“: 16 °) inclinatiouiorbi tac relativae, suppeditabit LL ': transformato ( 109 ) LL' in341 tempus T , et expresso per t ' tempore conjunctionis lunaris, medium eclipseos centralis respondebit tempori t' Fr ; ubi vel superius, vel inferius signum debet sumi, prout la titudo vel crescit, vel decrescit . Idem triangulum CLL' dat etiam CL: quoniam igi tur cognoscuntur CE ( = á ' + a " + p ' -p' ) et CE (= p -p" ) , innolescent EL et EʼL ex triangulis rectangulis ECL et E'CL. Transformatis EL, E'L in respondentia tem pora t', 7 " , initium eclipseos habebitur ex (t'FI) -2', finis e clipseos ex ( t ' FT ) +7' , initium eclipseos centralis ex ( t' ) —t , Gnis eclipseos centralis ex ( † FI) + ": exprimet 27' diulurnitatem eclipseos; 27" diuturnitatem e clipseos centralis. 19** Eunte centro lunari ab E ad E ", cum in terea convertatur terra circa proprium axem, cumque pro inde puncia superficiei terrestris mutent indesinenter posi tionem suam, certe habenda erit ratio istiusmodi mutatio nis in eclipseos solaris computatione pro dato quovis tel luris loco ;( F ). Jam locus quilibet superficiei terrestris molu rotationis rapius describit circulum aequatori parallelum; et quoniam paralleli omnes, praeterquam in aequinoctiis, sunt ad circulum terminatorem illuminationis et consequenter (170) ad planum ( P) inclinati, projicietur parallelus loci ( F) in elli psim apud ( P ) ; istaque ellipsis erit semita, in qua move bitur projectio ( f) loci ( F) dum ipse ( F) abripitur motu ro tationis circa telluris axem . Lineae insuper rectae e centro solis ductae ad circulum lerminatorem illuminationis AmA'm " ( Fig . 160 ) censendae sunt ad sensum parallelae ; ideo que cum ST sit perpendicularis ipsi AmA'm' , reliquae omnes exsistent perpendiculares eidem AmA'ni, ac proin de plano etiam ( P ). Consequitur spectatorem ( F ) visurum342 solis centrum juxla rectam transeuntem per ( F ) et per jus projectionem (f ). Sit itaque OcO '( Fig. 162) ellipsis , in quam projici tur parallelus loci ( F) ; Cb " C ' projectio meridiani , seu cir culi transeuntis per polum telluris et per ST ( Fig. 160): sinique ( Fig. 162 ) 6,5'... c , c' ... projectiones pun ctorum, in quibus circuli horarii ( intercipientes videli. cet angulos ( 322: 328) horarios) parallelum secant. Hora VIII matutina centrum solis ex ( F) videbitur in b; hora IX in b' ; hora X in B ; hora XI in 6 " ; hora XII in 6" "; hora I post meridiem in c; atque ita deinceps . Ad haec: designante de relativam lunae orbitam, ponamus hora 14 post meridiem centrum lunare in i , hora 2a in i , hora 34 in i ", atque ita porro. Nauc si ic > a + a" , i'c' > a' + a" ,i'c" > ata" , i" c" = a' + a', ; " C " = a ' + a" — m < ata', ecli psis pro loco ( F) non incipiet nisi hora quarta post meri diem: et cum habeamus 12 : 2a = m : ma' 6 ma' exprimet in digitis ( 129 ) quantitatem eclipseos hora 6 quinta etc.... Haec de solaribus eclipsibus satis sit innuisse: caete rum, facile intelligimus phaenomeno solarium eclipsium si mile esse phaenomenon occaltationis ( 385 ) sive inerrantium, sive errantium stellarum, similique ratione utrumque com putari posse. Ad eclipsium solarium phaenomenon manifeste tradu citur etiam transitus (374) mercurii ac veneris instar ma calae obscurae ante discum solis ; quum nempe in conjun ctionibus inferioribus sunt prope suos nodos. Mercurii trans343 itus multo frequentior est quam veneris: sic v. gr. trans ivit ille ante discam solis anno 1799 , iterumque annis 1802 , 1815 , 1822, etc; haec vero transiit anno 1769 , neque rursus transibit nisi anno 1874. 20°. Quoad reliquos planetas secundarios, satis in praesens sit subjicere sequentes tabellas. SATELLITES JOVIS. SEMIAXES TRANSVERSI SATEL. PÉRIODI SIDEREAE IN SEMIDIAMETRIS PLA ORBITARUM INCLINATIO AD ORBITAM PLANETAE NETAE PRIMARII PRIMARII 1 1d. 184. 28 6,04853 3 ° 5' 30 " 2 3 13 14 9,62347 variabilis 3 7 3 43 15 , 35024 variab. 4 16 16 32 26 , 99835 2 58 48 Primi ac secundi satellitis excentricitates sunt insensibiles; tertii et quarti sunt exiguae ac variabiles.344 SATELLITES SATURNI. SATEL . PERIOD. SIDER . SEMIAX. TRANSV. 1 0d. 224. 38 3 , 351 2 1 8 53 4,300 P 3 1 21 18 5 , 284 4 2 17 45 6,819 Orbitae sunt proxime cir culares: septi mi orbita est ad eclipticam inclinala sub 15º circiter : cæterorum or bilae jacent in plano(366 )an puli; quod pla num cum ecli pticac plano continet angu lum 23 ' 17". 5 4 12 25 9 , 524 6 15 22 41 22 , 081 31 ° 7 79 2 55 64 , 359 SATELLITES URANI. SATEL. PERIOD. SIDER . SEMIAX. TRANSV. 1 ? 5d. 21h . 25 ' 13 , 120 A 2 8 16 57 17 , 022 3 ? 10 23 4 19 , 845 Orbitae sunt et proxime cir culares , et ad e cliplicam incli paiae sub 780 58' : motus circa planetam prima. rium videntur esse retrogradi, ficri (311) nimi rum ab oriente in occidentem . 4 13 11 9 22 , 752 5 ? 38 1 48 45 >, 507 6? 107 16 40 91 , 008345

Aliquid annotatur de maris aestu.

390. Quam vetus tam ante Newtonum inexplicabi lis semper fuit hic maris motus : irrito conatu Cartesius per vortices, irrito Galilaeus per diurnúm terrae motum combinatum cum annuo , utcumque ingeniose, cum explica re lentarunt. Oportet antem varios in ipso mari distin guere molus: ac primo ille attendendus, qui ab aliquibus dicitur esse continuus excursus ab ortu in occasum: se cundo, qui in pluribus maribus obtinet, et quem vulgo appellant correnti: tertio demum ille , de quo nunc agimus, quique bene explicalur per telluris gravitationem in lunam et solem . Ecce praecipua istius molus phaenomena: 1º. in aperto oceano singulis diebus bis intumescit mare , et bis detumescit: 2°, maxima intumescentia quotidie accidit ali quanto post duplicem lunae appulsum ad meridianum lo ci; maxima detumescentia aliquanto post lunae appulsum hinc inde ad horizontem: 3º, crescit aquarum intumescen tia circa syzygias, decrescit circa quadraturas: 4º. caeteris paribus majores esse solent aestus luna perigea quam apogea: 5º. item majores luna existente in aequatore quam extra : 6º.majores circa aequinoctia in syzygiis habentur aestus quam circa solstitia: 70. syzygiarum aestus caeteris paribus minores sunt in majoribus terrae distantiis a sole, majores in minoribus. 391. Exhibeat AA'A " :( Fig . 163) solidam telluris par tem, quam undique concipiamus circumfusam aquis KO 00'K ' .... ; sitque commune centrum in T : referal L lu . nam, P quanı vis circumfusarum aquarum particulam ; et de nolante mi massam lunae, ponatur LT = A, PT = h : vis agens juxta PT, mutansque nativam particulae gravitatem in tellurem exprimetar (62. 4º. c " ) per r , PTL mir 3cos h) . 43346 Binis valoribus h = 0 el h = 180° respondet maxima vis imminuens nativam particulae gravitateni, nimirum 2 mr g= 43 ; binis h = 90° et h = 270º respondet maxima vis augens nativam particulae gravitatem , scilicet i 43 exsistet insuper p = 0, ubi fuerit 1-3cos'h = 0 , seu cosh = V 1 3 cos 54° 44 . Producta igitur LT in B, ducta KK'per T normaliter ad LT, sumptoque arcu 00' = 00 " = BB' = BB ' = 54° 44' , minue tur nativa particulae gravitas per intervalla O'00 " el B'BB”, augebitur per OʻKB' et O'K'B ”, obtinebit maxima imminu lio apud 0 et B , maxima vero auctio apud K et K' . Hinc major erit hydrostatica pressio apud OʻKB' et O'K'B " quam apud 0'00 " et B'BB " : propterea, subla to aequilibrio , ad illud recuperandum elevabuntur aquae apud O'00 " et B’BB ” , deprimentur apud OʻKB' et O'K'B" , totaque massa liquida conformabitur in sphaeroidem o blongam CO'B'C' B”Oʻ , maxime assurgentem in locis ha bentibus lunam ad zenith ac nadir , maximeque com - pressam in locis per 90° inde distantibus ac lunam baben tibus in horizonte; et quo luna magis alicubi distat ab ho rizonte sive supra, sive infra ipsum, eo altiores ibi erunt aquae et magis dissitae a centro terrae.347 1 392. Luna progrediente versus dati loci meridianum , vertex aqueae sphaeroidis subjectos lunae progredietur ver sus terrestrem ipsius loci meridianum, sicque accedet ma gis semper ad locum, et fiet vicinissimus quum terre strem meridianum attingit. Notetur illud : etsi plures terrae tractus maribus in terjiciuntur, et consequenter tellus non est undique cir cumfusa aquis; adhuc tamen aquae, nativa earum gravi tate inaequaliter mutata ex actione lunae, induent sphae roidem CO'B ... , ut ut solidis terrae partibus plurimum intercisam . Quod si aliqua portio aquae, haud multum ex tensa , solidis terrae partibus undecumque sit clausa , ca rebit aestu: non enim elevatur aqua in uno loco pisi de primatur in alio, ideoque nisi eodem tempore in diver sis suis punctis sentiat inaequalitatem actionis mutaptis nativam gravitatem. 393. Quod in ordine ad lunam est , m , 4 , h , sit q' , m ' , A ' , h , in ordine ad solem: praeter op , habebitur et alia vis 90' = m'r ( 1 – 3 cosa h' ) 413 agens juxta PT , mutausque nativam particulae gravitatem ; et quemadmodum vi q seorsum spectatae respondet sphae roides CO'B' . sic vi q' seorsum consideratae sua re spondebit sphaeroides obvertens soli diamelrum longissi mam. At quia o et simul agunt, simulque mutant na tivam particularum gravitatem , iccirco binae spliaeroides reducentur ad unam, cujus diameter longissima jacebit in acutis ex angulis, quos continent diametri directae ad so lem et lunam , sed propior diametro directae ad lunam; siquidem in ordine ad gignendum aestum marinum , aclio lunaris superat solarem actionem, ob taulam videlicet lu348 nae quanquam tanlo minoris viciniam : sic facta telluris massa= 1 , itemque A ? 1 ; si sumuntur ex P. Piazzi ( Lez. elem. di astron . tom. 2. pag. 296: 297 ) valores m 0 , 0146 , m ' = 329630 , nec non valor medius AS 0,0025 , prodibunt m ' 424727 329630 . 43 43 394. In syzygiis k ' - h vel = 0 , vel 1800 ; un de cosa l' = cos h : lunae igitur ac solis actiones omni no conspirant sive in elevanda, sive in deprimenda data quavis particula P; et cosequenter aestus erunt maximi. In quadraturis h' - h vel =90°, vel = 270º; unde cos? h ' = sina h : propterea binae luminarium actiones sunt inter se ma xime contrariae; et consequenter aestus erunt minimi, sed aquarum elatio fiet sub luna ob ejus vim praevalentem . Ad haec : inaequalitas inter vires augentes et vi res o minuentes nativam aquarum gravitatem eo manifeste lit major quo caeteris paribus magis decrescit A, seu quo magis luna ad perigeum accedit: item decrescente A ', seu accedente sole ad perigeum , major fiet inaequalitas in ter vires d'augentes et vires o' minuentes gravitatem illam . 395. Quoniam ascendens vel descendens aqua limites ae. quilibrii attingit cum certo quodam motu praeconcepto , ideo procurret ultra illos limites , ejusque elationes ac depressiones et erupt majores quam requirat aequilibrium, et non fient maximae nisi aliquanto post id temporis mo mentum, quod ab ipso aequilibrio exigeretur. Ex eodem motu praeconcepto nitetur aqua ad oscil lationes quasdam circa aequilibrii limiles . Iam quando lu na, ail Boscovichius in dissertatione de maris aestu nº. 55 , est in acquatore, per 12 horas ubique est supra horizontem, per 12 infra , et punctum ipsi opposilum , ea appelleale ad349 meridianum infra horizontem, fit illud ipsum , quod, ea supra horizontem appellente ad meridianum, erat ipsi su bjectum. Quare lunaris quoque actio aequalibus ubique temporis intervallis nititur elevare aquam et deprimere , ac eodem in loco elevare secunda vice, quo prima. Utri usque oppositum contingit luna extra aequatorem sita ; et quo major est declinatio, eo major est inaequalitas mo rae infra et supra horizontem , et eo major distantia pun ctorum , in quibus binae proximae elevationes aquaruin maxinae fiunt ; quae puncta debent esse in parallelis aeque hinc inde distantibus ab aequatore. Quare luna in aequato re posita, magis congruit actio lunaris cum oscillatione jam concepta; et quo ea magis ab aequatore recedit, eo magis se invicem ista duo turbant: hinc eo major in pri mo casu fil aestus, et minor in secundo. Porro quae de recessu lunae ab aequatore sunt dicta , eadem intelligen da quoque sunt de recessu solis; sed minus ob minorem ejus actionem sensibilis erit ejus effectus. 396. Quia luna in syzygiis occupat vel eandem coeli partem ac sol , vel oppositam; propterea cum sol circa ae quinoctia sit proximus aequatori, et circa solstitia ab aequa tore remotus, luna quoque in syzygiis erit aequatori pro xima circa aequinoctia, ab aequatore remota circa solsti tia . Inferimus (395) aestus fore majores in syzygiis circa aequinoctia quam circa solstitia . 397. Non pluribus opus est ut pateat ratio exposito rum ( 390) phaenomenorum. Ratio primi manifeste desuni tur ex ( 391 : 392: 393 ) ; secundi et quinti ex ( 395 ) ; ter tii , quarti ac septimi ex ( 394 ) ; sexti ex ( 396) . Haec sub jungimus. 10. Hora marini aestus anticipat in primo ac ter tio mensis lunaris quadrante, tardat in secondo et quarto : ratio est , quia longissima sphaeroidis aqueae diameter, ac proinde punctum maximae intumescentiae vergit ( 393 ) ad occidentem respectu diametri directae ad lunam in primo350 ac tertio quadrante, ad orientem respectu ejusdem diame tri in secundo et quarto. 2º. Luna extra aequatorem sita , inaequales erunt bini aestus apud locum datum singulis diebus obtinentes: liquet ex positione ( 395) , quam respectu dati loci habet sphaeroides aquea respondens binis appulsibus lunae ad meridianum ipsius loci supra et infra horizontem . 3º. Hyeme in syzygiis aestus matutinus ( qui nimirum obtinet post mediam noctem ) apud datum lo cum est major vel minor quam aestus vespertinus ( qui videlicet obtinet post meridiem ) , prout geographica loci latitudo exsistit borealis vel australis: contrarium accidit aestate. Cum enim in syzygiis luna occupet vel eandem coeli partem ac sol, vel oppositam, cumque sol hyeme declinationem habeat australem; in conjunctione transi bit luna ad australem partem simul cum sole sive per dati loci meridianum supra horizontem, sive per ejas me ridianum infra horizontem; in oppositione vero transibit Juna per meridianum supra horizontem ad borealem par tem dum sol transit per meridianum infra horizontem ad partem australem , itemque per meridianum infra ho rizontem ad partem borcalem dum sol transit per me ridianum supra horizontem ad australem partem . Loco igi lur habenti latitudinem borealem vicinior erit vertex a queae sphaeroidis afferens aestum matutinum quam vertex sphaeroidis afferens aestum vespertinum, loco autem ha benti latitudinem australem vicinior erit vertex sphaeroi dis afferens aestum vespertinum quam vertex afferens ae stum matutinum; contra se res habet aestate; propterea etc. 4º. Majus est intervallum inter appulsum lunae ad meridianum et affluxum aquae paullo ante syzygias quam paullo ante quadraturas: uno enim vel altero die ante syzygias longissima sphaeroidis aqueae diameter ver git ad orieutem respectu diametri directae ad lunam ( 393 ) ; at uno vel altero die ante quadraturas ad occidcntem .351 5º. Debent aésta carere minora maria undique clausa: patet ex ( 392 ) . Ut continuus aquarum tractus sen tire possit totam simul virium inaequalitatem , opus ha bet 90 saltem graduum extensione ab oriente in occidentem. 6º. Etiam minora maria, si cum aperto oceano satis communicant, aestum poterunt concipere . Parvi qui dem observantur aestus in mari mediterraneo ; sed ejus longitudo vix 40 gradus attingit ; et prae ipsius amplitu dine nimium angusta est communicatio, quam habet cum ocea no. Quae tamen undae in eo parvum effecerant aestum, ad adriaticum dein mare pervenientes notabiliorem ibi aestom efficiunt: mare videlicet adriaticum efformat sinum colli gendis coarctandisque nndis admodum aptum. 7. Ad lillora et in angustioribus fretis aestus multo major erit quam in aperto mari : ubi enim aqua se concepto impetu effundens offendit obstaculum ; antequam refluat, multo magis attolli necesse est; praecipue si littora parum declivia sunt, neque descensu praecipiti ad mare a pertum spectant. In portubus quibusdam, ait Newtonus lib. 3. princ. prop . 37. ubi aqua cum impetu magno per lo ca vadosa et sinus alternis vicibus implendos et evacuandos influere cogitur, flaxus et refluxus debent esse solito ma jores..... His in locis mare magna cum velocitale acce dendo littora nunc inundat , nunc arida relinquit ad mul ta milliaria. Neque impelus influendi et refluendi prius frangi potest quam aqua attollitur vel deprimitur ad pe des 30 , 40 vel 50 et amplius. 8º. Aliqua anni tempestate alicubi cessat aestus , ut v. gr. apud portum Batsham luna sita in aequatore. Ex plicat Nevtopus ( ibid. prop. 24) ex eo quod aditus ad hunc portum et freta vicina duplex pateat, alter ab oceano si nensi inter Continentem et insulam Luconiam, alter a ma ri indico inter Continentem et insulam Borneo: fieri nempe potest ut, dum ab uno ex iis oceanis advenit aestus, recedat ex alio; cum igitur, luna sita in aequatore, quatuor diurnae352 1 oscillationes siot aequales, si duae inveniantur oppositae nullus apud eum portum sentietur aestus. 9º. Plures eodem die in quibusdam locis contin guat aestus: provenit ex eo quod undae aestus generalis , utpoie magis vel minus impeditae insulis , scopulis etc. , deferantur, aliae tardius, aliae citius, multiplici via ad istius modi loca. Hoc pacto fieri poterit ut aestus, variis obsta culis retardatus videatur praevertere appulsum lunae se quentem ad meridianum, non sequi praecedentem. Caeterum haec phaenomena turbari debere ventis, procellis etc. , Demo est qui non videat. 398. Patet itaque quod ex telluris gravitatione in la nam et solem consequuntur ea ipsa marini aestus phae nomena , quae observantur. Nec illud obest ( Boscovich. in dissert. de maris aeslu nº. 59 ) quod assumpserimus terram tanquam sphaericam independenter ab ipso aestu ; quae ob vim centrifugam motus diurni debeat esse com pressa potius ad polos: nam cum ea compressio debeat es se perquam exigua, iidem ad sensum erunt effectus actio nis luminarium in globum in aequilibrio posituin ac in sphaeroidem ellipticam parum admodum differentem a glo bo. Nec obest quod in barometro non sentiamus effectum im minuti ponderis luna appellente ad meridianum , et aucti appellente ad horizontem ; tum quia perquam exiguum est decrementum gravitatis , ac incrementum , et prorsus insen sibile respectu gravitatis totius ...; tum quia dum auge tur, ac minuitur pondus mercarii tubo inclusi , augetur ae que ad sensum ac minuitur pondus aeris, cum quo ille in aequilibrio consistit . Nec ex eo quod insensibile sit incre mentum ac decrementum gravitatis respecta gravitatis to tius infertur insensibilem esse debere utcunque elevationem marium, sed solum debere esse insensibilem respectu totius semidiametri terrestris , respectu cujus insensibiles sunt etiam 8 ( talis circiter est elevatio aquarum in aperto mari ) , vel 10, vel etiain 100 pedes.353

De motu planetarum turbato ex mutua eorum gravitatione.

399. Haec praemittimus.

1°. Denotantibus a' , a " , a" , 6' , 65,6", sex constantes et arbitrarias quantitates, quae debentur ternis integralibus formularum ( 0' . 59 ), quaeque dicuntur elementa orbitae puncti materialis seu ( 76. 2° ) planetae m' circa solem m, poterunt integralia illa exhiberi per 1 x ' = fle, a' , a " ... 6 " ) , y ' = ftft,, aa ,, a " ... 6 ' ' ) = F ( t , a' , a" ...6 " ) ( 8). Substitutis valoribus agiz , d²x dc2 etc. ex ( g ) in ( 0'. 59 ) , debebant singulae ( o" ) fieri identicae: ad explendas nimirum (o" ) , debebunt á , a ' ...8 “ ac tempus t se destruere quin peculiares induant valores. Quoniam igitur debent a' ... 6 " permanere arbitrariae, poterunt variationibus subjici; sicque aequationes ad motum licebit differentiare quoad illarum quantitatum unam vel plures quin novae aequationes inde provenientes cessent obtinere. dx ' dy' az

2°. Designentur dt dc F, , ut ( 50. 2º . 40) hoc pacto exprimantur velocitales punci materialis m' juxta respondentes axes coordinatos; fac insuper> di per forf . mtm -dk k'a mtm l S mtm ' V x 2 + y ^2 + 2'? traducentur ( 0.59 ) ad dQ afit dx ' di = 0 , df, + dQ dy' -dl } ( 5' ) ; dQ dt dz' et ( 0 "' . 58 ) ad dQ dfit dr de dR -dt , df, + dx dQ -dt dy dR de, dy' (6 ) dF , + dQ dz' Ydt dR -do dz'

3º. Retenta d ad temporis variationem indicandam, exprimant A et o binas variationum species, quibus ( 1º) subjici possunt arbitrariae a' ... 6 " , ut sint v. gr. df Ax'a da ' Aa + df Aa + ... + da ' + df A6 db " ? d.x ' = df df -Da't -Da" + da ' da" df -D6 " . din Variata prima (8 ') successive quoad A et D , prodibuni do dQ Adf. + 4 dt = 0 , pdf, + D -de da dir do AQ seu dafita dt = 0 , dofı + dx' dQ dt = 0 ; quarum dx '355 secundam multiplicatam per Ax' subtrahe ex prima mul tiplicata per ox ": habebis dix ' dafi - Ax' dofi + ( DX' A dQ dx dQ Ax's dt = o . dx ' Sunt autem dx'dafi = d (ox'Af. ) - Af, dox ' , Ax'dof. di Ax'pfi ) -Df, dAx' , insuper dx ' = fi do , Af, dt , dox' - Df, dt: igitur et conse quenler dax' di dx'Afs Ax'ofi ; +( dx's dQ dx dQ Ax'o dtgo. da Ad haec: cum arbitrariae á , ... 6 contineantur in Q , quatenus Q est fauctio ( 20 ) ternarum c' , u ' , ' , exsi sten . A dQ dx' d2Q d’Q -Ax't dx'2 -Ay' + da'dy' d2Q dx'd² Az' , dQ d2Q d'Q D -Dx' + d’Q da2 dx 2 dx'dyby '+ dx'd dé ; iccirco dQ DX'A dx ' A x'd dQ = 0 , ac proinde dx ' d { p.t' Afi – Ax' of1 ) = 0 : simili modo e secunda et tertia (g ) eruemus dl dy'Af, Ay' pf, ) = 0 , dl dz'AF, - Az'pF , ) = 0 . Quare , factis integrationibus , 1356 Dx AP - Ax of const. , dy' Af,-Ay' pfy const. , pz AF, - Az' pF, const : nimirum , etsi x' et fo , y el fy , z' et F, contineant tempus t; sumplis tamen variationibus istarum quantita tum quoad a ' , a " , ...6 " , ejusmodi variationum functio . nes constituentes prima membra aequationum ( g' " ') haud pendebunt a tempore, sed tantum ab a' , a " , ... 8 " . et ab earum differentialibus primi ordinis. Id ipsum evi denter dicendam de illorum membrorum summa. 40. Differentialia aequationum (g) capientes quoad t obtinebimus tres alias aequationes dx ' di' dF .de df de dy' dc df de (8 ") ; de di quae simul cum ipsis ( g) satis erunt ad determinandas dx' dy' dz' a ' , a , ... 6 " per x' . ' , z' , dt de dt substitutis valoribus a" , a " . B1" iu prima (g) , a' , a' ", ... 6" " in secunda ( g ) . , a 6 ' 6 " , 6 '" in tertia ( 8 ) á' , a " , a ' , 6 " , 6 in prima (g " ) etc , deveniemus ad sex primi ordinis aequationes differentiales. . K, =a' , K , = a " , K3= a ' , H , = ', H , = 6 " , H3 = 6 " (8 "), ad totidem videlicet integralia prima formularum ( o' . 59 ). Inde prodeunt aequationes differentiales secundi ordinis dK , = 0 , dk , 0 , .... dH3 = 0 ;357 d dyr > et quoniam hae sunt liberae a constantibus et arbitra riis quantitatibus , debebit unaquaeque esse identica cum 10'. 59). Hinc si in expressionibus dk, , dK , , ... dHz dc dz substituuntur valores d , d desumpti de dc de ex ( 0' . 59) , fient singulae identice nullae. Consequitur illud : si in expressionibus dk ,, dk ,, .. do' di ' dz' substituuntur valores d d d ex ( o . 58 ) ; de de dt 1 > 1 1 da" , dᎡ dR dR exemptis terorinis pendentibus ab dx ' dy' dz' reliqui se mutuo destruent: et ubi vires ( 60 ) perlur dR dR dR baptes ita veniunt spectandae ut i dx dy' dz psarum effectus consistat in mutandis elementis á ', a' , ... 6' , venient quoque elementa ista consideranda sic varia bilia ut differentialia da ' , aequentur illis parti- . bus respondentium dk, , dK, , ... quae pendent a pertur bantibus viribus. Obtinebunt itaque differentiales primi ordinis aequationes (8 '), sive desint vires perturbantes, sive adsint ; nisi quod in primo casu valores a , a " , ... b' " censendi erunt constantes , in secundo variabiles. Propterea eliminatis dx' dy' da de de ex (g' ) , ternae aequationes finitae di inde emergentes pertinebunt ad primum casum sub hypo thesi a' , a " ,. , . constantium , ad secundum sub hypothe si a ! , a variabilium : et consequenter qua ratione valores finiti x , , , repraesentantes molum puncti ma terialis m' , exprimuntur per i et constantes a , a " , ..358 quum m' nullis virium perturbantium actionibus sollicitatur, eadem exprimentur per 1 et variabiles a , a " ... quum m sollicitatur perturbantibus viribus. Habitis igitur a ' , a " , ... pro variabilibus, poterit per ( g ) satisfieri aequationibus ( O ) . 58 ) .

5º. Quoniam tres numero sunt aequationes ( o ' ') explendae, sex vero quantitates variabiles a ', a ' ... B' ", ideo licebit assumere pro voluntate tres numero conditio nes, quibus subjiciantur a' , a ' ... 6  : sic autem asso memus, ut expressiones velocitatum puncti materialis m'ju Xla respondentes axes coordinatos servent eandeni forniamı sive desint perturbantes vires, sive adsint; quod co ma nifeste redit , ut ponamus ( 49.8" ) df, da't elda" + ... + df db db " O da' da" df da da' + ... + df db db -0 , dF -da ' to ... t da' dF db -db " = 0 ; seu, denolaule A differentialia quoad omnes a', a " ...6 Ax' = 0 , A2' = 0 , Az' 6º . Etsi materiale punctum m' sollicitatur viribus perturbantibus, tempusculo tamen infinitesimo dt elementa orbitae censeri possunt constantia : Patel ( 50: 15 ° : 57 . 6° ) ex eo quod ( 4º. 5 ° ) per vires illas ' neque forma coor dinatarum x ' , ' , z mutetur , neque forma velocitatum ( 20 ) fu , f , F ,359 gº. Multiplica primam ( o'. 59 ) per dx ', secun dam per dy', tertiam per dz' ; contrahe in summam, et perfice integrationem: babebis 1 dx's + dy'2 + dz'2 2 dta mtm C. 8º. Primam ( o'. 59) multiplicatam per ý sub trahe a secunda multiplicata per x' ; item tertiam mul. tiplicatam per x' subtrahe ex prima multiplicata per a'; et secundam multiplicatam per é ex tertia multiplicata per ': sumptis integralibus, dx x dzi x'dy -y'dx' dt 20 ' , 2 2.C " , dt y'dź -zdy' dt 2C ' ' ; constantes arbitrariae C' , C ' , C'" repraesentant ( 84. 3. ) projectiones, super planis coordinatis , illarum arearum ( EX ) , quas radius vector h' describit intra temporis unitatem.

9º. Sint ľ , 1" , l" anguli, quos cum planis (58) coordinatis X'm Y' X' m Z' , I'm Z ' efficit planum or bitae ( 0' . 59 ) ; et L' , L " , L anguli , quos novum pla num P continet cum iisdem planis coordiuatis: deaolunte C, projectionem areae X super P, el ( PX) angulum interce plam X ac P, erit ( 55. 4°) C. = % cos(PX); et quia ( 50.7° : 55. 4ºj cos ( PX) cosL' cosľ + cosL " cost " + cosLcos !"" , C = Xcosi' , C ' = Xcost" , C '" = X cosl“ ) , ideo C, = C'cosL' + C " cosL " + C " cosL " .360

10º. Ternarum aequationum ( 8 °) prima multipli celur per z' , secunda pery , tertia per x'; tum colligantur in summam: prodibit Cz + C " y ' + C'hr' = 0 ; aequatio ad planum orbitae puncti materialis m ' .

11 °. Comparantes aequationem ( 10° ) z' = C " C " -X cum ( oTTT: 380. 4° ) , habemus ByC' C'응 C ' C ' cosbtangi , C" C sinb tangi : et quoniam ( 90) C' = x cosl' = x cosi, iccirco C "' = x cosb sini, C '" Xsinb sini.

12 ° Qua ratione obtinuimus formulas ( 70 : 8° ) in ordine ad ( 0". 59 ) , eadem in ordine ad ( 0 " . 58 ) obtinebimus mtm 을 dx'2 + dy's + dz's dt² k Santadx' + route dy'+ ddi ). 'x'dy'–y'dx dt , etc ...

13°, Aequationes ( 7 ° : 8° ) fient ejusdem formae (40: 50 ) ac aequationes ( 129) si , habitis C , C' , ... pro variabilibus ob actionem virium perturbantium, ponantur361 dR dC dR dx ' dx + DR dy' dy' + dzi , dz ' dᎡ d (2C ') = ( x ' ( dR da ' -ý - di , etc. ...

14°. Quoad motum ellipticum ( 0' . 59 ) , facile ( 84. 5° : 57. 6º. 70: 62 ) assequimur C mt m' 1 k okia ( - Tan mẩn k' 2a k' m tmi mt m ' (m + m ) G-G ) k 2a ( 2 x 12 insuper ( 62 : 57. 7° ) m + m ' = unde al 1 82 ) 2x = V alm + m ') ( 1 - 82 ) : itemque ( 62 : 57. 70: 380. 1 ° ) m + m ' = n? al .

15 °. Ex ( 0" : 380.6° ) et ex tertia ( 0 : 380, 70 ) patet quod ( 380. 5 ° ) coordinatae s ' , y , z puncti ma terialis m' considerari possunt tanquam functiones quan tilatis variabilis nt + c '.

16° . Patet insuper ( 380. 5º. 6º. 7 ° ) sex quan titates a, e, b , c , k , i , utpote ingredientes in expressio nes coordinatarum x' , ' , z' , spectari posse tanquam con stantes quantitates ( exhibuimus ( 10 ) per a' , a " , a'" , b ', b " , 6 " ) provenientes ex integratione aequationum ad mo tum ellipticum. His omnibus praemissis, inquiramus in illarum quantitatum variationes ( 40 ) ex virium perturbantium actione: nisi quod, introductis ( 380. 8° ) demum c et h , habitis que a , & , b , c , h , i pro elementis orbitae ellipticae, isto rum elementorum variationes ultimo determinabimus.

400# . In (gʻ) aeque ac in (g ') sunt ( 399. 5 ° ) qui df dF den fo df de불 . f, > F1, ; sed ( 399. 40 ) dt dt in ( s ) df. duf-dt , dl di? d?f de , df, di² d2F df di , et in (g ") dfi dla de + da ' + de dt da d2f da " + d²f dt db "" db = d²f -de + Afun dida " dla d2f df, dea detafy , dF, d2F dla dt + AF,. Com igi tur Q exsistat eadem utrobique, provenient Afe dR -dt , Afy dx' dᎡ dt , AF , dy dR dz' di . Harum prima multiplicetur per dx' , secunda per D) ' , tertia per pz ' , ac dein contrahantur in summam : emergel Đx Aft + by Aft + pg AF =363 dR Game AR dx' Dax + dR dyby ' + dz pí hadi DR dt ; el subtracta quantitate identice ( 399. 50) nulla Ax' ofit Ay' pf, + Az pF , ex primo membro , DRdt = px' Afi DX' Af1 – Acc' pfi oy ' Af, — Ay' of, + DE AF, – Az pF, . Inferimus ( 399, 30 ) variationem functionis R quoad solas á , a " ... 6 fore independentem a tempore: pro pterea, substitutis valoribus x ' , ' , < in pR ex ( g: 399. 10 ) , licebit in eadem DR vel ponere t = 0 , vel ipsi e assignare quemcumque alium valorem .

401# . Siat p.9,0,2,0,6 initiales quantitatum a' , ' , z ' , fi , f, , F , valores, quum nempe t = 0; erit ( 400 ) pRdt = dpad - App + og Av — Aqpy torno + — - Arpo . Exprimat o variationem quoad solam p , ut sint p = 0, DG =- 0 etc; prodibit dR dp dp di = dp dh , unde d, = dR dp dt : simili modo , exprimente o variationem successive quoad solam q, quoad solam r ... quoad solam o, emergent dR dves di , do = dR -dl , dp dr dR dà dt, da DR dq DR • dt , dr -dt ; do364 variationes nimirum coordinatarum et velocitatum initia lium debitae perturbantibus viribus. 402 # Spectantes elementa elliptica a ' , a " ... b tan quam functiones ( 57.6° ) quantitatum initialium p , q..o et vicissim , habemus 1 dR dq dt da ( dᎡ dp dp da dR DR da dato..t do de:) di; dR et substitutis valoribus DR do 1 ex ( 401 ) , dp dR dp da' darde dat dq da ' -dut dr -do da' da dv daide -dq do da ' dr i da' simili modo dᎡ dt = dp., dat da -dot da " dr -do da " I. da " da " -dp dy da " -dq do da ' dr etc ..... : da ' sunt autem dl dh da da da't da da " da" + ... + dbrudb ', dy - da't + dy -db " , etc ... da ' db "365 Factis igitur da dp da' da dp dq da " da da " + da' da" dy d9 do dr da ' da ' + do da da " [ a',a ) , da ' da " d2 dp da " d2 da dp da + da da " dy da ' dá du da da da + dr da " do da' do dr da' da ' [ a " , a ' ) , dp da. da da " da dp dq da da + da da dy do da da" dr da do da' do da' dr da [a' , a" ], etc. ... exsurgent producta ex valoribus partialium functionis R differentialium , quoad elementa elliptica , in dt , expressa per differentialia ipsorum elementorum et per quantita tes [ a' , a ' ] , [ a ' , a ' ] , [ a' , a " ] , ... independentes a tempore, nimirum dR da -dt - [ a' , a " ) da" + [ á , a " ] da' " + [ a' , 6' ] db' + [ a ', 6' ] db" + [ a ', 6 '" ) db"" ,366 1 da du' dt = [ a " , a' ] dá + [ a " , a " ) da + [ a " , 6' ] db' + [ a , 6' ' ] db' + [ a " , 6 " ' ] db"" , dR da " di = [ a " , a ' ) da' + [ a '" , a" ] da" + [ a " ' , 6 ] db' + [ a '", 5" ]db" + [ a ' , 6 " ) db" , etc.

403. Notentur haec tria .

1°. Differunt tantam in si gno quantitates [ a' , a " ] et [ a " , a ' ] , [ a ' , a " ) et [ am , a' ] etc. , ut sint [ a' , a " ] [ a " , a' ] , [ a' , a ' ' ] [ a" , a ' ] , [ a' , 6 ] = - [ 6' , á ] etc : insuper [ a' , a ' ] = 0 , [ a , a " ] = 0 , etc.

2°. Variationes da " et da' in dR da ' dt et dᎡ da" dt , da'" et da' in dR da' -dt et dR dt , db' et da " da' in dR dt et da' dR db ' -dt etc. , habent coefficientes ejusdem quidem valoris, sed signi contrarii.

3º. Primam ex ultimis sex aequationibus ( 402 ) multiplica per dá , secundam per da" , tertiam per da" , quartam per db' etc; cum contrahe in summam : qui ter367 mini constituent summam secundorum membrorum, jio mnes se mulao destruent ; proinde dR dR dR da' + da da" --da " + . + -db db

404* . Ex dictis ( 399. 150 - ) profluit dᎡ dR dx dx' + 'dy -dy'+ DR dz' dR -d ( nt ) dnt) de ndt , ndt sub hypotesi nimirum factoris n constautis : et quia , ha bita videlicet R pro functione quantitatis ne + c', est etiam dR d Ꭱ dc' iccirco ( 399. 13° )

dint) dR dC = n do de

405#. Attentis valoribus ( 380.50) cosBSX, cosCSX etc, cum p et a ( 380. 5º. 6º. ) haud pendeant ab angu dx lo b, assequemur psinbcosk - ucosbsinkcosi db dy + o sinb siok o cosb coskcosi y db u cosb cosk — psinb sink cosi —a cosb sink - a siubcoskcosi = x ' : considerantes insuper b tanquam functionem bi368 dR narum x' et g' habemus dᎡ db dx dx db dR dy' dR igitur

dR x' dy' AR y' dx ас dý db db pro dR inde ( 399. 13 d2C' ) = dt . db dR

406#. Exhibeta dy ' dR j dx ' momentum dR ( 10.30. 10° ) vis perturbantis quoad SZ; exhibet db functionem derivatam ab R quoad angulum b; cujus an guli variatio db denotat angularem plani XSY motum cir ca SZ ex ipsa vi perturbante intra tempusculum dt. Inferimus, si planum ( 399. 9° ) quodvis P transit per coordinatarum originem S, et per S transit quoque recla U, normaliter insistens eidem P, designatque m angulum , cujus variatio dm repraesentat motum angularem ipsius P circa U ex vi perturbante intra tempusculum dt, inferi mus inquam momentum vis perturbantis quoad rectam U dR exprimi posse per ; ideoque dm di 20 , ) - dR -dt . dm

Hinc 1º. si precidit in orbitae planum , erunt (380 : 399. 8 ° ) n = k , C = X ; propterea d( 2x ) dR -dt . dk369 . 2º. Si P normaliter insistit lineae nodorum NN' , erupt ( 380 : 399.99) mai , L ' = 90° , L ' = ( 90 ° — b ) , L' " = b ; et consequenter ( 399. 9º ) d ( 26 ) dR d (2C ')cos 90+ d 2C " ) sinb + d2C") cosbe dt di Traducitur secuydum membrum ( 399. 11 ° ) ad - di 2xcosbsini ) siab + d ( 2ysinbsini cosb , seu - [d12ysini)cosb -2 y.sinisinb db ] sinb + [ d2 % sini ) sinb + 2x sinicosb di ] cosb 2x sini db : proinde 27. siui db = dB -de . dhi mt- m '

407 *. Habemus ( 399. 140. 11 °. ) dC d 2a m Em da 2a2 n'a3-da = 2a2 nda da , d 2 % ) = 2 nl V m + m ' av all 22 ) V 1 -- 822 da - 2 na ? de , d ( 20' ) d ( 2ycosi ) = cosi di 2x ) V1-2 na 2x sini di VT cosi da na2: cosi de 2 VT na ? V 1 – 32 sinidi . Igitur ( 404 : 406. 1º , 2º: 405 ) 24370 dR na na dt da dR dt dk 1 V 1- ea da dc' 2 2 па ? de , DR -dt = na? V7V 1 – ça sini db , V 1-$2 di ( e ) dᎡ na de db V 1 na?e cosi - El cosi da de 2 V 182 naa V T = @z sini di. DR

408# Quoad dR da di et de di , cum ( 402 ) sint dR -dt da [ a , £ ]dě + [ a , b ] db + [ a , c ' ] dc' + [ a , k ] dk + [a , i ] di , dR -dt = [ € , a ] da to de [ 6,6 ] db + [ € , c' ] dc' + [ € , k ] dk + [ € , i ] di ; na cumque ( 403. 2º: 407. e ) [ a , c ' ] 2 - , [a , b] = naM 2 1 - & cosi , [ a , k ] = Mavi1 –67, na’scosi [ a , i ] = 0 , [ € , 6 ] V1 . [ € , 6 ] = 0 , - € 2 na?e [ < , k ] = V1-62 [< , ] = 0 , [a , e ] = - [€ , a ): > iccirco371 AR not na - dt da . ( cosi db +dk ) V 1 - 2 2 -det 22 na23 [ a , ] de dR de de . ( cosi db + dk ) V1-82 [a , £ ] da ; ubi ( 402) [ a , & ] dp da da de d . dp da da do dq da dy ds do dla da ds dr + da do do de da de Restat ut determinetur [ a , : ] : anguli ( 380. 5 ° ) BSX , CSX , BSY , etc. ueque ab ( pendent , neque ab s ; dx ' dis. proinde ( 380. 5º . 6° o " ) cos BS.X + da du do cos CSX = cos9 - 6) cos BYX + V 1-2si :: OcosCSX , da assine da ' de a cosBSX cos CSX , V 1 82 dy ' - da ( cos) — E ) cosBSY + V1- &* sino cosCSY, etc : dl. item ( 399. 2 ° ) dax ' dadt = -sin cosBSX do da dt + V 1 Ez cost cosCSX 29 dt df de dex' dedi a: cosa cosCSX d9 de ddf, da day' da 1 Vi372 do 19 - sincos BSY + V 1 - ça coso cosCSY etc: dt di insuper ( 50. 7º ) cosa BSX + cos2 BSY + cos2 BSZ =1 . cos ? CSX + cos: CSY + cos CSZ = 1 , cos BSX cosCSX+ cos BSY cos CSY + cos BSZ cos CSZ = 0. Igitur ( 401 ) de [ a , ] = - a sing : et quoniam [ a $ ] est in de dependens a tempore i , fieri poterit nt = -c' ; tunc ve ro ( 380. 7° 34 o * ) 0 = 0 . Quare [ a , ] = 0 ; et DR na --de da ( cosi db + dk ) V 1 - 2 - - 2 na dc' dᎡ -de : 2 de ( c') na? ( cosi db + dk ) . V 1-2

409#. Habemus ( 380. 8 ° ) dc = dc — dh : va riatio anguli k non pendet unice a motu perihelii, quem admodum unice pendet variatio anguli h, at simul a mo iu nodi juxta orbitae planum ; obtineturque incrementum dk subtrahendo ex dh projectionem incrementi db (exhi bet db motum nodi in plano XSY intra tempusculum dt) super orbitae planum , ut sit dk = dh – cosidb . Consi derantes igitur R prius tanquam functionem quantilalum c' , k , b , dein tanquam functionem quantitatum c , h , b, designantesque in primo casu functionem derivatam ex R quoad bl qualem nempe habemus in quarta ( e: 307 ) ; per373 dᎡ dR GR) cum exsurgal dc + DR -dk t db dc' dk (ab.)db = dᎡ dc - det dR dh -dh + dR db -db , assequemur dᎡ dc ( de - dh ) + dR dk ( dh cosi db ) + dR db LR dc - det dR dh + dh dR-db . Propterea db dR dR dR dR dc dᎡ dc' dk dc dh (a) dR dR dR dk cosi ; unde dR dh dR dc > db dk ( a ) AR db dR db - + DR dh cosi + dR dc cosi .

410#. Substitutis valoribus dc ' , dk DR dc' dR dk dR db ex ( 409 ) in ( e : 407 ) et ( é : 408 ) , prodibunt 1374 AR na na cale de -da AR • do dh ( 1 - V 1- 2 da 2 2 nals de , dR di • do na2V 1- ? sini db , V1-82 dR -dt db na? V1 — 2 sini di dR • de da le " ) па nn ch ( 1 - V 1 -- 52 ) dh , dR -di 2 2 de na ? E dh . V1 - 2

411 *. Inde facile eruuntur elementorum ellipti corum ( 399. 16° ) variationes ex virium perturbantiam actione, nimirum 2 dR 18? DR da dd , de [ -det na dc na? E dh ( 1 - V dᎡ di ] dc 1 DR db -dt , di na? V 1 $2 sini ( e" ) 1 dR di = -de na ? V7 $ 2 sini db V1-2 dhe dR • de dc na 2 DR (1 –V1 = 2,1–5 DR -de d: dt . na23 na da375

412r. In differentianda R quoad nt assumpsimus ( 401 ) factorem n constantem , cum tamen ultima quatio ( 399. 14° ) praebeat n functionem elementi varia ti a: legitime vero n sic assumi in differentiatione illa fa cile tibi suadebis, si altendas ad id, quod ex variatione fu ctoris n resultat in valorein dc . Cum enim sit nt Sndt-te ſtdn , si ponitur arbitraria c complecti terminum ſuun , ut tertia ( of : 380. 7 ° ) possit in hunc modum scribi ( 380. 8° ) , Sndt to - h = 6 - Esing repraesentabit Sndt + c - h anomaliam mediam , eritque ſidn excessus quantitatis c in hypothesi n variati soprac in hypothesi n constantis , ac proinde tdn excessus incre menii dc in prima hypothesi supra dc in secunda : ad haec; dᎡ AR du sub hypothesi n n variati augetur termino da dn da Ut igitur ex valore dc sub conditione in constantis transeamus ad valorem dc sub conditionen variati , 2 dR dn satis erit adjungere tdn dtad dn da secundum membrum ultimae ( el : 411 ). Est autem ( 404 ) dR dR dR tdn dé , et consequenter ( 407: e ) an DR nada : cum igitur , ob n ( 399. 1 to fan . dc 2dt na t t clionem solinsa , exsistat dn -da da dn erit tdn 2 DR dn. de da = tdn tdn 0. Per secundum Na dnt376 videlicet mcmbrum ultimae ( e " : 411 ) , sive in casu n constantis , sive in casu n variati , exprimetur dc : pro pterea etc. -

413 * . Exhibet ſndt motum medium planetae viribus perturbantibus sollicitati , quemadmodum exhibet nt motum medium ( 380. 10. 7 ° ) ipsius planetae praeci sis ejusmodi viribus . Jam ultima ( 399. 14 ° ) suppeditat m -- m ' V unde dn 27 V m + m ' -da - a3 a5 n ? a3 3 n 3 na a5 da da - da , 2 a a? 2 3 seu ( 411. é " , dn OR dt ; et n = a2 dc 1 -35 IR dc . dc Hinc. a? 1 Sndt 3SS dR -d12 dc (e ") a?

414 #. Nonnulla circa functionem R hic veniunt subjungenda . Ac 1º. quoad 0 " 0 " , ... , quae in ea fun ctione continentur ( 58. o ! " ) , quaeque denotant distantias inter planetam turbatum m ' el singulos perturbantes m , in '" ... 1 manifeste habemus '2 " = h'2 + 2 2K' k " cos (kk ) , 0 " " = k2 + 2'2 22' K " cos( k' k " ) , etc.377 Exhibe per e angulum interceplum planis orbitarum m ' et m " ; per w el a ' longitudines veras ( 380. 7 ° ) eorumdem m et m " ; per y ety" angulos , quos intersectio illorum planorum efficit cum iis rectis unde computantur W et al. Ex triangulo sphaerico, cujus latera respondent angulis factis a radiis vectoribus k' et k " inter se et cum dicta planorum intersectione, erues ( 173. 7° ) cos( k ' k " ) cos( W — 9 ) cos( w ' — 9 " ) + sinw ) sin( w " - g! ' ) COS B . 7+ Rectas, unde computantur w etw " , ita same utexsi. staty = " " ; ac pro cos e substitue ejus valorem 1 2sin { E : quoniam cos ( W 7 ) cos ( w " sin(wy)sin( w "-7 ) =cos[ (y)- (wy) ] = cos(w— a) , 2sin( a - y ) sind w ' - 7 ) = cos[ ( w " — 9 ) - ( w - y ) ] cos [ ( ' ) + w — 9 ) ] cos( w " cost w + w — 27 ); ideo habebis. cos ( k' k " ) = cos ( W' W ) + ( cos( w " + w - 2y ) - cos( w" —W ) ] sin> { B ; et consequenter , facto cos(w " + W — 2y ) - cos( W " W ) U , 0'2 = k'2 + k " 2 – 2k' k ' cost as ' --w ) - 2k' k" u sina į E. Ad angulum & quod pertinet, designantibus ( 380 ) i et i" inclinationes orbitarum ad planum XSY , b et blon gitudines respectivorum nodorum super ipso XSY ; triangulum sphaericum , cujus latera respondent angulis quos 11 peae nodorum faciunt inter se et cum orbitarum intersectione , suppeditabit ( 173. 8° ) cos E = sin( 180 ° -i) sini" cos(b - 6 " ) - cos ( 180° - i) cosi", seu COSE = - sini sini " cos( 6 - 615+ cosi cosi". Simili modo, si exhibeat e' angulum interceptum planis orbitarum m' et m " , et quod in ordine ad m" est W " , g " , 8" , 1 " , sit w , wo", 6 " , i ' " in ordine ad m '" ; sumpto pariter ge ' =y , ac posito cos( 6 " + W — 27 ) - cos (w " W ) = " , prodibunt 01" = k + k "? — 2k' k cos ( W "-w)—2k' k " v' sinasa's cose = sini sini" cos( 6 - 6 ) + cosi cosi" " ; atque ita porro quoad m " , m ' , etc. 2º. Inde sequitur R ( 58. o " ) coalescere et fun ctionibus et radiorum vectorum k' , k " , "" ... et sinuum cosinunmque tum longitudinum w , w " , w " ... , 6,6" , 6 . cum inclinationimi , i i ' " ' multiplicatis per respondentes niassas perturbatrices. dR dᎡ dk Ad obtinenda igitur -dt etc. dc dh di integrationesque faciendas( +11: " ), necesse erit in R substituere valores k ' , k ... w , w ", w " etc. expressos per elementa c , h , i ... ac tempus ii ejustnodi vero substitutionern eisi 100 conceditur efficere per veros accoratosque valores, concedilur tamen per alios atque alios successive valores -dt , • dt , 9379 " magis semper veris accuratisque proximos. Cum enim planetarum massae sint admodum exiguae ( 83. 1 ° ) prae massa solis ( idipsum ( 83. 2 ° ), exempta luna, dicendum de satellitibus respectu suorum primariorum); qui termini in aequationibus ad turbatum motum multiplicantur per ( 83.3°) rationes m" , m " exsistent admodum parvi praereliquis: et consequenter quae differentia ( de se jam tenuis) intercedit inter proximos et veros valores , non gignet, postquam est multiplicata per aliquam ex jis rationibus , nisi differentiam adhuc tenujorem inter ea , quae resultant e substitutione valorum veris proximorum, et quae resultarent e substitutione valorum accuratorun. Quoniam ergo motus ellipticus (in quo nimirnm nullus habetur respectus massarum perturbantium) considerari potest tanquam prima appropinquatio ad verum motum turbatum, obtinebitor secunda appropinquatio in qua vide licet habetur respectus primae dimensionis massarum ) substituendo in R valores k' , k" , w , w " etc. pertinentes ( 380 ) ad motum ellipticum , obtinebitur tertia appropin quatio ( in qua scilicet habetur respectus secundae dimensio nis massarum ) substituendo in R valores erutos e secunda, et sic deinceps . 3º. Facile intelligimus in secunda appropinqua lione effectum cujusque massae perturbantis clim spectari ; perinde nimirum ac si caeterae pertur batrices massae non essent. Factis itaque m '" = 0, m " = 0 etc., quoad m" erit ( 58. o " ) R = posse disjun - d's 0 mi" ( k's + ks 2k™ 3 -do). seu ( 1 ° ) 1 R = V ks + k? — 2k'k " cos ( w" —W ) — 2k'k " :380 m'k 22 ( cos( w “ – W ) + u sina į e ) ; abi substituendi valores k' , k " , w ,wex motu elliptico.

4°. Valores istos usque ad secundam potentiam excentricitatis perduximus ( 180. 8º. 9° ): nanc ecce illos usque ad sextam excentricitatis potentiam.

• -a (1+ 30 - [ - + 2 ]coat ne +

c - – h ) – [ € - § 8 + 1 £ 6 ] cos2(nt to- h ) 16 3 45 I s 35 ] cos 3( nt to - h ) - 128 2 £4 . £6 ] cos 4 ( nt + o - h ) 5 125 27 -s5 cos 5(nt to - h ) 384 20 s® cos6(ne-to- hy). 5 w = nt + c + [ 2 € €5 ] sin( nt + 14 + 96 --- + -- ** + 1952 - Jain2inte ") +113 - 6 43 -35 ] sin 3 ( nt + c - h ) + 64381 [ 103 96 € 4 451 480 86 ] sio 4 ( nt + c - h ) 1097 25 sin 5 ( nt +ch + 1223 26 sin 6( nt + 960 160 ch) : item k's + (1+ }/" - [7 - 3+ 192 *]cosins": + c" —W")- ... ) , w = n'e + c " + [ 2 ¢ ” – 14+ * -3'15 ] sin (n'e + e - h" ) to.... 96 Vides coefficientes sive angulorum nt+ c et h, si ve angulorum n't + c et h", sub cos et sin esse ejusdem quidem valoris sed contrarii signi . Vides praeterea cosi num vel sinum sive simplicis , dupli , tripli ... anga li nt +c - h , sive simplicis , dupli , tripli . angu li n'c + c " —h" , multiplicari per seriem ordinatam juxta excentricitatis potentias ; ubi crescunt exponentes duplici semper unitate post primum : qui primus exponens est 1 in casu anguli simplicis , 2 in casu anguli dupli , 3 in ca su anguli tripli , etc. 5º. Concipe valores (4º ) substitui in functione R ( 39) . Denotantibus a , a " , B , B" , 1 numeros integros si ve > 0 , sive = 0 , sive <0 , poterit R sic evolsi ut qui libet ejus terminus repraeseptetur per382 m " G cos [ 1" ( n " t + c ) -A ( nt + c ) — Bh a' k " — 2uy ] : iique numeri erunt eales , ut praebeant aequationem B -- 3 -- 2u = 0 : quae aequatio vel ex eo potest intelligi , quod valor fun ctionis R nullo pacto ( 58. o " ) pendeat ab origine lon gitudinum ( 380. 70 ) , debeatque in singulis suis termi -- nis eundem retinere valorem, utcumque mutator longitu diuum origo. Fac itaque ut mutetur origo quantitate I: lan tunden auzebuntur vel minuentur angulint +c, nt + c" , h, h “ , 7 ; ac proinde locale incrementum vel decrementum exprimelur per TA" - A - B - B - 2H ) I : quod cum ob dictam independentiam debeat esse nullum ; propterea etc. 6º. In hypothesi orbitarum circularium, atque in uno eodemque plano jaceutium, forent k' = a , k " = a " , w = nt + 0 , w ' = n't + 6,8 = 0 ; et consequenter mº R = Vai ta" — Zaa ' cos( n't — nt + 0" — c ) > ( S) m'a cos( n " - nt tc" -c ) . a'a Evolutio ( 59) nimirum functionis R suppeditaret terminos se exhibentes sub forma383 m " o cos[ 1" (n"? tc" ) — A ni + c] ; unde A " A = 0 , et A " = A : inferimus differentiam in ler a et a " provenire ex terminis pendentibus ab orbila rom excentricitatibus et a mutua illarum inclinatione. 70. Quoniam istiusmodi iuclinatio suppeditat sin satis exiguum ( 373 ),poterit R ( 3º ) evolvi juxta potentias quan titatis sinal e in seriem bene convergentem : cum igitur sit [hi's +k " 3 - 2k 'k " cos( 6 " W ) — 2h' k' u sina sin” ar = [ k's + **) — 2K*K”cos(w" -w) ] + k' k" v sin : 1 2 [ k's + k"> - 2kk' cos ( w " w ]- + .. iccirco m " R V 12 + k2– 2k' k" cos( W ' W ) mk k'a -cos( 6 " —W ) + m " k' k" [(k»" + 1": — 2k' k” cos (c—0%" —W1W ) ma

]

u sin ? 11+ k2384 ! . 8º. Factor G ( 59) nihil est aliud nisi series ex lerminis, qui pendent ab excentricitatibus & , E" , et a sinu dimidiae inclinationis e; quorum terminorum primus , de signante t factorem independentem ab excentricitatibus et ab inclinatione, exprimetur ( 4°) per T şirB " ( sin { b )2H sumptis positive numeris B , B " , 1. Iam si € , é " , sin e censentur admodum parvae quantitates primi ordinis ; & , E ? , sin? į , se " , e sin B , é" sin { e secundi ordinis; 83 , 32 sinį , & sina į B , ... tertii ordinis , etc .; liquet primum illum seriei terminum fore ordinis el13 B + B" + 20. ,, seu ( 50 ) A" Quoad reliquos terminos seriei ; eorum ordines ita cre scunt, ut cujusque ordo duplici unitate superet ordinem ter mini immediate praecedentis. 99. Si in evolutione functionis R ( 7 ) non habetur ratio ordinum altiorum secundo, pars libera ab inclina tione e traducetur ( 49 ) ad ( S: 6° ); pars vero pendens ab E traducetur ad m’usin";s(aa" [a2 + "?—2 aa" cos ( n "ı — ne + 6-031-33 ). assumpta v = cos ( n't + nt +6 + 6–27 ) – cos( n't - nt + c2 - C ).385 10º.Ad quemcumqueordinem pertrahaturevolutio fun . clionis R , inde prodibuoi semper binae terminorum species di stinctae: prima est illorum terminorum qui sub sin vel cos com plectantur motus medios nt et n't, eorumque dupla, tripla etc; secunda est illorum terminorum qni istiusmodi molus minime complectuntur, sed orbitarum duntaxat elementa. Hae ler. minorum species non eadem ratione reperiuntur in functio ne R : sume ex ( o “. 58 ) generalem valorein R quoad m' et mi' nimirum R m " x'x " +'y " + z'z " R3 et facto m + in ' = 1 , s ' substitue valores et k " : 31 ex motu elliptico ( o ': 59 ) massae m" : habebis K'3 x'da x' + ' de + z diz mii ( R * + Valores elliptici coordinatarom x ' , ' , a exprimi pos sunt ( 380. 5º, 6º. 7 ° ) per series sinuum et cosinuum sim plicis , dupli , tripli ... angali nt +c - h ; item coor dipatarum x " , y ", z" per series sinuum et cosinuum sin plicis , dupli , tripli ... anguli n'l to " nt + - h " ; ex valo ribus insuper dex" , dạy " , d’z' disparent partes constan tes : non poterit ergo x'd2a" tyd y " + z'daz " suppe dla ditare nisi terminos primae speciei; eruntque proinde ter mini secundae speciei quaerendi ( quum nempe investiga 25386 tio finibus secundae ( 20 ) appropinquationis continetur ) 1 inter terminos emergentes ex evolutione solius . O" 110. Inter terminos emergentes ex evolutione illa pertinebunt ad secundam speciem ii tantum , quibus ( 50 ) respondent i = 0 , A = 0 ; et consequenter 3 + 3" + 21 = 0 . Quoad terminos igitur secundae speciei ; primo 0 , b = 0,1 = 0 ; secundo vel B = - B" et i = 0, vel B = 21 et B ' 0 vel B"' 0 ; ter

21. Propterea , denotantibus p ... 0 , e... s , s ' . v , .. , quantitates unice pen dentes a semiaxibus transversis , habebimus ( 8° ) in pri B 21 et B tio B + B " T . P > mo casu m' [ " +1' ( + 52 ) + " sº £ " * + qy! ( 54 + $" * ) + p sina e + p ' ( 82 + € 2 ) sin set . . ] ; in secundo m' [ e se " cos ( h – 1 " ) + ( 82 $*** cos ( h " ) + q " (33 é' + εE'3) cos (h - ") + sea sinal e cos( 2h --2y) + ś ' 2 sina 4 e cos ( 2h' - 2y ) + ] ; in tertio m "' [ v kt" sinº į E cos ( h + h " — 27 ) + ... ] . 12º. Hinc si per ( R ) designamus eam partem functionis evolutae R, quae constat e solis terminis secun387 dae speciei , neque praetergredimur secundum ordinem ( 80 ) , erit ( R ) m " [ T + ( 6 + $ ' ? ) + e se " cos( h – h ) + p sina le ] 1 Allendenti ad evolutionem ( 414. 70 ) termini zoom patebit fore r = 3 ad as 2 < 0 . la + a's ) ; > dR dᎡ 13°. Substitutis valoribus dc dh dR etc. in ( e " : 411 ) , termini ( 10° ) primae speciei di perstabunt, etiam post integrationem, in specie sua ; adhuc nimirum sab sin vel cos complectentur motus medios: et quia medii corporum coelestium motus fluont aequabiliter inter 0° et 360° in unaquaque revolutione, iccirco ii termini re cedent quidem hinc inde aliquantum a proprio valore me dio, sed statis temporibus ad valorem illum post interval lam magis vel minus breve constanter redibuat: huc spe ctant perlurbationes, quae dicuntur periodicae. Angulus sub sin vel cos appellatur argumentum: coefficiens istius sinus vel cosinus ( utpote designans quid evadat terminus quum sinus vel cosinus = 1 ) respondet maximo perturbationis va lori: et quoniam reversio ad ejusmodi valorem maximum postulat ut argumento fiat accessio integrae peripheriae, ideo in temporis intervallo ad id requisito habebimus pertar bationis periodum. Quod attinet ad terminos secundae speciei, introductos in ( e ”': 411 ) per ante dictas substitutiones, ii multiplicati per dt388 dabunt totidem terminos ipsi dt proportionales; unde, factis integrationibus, exsurgent termini crescentes ut i , minime que pendentes a planetarunm positione in suis orbiiis: huc spectant perturbationes, quae dicuntur seculares. 14° Ad quemcumque ordinem pars ( 12° : 13° ) secularis ( R) pertrahatur, ea neque c continebit, neque c" : non enim potest ( R) esse libera ab nt et n't quin simul ( 5 ° : 11 ° ) sit libera ab c et c' '.

De secularibus elementorum perturbationibus.

415# . Cum ( 414. 14° ) sit d( R ) dc - = 0 , prima ( a' ' : 411 ) dabit 2 da re dR ) de dt : 0 . na Nulla igitur exsistet perturbatio secularis in axe trans verso orbitae variatae ; nec proinde iste axis alias pali poterit perturbationes nisi periodicas, habito videlicet re spectu primae tantum dimensionis massarum. Id ipsum di cendum de motu medio ; siquidem ( 413 ) 3 du dR ) -dl = 0 dc . Q?

416*. Ob eamdem d.R) de 0 , sccunda le " : 411 ) praebet389 d : - V 1 - $2 MR na2 dh dt ; qua determinatur secularis variatio excentricitatis. Adhi bito valore ( R ) ex ( 414. 12° ) , designatisque ? , í , e , e per ( a , a " ) , ila , a" ), . ( a , a " ) 2 , -2 ) a , a" | , ut scribatur ( R ) == ni" [( a , a " ) + } ( a , a " ), ( 8 + $"2y + ( a , a la se " cos( h – 1 " ) - 21a , a " | sin? | E), d'R ) erit m " ( a , a " 12 EE" sind h - h ' ) , et con dh sequenter de m "7-82 V na? (a , a" ) , i " sin ( h - h " ) dt = - m' ' ( 1—82 ) па? ( a , a " ) , &" sind h - h " ) dt , seu m " ds ( a , a " )ze" sin ( h - h " )dt . naa d ( R ) Ad haec : Emi" ( a , a" ), et de ( a, a " ), " cos( h — h " ): substituto insuper 1-cos e pro asinale in ( R ) , et spectato valore cos e ( 414. 1 ° ) , assequimur dR) di m " | a , a" | (cosi sini" cos (6—6") — sivi cosi“ ), dR db -In a" | sini sini" sin ( b — 6 " !. Tertia igi390 tur , quarta et quinta ( e ": 411 ) , retentis duntaxat termi nis primi ordinis respectu excentricitatis, dabunt db m " la a " | па? ( coti sini ' cos( b - 6 ) - cosi' ' ) dt, mla di a , c" |( sini " sin( 6— )jde, па2 dh = mis (la ,a " ), + ( 2,4 " ) cos(h – H“) de : quibus formulis determinantur variationes seculares in lon gitudine nodorum, in inclinatione orbitae m' ad planum ( 380 ) fixum XSY , et in longiludine perihelii .

417*. Quoad massani m " turbatam ab m' , fa cile intelligimus fore dé's la" , a ), é sin ( h " - h ) dt , n'a'la db m' la" al, ( coli" sini cos (6 -6) – cosi) dt, etc. na's Sunt ( a" , a ); = ( a ,'a ' . , la , a ), = ( a , a" ),, la" , a | = | a , a" | ; atque in porro.

418# . In valore cose(414.1 ° ) sume i"=0, ul e fiat ia dependens ab elemento b, inclinatio i recidat in inclinationem , sicque ipsa i referatur ad planum orbitae m' ; erunt (416)391 dR ) d R) de 2m " | a , a " | sin } E cos 6 = di -m" | a , a " | sini, d( R) = 0 : proinde tertia et quar. db ta ( e " : 411) in casu dabunt m " | a , a"'Ide , di = 0 . db na? Speclatis itaque duabus massis m' et m " ; mutua or bitarum intersectio, quoad seculares perturbationes, move bitur motu retrogrado in plano orbitae attinentis ad mas sam turbatricem , quin tamen mutua orbitarum inclinatio ullam patiatur secularem perturbationem.

419 #. In obtinenda (414. 29) secunda appropinqua lione, elementa elliptica habeantur ( 399. 6° ) pro constan tibus apud valores variationum intra lempusculum di obve nientium ipsis elementis: id , sumpris integralibus, praebebit ( 416: 418 ) & , b , i , h sub hac forma , K't + const. , b = "et const. > ¿ k " + const. , h x " t + const. ; ubi constantes quantitates additae ex integratione nihil suut aliud nisi respondentia elementa elliptica ; siquidem haec ea dem elementa designantur per a , b , i , h quum t = 0: fa ctores aulem k' , exprimunt secularem variationem obvenientem ipsis elementis ellipticis intra unamquamque Lemporis unitatem. Simili modo ( 417 ) K392 Ś' = + const. , b ' = 1,1 + const. , " = 13t + const . , N " K40 + const . Si valores € , b , ... allinentes ad secundam appropin quationem substituuntur in coefficientibus aequationum dif ferentialium , et rursus fit integratio ; termini proportiona . les tempori, simulque multiplicati per dt , inducent qua dratum temporis in nova integralia: sic prodibunt novi va lores , qui ad tertiam attinebunt appropinquationem, el se se offerent sub hac forma , { = x ' ? +-1'p + const. , b = x'c 7 5. "12 + const . , etc.

420 * . Quoniam , crescente tempore , constanter crescunt inventi valores € , é'.i , ..., dubitare quis polerit de stabilitate systematis planetici ; utrum nempe planetarum orbitae notabiliter mutaturae tandem sint necne naturam et positionem suam: ad quam dubitationem expendendam, haec subjicimus. 10. Considerantes omnes simul massas perturba trices, et pro asina į B, asina , B' , ... , adhibentes 1 - COSE , 1 cos B' , ... habemus quoad motum turbatum saem' , mas. (R ) = m " [( a , a " ) + ila , a " ), ( 82 + $12 ) + ( a , a" ) , se " cos( h - 1 ) ] + ni" [( a , a " ) + ila , a " ) , ( 2 + 8" ) + ( a , a ' ) , se'"' cos( h - h * ')] + ... - m " | a, a " | ( 1 - COS E ) -mn " | , a " | ( 4- cos e ') - ... :393 quoad motum turbatum massae in" , ( R " ) = m '[( a" , a ) + ( a" , a ), ( é " +82 ) + ( a " , a la €" e cos ( h " -h } ] + m '" [ ( a " , a " ) + i la " , a ), ( * " 2 +8" 42) + ( a " , a " ' ) , e”t" cos(h" —K" )] + ... ni'lia" , a | ( 1— cose) — m ' " | a" , a " * | (1 — cose,)-— ...; etc ... positis itaque Q = m 'm " [ ( a , a" ) + 1 ( a , a" ) , ( 8 + $" * ) + ( a , a " ) , ee" cos( h – h " )] + m'm [( a , a " ) + ... ]+... +m "m" [( a , a "' ) + į ( a " , a " ' ), ( 8" + " 2 ) + (a" , a ' " ), E" t " cos(h " — h '"') ] + m " m " [ (a ”, a " ) + ... ]+... , ¥ = -m'm " | a , a " | (1.- cos e ) — m 'm " | a, a"' | ( 1 cose') - .... — 2 m'm " | a" , a " | ( 1 – COSE,) ... , exsistent ( 416 : 417 ) d'R) 1 1 dh d ( R ) di dy di > m ' dh mi d R ) 1 dy : 1 db DR ) de dΦ de 3 m db ; ma394 dR ) 1 dΦ 1 m' ' dh' d ( R ' ) di" dY dk di" dR " ) 1 db 1 dy mdb" d ( R ) dé dº - : tic : de" unde 1 dY de f dt, db = m' name dh m'na 1 di = dy db dt . m' na? sini ( ) 1 dh do de dt ; m'na? E de" 1 m'n'a " 28 " dΦ dh ' dt 1 db 1 m " na sini" dy dindt , ( f ') 1 di = dy di " dt , m" n a 2 siui dh' 1 m " n ' a " é dø de dt ; et sic deinceps. 20. Quia dcos( h — h ) dcos( h - ) + dh' =0, etc. dh395 dcos( b - 6 " ) db dcos( 6 - 8 " ) =0, etc.; db ideo ( 19: 414. 90 ) do dó dh dΦ dh" = 0 , dh dY dy dY db + db + db "" 0 ; quae , substituris valoribus do dh dy db ex ( f : f ... 10 ), praebebunt m'na Ede to man"ah's " de + m'n'a? '" d " " + -0 , mi' na sini di to m'n ' a'2 sini" di" + m '" n a '" , sini' " ' di" + .. 0 ; sumptisque integralibus , m'na ga + m "n "a !!) +- m " n'"'a24'" + ... = const., m'na cosit m'n“ a*"*cosi' + m '"n " a""'2cosi"' + ... = const. 36 (82) Facta m =1 , habemus ( 399 . 14° ) na = 1/ 1/을 ( 1 + m ' ) a n'a' ? = ( 1 + ni" ) a ". insuper ( 27 • 290 ) cosi = 1- i?, cosi' = 1-4;" , etc: , etc ;396 propterea m'sal 1 +m' ) a +m " s" ?( 1 + m " ) a" to.... = const . , m ' ( 1 + m ' ) a (1- ) + m " ( 1 + m " ) a " ( 1 - 12) + .... Const. Omissis terminis, ubi massarum perturbantium dimensio est major quam prima , m ' >Va + m " " Va" + m " &"'>V \x " + ... = const., miyamºtº Va' + m " : ": Va" + ... = 2 m 'Va + m Vas + n " va" + ... – const. ) == const. 3º . Sub hypothesi massarum m' , m ' , m " in eadem directione motarum circa m, est n >0 , n -0, n" " >0, etc; et consequenter apud prima membra aequatio num ( f" : 2° ) quisque terminus erit positivus, ac < const. apud ultima membra. Quare si excentricitates € , &" , " ' , ... , inclinationesque i , i" , 2 " , ... semel extiterint sic exi guae ut const. inde determinata prodierit admodum parva, singulae eie" , ... i , i .. in suis utcumque diutinis variationibus nunquam poterunt e sat vicinis magnitudinis limitibus egredi , nedum crescere indefinite : hinc firmitas planetici systematis relate ad excentricitates et incli . nationes. Sed planetici systematis firmitas adhuc magis innotescet ex forma, sub qua sese exhibent integralia accurata formu larum ( f : f ... 10 )397 4º. Ponamus itaque s sinh =p et Ecosh 9 ; habebimus tangh р &a =pa + 9 , dp dh - > Ecosh 9 dp ds sinh , dq dh Esinh , da cosh ; unde de do do dp dh + dø da dq dh dΦ dp Ecosh - dh dp Esinh , dq dø dΦ de dΦ dp dp + de do dq da de sinh - dp da cosh : et consequenter prima et quarta ( f) vertentur dΦ in de 1 m na2 cosh do da / sinh (edppe het , Galat 1 dh dΦ dp sinh + cosh m'name da Jde ;

quibus va

loribus ds et dh substitutis in dp sinh de + scoshdh dg =coshda € sinhdh , emergent quoad m 1 do dp = m'na: da -dt , da 1 m'na do dp dt . - Simili modo , positis é sinh" = p " et e" cosh " " ,1 i ” sinh " = p " et " cosh " -9 " , etc, ex prima et quarta ( f ... 10 ) assequemur quoad m " , m " , etc.398 1 do dp" 1 do dt , dq" ni'n " a " 3 dq" • da" - mºn "a" s dprde 1 do dp” - m "alz dande , da ” 1 n a2 '"'2 do dp dl , etc . 50. In casu , & +8" ? =p3 + q * + p "? + ' , Ee” cos( h – h" ) = €€ " (sinh sinh " + cosh cosh "; = pp + 99" , etc : proinde ( 10 ) Q = m'm " [la , e" ) tila , a" ). (p + q * + p" : + q"> ) + ( a , a ). ( pp ” + 99" ) ] + mm" [ ( a , a ") + ila , a " ), (p2 + q * + p " + 9 " ) + ( a , a"'), (pp " + 99' "' ) ] + ... + mi' m " [la" , a"') + ( a " , a " ') , ( p " + 9 ": + p " +91" ) + ( a " , a' ' ) , ( pp" + 9"7 ") ] + ...; dФ ex qua eruentur dø dq do dp "

et adhibita

dp substitutione ( 4º ) , obtinebuntur quoad m' ,I 399 dp de [ la , a " ), g + la , a " )a9' ] + па2 m [ ( a , a"'), 9 tla , a" )a9] + ..... , na2 "(f) da dt mana [ka ,cº),p + (2,4")>p"]– [( a , a"" ) p + ( a , a "' ), p" ] -.... ; па? quoad m " in ' dp " de n'a'2- [( a , a" ), 9 " + ( a, a "), 9] + m " nhala[ [ ( a " , a" ) , 9" + la"; a" ), 9" ] + ) + ..... dq" de maa[la , a"),p " + ( a , a")ap m ( A ) mai[la", a" ).p" + 1a ", a“ )2p" ]—- ; atque ita porro quoad m' " , mil , etc. 6º. Pope sinb sini = r , cosb sini = s ; habebis dr sin’i = r2 + 52 , tangb cosb sini , S db dr sinb cosi ds db sinb sini ds = cosbcosi ; di di400 dy unde dy dr dr di Nds + di ds di du COS ( dy dy -sinot dr ds cosb) . dy db dr db + dy ds ds db - = sini ( dy dr cosb dy d's sinb )

et con

sequenter secunda ac tertia ( p ) verlentur in db 1 mi n a sini cosi ( com dy dy sinb + dr ds cosbJde, di 1 m'na22) ( 4 d -cosb dr dy ds sin 1 ) di : quibus valoribus db et di substitutis in dr = cosb sini db + sinb cosi di , ds = cosb cosi di — sinb sini db , emergent quoad m' cosi dr dy ds -dt , ds = - cosi m'na ? dy -de m'na ? dr Simili modo , positis sivb " sini" p " et cosb'sini" sinb"' sini" por el cosb " sini"" soll , etc. , e secun da ac tertia ipo ) assequemur quoad m ", 1 cosi" dr" dy ds dt . ds" : cosi " m'na'2 dri" dt, etc. 2 1 ni il il 3401 1 7 ' . In casu , sini sini" cos( 6 - 6 " ) sinisini " ( sinb siob ' + cosb cosb" ) rr " + ss", cosi cosi " = 을 ( 1 sin i ) ( 1 sin i" ) = ( 1-13 رو - 을 52 ) ( 1 $ " 9" 3 ] ,, etc. hinc ( 414. 1 ° ) 1 COS E == 을 1 - pp" —Ss" - 11 - p2 - 52 ) ( 1 " s" ) ( met sot " 3 + g"? ) - př " - 55" , etc;missis termni nis, quorum dimensio excedit secundam respectu inclina tionum . Propterea ( 10 ) V = -m' m ' la , a " | [ 1 ( p2 +52 + posts"2 ) - para – ss ' ] – mm " | a , a '" | [ 1 ( m2 +53 +""* + s'ha) —rr ' ' –ss ] -... – – m " mi" | a" , a " | [ [ (-2+ s'a + pit's + 3.12 ) — " — s " 5 " ] - ... : dY ex quá eruentur dy ds dy dr . dr " . ; et adhi bita substitutione ( 6° ) , animadvertendo quod .perinde hic est mittere terminos praedictae dimensionis ac sumere cosi = V1 - p2 - 53 = 1 , cosi " = V7- po"2 21etc., assequemur quoad m' 26402 dr do m' ' la , a " | (5-8 ) – la na? na? IV m ' a"? | 55( " ) 1a , a" lis - sh ) — .. , па2 )(p" ds ma m" ' ' па? 1a , a " | rou ( ) + Ia dt па? m " a ' | (r- '" ) + la , a " | rp( ) + ... ; naa quoad m" dir " dt , naa 12 , a " 1 (3-5) m | a" ,a " |16" -- 8'" ) -... , Yle " ) dt n'd's 12,2 " | ( x - 7 ) + m " . n'as 2 " , 2" I love — m' ) — ... ; atque ita quoad m" , . 8º. Linearium aequationum primi ordinis ( por : p " ... fr : f ...) integratio praebebit p , 9.p ; a" , s , gold 3 ", ... , et consequenter (4 ° : 6 °) variatos ele mentorum valores e, h , ê , h " , ... b, i, 6 ", 1 " ... pro quovis tempore : facile autem ostenditur earum aequationum inte403 ut gralia respectu systematis planetici fore libera exponentia libus. Quod enim spectat ad pro: pie ... ) si p.q , o , q " .... ponuntur adailtere v . gr. Pe Qe , P'e , Qe р --Pe to 1,9 =Qe to.., p " = P "e to , q" = 0€ + erunt ( 40 ) 8 = p2 + 92 ( P + Qa) e + ... , " = ( p" + Q " ? ) e t ...,etc .; ideoque prima ( 82: 2° ) suppeditabit ut sint 2ut 2ut [ m'na ? ( P2 + Qi ) + mn " a" ( P "3+ zut 0 " ) + ... Je to .. = const . Fac at e denotet maximum omnium exponentialium in p.9 , ... : manifestum est [m'na' (Ps + Qa) + ... Je minime destructum iri ab aliis terminis, primumque mem brum haud mansurum =const. , nisi fuerit m'na? ( pat Q? ) + .... = 0 : et quia respectu systematis planetici quisque terminus istius aequationis est ( 30) positivus, iccirco P = 0 , Q = 0 , P = 0,0" = 0 , etc. Cum igitur haec ratiocinatio recurrat in ordine ad reliqua exponentialia a maximo ad minimum usque, jam patet etc. Quod vero spectat ad ( p " : f " ... ) , retentis deno minationibus P , Q , u , P ” ... , positisque r = Pe le tours p " = p'e to Q" e t ..., elc , erunt ( 6° ) cosi V t - p2 1- ¿ ( r2 to 52 ) = 1 - } ( P + Q2 ) etc, cosi " = 1 - ] ( ps2 + 3" 2 ) = ut zut 2ut 1- ( Ps + Q 2)e elc; ideoque secunda (82: 2 ° ) praebebit404 m ' na : + m " n'a" + ...- (m'na? ( P2 + Qolt 2ut etc. = const. - 1 Pi" + P m'n"a " * / P " > + Q'2 ) to .. Je Hinc rursus P = 0 , Q = 0 , P = 0 , .. ; unde etc. Simili modo ostenditur earumdem aequationum ( fur : pir ... fr : fu ... ) integralia respectu systematis plane tici libera etiam esse potentiis temporis t ; assumptis nimi rum sive p iq Qt" + ... , p = P " q" + ... , etc. , et habita ratione primae ( 52 ) ; sive r = P " to . Qt" + ... , " = P" (" + .. , etc, et habita ratione secundae ( 82 ) . Restat igitur, attenta dictarum aequationum natura, at p.q ... r .. , ac per consequens ( 40: 6 ° ) accuratae elementorum variatorum expressiones conslent terminis dun taxat periodicis. Certe , non ita est de proximis jamque spe ctatis ( 419 ) elementorum expressionibus, quae proximae expressiones censendae proinde erunt sufficienter exactae per tempus tantummodo magis minusve longum.

9º. Assumptisp = sin(utta) , q = Scosſut+a ), S “ sin ( ut tanq" = S " cos(ut + a ) , ... , binae (pour) praebebunt Su [la , a" ) , stla , a" ), S ] + S p' ' m ' па2 m " паз [la , a'" ) , 5 + ( a , a "'), S' ]+ ... ; binae ( p " ) , ( 83) m ' S'u na[la , a" , S " + ( a , a ") , S ] + m Na -[(a" , a" ' ) , S" Fla" , a'"), S'" ] + ... ; etc.405 seu hoc pacto ( denotante l numerum massarum m ' , m , numerum constantium S , S ' , ... ) 21 aequationes ( p " : p " ... ) suppeditabunt l relationes ( 83 ). Eliminatis v. gr. S " , S'"' , .. .. ab ( 93 ) , emerget aequatio qu = 0 gradus l respectu u ; ex qua aequatione disparebit de se quantitas S; quae proinde ' S manebit arbitraria: sic posito m " 1 2 erunt Su [( a , a " ), S + ( a , a "), S" ] , па2 mi Shu n'a' minata S" , [ ( a , a" ) , S + la , a" ), S ] ; et eli na? us - m"(a , a " , S mila , a la m ' ( a , a " ) , S n'a " u — m '( a , a" ) , 0 : = 0 aequatio secundi gradus quoad u ; ex qua aequatione dispa ret de se quantitas S. Designatis itaque l radicibus aequationis olu ) per u , U, , U2 ... , iisque successive substitutis in (83) , cuique radici proprium respondebit systema quantitatum S , ... ; radici u systema S , S , S '” , .... , radici u , syste ma S ,, S" , Tr..., radici uz systema S2 , S , ', S , ", .. , etc : in unoquoque systemate una ex quantitatibus manebit arbi traria; per quam exprimeatur caeterae ad idem pertinen tes systema. Explebuntur ergo ( p " : f ... ) sive per p = S . Ssin (ut + a ) , 9 Scos(ut + a) , p' Ssin(ut +a) , ... , sive per p =S, sind u , i tQ ) , q = S , cos( uzita ) , p " = S", sin ( 4 , 1 + ) , ... ; sive perp = S,sin(uge + a) ,406 q = S.cos( ugl -tag ) , p = S " , sin( uzt + ) , ... , sive etc.

10º. Consequitur expletum iri (p "" : f " ... ) etiam per p = Ssin(ut + c ) + s , sin(u ,et HSsin (uzt + Qa) + q = Scos ( ul+ 6 + S,cos(u,t-+- 6 ) + Sucos(uge + 2 ) + ... , p" = S“sin(ue+ oHS",sin(u,et «.) + S",sin (uzetas) + ... , etc; in quibus cum arbitrariae S , S , ... Q , Q , sint nume ro 21 , inferimus istiusmodi valores p.9.p" ... fore in tegralia completa ipsarum ( f " : f ... ).

110 Notentur haec tria : primo , aequatio plu ) = 0 nullam admittit imaginariam radicem; si enim una radix u = H + V - 1 , foret simul alia radix v . gr. Uz = h -MV - 1 : hinc Ssin [6 Mo + de 1-1 ) 6 + ] + S , sin [(fe. MV - 156 + a , It ... , 9 = Scos[( M + Me ' V - 1)2+ a ] + S, cos [( MV- 1) - Q , ] + ...; unde ( 27. 30° ) Bupat qe = S2 +5, +255, cos( 2u'r V -17 aq,) + .... = S2 + S2+407 ( 4-0) -1 -ge SS, [ e - (4-0, )V - 1 su't ] +... e Radices videlicet imaginariae inducerent exponentialia realia in excentricitatum quadrata: propterea ( 8° ) etc. Secundo; cum excentricitatum quadrata praeter expo nentialia respuant ( 8 °) etiam potentias temporis t , dicen dum quod neque reales aequalesque radices admittit ae quatio pl u ) = 0.

Tertio; ex observationibus eruuntur et orbitarum excen tricitates, et periheliorum longitudines pro dato tempore v.gr. t = 0: inde habemus ( 40 ) p , q , p ' , ... ; quibus valo ribus substitutis in formulis ( 10° ) , innotescent 21 constan tes arbitrariaeque quantitates S , S,, ... Q , Q , ....

120. Determinalis constantibus arbitrariisque quan titatibus, habebuntur (40 ) ex ipsis formulis ( 10° ; et orbita. rum excentricitates, et periheliorum longitudines, nimirum f = pa + = 52 +53+5,2 to.. + 255 cos[ (4, u li to an • « ] + 2SS, cos( ( ug — « )it & x— « ] + ... , р tangh Ssin(ut +2) + S, sin (u ,t tæt ... 9 Scos(uttats, cos(u ,t + Q ) + . atque ita porro quoad "a , hh'" ' , .. Quoniam tang( h- ut — « ) = tangh tang ( ut toa ) 1 + tangh tang(ut+ a )

ideo lang( h - ut -a ) =408

S sin [(u , – ulet a , — « ] + S sin [(un - uleta, « « + ... Sts.cos[(4, -u)e + a ,-_Q] + Sycos[(uz- u ) t - ] + ...

13º. Consideratis valoribus duntaxat numericis S , S, , ...,prima ( 129) dabit &* < (s + S , + Sat ...) . Ad haec : si S, + s , t ... < S ; profecto nequetangh ut — « ) fiet = , neque proiade angulus h – ut - Q perveniet ad 90° ; motusque perihelii in casa exhibebi tur per ut.

140. Hactenus de (pus : g ...) : quoad fu port...), assumptis hic pariter r = Ssin( ut + « ) , s = Scos(ut + a ), p " = S " sin ( ut + « ), ... , binae ( f ) praebebunt m " Su Ila , a " | ( S - S" ) na2 m ' Ia , a' | (5-5" ) –....; па2 binae ( pre ) , m' ( 84 ) Su = la , a" | ( S“ –S ) n'a'2 in ' la" , a ' | ( S" -S ) — .. n'a'2 etc. Sic al aequationes ( fe : f " ... ) suppeditabunt l re lationes ( 84 ) : hisque relationibus manifeste applicantur quae diximus de ( 83 : 9° ) ; adeo ut ( quantitatibus S , ..

1409 itemque radicibus u ,.... determinatis ( 9 ° : 11º ) per (84) integralia completa ipsarum ( po pr ... ) similiter ac in tegralia completa aequationum ( pr : f" ... ) exhibean tar per Ssin(ut + a ) + S , sin(4,4 + 0,1 + Sgsin (uze +22+ ... , Scos(ut + 6 + S.cos (u ,t + a + S.cos(uttalt ... , p" = S “sio (uitats," sin (4,2 + a ,HS," sin (uzlt 2) + ... , etc.

15° . Cum habeamus ( 6° : 70 ) cosi == Vip2 - 52 = 1- ( ma + 5 ) , cumqne cosi 1 - Ain , erit i? = y2 + 52 ; insuper ( 6° ) tangb in ordine igitur ad iz , b et b - ut - & recurrent, quae jam stabilivimus ( 120: 13°) in ordine ad £ 2, h ethut- .

16º. Quisque videt in perturbationibus seculari bas, ob u , U,, ... sub sin vel cos , argumentum ( 414. 13° ) pendere ab m' , m ", ... ; diuturnitatemque periodi eo fore majorem, quo minores exsistunt perturbantes mas sae : maximus praeterea perturbationis valor haud pendet a massa perturbante; siquidem 21 arbitrariae quantitates ( 110) determinari possunt ex elementorum valoribus in initio motus , quum nempe t = 0. Contra , pertur bationibus periodicis neque ( 414. 5° ) argumentum , ne que proinde major vel minor periodi brevitas pendet massa lurbante ; pendet autem maximus perturbatio nis valor. in a 4410 421 # . Superest considerandum sextum elementum, seu longitudo epochae : quoad ejus variationem secularem ultima ( e " : 411 ) suppeditat V1– 2 d ( R ) 2 de = (1 - V 1–82) -dt nade de d ( R ) da dt . na Retentis duntaxat terminis duplicis dimensionis respe ctu excentricitatum, emerget ( 416 ) dc m " [la , a" ) , s tla , a " ), cs" cos( h - 2naa 2m" h" ) ] dt [ dla , a " ) da + na dla , a' ), da $ 2 + " ) + dla , a " ) 2 -EE"' cos( h - da dl k ") 19,0"|(1 – cos a ]]de : quod secundum membrum, substitutis valoribus cosh , E , 1- COSE, ... ex ( 420. 12º . 7º. 14 ° ) , traducetur ad com plexum functionum periodicarum , poteritque integrari quoad i . Quia vero pro epochae longitudine c prodit inde expressio admodum implicata, potius erit adhibere metho dom jam indicatam ( 419 ) .411

Disquiritur utrum, habito respectu secundae dimensionis massarum, expressio motus medii admittat necne terminos seculares.

422#. Designante d variationes finitas ex viribus per turbantibus, prima ( e" : 411 ) quoad secundam ( 414. 2° ) appropinquationem dabit 2 da : s dc DR dt (v) , na sub ea videlicet lege ut evanescat integrale evanescente e et expresso per ? motu medio ſndt, formula ( e " : 413 ) quoad tertiam appropinquationem , sub eadem lege , prae bebit d = -355 1 dR de (at da ja do da - SS11 + dᎡ dc del , seu , missis terminis complectentibus factores da ? , day, 83 = 1511-1 day dea (ory sumpto valore da ex ( w) . Antequam disquiramus utrum in ( v' ) habeantur necne termini seculares , haec praemittimus.

1º. Quemadmodum ( 27. 23° . 29) de = d./b+d4+ dott ...412 du du - dxt dy to dx du dy dz -dz + ... , sic dal dale = dd = dd²u d , due + d ,du + d , du. + ... dx² + dx2 ddaus ddaje-dza + ... + 2 dza dxdy dall dxdy + dyat dya d d²4 2 dxdz t ... dx da + 2_dope dydz dydz + ..... ; et eadem ratione assequemur dap , dill ,... occur

2. Istas differentiandi regulas attendenti patebit eos dem proventuros valores dji, daph, ... sive differentietur fun elio fl , habitis x , y , z ... pro independentibus , sive differentietar f( x + bdx ,y + 6dy , z + Edz ,...) ita, ut ex quantitatibus x + 6dx , y + Edy , % + 6dz , ... ubaquaeque pro unico habeatur termino ; tum rentibus dl x + 6dx ) , dy + Edy ) , diz + 6dz), et peragadtur differentiationes respectu solius 6 , et divi dantur per de differentialia inde orta ; hisque peractis fiat demum ubique 6 = 0. Atqui peculiaris ejusmodi operandi modus in id recidit, ut habita sola 6 pro variabili , facta insuper flx + 6dx , y + Edy , z + Edz , ... ) = 9 ( 6 ) ( V ) , determinatisque functionibus derivatis c'( 6) , $' ( 6) ,. liat dein ubique 6 =0 : posita igitur aequatione ( v . ) , et413 consequenter y = f( x , y , z , ... ) = 010 ), erunt quo que du = $ 10 ) ,dp = 0" (0) , dp = " (0) , etc.

3º. Quoniam ( 27. 29° ) 016) = 010 ) - + 60'( 0 ) + 62 29" (0) + 63 2.3 $ '" (0 ) + ... , ideo ( 20) flac + 6dx , 62 y + 6dy , 3+ 6ds , ... ) = p + Edu. + ž dalt 63 d3 Meto.. 2.3

4º. Substitue valores ( 10 ) dil , dap ,dipl .... : positis 6dx = X , Edy = 1" , 6dx = "' ,... habebis du flx + X' , 7 +2" , 2 + 2" ", ... ) = uta! de እ 2 " du dy +2" du da 22 dar + 2 dx² 212 2 dap. dya 22 d²u 2 dza d² ... + 22 " + % " dd²e. dxdz + ... dxdy +22 dap 23 du + dydz 2.3 dx3 +. : .. 5 ° Relate ad massam m ' turbatam ab mi' , habe414 mus ( 58 : 0) m tm' x =m" K3 x " - x 83 + " -g' ent ). Har nu maiam -gʻ = m ' ( *83

• ) et : = ." (* ) :

relate vero ad m " turbatam ab m dex " dt2 m -tım " ": K13 mm -))...... .

estque o = d . Pri

1 mam quoad motum massae m ' multiplica per 2m '[( m + m" }da' m "dx " ] , secundam per 2m' [( m + m" ) dy' m " dy " ] , tertiam per 2m '[ ( m + m " ]dz' —m "dz" ] ; tum haec producta contrahe in sommam cum iis, quae o btinentur multiplicando primam quoad motum massae m ' per 2m " [( m + m )dx " — m'dx' ] , secundam per 2m " [( m + m dy' - m'dy' ] , tertiam per 2m" [ ( m + m ' dz" – m'dz' ] . Sumptis integralibus , const. m'lm + m" ) dx's + dy's + dza dt ? min + m ' ) dx" + dy"> + dz's di?415 | 2m ' m " dx' dx " + dy' dy " to dz' dz" dt? 1 - 24 m + mt m') [m m ' k H m'm ' - 1 . dR 6 ° . Quia ( 404 : 409 ) C == fn dt , iccirco dc ( 399. 12° 13° ) dx's + dy's + dz' dla mtm ki dR dx" 2 + dy'2 + dz's sn datde ; pariterque ( 420. 10 ) : dla Pri mtm" k " Sn" dR" -dt . Hinc ( 50) dc" ᏧᎡ 7+ dy'

" 1

ae - const. = mlm + m" ) ſn dt + m " ( m + dc 4 ge в m' ) ſ n " dR " de dc " ( v2) 118 m'm' dx' dx' +dy' dy" + dz' dz" de² m ' m " (* + - m + mpya + m ")

aequatio seorsim obtinens quoad unumquemque secularium terminorum ordinem , seorsim quoad unumquemque perio416 dicorum terminorum ordinem ; non enim locus est reda ctioni inter diversas ejusmodi terminorum species. Quibus praemissis, venio ad propositam disquisitionem : certe , si qui sunt termini seculares in ( 0 ) , ii nequeunt oriri nisi ex varia combinatione terminorum functionis R ; nam periodici duntaxat termini differentiari possunt ( 414. 149) quoad c. 423* Ac primo: functio R , prout spectat ad se cundam appropinquationem, evolvitur in seriem termino rum habentium formam jam expositam ( 414. 5° ). Fac com pendii causa a" n " itd" ) - Al nt +c ) = 0 , -(sht B h' + 20y ) = u , - ( B, h + B " k " + 2a, y ) = Q ; pone insuper K, cosa + K, cosa , = K cosa , K, since + K, sina, = Ksinu , ut sint K ’ = K , cosa + K , cosa , ) + K, sing + K, sina, ( K , sina + K, sinas ) º , tanga = K , cosc + K, cosa, habebis ( K, cosa + K, cosa , ) cose – ( K, sina + K, sina ) sino K ( cosa coso C sino sino ), seu K, cos( 0+ a ) + K, cost ota ) = K cos( 6+ ) . Si nimirum ex evolutione functionis R emergunt bini termini m ” K , cos [ a" (n="t + c" ) nl + c ) - Bh — s'h " — 2ay ]417 et mm " A™K , cos[ A"(n": + c " ) - (neto) -3,2 - 3 , " h " — 2x, y], in quibus recurrant iidem et A , reducentur istius modi termini ad unicum m “Kcos[ A" (n" + d") -A ( nt + c ) to ] ( O " ). Consimilem reductionem obtinebis in ordine ad tres terminos, collato videlicet tertio cum ( 0 ') ; consimilem in ordine ad quatuor ; atque ita porro , recurrentibus iisdem A et A apud singulos terminos reducendos, non item iisdem B et A. Pari modo termini, in quibus recurrent iidem A, et A ," , reducentur ad unicum m ”K'cos [4," n't + c') – A; ( nt + c ) + ' ] (u ).; etc. ... Sunt autem quoad ( 2 " ) dR dc = m“ Kasin[ ^ " ( n't + " ) - Al nt +c ) +5 } , da 2mKA nal " n " — An ) cos [ A " ( n't +c ") -- Al nt + c ) +o ) , dR da dc mn'K2A2 -sin2 [ A' (nt + nal" an " -An ) c ) - A nt + c + 0 ] ; et similiter quoad ( 2 " ), etc. Cum igitur R , quatenus per tinet ad secundam appropinquationem , non alios terminos periodicos admitlat in evolutione sui nisi ( 0" ) , ( 20" ) ... cumque producta ex cosinibus et sinibus angulorum sive 27418 aequalium sive inaequalium haud gignant seculares termi nos, consequitur nullas in motum medium seculares varia 1 tiones induci ob variationem . a2 DR

424*. Secundo: habita dc pro functione quantitatis nt ; et mutato nt in nt to o( nt ) , mutabitur dR d2R ( 422. 40 ) dR in dc 0(nt) + ... ; erit da dcd (nt) d R que -oint) variatio obveniens ipsi dcd (nt) dR dc ex of nt ) Exhibente ( 20" ) terminum quemlibet functionis evolutae R, erunt dR dc =m" Kasin [ A " (n't + c") — A (nt + c ) + m ], deR = -m"KA’cos[A" (n't + 6 — " ) - A(nt + c ) + * ] ; dcd (nt) 3 potest insuper (413) sumi d(nt) DR -dta , dc ac proinde o( nt ) = 3mKA a ' (A'n " - An ) ? sin [ A " (n " + " ) Ant + c ) + o ] Quare419 dPR -d( nt ) dcd ( nt ) 3m" > K2A3 sin2[ A"( n"2+ 2a2( A "n " - An 2) c ') Ant + c ) to ] . Inferimus ( 423 ) variationem , quam ex d(nl ) subit dR nullos importare seculares terminos. dc 1 425#. Tertio : habita dᎡ dc pro functione elemen torum a > E .. , et mutatis a , & , ... in a toda . € + de , ... , mutabitur ( 422. 4° ) dR . in dc dR dc + daR dat d2R dcde os to..; eritque dek dcda dcda da + d2R dcde de + . dR variatio ( = o - ) obveniens ipsi dc dR dc ex da , de , ... Jam ( 403. 2° : 411 ) si in valore da sese exhibet terminus V. gr. la , E ) dR -dt , in va de lore de sese exhibebit terminus ( a , e ) dR -dt: bina da rum proinde da et de altera complectente terminum420 N를 mur ( 414. 8 ° ) dᎡ ( a , E )S -dt , altera complectetur terminum de dR dᎡ -la , E) S • dt etc. Poterit ergo variatio om ex da de primi in hunc modum , dR d2R dR 8 ( a , )[ dc dc dcda de d - R dᎡ d2R dR -di ] + ( a , h ) [ dc dcde da dcda dh d2R dR -di ] + dodh da totque erant istiusmodi termini , quot factores ( a , € ) , (a , h ) , .. Repraesentantes (414. 5° : 423) per m "Gcos(6+ a ) terminum quemlibet functionis evolutate R , assequi dR DR = mG ' cosi 6+ ) . da de S S s dome -S m " G ' cost 0 + « ) . dᎡ dh = m "Gesin ota ) , dR m'G S da -dt = sin( 0 + a ) , sade DR • dt An - An m " G " dR sin ( 8 + « ) ,S dc dh m'GB cos(0+ An An 11 An An a ) , daR dcda m" G'Asina ota ) , d2R dede421 m "G'Asin (0 + 2 ) , d2R dodh m " Gascos( O to a ) : propterea (a , ) [ daR dcda S dR di de d2R dcde S dR da -dt = m" 2G: G" A ( a , € ) [ sina ota ) - sin ?( 0 + a ) ] = 0, An -s dhe d2R dPR dR ( a , h )[ doda dR di dh = dodh S. da di] ( a , h ) m"> GG'AB A'n" - An ( sin ( 6 + a ) cos( 9 + ) sin 0 + a ) cos( 0 + a ) ] = 0 , atque ita porro. Inferimus neque seculares neque periodicos dR terminos ex da , oede , ... profluere in 426#. Quarto: ne variationes quidem da , de" , . , dR important seculares terminos in Ad id ostenden dc dum proponantur considerandi in ( V2, 422. 6° ) termini seculares ordinis duntaxat tertii quoad perturbantes massas . Pars non periodica valoris elliptici reducitur 1 1 ( 414. 4° ) ad solam ; siquidem ? - * 6 cos 2( nt + c - h ) = 82 sin ? (nt + och) : item pars non periodi422 ca valoris elliptici adad solam . Cum igitur ( 423 ) ex da et da ' haud prodeant seculares termini, cum que proinde m'm " (* + ) ) nequeat suppeditare nisi terminos seculares ordinis minimum quinti , nou erit in casu habevda ratio ipsius m'm ' ( + ). Elliptici coordinatarum valores ( 414. 100 ) dant quantitatem dx' dac" +dy' dy" + dz' dz" omnino periodicam m'm " dc2 et apud eam variatis elementis ellipticis, facile intelligimus partem secularem inde emergentem repraesentatum iri per m'm " ( m's + m " S , ). " . 8 seculares termini, ob evolutam scilicet partem ellipticam 1 et ob elemeula variata . Denotante igitur L summam secularium terminorum ex evolutione, et m'L. + m ' L, summam ex elementorum variatione, seculares ter mini emergentes ex quantitate illa exprimentur per m'm " (mi to m" ) L + mm' m " ( m' L, tmi'L2 ). Ex quantitate m'm " m + m ' + m " oriri possunt valoris DR Quoniam (399. 13 ) dC seu no -dt dc dR dx' t dx ' dR dy't dR dR " dz' , pariterque n " dzi dt dy dc "423 dR " AR" to dx dx " + dR " dy'r dy" + dds", ideo seculares dR termini provenientes ex n dc et n " dc dR" dc" dt erunt secundi ordinis quoad perturbantes massas , poteruntque exhiberi per m"2 Pdt et m'2P , dt. Hinc const. = mm ' m " ( m " SPdt + m ' SP ,dt ) -m' m " ( m'S + m " S, ) — m'm ( m ' +m' ' ) L - mm'm" (m'L + M " L. ) : quam aequationem differentiantes deveniemus ad m ” P + m'P , = 0 ; siquidem ( 403. 3 ° ) DL =0 , et ds , ds ,, dL,, dL2 , uto pote primi ordinis quoad perturbantes massas , promovent respondentes terminos ad quartum ordinem : P vero et P, haud pendent abm" et m' ; propterea P = 0 , P, =0 . Cum igitur haec demonstratio facile extendatur ad quemvis mas sarum numerum, jam non pluribus opus est ut pateat ve ritas affirmationis.

427#. E quatuor stabilitis ( 423 ... 426 ) assertionibus manifeste consequitur nullum terminum secularem fore in ( u' : 422) ; motumque medium, etiam habito respe ctu secundae dimensionis massarum, nullis subjici perturbationibus secularibus. Id ipsum dicendum de axe transverso ; nam ( 399. 140: 422. 6° )424 1 2 C met m ' 2 dR ſn m tm' dc dt a Longitudo insuper media ſndt + c haud admittit se culares terminos pendentes ( 421 ) a prima dimensione Si quos vero admittit pendentes a secunda mas sarum dimensione; ii non erunt nisi qui possunt afficere epochae longitudinem c. massarum.

Aliquid generaliter annotatur de perturbationibus periodicis sese restituentibus post breve longumve tempus.

428*. Evoluta Rin suos terminos ( 414. 5 ° ) , dR tum determinatis dc dh ut earum valores substituantur in ( e '" . e " : 411 : 413 ) , sudiprisque inte gralibus quoad i , numerus a " n " — An ob integrationem transibit in denominatorem extra trigonometricum signum: sic v. gr. relate ad ( 29" ) obtinuimus ( 423: 424 ) da = 2m" KA cos[ a" (n't + c ) (n + c )tw] , nal " n " An ) 3m " KA 03 a>(N"n"—Anja -sis[a”(n'e + cº)--(n2 + c) + o ]. Iam si A'n ' - An exsistat grandis numerus , rapide crescet argumentum, brevique fiet reversio ad maximum ( 414. 13 ° ) perturbationis valorem; qui maximus valor uni. ce pendebit ab ordine ( 414. 8° ) coefficientis. Periodicis elementorum variationibus definitis, substituentur atda, & + dɛ , pro a , E , ... in astronomicis coordinatis , seu ( 380 ) in radio vectore , latitudine ac longitudine he425 liocentrica ; atque hoc pacto obtinebitur locus planetae turbati. 429*. Quod si numerus A " n " An sit summe exiguus, lentissime crescet argumentum , nec nisi post tem pus admodum longum fiet reversio ad maximum perturba tionis valorem; qui maxinus valor, etiam ultra primum ( 414. 8 ° ) ordinem, esse poterit sat notabilis ob denomina torem valde tenuem An " - An . Compertum est v. gr. quiu tuplicem motum medium saturni aequari quamproxime du plo motui medio jovis; et consequenter numerum 5n " - an exsistere parvissimum : hinc sat notabiles perturbationes satque longa periodus quoad argumentum 5n " - 2n in istorum planetarum theoria. Relate ad primam massarum dimensionem et ad ter tium excentricitatum inclinationisque ordinem, ex evolutio ne functionis R prodeunt sex termini habentes argumen tum illud: siquidem B + B' +21 = 3 , ubi potest assumi vel = 0 , vel = 1 ; cum primo valore i concordant B = 0 et b' 3 = 1 et B " = 2 et s ' = 1 , B = 3 et b 0 ; cum secundo B = 0 et B " 1 , B = 1 et b " = 0. Valores v.gr. i = 0 , b =1et B " = 2 praebent terminum m " tes" ? cos [5 ( nat + c " ) — 2( nt + c ) - h – 2h" ] ; item valores i = 1 , B = 0 et s' = 1 suppeditant m " re'sina e cos [ 5 ( n't + c ) - 2 ( nt + c ) - h " — 27 ] ; etc. B =

2 , B

Terminus emergens ex a = 0 , B = 1 et s" =: 2 dat ( 428 ) 6m" r " 2 os cos [ 5 ( n't +" ) 2( nt + a?( 5n" 2n ) ? c ) -h - 2h " ] .426 Ad haec : mutatis v. gr. nt et n't in nt + d nt ) dR et n't + d( n " t ) , mulabitur ( 422. 4° ) in DR + dc de daR d (nt ) + ded (nt) d2R o (n't)+... ; eritque ( 422. u ) dcd (n't ) -SSC d2R 0 (nt) + dcd( nt ) d2R -d (nt) dcd (n " t ) a2 - C 2 dR - \Delta\alpha a - ) dia dc incrementum motus medii in planeta m , ortum ex d( nt ) et o( n't) , respondensque secundae massarum dimensioni. In casu habemus ( 423 : 424 ) C da dR dc 4m " 272¢284 na ( 501" 2n ) sin 2 [ 5 ( nºt + c” ) 2 ( nt +c) - h - 2h" ] , d2R dcdl nt ) dl nt ) = C 12m . " 2729264 a2(5n " 2n sin 2 [ 5 ( n't + c " ) — 2(nt + ) ? c ) -... ] ; insuper d2R dcdn't ) =10m"TE6'2c08[5 (n" Ć " ) - 2 ( nt + c ) — . ] dR " dc" dm tee"? cos [ 5 ( n't + c ) — 2( nt + c ) - . de " ]427 - 5m' Tee" sin [ 5 ( n " : + 1 ) - 2 ( nt + c) -... — .. ] 3 o (nt) dR " -SE dla endc "toda 15m' TES " 2 a " (5n" - 2n) ? sin [ 5 ( n't + d" ) -2 nt + c ) . ] ; et consequenter d2R - nºt ) = dcdl n't ) 75 m'm " 12€ 28" 4 a " ?( 5n " sin 2[ 5 ( n't + ) - 2( nt + 2n )2 dR c ) -... ) . Propterea SS da dc dt2 = mi" 292 28'4 na( 5n " 2n ) 3 sin 2[ 5 ( n" e + c " ) – 2 ( nt + d'R c ) -... ] , SS dcd ( nt ) o( nt ) di = 3m " 2728264 a' 5n -2n )4 sin2 [ 5 ( nt + " ) - 2(nt +c)- ...) , S s d - R dcdln't ) ( n” t ) dt 75m'mr2&28/14 --sin2[ 5(n"t to c ") — 2 (nt + c ) -... ] ; 4a " ?(5n " - 2n 14428 dictumque incrementum motus medii in jove exprime tur per 9m" 12928194 4a2 (5n " — 2n 34 ( 4 4m " aa 25m' al's -)sin2 [ 5 ( n " + 6 ) — 2( nt – c ) -h – 2h" ] 6m " 272828/14 -sjo2[ 5 ( n " c + c " ) — 2 (nı + c)-h - 2h ). na( 5n " 2n 13 In istis terminis sese quidem offert sextus ordo re spectu excentricitatum ; sed ob exiguissimos denominatores, praesertim ubi invenitur ( 5n" – 2n 14 , poterunt inde pro dire sat nolabiles perturbationes : harum tamen periodus duplo brevior erit quam quae respicit superiorem perlur bationem 83 . Alia quoque, etsi minus notabilia, in planetico syste mate habentur exempla perturbationum se restituen tium post longum tempus ; motus v. gr. medius mercu rii parum abludit a quadruplo motu medio telluris ; item motus medius saturni parum differt a triplo mo tu medio urani ; etc. 430#. Notentur haec duo : 1º. ' Cum in syste mate planetico numerus reperiatur ubique irratio A " nalis , nullibi invenietur accurate ; nec proinde n ' Aan " An = 0.2º. Ubi excentricitates atque inclina tiones sint ita grandes ut , evoluta functione R , series ordinatae juxta ipsarum excentricitatum inclinationumque potentias lente convergant , profecto tot terminorum hae benda erit ratio ut calculus evadat intractabilis: id junonis v . gr. et palladis orbitis contingit. n n m h429 431 *. Haerentes primae perturbantium massarum dimensioni, ex ( V.: 422. 6° ) assequimur const. = msn dc dR dt + m " Sn " dR dt . Est ( 427 : 399, 14 ) dc." dR Sn m tm 2a dt = m + m ' in dc n ( m + 2 m ') = -in (m + m ') Í = -żni(m + žm- 5 m ' ) , itemque Smi" dR " de " dt -£n” ſ (m $ + žm- šm ) : igitur const. -mini- m " m Žn" } , seu m'n Í + 2 2 m'n ' = const. ; undeş min - ğ ồn + 2 m m" no on" = 0 , mnýont m " n " - on 0 ; et consequenter430 m ' Vaòn + mva on" = 0 . Duorum videlicet planetarum se invicem turbantium , jovis v. gr. et saturni, altero accelerante molum suum , al ter retardabit. 432#. Constat observationibus ( 389. 20° ) primum secundum ac tertium jovis satellitem ( quarui satellitis actio ob suam ab ipso jove distantiam est ferme insensibilis, non se cus atque solis actio perturbans, prae mutuis caeterorum actio nibus ) talibus gaudere motibus mediis, ut motus medius primi satellitis aequetur proxime duplo motui medio secun di, itemque motus medius secundi aequetur proxime du plo molui medio tertii . Hinc sat notabiles satque diutinae istorum satellilum perturbationes ex argamentis nt — 2n " , et n " t - 2n " t : notabilior vero diuturniorque ex nt - 3n't + 2n "'t, siquidem n -3n" + 2n " [ = ( n - 2n " ) ( n " — 2n" ) ] minor est quam unaquaeque n — 2n " , n " - 2n". Sed haec hactenus.

De motu planetarum turbato ex tenuissimo medio resistente.

433 *. Medii resistentia ( ponitur hic in dupli cata velocitatis ralione) , utpote contraria directioni motus , non turbat orbitae planum . Stabilita igitur origine coordi natarum orthogonalium x ' et j ' in solis centro, sumpta x' in axe transverso ( 380. 2° ) versus aphelium, et expresso ds arcu infinitesimo curvae per ds' ut denotet planetae dt dsa velocitatem , et consequenter the dia ( numerus pt pro uno eodemque planeta est proportionalis densitati medii ) valo rem vis acceleratricis ex medii resistentia, unde prodeunt va.431 dsi dy lores de dsa dx de di et po componentium paral ds' dt2 ds lelarum axibus coordinatis, erunt (50: 5 °: 62. 10) daxc ds' + dta mt m x k' dx k'a dc dt ( 6 ) day' de² + mtm k'a g K e deat der ds dt aequationes ad motum turbatum. Hinc ( 399. 12° ) lo dx's + dy's dca mtm' k ds' - SMS dt dar' dc -dx + dó dc dy' dc dy') x'dy – y'da dt dś dydý - Su ( ac ' dt dc g' de hetdie dy' - ) dt : sunt autem dt (50, 80) dx's +dy's = kdw +dk , x'dy' -y'dx '== - k ' dw ; propterea dl k's dw + dka) dia - (m + m'}d } k² dw ut dk ( 6' ) de fbo ds' , dl ka dw ) = -H k' dw ds .432 4344. Facto p = 0, emergent quoad motum mi nime turbatum d2.r ' de² m + m « ka 0 , day ' de2 mt m ý 50 ( 6 " ), k k'a *=0 1 i dk'2dw2 + dk' ) dia -( mt m ') de 0 ( 60 ) d ( k' dw ) = 0 lam si per ' = ht, a , € , h , c ) , y' = f ( l , a , é , h , c ) designantur integralia aequationum ( 6 " ) sub by pothesi a , e , h et c constantium , poterit ( 399. 4° ) satisfieri aequationibus ( 6 ) per eosdem valores x' et y sub hypothesi a , & , h et c variabilium . Consequitur illud: quemadmodum , habitis a , ... c pro constantibus , sy slema ( 380. 7º. 8° ) formularum . h' = al 1 – Ecoso ) , nt to - h = & sing, ( 61 ) tang ( w - h ) = V1 :tang 9 repraesentat integralia aequationum ( 6" ' ) , respicitque mo tum minime turbatum ; sic , habitis a , ... c pro varia bilibus, idem systema repraesentabit integralia aequatio pum ( 6' ) , spectabitque ad motum turbatum. 435 #. Differentialia capientes quoad solas arbitrarias a, ... C, et considerantes O tanquam functionem ipsarama , ... c , ex prima et secunda ( 6 " ) eruemus ( 399. 5 ° )433 ( 1 -- cose da — a cose de +ae sine do = 0 ,dc - dhdht+ sing di ( 1 - Ecosh9 )jag a9 = 0. Eliminata do , ( 1 - Ecos ) dat als cos @ )ds + assin (dc - dh ) = 0 (6.). Ex notis formulis trigonornetricis 1 + cos9 = 2cos210, 1 - cos9 = 2sina 10 et sing = 2sin ? 0 cos į 0 habemus cos9 1 — tanga 10 1 + lang ? į 9 sin 9 2lang 1+ langa 1 0

et

substituto valore tang 9 ex tertia ( 6 " ) , animadver tendo quod tang ? ( w - h ) 1 cosia 1 to cos ( w h ) h ) cos9 Et cost w - h ) 1 + Ecos( W - h ) sino V1--- 2sin ( w - h ) 1+ SCOSW - 2 )

quibus valoribus cosb et sing subrogatis in ( 6, ), emerget 1- £ ? da - 1 + Ecos( w h ) a cos( w - h ) ds + as sin ( 6) - h ) ( dc – dh ) = 0 ( 6' ) . 1 82 436 # Consimili differentiatione utentes quoad primam ( of : 380. 70 ) , seu k [ 1 + Ecos( W - h )] al 1 — 6? ) = 0 , assequimur k'e sin ( W — h )h + [ k'cos( w - h ) + 28434 2a5 ] de - ( 1 – 82 ) da = 0 ( 6 " ) . 437*. Quoad motum ellipticum habemus ( 399. dx'2 + dy's at² mt m' 7º. 14 ° ) mtm k' 2a seu ( 433 ) ) k'2 dw2 +dk2 dc2 m tm' k m tm' 2a mtm 1 quam comparantes cum prima ( 6') assequimur d 2 a k'a da tdk'2 ds' . Sed ( 399, 14° ) dt2 k'a dwa + dk'2 di² NI Iv2 = ( m + m ' ) ( - 1 - ).; igitur 2a 2 d = 24 ( - ) ds' ( 6 " ) . k a Habemus etiam ( 380. 2°: 399. 14° ) kiadw na-V17 82 di = Valm + m ' )( 1—62 )di: quam con ferentes cum secunda ( 6' ) assequimur V m + m 'dedV a 1 — 62 ) = - uk'a dwds' = V mtm'Va(1—82 )dt ds' ; unde av a (1 82) = - LV 211 $2 )ds , seu il - 82 ) da asde pa ( 1 – 82 ) ds' (641 )435 438 * Nunc ab aequationibus ( 6 ' ) , ( " ) ; ( 6 " ) et ( 6411 ) facile obtinentur elementorum ellipticorum variationes ex resistentia medii . Adhibito ( 38. 70) valore al 1 - E ? ) 1+ ε cos(w - h ) pro k , emergent da 2ua 1 &2 [ 1+ 22 cos( w - h ) + ]ds' , de = 2p [ st coswh( ) ] ds' , edh 24. sin (6— 1 ) dw , edc = 2p. V 1–82 sin an 1 h )[ 1 + ε cos ( w — h ) to sa 1 + Ecos( w - h ) 1 ds' ; 1 dk'2 est ds' ViK2 + da dw² al1–52 ) [ 1 + Ecos w - h ) ] V 1 + 2 cos( w - h ) + dw . 439. * Missis terminis, qui continent factorem , devenietur ad ds' a [ 1 – E COS( w - h ) -1 s2 sin W h ) ] dw , da = 2ua2 [ 1 + scos w - h ) + 1 3 -sºsin>( Wh)] dw , de= -2qa[cos(6 — h ) + Esin ? w_h)436 &a cos w - h ) ( 1+ lsina ( w - h ) ] dw , edh = - 2pla sin ( w - h ) ( 1 - cos( w -- h ) - } 82 sin ? h ) ) d'o , dc file sin ( w - h ) [ 1 - 3ecos ( w — h ) ] dw . Habemus insuper ( 399. 14° ) n =v m + m ' a3 3 V m + m ' mode dn = da , seu 2a2 dn 3 3una [ 1+ scosWh( ) + 2 € 2 sin ? (w_h)] dw . 440# . Quod si ii quoque mittantur termini , qui continent factorem 2 , exsistent da - 2 qua ? [ 1 + cos ( W – h ) ] dw , da = - - 29.a ( cosí w - h ) + sin ( W - h ) ]dw , - erih - 2ja sin ( w - h ) [ 1 – E cos ( w - h ) ] dw , dc = uae sin ( w — h ) dw , dn = 3 una [ 1+ E cos( w - h ) ] dw . Fac ut medium sit homogeneum : sumptis integrali bus secundorum membrorum sub bypothesi ( 399. 6º : 419) solias W variabilis, prodibunt \Delta\alpha 2ưa ? [ w - h + sin (w h ] , Je =437 — 242 [ 10-1 ) + sin(w—1 )(1-30costwa l)) ] , con 2ua ( cos( 6 —- h ) + -sin ? ( W - h ) ] , oc plas cos( W -h ) , òn 3 puna [ w- h + e sim ( w - h ) ] . 441 #. Iode conficitur illud : ob medii resisten tiam , axis transversus, excentricitas et angularis velocitas n indefinitis periodicisque subjiciuntur perturbationibus, re liqua elementa periodicis tantum : resistentia medii perpe tuo minuit axem transversum atque excentricitatem; perpe tuo auget velocitatem angularem . Cum numerus p sit caeteris paribus in ratione inversa massae motae m' , cumque cometarum massa sit admodum tenuis ( nam turbantur quidem cometarum motus notabiliter ab aliis corporibus planetici systematis, aliorum vero corpo rum motus nullam ex cometarum actione patiuntur per turbationem sensibilem ) , profecto si medium aliquod re sistens diffundit se per coelestia spatia, poterit ejus effe ctus in cometarum praecipue motibus deprehendi.

De attractione ellipsoidum homogenearum in materiale punctum ad telluris figuram ex aequilibrio determinandam.

442#. Haec praemittimus.

1º. Datis axibus BD, BE et BF ( Fig. 164 ) se mutuo secantibus in origine B ad angulos rectos, dicantur, E et a coordinatae orthogonales puncii K, d radius vector BK , & angulus interce438 plus radio vectore , et axe BF , \beta angulus interceptus pla nis DBF et KBF : erunt D = cos ( 90° —« ) , cos3 = sing cos , B = 2 cos( 90° — a ) . sin = ) sing sins F : cosa .

2º. Dicantur g et G'anguli , quos radius vector 2 efficit cum axibus BD et BE ; exsistent D = à cos G' . Hinc ( 1 '. ! à cos G , B COSG --- sinc cos , cosa' sing sips ,

3° . Centro B , radiisque BK et BK ' ( = 1 + da) describe in plano FBK ' circulares arcus KN et K'N ' inter ceptos rectis lineis BKK' et BNN ' sub angulo infinitesimo di constitutis ex K in BF demitte perpendiculum KH ; et fac at planum FBK revolvatur circa BF donec \beta eva dat ' \beta 4 d3 : areola KK'N'N per istiusmodi motum gi gnet volunien infinitesimum KP' , considerandum lanquam parallelepipedum rectangulnm , cujus latera KN ( = lda ) , KC ( = KH . ds a singd ) , KK' ( = d ) . Volumen scilicet illud KP' exprimetur per 22 sina de d \beta d.; et de notante y densitatem apud K , dm massam respondentem ipsi KP' , erit din una sina dad \beta da .

4º. Infinitesima superficiei sphaericae pars KCPN spectari potest veluti rectangularis area , cujus latera KN et KC : propterea exhibebitur ( 30 ) pars illa per 22sin duds; et designanle dw infinitesimum incrementum superficiei sphaericae habentis radium = 1 , erit439 dw = sing dads , ac per consequens dm =pada dw da.

5º. Computentur datae rectae A , Aet A " ab origine B in BD , BE et BF ; veniatque consideranda su perficies curva, repraesentata per 22 + p2 A2 1 . ( f ). A2 Art Sumpta D = 0 , proveniet aequatio E2 A'2 + = 1 A2 ad intersectionem superficiei ( f ) et plani EBF: cum autem aequatio haec ad ellipsim pertineat , liquet intersectionem illam esse ellipticam. Simili modo sumpta prius B = dein p = 0 , prodibunt oac

• t * ,

1 A2 Az A'2 ad ellipticas intersectiones superficiei ( f) et planorum DBF , DBE : istiusmodi intersectiones dicuntur principales. Concipiantur quotvis plana parallela plano DBF, quo rum distantia ab ipso DBF exhibetur manifeste per E : erit B constans quamdiu unum idemque ex istis planis conside ratur; quisque insuper videt, si e est constans, aequatione D? +p2 E A2 Alla A'2440 repraesentari ellipses vel reales , vel imaginarias , aut etiam punctum , prout nempe ga vel < , vel > , aut == A' . Cum igitur in ea qua sumus hypothesi aequatio ista perti neat ad intersectionem superficiei ( f ) et illius plani, con sequitur intersectiones superficiei ( f ) et planorom paralle lorum plano DBF fore ellipticas . Positis o et successive constantibus, id ipsum simili ratione ostenditur de planis parallelis ad EBF , DBE, Solida terminata superficiebus ( f ) vocantur ellipsoi des; sunique certis limitibus circumscripta : rectae 2A , 2A ' et 2A' dicuntur ellipsoidis axes : ejus centrum recidit in commune intersectionum principalium centrum: foci vero nihil sunt aliud nisi qui spectant ad ipsas intersectiones principales.

6º. Si ex tribus semiaxibus A , A' , et A ” bi ni v. gr. A ' et A " ponuntur aequales, vertetur ( f ) in A'2 Bº to pa - ( Ap— p2) ; quae cum, habita ( 50 ) D pro constanti , spectet ad circa lum , profecto, habila p pro variabili , spectabit ad super ficiem solidi generati rotatione ellipseos + 1 A2 A ' ? circa arem 2 A.

7º. Si A -- A' = A " , vertelur ( f ) in D ? +p ? + p = AP , quae ad sphaericam pertinet superficiem .441.

8º. Per extremitatem abscissae o ducalur planum perpendiculare ipsi D, quod secet ellipsoidem . Quoniam hu jusmodi intersectionis area nihil est aliud nisi area ellipseos D2 A'2 A " 2 A? D2 ad quam videlicet spectant semiaxes Avi A et A? A V D 1 . ; iccirco area illa exprimetur ( 57.2°, 7 " ) A2 per TA'A " ( 1 ) • Mutala igitur D in D to do ; A2 quae ellipsoidis portio respondebat abscissae D , acqui D2 ret incrementum infinitesimum TA’A"(1–2)do : et fa cla integratione ab D = — A ad De A , prodibit totius ellipsoidis volumen = 7. AA'A ' A 4

443#. His praemissis, resumamus denominativ nes etc. ( 72 ) ; et constituta origine coordinatarum polarium 2 . ( = ' ) , a et \beta in puncto attracto ( a , b, c ) , dicantur h' , h' , h anguli , quos radius vector A A computa tus ab ( a , b , c ) versus punctum attrahens ( x , y , :) facit cum axibus OX , OY , OZ , ut sint a cosh' y - 6 cosh " cosh " = (1) : 1 A442 quoniam, denotante y densitatem corporis attrabentis , est ( 442. 4° ) dm = p.A's dw dA', vertentur ( o: 72 ) in H. = -4SS Scosh ' dwdA' , H , = ~ .S S Scosh " dwdA', H , = -HS S Scosh "da dA' . Ab ( a , b , c) duc rectam A ad quodvis punctum superfi ciei ( 442. 50) ya za to 1 ( l ) , 92 qua terminatur ellipsoides attrahens ; lum producta A ”, ut perlingat ad alterum superficiei punctum, sit A ' " distantia inter hoc alterum punctum et ipsum ( a , b , c ) : integra lia quoad . A coalescunt vel e summa, vel ex differentia duo rum integralium ; quorum alterum sumitur ab A = 0 ad A = A " , alterum ab A ' = 0 ad A' = A " , prout nempe punctum attractum ( a , b , c ) invenitur vel intra , vel e xtra ellipsoidem . In primo igitur casu, Hs - MS SCA" + 1" ) cosh' dw , H , = - MSSIA" + - A '" cosli' dw , H, = -P.S SIA" +4" ) cosh '" dw ; (2") in secundo , Hx H, - M: S SCA" - A " ) cosi' dw , - M.S SCA" - A " ) cosh" dw , H . = - HS SCA " - A " ) cosh" dw . (Z " ' ' )443 Iam vero ex ( 2 ) habemus x = aa + Acosh' , y = b + A'cosh ” , z = ct Acosl " ; quibus valoribus x у et z substitutis in ( l ) , factisque compendii causa cos2 ' cos? " acosh pa cos ? h" q? + bcosk' + q² r2 pa ccosh a2 62 + 1 = 0 , prodibit pa p2 92 7o2 G'A ' + 20'A ' + 60" = 0 ; ande A' = - 0' V6'2_00 O , et consequenter A " + 1 " " = 29 " 2 A " —A" ? v 02 — GG" . Propterea ver 0 G tentur ( 1" ) in Y = 21550 cosh ' dw , H, = 2085 -p - cosh" dw , H.= 2055ecosh“do ( 2" ) , et ( 1 " ) in - -444 H , = -2.85 v 612 6 cosh ' dw , V 012 - 06 HT = -2 / . 6 cosh' dw , ( 1 " ) H, = - 24.SS. 0112 - 09** 0 cosh " da : integratio in ( 21 ) extendenda erit ad totam superficiem sphaericam , cujus centrum in ( a , b , c ) , et radius = 1 ; in ( 2 ) ad totam istius sphaericae superficiei partem in terceptam cono taugente ellipsoidem ( l ) , et habente ver ticem in ( a , b , c ) .

444 *. Quod spectat ad ( 1 " ) , per punctum (a , b , c ) ducantur tres rectae a' , b et c' parallelae coordi natis axibus OX , OY et OZ , sitque 1º. i' angulus, quem cum b ' facit intersectio planorum ( ^' a' ) et ( 6' 6' ) ;

2 °. i “ angulus , quem cum c' efficit intersectio planorum ( 4'b' ) et ( a'd') ;

3º. i' " ' angulus, quem cum a' continet interse crio planorum ( ' c ') et ( a ' b ' ) ; erunt ( 442. 2º. 4º) quoad primum casum , cosh" = sinh ' cosi , cosh " = sioli' sini' et dw = sinh dk di' ; quoad secundum, cosh' " ' == sinh" cosi ", cosh ' = sinh " sini " et dw = sinh" dh ' di" ; quoad tertium, cosh' sinh ” cos "" cosh " - sinh sini' " et dw siah ' " dh '" di" . Hinc 1 ° . pa q2 m2 6 ' = q * p2 cosa h' + ( 12 cosa i + 92 sina i ' ) p2sivrh' , cos2 h sinh dhi di' H, 241 SS t bo445 6 sin? h' cosh ' cosi' dk di' ga음ass -SS sin? h' cosh sini dh' di' - ] ; 6 sumptis integralibus , quoad i' abi = 0 ad i' = , et quoad h' pariter ab hí = 0 ad h' = 1. 20. pa q2 pa ( ' = p2 p2 cosa h' + ( p2 cosa i" + pa sina i" ) q2siu2 k ” , H, = 2^[ -SS cosh " sin h sini' dh' di 0 6 cos ? h " sinh ' dh ' di + goss O' CSS sin ? h " cosh " cosi " dh " di 0 ] ; sumptis integralibus ab i" = 0 ad i" = ti , et ab h ' = 0 ad h " = T .

3º. p q2 m2 Q' =-paqa cosa k " + ( q cos® it" + på sina ; '" )ra sina h '" a sin " cosh " cosi' ' dh " di" H, = 2 [ m2 SS + b -SS sin hi cosh " sin , dh '" di' O + ga446 cos? h ' " sinh " dh' ' di // ] ; acceptis integralibus ab i' != 0 ad i" — T , et ab h'" = 0 ad h '" =-11 Sunt autem ( 27. 180 ) S sin ? h' cosh dh' 6 sin2 h” cosh dh " TT sin cosh " dhi " O ' igitur 8 pa H , cos?h' sinh' dh di' Bayan SS. H, 8 Mb qa -SS cos2 h' sinh " dh ' di" @ HO Space SS cos2 h sinh' ' dh " di" 0 protensis integralibus singulis ab 0 ad į to Fiat i tangi , unde sina i = 22 1 + 12 cosa i' > di 1 1 ti? di di

( 1 + i % ) di'et di' 

17-12 ; erit cosi'447 di' S =p?gora I 1/17 di' q2r2cos ?h + (r cos’i'tq2sin ?i")p?sin h' pogarasS( qºcos?h' + p ?sin’h sin )r2 + (rºcos2h + ppasinah sin ')q2jia праг 2V (qºcos?h' + p sinºhí ) ( r cosa h pa sin’h ' Simili ratione, facto i tangi" , S di 0 Tº pr 2V (p?cos h" + q-sin- "}(racos?h" + q2sin h ") 3 et facto i = tange" di " Пr?р 4 S. O ' 2V (p?cos?):" + r+sin?)" )(q-cos-h " + rəsin_h"') Quare expresso per h uno quovis ex h' , h" , k' " , extensi sque integralibus ab o ada ,448 + H = 4ap.roS qrcosh sinhdh (9 ?coshtpäsin -h) r ?cos?h + pºsin’h ) Hy=46 P.T. Svipre prcoshsinh.h (p ?cos h + qasinah )(rºcosah + q2sinah ) 2 (21) H,=400. S pqcos hsinhdh V(p?cos -hp? sin’h ){q?cos ?h + r+ sid ?h)

445*. Haec inde profluunt.

1 ° Cum formulae ( 7") praebeant H , > 0 , H, > 0 , H , > o , consequitur ob vim H , punctum ( a , b , c ) accessurum ad planum YOZ, ob H, ad planum Xoz , ob H, ad planum XOY: in casu virium repellentium haberetur recessus.

2º. In ( l : 443 et 2 " : 444 ) substitue (1 + 1)p , ( 1 + xq. ( 1 + r pro p , q , r : augebitur ellipsoi des parte quadam intercepta similibus superficiebus ( l ) et x2 ga + ( 1+ N ) ? p ? ( 1 +x ) ?q ? za + ( 1 +2r2 = 1 ( " ) · Per ejusmodi vero substitutiones neque augentur ve que minuuntur componentes H, , H,, H,: librabuntigitur se mutuo vires , quas in punctum ( a , b , c ) exercet pars illa , seu crusta superficiebus ( l ) et ( 2 " ) terminata. Id ipsum jam ostendimus ( 74 ) de crusta sphaerica. 3º. Variata positione puncti ( a , b , c ) , com ponens H, erit ut a , H, ut b , H, ut c.

446*. Ellipsoidis massam exhibe per M; erit ( 442.80) 4UT 3 por: fac insuper cosh = k , ut sint cos?k = ka , sinhdh dk . Vertentur ( 7" ) in M = >

449 0 3aM ka dk Hx SV > V 19 + 9 =P*x2)(1+ k")(1+ R2) pa pa' k dk H , = - 36M q3 Vit p2-92-ka ) ( 2 ) (1 + p? * k2)(1+" ga q ? 3см k2 dk U ; p3 Vint pa p2 k2)(1+ ? 92-72-k2 ) 2م

447 *. Pone g = r : quoad ellipsoidem genitam x2 ( 442. 6° ) revolutione ellipseos + 32 qa 1 circa axem 2p , erunt 3aM k2 dk HE f p3 q - p2 1 1+ pa ka k2 dk H.1 36M 93 ( 2" ) V p - 92 1+ 92 pa hip , H.- CHILE cH b 29450 н. 6 Quoniam H, - ; ideo resultans ex binis H , et с H, se diriget juxta perpendiculum ab ( a , b , c ) demis sum in axem 2p.

448*. In hypothesi q >p fac q* = på habebis 3aM H, f k dk p3 1 + €2 k 3 am p3s3 1 fiFi 3 aM ] dk = 1782 ka p3 33- [ arc( tang = E ) – € ] : fac insuper pk= k ; assequeris 9 36M k? dk H, 93 V.p?e?..k ? g? 3 KM kdk 3 6M pe ( 1 p3 < 3 - k'2 p3 3 [ 29 pe 9 pa 2 ) i arc ( sin - PE - ) ) . 92 9451 > pe 29 p3.93- [ € -'arcle pe Est autem ideoque 9 V 1 ta p2: 2 E Le arc(sin 2( 1 +82 ) arc ( tang = ? ) . Itaque 3aM H tang = E ) ] , Viti 92 36M H, [ arc(tang =E ) - ] ( ) 2p3 H, = CH , 1

449#. Ellipsoidis attractio in punctum externum traduci potest ad ellipsoidis attractionem in punctum in ternum , quin opus sit directe pertractare formulas ( Zº: 443 ). Substitue pedxdy dz loco dm in ( o: 72 ) ; et in formulis in de prodeuntibus, necnon in ( l': 443 ) fac x = px' , y = qy ' , z = rz' : habebis ( 72 : 0 )452 H = uparSSS ( a - px'\dx'dy'dz' [(a - px'12746 — qy !ja + c — rz")a] 3 (6-97 ')dx'dy'dź H - upqrsSS [(@mpx')2+ (6-9y')2+ (c - rz') ] 3 ( 1 " ) H.= uparSSS (cmrz')dx'dy'dz > [(a–prit16_quatre regija x'a + y's + z 2 = 1 ( A ). Tam si veniat consideranda prima ( % ) ; expresso per Łu duplici valore x' ex ( 24 " ) , sume integrale quoad x' ab a =-u' ad x' = u' ; habebis Hn = parsS dy'dź [ ca - pu')2+ (6-9y'j240- rz ')>] dydz - parss [ latpu')2+ (6-9712 + c — rz')> ] haec dupla integralia extendenda ad totam sphaericam su perficiem ( 21 ) , cujus centrum in origine coordinatarum , radius vero = 1. Sit h ' angulus, quem radius iste conti net cum OX ; et iangulus, quem cum OY efficit inter sectio planorum X01 , YOZ : erunt ( 442. 1 ° ) ý -453 sinh'cosư , = sinh sinhu t == cosh' ; itemque ( 55. 40: 442. 4° ) dy'dz' = cosh'dw = cosh'sinh ' dh'di . Propte rea , factis compendii causa ( a- pcosh ' )2 +( 6 qsinh'cosi') + ( c - rsinh'sini") = 62 , (a tpcosh' ja + ( 6 -ẹ sinh cost ) + ( c - sinh sin ) = 6, , ht i = 270 H = Moors S cosh ' sinh dh ' di 6 h ' = i' = 27 coshi sinh' dh' di' par . fi 64 O Sed h = 1 i = 21 S. S. cosh'sinh'dh'di 6 . 1,1, h = r S i = 21 cosh ' sinh dh'di' ſ 6 adhibitis igitur h et i pro h' et i' , i = 271

---

S S cosh sinh dhdi 6 existente 62 = ( a – pcosh )2 + 1b- qsinhcosi)2 + ( 5 rsinhsini ) .454 Concipiatur nunc altera ellipsoides X2 + 82 9'2 = 1 ( 1 ) , p's ejus densitas sit eadem aç densitas ellipsoidis ( l' ) , cen trum idem ac centrum ipsius į ľ ) ; directiones semiaxium pig , meaedem ac directiones semiaxium p , qir: fa cto 6'2 = ( a , -p' cosh ) 2 + ( b - q' sinh cosi ) 2 + (c, po sinh sini ) , habebimus quoad novae ellipsoidis altra clionem in punctum ( a , b , c,.) h == л H' ; = ua'r S S i = 276 cosh sinh dh di 6 1 Ellipsoides ( 1' ) et ( 2* ) gaudeant iisdem ( 442. 5 ° ) focis : erunt q2 = p2 + p , q2 = p + por = p to , p '? = p2 +0 ; denotant peto quantitates vel > Ovel <0, numerici autem ipsarum valores exhibent quadrata distan tiarum inter focos 'et centrum . Ad haec: punctum ( a , b , c ) sit in superficie (/*"" ) , et ( a , b, , C, ) in superficie ( l' ) ; exsistent a2 62 a 6,3 CI + + =1 (2 ): p'2 9 pa 92 p2 et designantibus v , a binos angulos, sumprisque a = p ' cosy , b = q sipy cosas , c = ř siny sing , p cosy , b, q siny cosa r siov sina ,455 ' per valores istos explebuntur ( 1919 ). Quibus positis, erunt 62 = \ p' cosy — p cosh ja + ( v pe + p siny cosa 1 V pet p sinh cosi ) 2 + ( Vip +, siny sing I. vi. v p2 + c sinh sini )” , 6 ' = ( p cosv. p'cosh )" tits ( v p ? tp siny cosa Vp ? + p sinh cosi ) 2 + . 1 ( Vp + siny sing GV p2 + 5 sinh sini ) ) ' I jesi Inferimus quadrata 62 6' ?: ſore .omnioo ;identica , et cons, sequenter ch is reddit 1,5 bar in 1.01 H, qr 2 H's o'r simili modo ( " ) H. - p'r! pr H', H. p'o H, p4

450 #. Subsidio ' formularum ( 242 ) traduci poſest ellipsoidis attractio in punctum externam ad ellipsoidis al tractionem in punctum internum. Sit v. gr . pmiuimus semiaxium datae ellipsoidis (2*4 ! ) , et ponatur p > pe. runt p > 0,0 > 0,9 > qi inox r ' , ellipsoides (l') > ellipsoide ( 2 ) , punctumque (( aa , b , c ) intra ( l ), et ( a, b , c , ) extra ( ? " " ) . Determinatis igitur p , q , rita , ut ( ľ ) transeat per datum punctum ( a , b, c,') ,456 habeatique idem centrum eosdemque focos ac ( 291 " ), innote scent H ,,,, H. ex (2 " ) ; atque inde Hz, H ', H ', ex ( 2xv ). In hunc finem exprimat e quadratum semiaxis p , nt exsistant p = Viiq = Vp + por = VP + o : adhi bitis substitutionibus in secunda ( 2" ) , proveniet aequa tio tertii gradus quoad P , a, ” ( P + p ) ( P +6 ) + , plot 6) + c/ ? P ( P + p ) - p'( p + p ) ( p at 0 ) = 0 . " ( 24V ) ; ex cujus radicibus una ' tantum est, realis et positiva . Ac 10 . aequatio ( 24 ) habet realem et positivam radicem ; nam, crescente p ab 0 'ad tos , primum membrum ex > O fit demam < 0. 2º. Unam tantum habet realem et positivam radicem : etenim si duas haberet ejusmodi radices p' et p" , forent simul1 a, bi ? c , = 1 , pite pto ( ...... 2 + .6 , P " te c. ? to L 1 ac proinde , subtracta altera ab altera, a ”, ( p " map' ) P'p'r 6,2 ( p' -Þ ) c * (p" —p') + + ( p' + p )(P" + ?) (P + 6){p"+7 20 , sen + 6,2 (p' + P/(p" + P) C. ( p' + o)( p + o) = 0 ; P'p457 quod nequit admitti. Itaque resoluta ( 24" ) , radix illa realis et positiva praebebit p , 9 et r ; unde unica exsur get ellipsoides ( l' ) et transiens per panctum ( a ,, b , ), et habens eosdem focos idemque centrum ac ( 7 " " " ).

451 *. Notentur haec duo. 1º. Etsi ad exprimen dam attractionis legem sumitur quaevis functio distantiae alia ab hactenus considerata, adhuc tamen valebunt formu lae ( l": 449 ); siquidem H.= MparsSS ( a - px ')dx'dy'dz' f [la— px' 2+{b - 97°)2+ (cmrz') ppqr 2p dx'[ (a - px')2+ (6— qy')2+ (c -rz')2 ]dy'ds' f [la - px ')2 + (bm9y ') +crz') ] par 2 SS (F [(a — pu')276-91)2+ (carz')?]dy'dz F[ ( a +puja +(6- qu'ja + (c - rz")"]dy'dz') ht i = 27 pqr 2 F [ la - pcosh )2 + ( 6 — qsinhcosi)2 + c - rsinhsini)? ] coshsinhdhdi h= 7 i = 271 p.gr 2 F( 62 ) cosh sinh dh di ; simili modo ,458 i = 277 H ' , Ma'r' F (62) cosh sinhdhdi : 2 et quia 62 , 6'2 sunt identica , iccirco elc . 2º. Factis p = 9 = 1 , p == r ' , utellipsoi des vertantur in sphaeras, formulae ( 1 ) dabunt H' 2 2 H' ,? H '. 2 Hz ? H,

H, r4 ideoque , denotantibus Het H totales sphaerarum attra ctiones in puncta ( a , b , c, ) , ( a , b , c ) , H ' po2 H ( 2** ) , p2 1 quaecumque de caetero sumatur distantiarum functio ad exhibendam attractionis legem. 3

De figura spectante ad aequilibrium massae fluidae et homogeneae rotationis motu donatae; cujus particulae se mutuo petunt in ratione reciproca duplicata distantiarum.

452 # . Huc spectat tellaris figura orta ex aequilibrio: cum enim magua terrestris superficiei portio legantur aquis in intima terrae circa proprium axem rolalae se insinuantibus invicemque communicantibus, haud dubie aquarum aequilibrium certam figuram requiret; quam figuram toti telluri tribuimus, siquidem solidae partes, quae extant ut montes, parum admodum ab aquarum superficie se attollunt. Sit OX axis rotationis , et ( a , b , c ) punctum quodvis in superficie massae: quoniam punctum istud sollicitant vires acceleratrices ( .85. 5° : 72. 0" ) dQ da do db dQ bus cu? dc parallelae coordinatis axibus, ideo ( 87. 2º y aequatio ad superficiem massae fluidae libratae fiet in casu dQ dQ • da ti da db + bus ) db to dQ dc + cu ? )dc = 0 (e) . Verum quia Q pendet ab ipsa massae figura, haud poterit a priori ex ( e ) deduci figura spectans ad aequilibrium: assumpta tamen aliqua figura, polerit ex ( e ) sciri utrum ea satisfaciat necne conditionibus aequilibrii. Pone v. gr. massam fluidam induere formam ellipsoidis a2 + pa 62 + q ?.. ( e'j; p2 valores dQ da dQ db dQ ! dc , compendii causa sic ( 446: [" I" ) poterunt scribi , dQ da Ha , dQ db Hb. - dell' H " c ;460 et ( e ) evadet praete Hada + ( H ' - u ? ) bdb + ( H " — u? ) cdc = 0 ( e" ) ; H , H' , H " non pendent a coordinatis a , b , c . Jam ve bdb cdc ro (6 ) differentiata suppeditat ada + p = 0 ; 92 82 1 1 quam comparanles cum ( é ) obtinemas H, pº q² Hu” , = H " u , ande r2 et ad 92 H pa Hu? H H " - 42 re " ) ; pa le" ideoque q2 H'- p2 H' = ua ( qe -ra) : cui satisfit sumendo q =r ; siquidem ex q =r prodit H = H". Tribuamus igitur massae fluidae figuram ellipsoidis ge nitae revolutione ellipseos ( 442. 6° ) nem aliqua 62 + = 1 pa q trum dein quot circa axem 2p : ac primo accipiatur q >p ; erit ( 448 ) ge m2 == p ( 1 +82 ), et (é ) evadet 624+ C2 + pa( 1 + 82) = 1 ( e " ) : p? babea461 praeterea ( 448. 14: 446 ) Зм H = p3 EJ [ — arc( tang =e) ] = 4ust ( 1 + $ a ) [ 8 – arc(tang = ) ] , 3M H ' = H ' [ arc( tang = e)-17 ] 2p3,3 E 2p.ro(1+ 2) 23 [ arc( tang = E ) -1 : et adhibitis substitutionibus sive in prima sive in secunda u? ( e' ) , factoque 0 , assequemur 4 பா 3 + 2012 3+8 arc( lang = € ) = 0 ( el ) .

453#. Radix : = 0 aequationis ( e' ) ad quaestionem non pertinet, quamdiu scilicet velocitas angularis u erit aliqua. Praetermissa igitur hac radice, restat videndum utrum ( e ) admittat et alias radices reales &: profecto ei dein rotationis motui tot respondebunt ellipsoides ( e" ) quot erunt radices illae. Iam si fiat 3 + 2082 3 +64 E arc( tang = 2. ) . ( c " ) , habeaturque é pro abscissa et w pro , ordinata curvae ( e " ),462 quisque videt eas radices nihil fore aliud nisi abscissas re spondentes ordinatis w = 0. Certe , evanescente w ad ali quam distantiam ab origine coordinatarum versus plagam abscissarum positivarum, ex ipsa ( e" ) intelligimus w evanituram quoque ad parem distantiam versus plagam abscis sarum negativarum: quia vero in ( elv ) invenitur tantum modo quadratum radicis & , ideo satis erit positivum dumtaxat curvae ramum considerare. Evanescente & , evanescit w : ab & = - 0 ad ε parum ad modum > O permanet w > 0 : potest valor o esse ita exi gaus , ut abscissis e > 0 respondeat w < 0 : vergente e ad co , perstat a > 0. Positivus itaque curvae ramus ultra coordinatarum originem poterit secare abscissarum axem in 2n punctis, et consequenter ultra ipsam originem praebere w = 0 vicibus 2n , totidemque proinde reales ac positivas radices & aequationis ( e ). Atqui w tran seat oportet per maximum minimumve antequam curvilineo ramo abscissarum axis: quoniam igitur secetur 282[ 084 +2650 1182 + 90] ( 3 + ) '( 1 + € 2 ) ( e "! ) , de et aequatio 04 + 2( 50 – 1 ) 2 + 90 = 0). ( ell ) est secundi gradus quod $2 , consequitur fore 2n = 2. Duplici videlicet ellipsoide ( e " ) poterit satisferi conditioni bus aequilibrii .

454*. Coexsistentibus ( el ) et ( e ) ita , ut expleantur ambae per eosdem valores e ac , illarum intersectionum altera recidet in alteram , ramusque positivus haud secabit ultra originem sed tanget duntaxat abscissa rum axem. Iam vero (el) suppeditat 0 =463 ( 1 + 2 ) ( 9 +82 i et adhibita substitutione in ( e ) , 282 784 +3082727 ( 7 + 2)(3 + 32 )(9 + 22 ) arc( tang = E ) = 0 : tentando pervenitur ad radicem & , = 2 , 5293 . un de 0, = 0 , 1123 ... Ubi ergo fuerit 0 = 0,, satisfiet aequationibus aequilibrii per unicam ellipsoidem ( e " ) : sa tisfiet per duplicem ( e " ) si 6 < 0, : quod si 0 > 0, , per nullam ellipsoidem ( e " ) poterit aequilibrii conditionibus satisfieri ; cum enim in curva 3+ 20,82 3 + 8 - arc( tang = ) nunquam abscissae > 0 respondeat ordinata a <0, haud dubie ( posilo T > 0 ) in curva 3 + 210, + ? ) 3 + E2 E arcl tang = ? ) abscissae E > 0 respondebit constanter ordinata w >0. Notetur illud: designante T tempus periodicum , quo nimirum integra fit revolutio circa axem 2p, erit ua - 4772 П 1 12 , et consequenter (452) Sub eadem yi pl T2 delicet densitate erit 0 reciproceul quadratum temporis periodici.464 455#. Haec in hypothesi q > p : ponatur nunc q minor quam semiaxis rotationis p , ut sit q2 = p2 = p? ( 1 &' ) ; denotat é numerum > 0 et < 1. Vertetur ( e ) in a2 62 toca p2(1 — 62 ) = 1 ( e ' ) ; p² et in hanc ipsam vertetur ( e ' ) , assumpto : ==& V = 1. Iam si substituitar év loco ε in (e"" ) , emerget dw de' EV_26-[08'4—2(50—1824-96] (3—42)' (142) EV , 28 ?[(1—62)/9—2)0 + 26'? ] ( 3 – 82 ) 2( 1 — € 2)

unde W & V = TS } { 26 [(1-2)962 ( )0 +-282]dé ( 3 - 3)2 ( 1 —62) i Et quoniam istud integrale intra limites, quos inter jacet &' , est ( 27. 18 ° ) necessario > 0 ; iccirco nunquam fiet w = 0 , et consequenter aequilibrii conditionibus haud . poterit satisfieri per ellipsoidem ( e " ). 456*. Nonnulla subjungimus de gravitate in elli psoidis superficie. 1º. Ejusmodi gravitas, seu resultans ex omnibus viribus ( 452 ) sollicitantibus punctum constitutum in su perficie illa , exhibeatur per H,: erit universim . H, = V H’a2 + H_u2)2b2 + (H “—42)?c2 ( ek) . !465 Ab ellipsoidis centro ad superficiei punelum ( a , b , c ) duc radium vectorem, et in eo sume punclum quodvis la ' , 6 ' , ' ) : sollicitabitur ( á , b' , ¢' ) juxta coordina tos axes viribus ( 446. 7 : 85.50 ) Ha' , ( H' - u2u )ở6 , ( H"” - u3 )c ' : Inferimus gravitates in diversis punctis ejusdem radii vectoris et esse parallelas inter se , et eam habere ratio nem , quam habent ipsorum punctorum distantiae ab elli psoidis centro. 2°. Quoad ellipsoidem ( e " : 452 ) , formula (e" ) vertitur ( 452 : e ' ) in 1, =AV a:+ 6 + ca) p4

H

V at 62 + ca 94 ( 1-48aja H V pa + a? <3 ( e" ! ) . 1 + 2 Apud aequatorem est a = 0, et consequenter H ', - HpV THE .

apud polos est a ' = + p , ac proinde

H” , = Hp. Ergo H' , : H ", = 1 : V1 + 2= p : q ; gravi tas nimirum apud aequatorem ad gravitatem apud polos ut polorum axis ad aequatoris diametram . 3º. In ellipsi a + pano 22 p241 +2) 1 30466 generante ellipsoidem ( e' ! ) habetur ( 27. 170 ) normalis = b Vi ddb2 Vit da2 17 1+ a2 ( 1 + $2 ja 62 V 62 +22( 1 +82 )2 = V (1 +52 ) ( pa + a262 ) ; unde ( 2º. e " ) H, H 1 + 2 ( et " ) . In quovis nimirum superficiei puncto gravitas est ut respondens normalis ad rotationis axem terminata .. 4º. Sit y complementum anguli , quem porma lis v continet cum axe rotationis ; erit b = vcos Y proinde ( 30 ) > ac a2 12 cos2 Y v2 cos2 Y p21 +82) - 1 a? = p2 — pa 1 + a Hinc ( 30 ) V 11 +82)( p2 + epa & 2 y2 cosa V 1 + 82 V p2( 1 +-62)2 – 82 ya cosa Y ; et consequenter pl 1 + 82 ) v 1 + E2E cos Y467 y est latitudo illius puncti in ellipsoidis superficie , cui respondet normalis v. Aequatio ( e " ) evadit H, Hp V1 + 2 cosa Y et substituto ( 452 ) valore H , H 4pap ( 1 + 80 ) [ € – arcl tang = ? ) ] $3 VT + ? CosaY XIII ( e ) : exhibet ( ell ) relationem inter gravitatem et responden tem latitudinem. a (1+ ) 5º. Quoniam ( 30 ) db da 197 d2b ( 1 + 52 ) [ be + a ( 1 +82) daa -1 , 63 3 2 ( 1+ dba daa :) 13 73 ; ideo ( 27. 21 ° ) radius osculi quoad meridianum ellipticum exprimelur per 23 pa( 1 to 82 ) pl 1 +82 ) seu ( 40 ) (1 + 8+cos24 ) 3468 Hinc , si magnitudo gradus apud latitudinem Y designa tur per G , erit = 180 G ( e " ) ; Te pl 1 + $2 ) ( 1+ fa82 cos Y ) = 3 babito scilicet gradu meridiani pro gradu réspondentis circuli osculatoris. 7 pl 1 + 2 ) 6º. Ex ( e "" ) habemus 1+ 8?cos2 Y 1 76 180 G ( 1 tea cosaY ) ; insuper ( 454 ) pl OT2 propterea ( 40 ) H, 720 G 7 (1 + 62 cos? )[ -- arc tang = 6) 1 . $3 OTP Ad haec : denotante à longitudinem penduli sim plicis , quod singulis secundis absolvit oscillationes suas , habemus ( 66. 10. a " ) H , = 722 ; et consequenter π \lambda : 720 {1+ cos2Y ) [s - arc( tang = e) ] €30 TO ( e " ) ; unde 0 720G (1 + 5?cos24 )[: - arc(lang= e)] π \lambda3 Τ ( 8 " )A69 yº. Patet nunc illud : determinatis , et G apud eamdem latitudinem , poterunt ex ( el ) et ( e " ) erui e ac ; inde vero Ár = r V 1 + 50 ) , et p ( = ) GT 8º. Si praeter gradum G apud latitudinem 4da. tur quoque gradus G' apud latitudinem Y' , obtinebit = 180 Gº simul cum ( o " !. Top 1 +82 ) ( 1 cosa + ecos Y ' ) 3 5 Propterea 3 읗 1 tea cos2 Y ( 응 1 +82 cosa y ( e"" " ) . Item si praeter à apud y datur etiam X apud Y' , subsistet n 7206'(1 + cos2Y ')[& - arctang = e)] ' = 30T2 simul cum ( e " ) . Quare Quare in 1+cos2 Y 1+ 8 cosa Y. et substituto valore , ex ( e** !! ) , devenietur ad co 1 + cosa Y ' 1+ cosa y (ei ).470 Sive ex ( e " ) ; sive (en ) , habetur ea , ac per con 9 sequens 9 р

quoad tellurem, ratio censeri potest

Р 310 unde telluris ellipticitas 309

9 - P 9 310 - 309 1 310 310 Ecce mensuram gradus terrestris G satis accurate de finiti apud varias latitudines 4.

LATITUDO RESPONDENS PUNCTO GRADUS IN HEXAPED. MEDIO CUIUSQUE GRADUS.

57037 33° 18 ' australis. 56753 0 0 . 56979 43 ° 1 ' borealis. 57018 4 46° 12 ' boreal. 57084 49° 56' boreal. 57175 66° 20 ' boreal. 1471

Ecce etiam penduli longitudinem , apud varias latitudines y.

LONGIT, PENDULI IN LI LOCUS OBSERVATIONIS LATITUDO NLIS PED. PARISIENSIS

Sub aequatore 439 21 00 O ' A Portobello 439 , 30 9° 34' A Petit- Goave 439 , 47 18° 27 ' Parisiis 440 , 67 48° 50' Pelli 441 27 66 ° 48' > 1

De motu solidi corporis circa punctum fixum ad aliquid generaliter annotandum de coelestium corporum motu circa propria gravitatis centra.

457 * . Haec praemittimus.

1º . Si ab axibus orthogonalibus $OX,OY,OZ$ transiri debet ad axes similiter orthogonales $OXY,OY,OZ'$, in hunc finem jam obtinuimus ( 85 ) formulas $x=fx'+hy'+kz',y=f'x'th'y'+k'z',z=f''x+h''g'+k''$;' , exsistentibus $f=\cos(xx'),h=\cos(xy'),k=\cos(xz'),f=\cos(yx'),h=\cos(yy'),kk'=\cos(ys'),f'\cos(zx'),h''=\cos(zy'),k=\cos(zz')$ : et quoniam inter quantitates pih , k , f , k , k , p ' , k " , k' ' ( 8' ) obtinent sex, numero relationes ( 50. 7° ) pz + f's + f2 = 1 , h + h's + hs = 1, ka + k'2 + "? = 1 , th + p'h + f" l" = 0 , fk + f'k' + f " k " = 0 , hk + h'k' + hl" = 0 , (8 " ) iccirco illarum tres duntaxat censendae arbitrariae. 2°. Simili modo, si proponeretur transitus ab OX ', OY' , OZ' ad OX , OY , OZ , forent x ' = fx + f'y + f"z , y ' = hxth'y + h" z , = kx+ ky + k'z ; " com itemque of th + k = 1 , f's + hs + k'a ' = 1 , p "? to h's + ks = 1 , ( 8 " ) ff ' + hh' + kk' = 0 , fp " + hl" + kk" = 0 , f'p" + h'h + k'k 0 . 30. Si resolvuntur de more aequationes ( 8 ) quo ad x' , et a' , facto compendii causa F = flh'k ' – h" K ' ) + f ( " k- hk ) + p " hk' – hk ) , prodibunt473 Fx' = ( h'k ' —h"k') x + ( h'k –hk " ) y +( hk h'k )z , Fy' = ( f" K - f'k" ) x + ( fk" - $" k ) y + ( f'k — fk' ) , Fz' = (f.1 — pi' ) x + ph ph ") y + ( fh ' -f'h ) z ; ex quibus comparatis cum ( $ "") emergent h'K' - h'K F , f= h'k - hk F f ": hk - hk 67 F fak' -f'k " fk" -f" k , h = F F h "= f'k -fk! F 18 ') f'h'- f"'k k= , k f'h- fh" ,h"= fkfk F F F . hinc ( 10.g" : 2 .gz") Fe = (h'k " — h " k ). + ( h"k - hk" )2 + ( hk' - h'k ) 2 = 1 . " 46. Denotent & , " , " tres angulos, quorum pri mus intercipitur planis X'OY' et XOY , secundus inter sectione istorom planorum et axe OX , tertius interse ctione illa et axe OX': recident é , ê " , " , ( xx' ), ( ory '), ( yx ' ) , ( yy ' ) , ( zx' ) , ( zy ' ) in angulos i , b , k , BSX , CSX , BSY , CSY , BSZ , CSZ alibi ( 380 .5 ) con sideratos , eruntque

)

cos (xx') = f = cose" cost " — sine'sinε'" cose' , cos{ xy ' ) = h cose“ sine " - sine" cose" cosé , costyx ') = f = sine" cost" + cose'sine" cosé cos (yy ') = h ' = - sine" sine" + cose” cose" cose ',474 cos( zx ' ) = f " = siné " sin , cos( zy ' = h = cose'" sine' . Quod spectat ad cos ( xz' ) et cos( yz' ) , in Fig. 151 concipe tertium axem SZ ' normaliter insistentem binis axi bus orthogonalibus SB et SC : triangulum sphaericum, cu jus latera respondent angulis NSX = 8 ) , NSZ ( = 90 °) et XSZ' , suppeditat ( 173. 7º. ) cos( xz' ) = cose" cos 90° + sins ' sin 90 °cos( 90° —6 ) : triangulom insu per sphaericum , cujus latera respondent angulis NSY( 90° -6" ) , NSZ' et YSZ' dat cos( yz'.) = cos( 90 - t" ) cos90° + sin ( 90° — 8 ) sin90° cos( 90° + 6 ) . Hinc cos( xz' ) = k = sine" sin &' cos yz' ) = k = - cosé" siné' . Quod vero pertinet ad cos ( 22' ) seu k " , manifeste habetur cos zz' ) k" cosé . Valoribus istis substitutis sive in ( g" ) , sive in ( 8 " ) , sive in ( g ) , prima membra fient ubique identica cum secundis : nulla propterea inde exsurget relatio inter é ', ê , ". 5º. Per originem O intelligatur transire recta 00 , faciens angulos i , i et i" cum axibus coordinaris OX , OY et OZ nt ad ipsam 00' referantur ( 85. 1º. ) inertiae mo menta ; dicantur 2 , X, ... radii vectores ex O ducti ad puncta nateralia m , m ', ... ; sintque l, l ', ... anguli , quos isti radii efficiunt cum momentorum axe OO ' ; p , p , ... perpendicula ab m , m ' , .... ducta in 00 ' ; x , Y et z coordinatae puncti mix' , r' et i coordinatae puncti m '; etc. Erunt 22 x + y + z 12 = x'* + y2 + z2 .. ;475 p = , sinl , p = 2 sinl' , ...; col= cosi to a cocosi' + ' cosi" , cosi' = x' ď cosi + cosi' + - 151 C 5 axi z' 7 , CO cosi'" ' Propterea = 909 D? = 12 sin l = 12 — 22 cos? l = x2 + + – insle ( x cosi + Ý cosi' + z cosi" ) 2 , inc p '? = x +y2 + 2 ? — ( x'cosi + x'cosi' + z'cosi“ )* , etc.; quae formulae cum traducantur ad p2 = ( y2 + z2 ) cosai + ( x2 + za ) cos2i' + ( x2 + abelor YP ) cosi" - 2X Y cosi cosi'- 2xz cosi cosi" —2x zcosi'cosi ", p'r = ( y2 + 12 ) cos ? i + ( x '? + 22 ) Cosi + 6 ). ( x2 +7'2 ) cos i " - 25' Y' cosi cosi' - 2x' z' cosicosi " COD

,:

2x' ż cosi' cosi" , etc ... , 00, OF factis compendii causa emo ad E ( 12 + z2 ) m = B , E ( x + za ) m = B' , quos - ( x² + y2 ) m = B " . Coming el 1 Emy ? = D , E mxz = D ' ,

elo

Em XY = D " , -476 habebimus Emp =B cos i + B' cosa i + B'coszi" — 2Dcosi'cosi ' 2D'cosicosi" - 2D" cosi cosi ( g " ) . Quisque videt B , Bº , B ” nihil fore aliud nisi iner tiae momenta quoad axes OX , OY , OZ . 6º. Sume ad libitum in 00' punctum 0, , ejus que coordinatas voca X , Y1 , 2,: expressa per de longi tudine 00 , , erunt cosi = cosi' = az 21 cosi" = ; el ( g" ) evadet Bx/ 3 + B'Y, " + B” z;-- 2D Y, 2. – 2D ' 3, 4, 2D" >, 1 = 2,2 E mp . Quare si ponitur 00 ' moveri circa 0, punctumque 0, ita sumi ut exsistat constanter 1,- VVİDEO Σηmp reperietur O, in superficie -2D ' X, 2 , Bx2 + B'Y,2 + B” 2;? — 2DY, 25 - ! 2D " X , Y = 1 ( " " ) . Habet ( g "" ) suum centrum in 0; siquidem muta tis omnium coordinatarum signis, ipsa ( 8 """ ) non mutatur.477 7º. Ex m , mi ... ponimus coalescere corpus suis praeditum dimensionibus: non poterunt igitur m, m' ... esse in uno eodemque momentorum axe , neque proinde fieri Emp? = 0. Longitudo nimirum d. permanebit finita; et consequenter aequatio ( gil) ellipsoidem ( 442. 5 ° ) re praesentabit: vide secundam partem nostrorum elementorum matheseos. n. 214: 215 etc. 8°. Quoniam directio coordinatorum axium arbitraria, licebit semper eos ita collocare , ut recidant in ellipsoidis axes: lunc vero aequatio ad ellipsoidem carebit rectangulis Y, 2 , 4,2 , X, Y , , seu, quod eodem redit , exsistent D = 0 , D = 0 , D = 0 ; per punctum igitur O duci poterunt tres rectae orthogonales , quae pro coor dinatis axibus habitae suppeditabunt ( 5º. & " ) est Emyz = 0 , Emxz' = 0 EmsY = 0 ( g " ) ; necnon Emp ? = Bcosại + B ' cos ' i' + B ' cosi! > 3 ( 82 ) Bx, + B'x? +B" 2 = 1 1 et de ejusmodi videlicet rectae erunt ( 85. 5 ° ) axes principales systematis m , m ' ,'...relate ad punctnm 0, suisque gau debunt principalibus inertiae momentis. 9º. Quia (6 ) crescente 2, decrescit Emp2 crescente de crescit Emp3 , ideo magno ellipsoidis axi re spondebit minimum et parvo maximum omnium inertiae momentorum, quae referuntur ad axes transeuntes per 0. Si ellipsoides generatur rotatione ellipseos, infinita nu mero habebuntur axium principalium systemata, componen turque singula ex rotationis axe et ex binis rectis per centrum O sic ductis in aequatoris plano , ut rectum contineant angulum; etenim in omuibus ejusmodi systematis ex plentar formulae ( g " ). Aequalia insuper erunt momenta illa , quae spectant ad axes 00 aeque inclinatos rotatio nis axi . Si ellipsoides abit in sphaeram, explebuntur ( g "*) quoad ternorum orthogonalium axiom systemata per centrum O utcumque ducta : ternis igitur ejusmodi axibus ad libitum sumptis constituetur systema principalium axium ; omnia que inertiae momenta prodibunt aequalia. 10° . Fac ut materialia puncta m , m '.... solli citentur muluis duntaxat actionibus; finge tibi planum in tercipiens angulos L , L' , L ' cum planis coordinalis XOY, YOZ , XOZ ; et quemadmodum ( 84. 3 ° ) in his planis , sic in plano illo pone fieri arearum projectiones ; istis au tem projectionibus per respectivas punctorum massas mul. tiplicatis, omnium ejusmodi productorum summam voca S: habebis ( 84. 4° : 339. 9 ° ) S = cosL Ema + cosL' Emb + cosL Emc = ( cosL + C'cosL ' + C cosL" ) . Si debet planum illud obtinere talem positionem ne summa S exsistat maxima , quisque videt rem eo redire ut facto S ' -- CcosL + C'cosL' + CºcosL" , habitoque respectu relationis cos? L + cos2L' + cos2L " = 1 , sic determinentur cosL , cosL' , cosL " ut reddant S maxi mam. Iam differentialia capientes assequimur dS' = CdcosL + C'dcoșL ' + C'dcosL " , cosLdcosL + cosL' dcos L '+479 cosL " dcosL " = 0 .; quarum secunda praebet dcosL " = cosL dcosL + cosL'dcosL ' Hinc ds = ( C cosL " C ” cosL . ) dcosL + ( 0 cosL" CºcosL ' cosL " 1 ! ) dcosl ' ; et in ca 0

ܕ su maximi minimive ( 27. 22° : 422. 2° ) , dS' = C C'cosL' ' ' cosL cosL " seu C O et C = 0. Inde cosL " profluunt cose CcosL" G" et cost C cos L " C " ac per consequens C " cosL " v C2 + C + C ' ? G cosL ' ( get ) VC2 + Co + C " cosL VOICE V CP +62 + C "> Est autern de S = C da cosL" C ”. ( dcosL\ 2 + (dcosL ')2 cos ""480 (ccsL dcosL + cost' dcosL ') cos3L " - C" -F ( C + 0 + C “əy*[(dcosL)a + ( dcosL ') + Cdeos!,LC’dcosL'-), I] : C " sumptis ergo superioribus signis, valores cosL , cosL' , cosL " praebebunt maximam S = VC2+ C2 + C '? ac proinde maximam S = VC + C2 + C " : signa inferiora dant minimam s' , minimamque S. Inferimus planum, cui respondet maxima S , mansu rum sibi parallelum toto motus decursu: huc spectat pla num invariabile a Laplace excogitatum .

458# . His praemissis , in puncto fixo , circa quod fit corporis motus, statuatur non solum origo orthogona lium axium Ox , OY , OZ , sed et novorum quorum cumque axium OX ' , OY' OZ' similiter orthogonalium , qui ponantur firmiter adhaerere corpori : movebuntur no vi axes simul cum corpore circa punctum 0 ; cognito au tem eorum situ quoad OX , OY , OZ in fine temporis t , innotescet etiam corporis positio. Denotantibus X , Y , Z vires acceleratrices, quibus sollicitatur corporis pun ctum ( x , y , z ) juxta directiones parallelas axibus Ox , OY , OZ , Giant Skyz -- -Y ) dm = v , S ( z ) — « Z ) dm = y " SlæY — yX }dm ==yo" *** ( n); secunda ( 0" : 84 ) vertelur ( 28 : 85. 6° ) in v' di = daz dạy so de Idm , tertia in you do = S ( dir dt de481 2 daz .dm dt dy , prima in " di = S ( x dt y daa dt jdm :'unde, sumptis integralibus quoad , Su’dt = sy dz dc X dy -) dm , dt d.x su" di Siz daz de -) dm , ( n ' ) dt Syu'di= Slovenian y dx de -) dm . Atqui ( 457. 10.8 ) Er ty dr dh dt dk dt di dy x' df" ty' de dh tz de dk' de ( 12" ) dc dz - r' df" dt dk dt de de siquidem in ( 8 ) non variant x'g' , ' * ob variatum t : igitur v . gr. ( re ') evadet ſødt = Slipi d! " de -xat di dh dk ' ' de dh -Jy's tik do k " dk dt 31482 If dh" dt fo dh dt th df" . de hic et s'y' + If dk dt f" dk ' dt + k df" de –k 4 df dt ) x ' : ' + dh ' K " dk' dt dh " dc -tk -K" y ' z' ]dm . dc dc Iam vero f' df" dt f df. dt dl hk - h'k ) de dk dl h“ k - hk" ) de = hlf de +f' dk dt + ru coment dk " dt dh klf dc dh ' dt- + f" dh ' dt ) , k' dh " dt h " dh ' dt df df" k (h tk 1 - th " difer flh dk de th dk dt de dt dc dheim dik " dt ) , heating dk" dt dk dc = AK dh - + K dt dh ' dt + k" dh ' . ) - hik dt hak + df de + k df' de + k df" .) , f dt dh " dtdarsen p" dh ' dt df' dt dk hch dt th dk dc dk" dk " h " di ) ff dh' +for dt Don de483 dk " de dk +k dt df' dh dt = ff: de + dh ' f' ҶР ЧР „ IP + po ) -kok dh dt at + ap dt 3 dk k" AP Чр „ ЧР dh " - ) , k ' dt h" +k dc dt . dt de df dt klk odp dp' + ks do tok 1 -hh po at up + dt тр h" df" . ) . Factis itaque compendii causa ( 457. 10. g" ) de Чр Р dh k . .tk molt IP IP . ТР dk dk dk - h r h " dt - dt IP .b of the di . + f " dk" dt ( n'" ) . df - k de + rent - + pomm +* en df dt af" = g ', тр h of the -1.am - f YP IP ЧР op f" dh " di = " ,484 erit s vºde = S [1 ha' + kq ) ': + ( 99 + kq" yy's + ( f9 + hq' / 2 – ( hq + fá ) x'y' - ( kq + fq9x'i ( kq' + ha" ) y':' ]dm ; quae positis (85. 6 °: 457. 5º.g" ) . $ ( 2 + z'a )dm = B , S( x's ' t z'2)dm = B ' , si x'? t y'a dm = B Sy'z'dm = D , Sa'z'dm = D ' , Sa’é dm =D " , lum qB -- g'D' — qD ' = H , q'B' —D— 9D " = H' , qB” — qD' — q'D = H " , ( n " ) malabitur in Sv'de = fH + hH' + k ! ” : simili modo e secunda ac tertia ( n ' ) , ( no ) Surdt = f H + H'H ' + K H” , svo" di = f'H + h " H ' + k " H " . Hincfv = p di fH + hH ' + kH " dt plfdH + Hdf+ hdH' + H'dh + kdH’ + H "dk dc fu = f'dH + Hdf' + KDH + H'dh ' ; k'dH " + H ” dk’ de485 1 dt " – dH h ' Z ) ]dm = ( h' k " – " I bring povo – pr.f“ + Mdf" + h"d = HM +2"2H "+ H'at" + ” quarum summa traducitur ( n' " ' : 457. 10. g " ) ad po to pop + poryson de Hºq" +H " 9 . simili ratione , ( n" )) dH hy' + h'y " + h " >' " = -H'q + H9" , do dH " ki + ky" + k ”ym dt - Hq + #q Vis agens in punctum ( x , y , z ) resolvatur nunc in treg X' , Y ' et Z' respective parallelas coordinatis 'axi bus OX' , OY' et OZ' ; erunt X = Xcos( xx' ) + Ycosí yx') + Zcos( zx ' ) = f * + fr + pZ , Y' hx + h'Y + h'Z , Z = kx +kr + k z , Pone Slu'z - z'T' )dm = g' , $( z'X ' - x'Z ')dm = w ( n " ); SlæʻY' – y'X' )dm = m' " habebis ( 457. 10.8" ) ó' – Sikhæ + kr + hºz ) kX + Y + k ” Z ) - (kx + k'y + k " ? )( hX + h'Y + . 4 li" K' : ) f(y2 – 2Y)dm + ( h'k486 hk ' IS( 2X —«Z Idm + ( hk- h'k ) S( Y - X ]dm , séu ( n : 457. 3º. g ) pu' +f'w" + p " ' " ; simili modo , ( n2" " ) t " = hý + h'y " + h " v " , w" = kü' + k'y" + kºv " . Quare vertenlur ( n" ) in dIn dt --H’q" + H " q', s ' = dH dt -H'q + Hq" , ( * ): 11 dH " dt · Hq' +H'q ex quibus formulis integratis eruentur valores q igia substituendi in ( n " ) ; hae vero simul cum ( g": 457. 10) post iteratam integrationem dabunt quantitates ( g's 457. 1 ° ) , determinantes sitam OX' , OY' , OZ' quoad OX , OY , OZ in fine temporis t , et consequenter corporis quo que positionem .

4594. Habemus ( 458. n " .n " : 457.g") f d.r + dt dz po do +8" dy dt q'z 9'y' , h " te dy de -t k de - +487 dr h' dz de = g"t! - qi , k to k' dy tko dz. dt dt de qy' - q'x ': et positis dx de 0 het dy dt 0, dz dc = 0 , emergent q= '.— " y = 0 , q ' x - qz' = 0 , ay - q' x = 0 finna aequationes ad rectam lineam transeuntem per coordina tarum originem , et com axibus OX ' , OY' , OZ' efficien tem angulos 6 , 6 , 6" , quorum cosinus 9 cos6 = cos6— Vq2 + : + 9" V92 +93 +92 q " : q + 92 +9" ? (nº ) cose " Quiescunt autem ( 50. 4° ) omnia istius rectae, pun cta; motus igitur periode fiet ac si quovis temporis mo mento volveretur corpus circa rectam illam tanquam circa immobilem axem : hinc est quod recia ( n" ) dicatur mo mentaneus rotationis axis. 460#. In axe v . gr. OZ ' sume punctum , cujas distantia a momentaneo rotationis axe sit = 1 : quoad e jusmodi punctum habebis (-458. n" : 459. 'n " ) a = 0488 dz gu' = dx de dk di ad dk ' de dt dt dk' 1 dt V 9° + 92 +9"? G :+ ideo sin " que dx² dta dy ? + dta dz² dea : q2 +92+9? q + c ^2 ( ddka dea dk'a dc2 + dk2 dta Atqui( 458. n" : 457. g".g ". ) q2 + dka dk ' q = + dk2 dia dk" 2 dea ( k dk + k ' de dt > dt dk " dka dk's de + dk's dla de2 : prodibit igitur dta ( 50. 4° ) velocitas angularis ( 85. 1º ) quoad momenta neumírolationis axem , US v q * + 92 +9? ( n . ) . 461 *. Si OX' , OY' :, OZ' , ponuntur esse prin cipales ( 457.8 ° ) corporis axes , exsistent ( 458. n " ) = 9B - q'B ' , H " = q" B" ; et formulae ( n " : 458 ) evadent H H' =489 B dq dt4-99"( B'—- B' ) , da og + B -99 ( B ”.- B ) ; (n " ) dc w " B " dq" 99' ( B — B ) . det 462# . Qua ratione assequuti sumus ( 460 ) q ? + dka dk + dta dka + dt2" eadem assequemur dia 92 +9" Na dha dla dh'a di ? - dh's dla + 92 +9 = df dla df dea dfa + dta Hinc ( 458. n'. n ' ) vis corporis viva dxa dz2 Svadın - SI dla dya, + di2 . ) dm = dc Bqö * B'q? + B' qua + dh " 2D ( dh dt dk dt i dh' dk' de dt dk" dt + de ( n " ) df dk 2D'( df dk de de + + df " "dk dc dt dt de 2D " df .dh de dt i df' . dh + df" dh ' de dt :) : de de490 et in hypothesi axium OX, OY' , OZ'. principalium Sve dm = Bq2 + B'q'a + B q ? ( ntv ) 463 # . Situs axiom OX' , OY , OZ' quoad axes OX , OY , OZ determinari etiam potest ex tribus angu lis ( 457, 40 ) , " , " : in ( n '". 458 ) substitue valo res † , h .... df dc dh dc ex ( 457. 4° ) ; emergent de' COSE ". di t siné' sing dt E9 sine cose dé dt sina de dt q (n " ) de" COSÉ de" dt do Formulae ( n " ) , surrogatis valoribus 9.10 , q " , vel ex ( n " . 458 ) , vel ex (nºly , 461 ) , praebebunt an gulos é , " , ε ' " ; unde situs ille innotescet. 464 # . Pone nullas esse vires acceleratrices, re clisque lineis OX' , OY' , OZ' constitui axium principa lium systema: habebis (458. n " s' = 0,5" = 0, '" = 0 ; ideoque - ( 461. n 1 ) Brq q'9" ( B' —B".) di = 0 ; B' da' – 99" ( B " — B ]dt = 0 , ( r) B” dq" – qq' ( B - B ') dt = 0 .491 Multiplica primam ( r ) per .q . secundam per q' , tertiam per q , lum collige in summam ; facta integra tione , obtinebis ( 462. n " ) Bq2 + B'q" + B'g? = ¢ = ſvadm ' (r'). Quod si multiplicetur prinja ( r ) per Bq , seconda per B'q , tertia per B" q"' ; post factam summam atque inte gratiouem exsurget Baqa +B ?q' + B' q' *Ecº (r") , Binac ( ) el ( pon ) praebent 92 C, B' + - B " q " » ( Bº - B " ) B( B - B' ) . ( mil) ; 0," gi CB + B " q " 24 B -- B' ' ) B '( B ' - B ) (p> ' ) ; quibas valoribas substitatis in tertia ( m ) V BB' B'do " dt ( min) . G - B* f B q 2(BP— B"VB) - C;24-B q" {B —B) Facta integratione , eruetur inde quantitas q expres sa per t ; et adhibita substitutione in ( ' ') , prodibunt get q' expressae pariter per t. Itaque data eruot secunda membra formularum ( n " : 463 ) : quae laten fornulae adhuc restant integrandae ut innotescant åpguli e' , e , e " .492 1

465 # . Suppetit et alia via determinandi positionem rotati corporis: multiplicetur prima ( r: 464 ) per f, secunda per h , tertia per k , et producta colligantur in summam ; erit B [ fdq - qi kq' - ha ) dt ] + B'[hdq - gi fq" — kq )di] + B " [ kdq" – 9" ( hq — fq* ) di] =0. Iam vero ( 458. n ".: 457.6") kg'dı k* df - kk'df" kk"dip , hq" dt = hPdf + hhdp' + hh" df" , f df + ff" df' + ff"df" = 0 ; item fq" de = -f2 dh — ff'd” – pp dh " kydt = kadh + kk' dh' + kk ' dh " , hạdh + hh' dh' + hh" dh" = 0 ; nec non hqdt hPdk hh dk' – hh'dk" , fq' dt = p2 dk + ff dk' + ff" dk ” , k’dk + kk' dk' + kk" dk" = 0 ; et consequenter (457.g " ) habemus ( ka ' — hq' ) dt == df ; ( pa! — kq ) dt = - dh ; ( hq fa dt = - dk . Propterea B (fdq +qdf ) + B' (hdq' + 9'dh ) + B ”(kdq " + q 'dk)= 1 . Simili modo; multiplicatis respective ( r .) prius per f ', k' , k' , deinde per f " , hi , k" , assequemur Bifidq + qdf ) + . B' ( b'da'. + qdh' } + B ( k'da " + q " dk' ) = 0 , B { p" dq + qap" ) + B '( 7 " da' + q dh " ) + B " ( k ” dq" + 9" dk" ) = 0 . Sumptis integralibus 2493 1 B f9 + B'hq' +B " kq B f'q + B'h'q' + B " k'q " Bf“ q + B'h " q' + B'k " q " = = C3 (*) Si ( r ) essent invicem et ab ( p ": " ) distinctae substitutis in ( r ) valoribus q . q , q'ex ( pe " : polt ) , itemque f , h h " k " ex ( 457. 4° ) , satis forent ( rl ) ad angulos é , " , 3 " definiendos absque nova in tegratione: at quadrata ex primis membris formularum (o ) in summam collecta aequantur ( 457. g “ ) primo membro formulae ( "" ) ; ideoque 4 +672 + c = g ; ( " " ) nova igitur aequatio est investiganda ut illos angulos as sequamur.

466#. In hunc finem observa prima membra for mularum ( my ) nihil esse aliud ( 461 : 458. n ' ) nisi Svidt, Sv" de Sudt , seu ( 458. n ) SS( yZ - Y ) dm dı , S S ( zX — «Z )dmdt, s Slx Y -yX )dmde . Sunt autem ( 84. 3º. o' is soyZ – 2YzY )) dmdt = 25$ d26 dm = dt 25 db dc dm S S (zX — x Z ) 'dmdt = 25 de din di da . -dm: igitur 2 ſdb dm de s SlicY --yX )dmdt = 25 -494 cydt , 2 ſdcdm = c3C dt , 2 sdadm = C4 de; rursusque in tegrando quoad t . , 2.ſbdm = 6, l , 2 Scdm = C3 t , czi 2 fadm = cit . Inferimus quantitates cz , C3 , C4 fore ta les ut C2 C3 V6,2 +42+42 V.62 c? + C3 + C4 C4 C2 C3 C4 seu denotent cosi 0,2 to C32 +042 a, pus angulorum, quos cum planis coordinatis YOZ , Xoz, XOY efficit ( 457. 10° ) plapum invariabile .

457# . His observatis , fac at planum v . gr. XOY congruat cum plano invariabili : habebis c = 0 , C3 =0 , C4 = " ; et consequenter ( r* ) Bfa + B' hq' + B'kq" = 0, Bf'9 + B'k'q' + Bľkéq " = 0 , B8"q + B'h'a' + B'k" q" = ç, Harum primam multiplica per f , secundam per f' ter tiam per p " , et producta collige in summam ; obtinebis ( 457. g “ ) Bq = cf" : simili modo multiplicatis respe clive iisdem aequationibus prius per h , k , h" , deinde per k , k' erues B’q ' = Ch" ., B'q' = C,k ” .

Hinc f " Bag뽕 B'q ' h " = B’qi k" 4 ; ac proin . de ( 457. 40 ), designantibus & i ;"., " angulos é , é , ' " in ordine ad dictam positionem plani xoY ,495 1 Bq B'g' side," sine, , cose;"sins' = C, ( r " COSE ' B " q " C $ . Elimina nupc de, ex prima et secunda ( n " : 463 ) : pro dibit de," qsins," sine, + coss, "sin e, sinas,quae ob

( MM ) , vertetur in de," . Bq2 + B'g '? C,P- B " q" ? G dt . с Erit igitur ( 464. p' ) de," B " 9 B ” ? q 3 C, de; et 0,2 substituto valore dt ex ( goly : 164) , de," = - B"q2)VBB' B' da" ( """" ): (0,2- B"ıq" )VC,2-CB + B'q"2(B-B" )V CB -C,2 + B"q"2B5 -B ) facta integratione , assequemur angolum ", expressum per q' ' , et consequenter etiam per t. Caeteri anguli e, et " habentur ex ( VII ); uimirum sine,' = Bagº + B ? q'2 C sine, " Bq VB?qº Bq ? (p " ) .496 Ad constantes arbitrariasque quantitates c , c, quod pertinet , initialis impulsus , unde oritèr corporis mo tus, exsistat tantus ut valeat communicare velocitatem u massae a consideratae inslar ' puncti materialis , sit nempe P = MU ' ; exprimat insuper p perpendiculum demissum in directionem ipsius r ab origine coordinatarum, seu a pun cto fixo circa quod movetur corpus; factisque arearum pro jectionibus in uno eodemque plano, denotet o projectionem areae quam describeret radius vecior Om si p.communicaretur puncto materiali - ibi sito ubi reapse communica tur corpori , vero quamlibet ė reliquis projectionibus. Vires omnes, quas concipiunt particulae moti corporis, ma nifeste libranlar' vi aequali et contraria impulsui p : pro d20 pterea ( 13. 8 °. a " . 110: 84. 3º. 0P ) - dt2 d29 s dm ; et sumptis integralibus semel iterumque dta quoad , MO = s odm . Liquet autem quantitatem m5 fore maximam in plano transeunte per punctum fixum O et per directionem impulsus F, ac proinde ejusmodi planum esse planum invariabile. Cum igitur, factis projectionibus in pla no illo , habeamus (457. 10°) Sedm į V oʻztc32-+-642 = 1/ 2tc , - EMPO ; iccirco ci = MPU . Determinata , haud difficulter definietur c ; siqui dem data principalium axium OX' , OY' , OZ positio in initio motus praebebit respondentes apgulos e, et E," ; qui bus substitutis in ( rºll ) , eruentur inde 9,9' , q : et sur. rogatis his quantitatibus in ( r': 464 ) , indolescet c. Quae demum constantes arbitrariaeque quantitates c' , c " profluunt ex integratione formularum (m " ) et (r * "'), eae definientur ex valoribus q ', €, " respondentibus initio motus.

468#. Hoc pacto definitur positio rotati corporis quoad planum invariabile, per angulos videlicet & €" , 3 " : redeat nunc planum XoY in pristinum situm, conui necnon M = >497 neatque cum plano invariabili ( exhibemus per Q ) angu lum \beta. Expresso per y angulo, quem intersectio planorum Q et XOY efficit cum axe fixo OX , et computato ą," ab intersectione illa , consideremus triangulum sphaericum in terceptum planis Q, XOY et XOY': facile intelligimus an gulos istius trianguli esse \beta , & , 180° — é et latera op posita e'"' - $," , 6-8,6" . Hinc ( 173. 8° 9 ° ) coss cos coss' - sin sine, cose, sin ( E ' -9 ) sins , sine," siné sin ( 6 " - 55" ) sins sine," sins' . quarum formalarum ope ex s ' , €," , €;" eruantur é é ", &' " ; ac proinde ex positione rotati corporis quoad plapum inyariabile deducitur positio ipsius corporis quoad planum fixum quodcumque XOY. Ad haec habemus ( 466 ) cos \beta = C4 V 6,2 + 03 + 024 denotante insuper \beta'angulum interceplum planis Q et XOZ C3 ut sit cos ' ; triangulum sphaeri V 0,2 +632+42 cum , cujus latera respondent angulis planorum Q et XOZ, Q el XOY , XOZ et XOY , seu angulis B , B , 90° suppeditat ( 173. 8° ) cos ' = sin90 ° sin \betacosy — cos90° cos \beta. Propterea C, lang \beta 02 ? + C32 cy tangy ته C3 32498 = 900 S quibus adjungeuda ( r " : 465 ) ; quantitates videlicet c2 , C3 , C4 dantur per C, et per angulos Beg determinantes positionem plani invariabilis in ordine ad quodvis planum fixum XOY.

469#. In ea qua sumus hypothesi nullarum virium accelerantium , incipiat motus corporis fieri circa unum quem vis ex principalibus axibus transeuntibus per punctum fixum O ,v. gr. circa OZ': consequitur ex dictis ( 85.5 ° ) corpus perre cturum moveri circa axem illam ac si is foret immobilis ; erunique constanter ( 459 ) 6 6 900 6 " = 0 , ideoque ( 459. n " : 460. n "" ) q = 0,5 = 0,9"

470*. Multiplica acquationem ( r': 464 ) per B” , et productum subtrahe ab ( r " ); habebis B { B - B " ) q2 + B' ( B' — B” ' q '? = ? — B'c . Fac ut q et q' initio mo tus exsistant exiguissimae, sicque constanti quantitati c ? B ” C parvissimus sit valor: binae q et q ' manebunt exiguis simae toto motus decursu , ubi B B' ' el B' — B " fue. rint vel ambae > 0 vel ambae < 0. Quod si duarum B B'et B' - B " altera fuerit > 0, altera < 0, poterit c B " c tenuissima quin tales permaneant 9 et q' : His positis , si momentaneus rotationis axis initio motus parvissimum efficit angulum 6" cuin axe principali OZ , c cum habeamus ( 460 ) l. 1 sin . " 1+ 9 " 2 92 + 9'a certe q et q' in eodem motus initio erunt parvissimae fractiones quantitatis q ': tales propterea manebunt toto motus decursu quotiescumque axi principali OZ' respondet ( 457. 90. ) maximum minimumve inertiae momentum B ” ; et con sequenter angulus 6 " perget semper exsistere tenuissimus. inde infertur illud : ubi molus inceplus circa principalem499 cor maximi minimive inertiae momenti arém tarbetur aliquan tulum, momentaneus rotationis axis perpaullulum deflectet ab ipso are principali, quantumvis de caetero duret poris motus.

471 *. Denotantibus a , , &, quantitates constantes, si q et q' manent satis exiguae toto motus de cursu, licebit ponere 9q = asina62 + " ) . q = , cosa'tt. a ) (x %): tertia ( r : 464 ) dabit B" dq " - 09., ( B - B ') sin( alt a ) cos( a'l + a ) dt = 0 ; sumptisque integralibus ab 0. ad t , et expresso per go valore initialiq" quum nempe t = 0 , B "( 9" — 905 ) - аа , ( B – B ' ) sina (átta ) — sin a " 2 = 0o Quare , denotante a quantitatem satis exiguam, ob dictam binarum q et q tenuitatem erit 9 " = 9".ta ( pot ! ) x ) et substitutis valoribus q , 9 , q ex ( r? ) et ( r? ) in prima et secunda ( r : 464 ) , provenient Baa' - a, ( " F w ) ( B ' — B " ) = 0 , B' , a ta ( 9o + w ) ( B - B ) = 0 ; uude B ' ). =aV B( В B' ( B' — B ”' ) a = ( 0 ," + ) V ( B — B” ) ( Bº = ***") BB500 . ex quibus patet, si axi principali OZ respondet medium momentum B ” , fore imaginarias et constantes Q ,,, et positiones ( pt ) , nullumque realem angulum 6 " reperiri, qui maneat satis exiguus per totum molus decursum. 1

Aliquid generaliter annotatur de coelestium corporum motu circa propria gravitatis centra.

472 * . Ex dictis ( 84. 6° ) patet , quae hactenus disseruimus de corporis mola de molu circa punctum O aeque valitura quum per O baud intelligitur punctum fixum sed liberum gravitatis centrum: quia vero sermo nunc est de coelestibus corporibus, vires acceleratrices hic consideran dae nibil erunt aliud nisi gravitas, qua singulae corporis particulae tendunt ( 82 ) in massas m , n star materialium punctorum. Denotantibus itaque x , y , z coordinatas massae quoad principales axes OX ' , OY' , OZ se mutuo secantes in centro gravitatis 0; x' , Y , z' coordinatas massae m', etc; factis insuper compendii causa spectatas in. ( x - 2 )2 + ( x -g' ) 2 + ( z - ) = 12 , ( x'- x )2 + ( x' - 5' )2+ ( z'— z')2 = A '? , etc. , necnon + * + ... = 2 . erunt ( 458 ) M ' x ' • X x = + + .. de dx501 dQ r = + V +... dy 2- + z ' z 4 *+ de A'2 dz do2 Propterea ( 458. 7. " 11 ) ' = S(8' di de do = - )dm , d ' = SIZE dy dx ' de dz' )dm , de S ( x d22 dx dm ; et formulae ( m " : 461 ) in dy casu evadent B da — ( -gʻq "(B — B") = Sly d\omega dz' d\omega ) dm dy' , d\omega B dd --99"(B”—B) = f( + d\omega dx dardam . > > ( i ) B'. do ' de --99'(B_B B ') = Slix ' dQ dy ' d\omega • dx - ) dm > Valoribus 99,99 9 , ex ( i ) surrogatis in (n " : 463), habebuntur anguli é , e " é " determinantes positionem a xium principalium OX ' , OY' , OZ' quoad axes fixos. 473#. Designantes per x , y,, 2, coordinatas massae v. gr. x in ordine ad axes OX , OY , OZ pa rallelos axibas fixis , habemus ( 457 , 20: 8 "". 4° )502 », ( cose" cost " — sins" sins" cose ') + x, (sinë" cosa""' + coss'sine" cosé' )+ z, sinse““sins' , Y = x , ( - cose”sine"" sine' cose " cose' ) + x, - sing " sina' " + cose” cose'"'cose' ) + 2, cossine' , z =x, sins" sing' cosesims' + 2 , cOSE' . . lure , Inferimns , et consequenter secunda membra ae. quationum ( i ) esse functiones angulorum é , é , s' et va riabilium X , 1 , , 2,, x , y , z' prorsus independentium ab ipsis s' , &" , " 474 #. Fac ut in corpore formam ellipsoidis , ha bente , et circa gravitatis centrum rotato , v.gr. in tel axis OZ gaudeat maximo inertiae momento B" ; erit X'OY' planum aequatoris v. gr. terrestris. Cum igi tur binorum é et é" alter exbibeat inclinationem plani X'OY' ad planum fixum , alter angulum interceptam interse ctione horum planorum et axe fixo , profecto per el é" definietur aequatoris positio : ad angulom s " quod spe ctat, per eum innotescit positio axeos OX' in aequato ris plano. Pespecin telluris, variationes angulorum ē" el é ex viribus lunae ac solis explicant praecessionem aequino cliorum et nulationem axeos terrestris ( 314 : 315 : 378.30 ) . Porro, seclusa omni vi acceleratrice, neque aequinoctin ram praecessio obtineret, neque terrestris axeos nutatio , motusque inceptus circa OZ pergeret ( 469 ) feri circa ipsam OZ' ac si OZ' esset immobilis: at sub solis ac lunae turbantibus viribus et obtinebunt illa duo phaenomena, et rotationis axis perpetuo mutabit positionem suam quin la men unquam deflectat notabiliter ab OZ' . Ista momenta nei axeos mutata positio determinatur per ( n " : 459 ) ; re spondensque velocitas angularis per ( n " : 460 ): quae ve503 locitas cum inveniatur esse ad sensum conslans, certe ro tatilis motus telluris haberi poterit pro uniformi. Sic etiam poteris explicare aequinoctiorum praeces sionem , terrestrisque axeos nutationem, Finge libi sphaeram ( diameter sit ipse polorum axis ) telluri inscriptam ; superimponetur huic sphaerae a polis ad aequatorem ea materiei quantitas , unde resultat ter restris ellipticitas. Unaquaeque particula superpositae ma teriei spectari potest veluti exiguus planeta revolutionem suam absolvens intra 24 horas circa polorum axem vel in aequaloris plano, vel in plano ad aequatorem parallelo ;in plano nimirum ad eclipticam et ad lunaren orbitam inclinalo : regredien lur igitur aequatoris nodi ( 418 ) in ecliptica ob solis aclio nem: regredientur quoque in orbita lunari ob actionem lunae; et quoniam parva est orbitae lunaris ad ecliplicam in clinatio , iccirco haec altera regressio ad eclipticam relata pa rum differet ab ea, quae reipsa obtinet in orbita lunae. Specialis duabus massis, etsi ( 418 ) mutua orbitarum inclinatio hand subit perturbationes seculares, subit tamen periodicas. Non pluribus opus est , ut ex lunae ac solis actione in particulas dictae materiei superpositae inſeras cer tam quandam variationem periodicam ju aequatoris incli natione sive ad lunarem orbitam, sive ad eclipticam ; infe ras nimirum terrestris axeos nutationem. Caetero, quemadmodum sub viribus lunae ac solis tur batur telluris rotatio, sic sub viribus telluris ac solis ture babitur rotatio lunae: hinc vero inaequalitates quaedam ori ri debent in ( 383 ) libratioue lunari. 475 #. Dixi ( 474 ) , quin tamen rotationis axis de flectat notabiliter ab OZ': ratio est, quia ( 470 ) vires lur bantes mutum circa principalem axem OZ' sunt admodum parvae. Etenim ob grandes distantias ( 472 ) A , A' , .. , do quarum cubis constituuntur denominatores valorum da504 20 20 fiet ut secunda membra ( i ) exsistant dy' di de se satis exigua. Ad haec: si rotatum corpus esset sphae ricum, vires acceleratrices contraherentur in unicam vim transeuntem per gravitatis centrum ; periode igitur ( 84.70) fieret corporis rotatio ac si nullae forent ejusmodi vires, consequitur vires turbantes rotationis motum esse ejusdem ordinis cum ellipticitate corporis rotati: et quia coelestium corporum ellipticitas est satis exigua , propterea etc. 476#. Quoniam, evanescentibus secundis membris, aequationes ( i ) ad motum turbatum ex actione massarum 1 , M ' , .... recidunt in aequationes ( s : 464 ) ad mo tum minime turbatum ex actione illa , si per E' = Y (1,0 , C,, C' , B 8' , E' ) s' = , ( 1,0 , B" ) , 1 E" = ( t , 0 , E" ) . designantur integralia aequationum ( r ) sub hypothesi c 4,6 ' , B , E ' , B ' constantium , poterit ( 399. 4° ) satis fieri aequationibus ( i ) per eosdem valores é , é , & sub hypothesi a , ... B" variabilium . Conficitur illud: quemad modum, habitis , ... E ' pro constantibus, systema for mularum ( pl . pro : 464 ) et ( n ? ' : 463 ) post absolutas integrationes repraesentat integralia finita aequatiouum ( r ) , respicitque motum minime turbatum; sic , habitis c , .. e" pro variabilibus, idem systema repraesentabit integralia ae quationum ( i ) , spectabitque ad motum turbalum. Inde col ligimus perturbationes corporum coelestium ex mutua gra vitate determinari consimili ratione et in translatitiis et in rotatilibus eorum motibus. Adhibito systemate formularum ( !" : 464 ) et ( lll pl ; 467 ) ad explendas ( ro ) et ( i ) , determina505 bitor positio rotati corporis quoad planum maximae ( 457. 10° ) projectionis ; exinde vero poterit ( 468 ) determi pari in ordine ad planum fixum quodcumqne XOY. 477 *. Finem facimus explicando breviter illam aliam ( 315 ) variationem , quae praeter varietatem ex nu latione axeos terrestris admittenda est in eclipticae obliquitate. Cum ob perturbatrices planetarum vires in tellareni regrediatur ( 418 ) ecliprica in orbita cujusque planetae turbantis, vertetur axis eclipticae molu conico circa istius orbitae axem . Hac autem vel sola de causa perpetuo mu tabitur angulus interceplus axe eclipticae et axe aequatoris: igitur, praecisa etiam axeos terrestris putatione, obliquitas eclipticae perpetno variabit. Planetae utique omnes in terram agunt; verum qui habent massas sic notabiles ( venus v. gr. et jupiter ) re spectu suarum distantiarum a terra ut effectum edere pos. sint decursu temporis aliquatenus sensibilem, habent si mul orbitas suas ad telluris orbitam parum inclinatas. Falleretur itaque ( 315 ) qui conjiceret et fuisse olim ae quatori perpendicularem eclipticam, et fore ut demum com aequatore ipso coincidat. 32*

INDEX RERUM, QUAE IN SECUNDO VOLUMINE CONTINENTUR OPTIGAE PRINCIPIA.

Notiones praeambulae pag . 5 Quid emissionis et quid vibrationum systema : per medium homogeneum propagatur lumen in recta linea. n. 149, 150. Corpora diaphana et corpora opaca : umbra et penum bra : dato radio sphaerae luminosae, et radio sphaerae opa cae, nec non dala distantia inter sphaerarum centra ; quaeri lur quanta pars opacae illuminetur: longitudo umbrae, quam projicit sphaera opaca . n. 151 . In hypotesi luminis sese diffundentis motu uniformi , ex eclipsibus intimi satellitis Iovis infertur tantam esse i psius luminis velocitatem ut a sole ad nos jotra 8 '. 13" circiter perveniat . . n. 152 Luminis reflexio; et qua lege fiat . . n . 153 Lumen incidens ab uno medio in aliud dissimile: lu minis refractio: el qua lege fiat : index refractionis : tola lis internaque luminis reflexio n. 154, 155. Incidenti radio non semper unicus respondel radius refractus: media dupliciter refringentia : axis opticus crystal lorum dupliciter refringentium : istiusmodi crystallorum di stinctio in crystallos unius axeos et in crystallos duorum a508 xium : nonnulla ex iteratis experimentis subjungutur cir ca crystallos praeditas unico axe 156 Quid contingat lucidis radiis , quos varia corporum puncta in oculum projiciunt : quaedam stabiliuntur prin. cipia ad explicanda visionis phaenomena. n. 157 , 158. 90.. . 13º. Lumen prismate vitreo distractum in oblongam figuram varios exhibentem colores : colores simplices et compositi : diversa refrangibilitas radiorum diversi coloris etc. n.159. 10.... 8º. Quid luminis diffractio: praecipua phaenomena buc spectantia. n . 160. 19... 5 . Quid visio directa , quid reflexa et quid refracta.n . 161 De lumine directo . pag . 18. Intensitas luminis in diversis distantiis a puncto ra diante: si dalur planum illuminatum a puncto radiante ; quaeritur intensitas luminis apud punctum quodvis ipsius plani: lumen debilitatur a corporibus diaphanis, per quae sese diffundit. n . 162. 10. 4º. . . Datis tribus longitudinibus inaequalibus in eadem re cta sitis, datisque earum intervallis; invenire locum , ex quo oculas videat istas Plongitudines ejusdem magnitudinis apparentis. n. 163 Apparentes objectorum motus , et figurae : aberratio orta ex motu oculi et successiva luminis propagatione : ut aberratio deprehendi possit, considerandus est celerrimus motus quem habet oculus simul cum terra molu anduo509 proximeque uniformi circa solem translata : cum ex omnium fixarum observatarum lumine eadem emergat aberratio, pro fecto omnium lumen eadem propagatur velocitale; et quo niam fixarum distautiae sunt admodum diversae, ut colligi. tur ex tanta apparentis magnitudinis diversitate , cerle sin gularum lumen aequabili velocitale defertur. n. 164 , 165. 10.... 18º. De lumine reflexo. pag. 28. Lumen reflexum apud specula sphaerica concava: quid speculi focus quoad punctum radiaus, et quid focus prin cipalis : ratio ipler amplitudinem objecti et amplitudinem respondentis imaginis : phaenomena huc spectantia : quid focus virtualis. n. 166, 167. 168... 10. 30. Cum solares radii in speculum concavum sphaericum incidentes sint ad sensum paralleli , per reflexionem in ar cto colligentur spatio apud principalem focum ; sicque in tensa eorum vi poterit ibi excitari ignis : quaenam esse debeat speculi amplitudo, ut ipsum maxima polleat vren di vi... n. 169 Lumen reflexum apud specula sphaerica convexa : ejus modi specula habent focum constanter virtualem : ratio in ter amplitudinem objecti et amplitudinem respondentis ima ginis etc. • n. 170, 171 . Lumen reflexum apud specula plana: imago puncti ra diantis tanto intervallo apparebit post speculum, quanto pon clum radiaas est ante speculum etc. 11. 172. 10... 6º. Nonnulla ex trigonometria sphaerica. n. 173. 1 °... 11º .510 Considerantes duo specula plana ad angulum consti tuta inquirimus in directionem luminosi ' radii post binas reflexiones, alteram apud primum speculum , alteram apud secundum n . 174. Pauca de quibusdam aliis speculorum speciebus. n. 175. 10 .... 05 De lumine refracto . pag. 47. Lumen refractum apud superficiem sphaericam , quae discriminat duo media diversa, qnaeque obvertit convexi tatem suam princto radianti : quando focus erit realis et quando virtualis: ratio inter amplitudinem objecti et am• plitudinem respondentis imaginis depictae radiis refractis iu binorum mediorum altero : quid si superficies illa obver tat cavitatem suam puncto radianti : quid si ponatur pla na etc. . , nQ 176, 177. 19... 7 Lumen refractum apud binas superficies sive sphae ricas, sive planas, dirimentes upum medium ab altero: fo cus respondens dato puncto radianti etc. n . 178 , 179, 180. Lentium doctrina n. 181 . : 184. De oculo , et de quibusdam instrumentis opticis. pag . 58 . Membranae et bumores, quibus constat oculus : qui bus adminiculis eliciat anima ut divergentes radii in re tina uniantur, sive a remotiore sive a viciniore puncto ra diante adveniant etc. n. 185 , 186. 10. 2 ° 3°. O Quid presbyta , et quid myops: lentibus' convexis ju vantur presbytae; concavis myopes : unde oriatur strabo num vitium n. 186, 4 , 5 , 6511 Microscopium simplex et compositum : varia telesco piorum genera : microscopium solare; phantasmagoria . n. 187. 10.... 7 ° Quid aberratio refrangibilitatis, et quid sphaericita n. 188, 189. tis. Determinatur aberratio sphaericitatis in speculis et lentibus : aliquid quoque annotatur circa lineas causticas. pag. 72. In speculis n . 190. n. 191 , 192, In unica leute . ini . Iu duabus ļenţibus conjunctis .. n, 193 , 194. Quid curva caustica : ejus aequatio: semidiameter cir celli minimi omnium illorum, qui excipiunt omnes radios transeuntes per omnia puncta datae aperturae : circularis aberratio sphaericitatis. n . 195 , 196 , 197

Ratio inter circularem aberrationem e sphaerica len !is figura et circularem aberrationem , e sphaerica speculi figura. د . قرار n. 198. Determinatur aberratio refrangibilitatis, comparaturque cum aberratione sphaericitatis. pag. 89, la unica lente: semidiameter circelli minimi eorum o mnium , qui excipiunt omnes refractos radios transeuvies per dalam aperturam : varii refracționis indices quoad ra dios rubeos, medios et violaceos: quid lumiuis dispersio: ra tio inter circularem refrangibilitatis aberrationem et circu larem sphaeriçitatis aberrationem, n. 199. , , 202,512 la pluribus lentibus conjunctis : semidiameter circelli minimi etc. n. 203, 204. De correctione aberrationum refrangibilitatis et sphaericitatis in lentibus. pag 95. Aberratio refrangibilitatis nequit corrigi per unicam lentem; corrigetur autem per duas: quid hac super re cen suerit Newtonus ; quidque detexerit Dollondus : telescopia achromatica . n. 205. conca Potest etiam corrigi per binas lentes vitreas VO convexas continentes aquam. n. 206 , 207. Aberratio sphaericitatis corrigi potest in unica len te, n. 208. Sphaericitatis aberratio per duas lentes correcta. n . 209. In radiis transeuntibus per duplicem lentem corrigi potest tam aberratio refrangibilitatis quam aberratio sphae ricitalis, sallem quam proxime. n . 210. De lumine traducto per prismata. pag. 101 Angulus refringens: deviato radii in ingressu ; deviatio iu egressu ; deviatio totalis n. 211 , 212, 213. Minima deviatio totalis . n. 214. Formulae praebentes indicem refractionis et disper sionem in materia prismatis: n. 215. 10:20 quoad Formula praebens rationem inter dispersiones bina radioruin genera ia' binis prismatis diversae mate riei. . n. 215. 30.513 Conditio explenda ut lumen traductum per duo pri smata inter se conjuncta , permanente refractione , haud separetur in elementa heterogenea : prismața achomati n. 215. 4°. 7. 216. ca. De lumine traducto ' per sphaeras aqueas ad iridis phaenomenon explicandum . paz. 111 . Lumiais reflexiones intra sphaeram aqueam. 1. 217 . Egredientis luminis deviatio post quotvis refexiones internas. l . 218. Egredientium radiorum parallelismus post quotes refle xiones internas. n . 219 , 220. C. Venitur ad iridis explicationem. n. 221. 1 ... 11 ° Varia explicantur luminis phaenomena in systemate emissionis pag. 119. Quaenam in emissionis systemate recipiantur ad ex plicanda luminis phaenomena. n. 222. 1 ... 49. Formulae spectantes ad lominis molum in diver . sis ' mediis: varia inde eruuntur quoad luminis rflexiv nem refractionem etc. n . 221. 232. Annuli colorati. n. 233 , 234. f ... 6 . Tenuium lamellarum phaenomena ; atque ind colo res tum permanentes in plerisque corporibus tum varia biles in aliquibus n. 235. 10 .. 10° . Colores accidentales. 1. 236.514 Varia in systemate vibrationum explicantur luminis phaenomena. pag . 135. Quaenam in vibrationum systemale recipiantur ad explicanda luminis phaenomena. a. 237. 19... 6 . Perpendicularis reflexio luminis : ratio inter velocita tem athereae particulae in lumine directo et velocita lem in lumine perpendiculariter reflexo : ratio inter in tensitatem luminis sive directi sive reflexi et intensita. tem liminis transmissi: vis viva in lumine directo aequa tur simmae . ex viribus vivis in reflexo ac transmisso lumine n . 238. 10. ... 9 ° Obliqua luminis reflexio n. 239. Laminis refractio . n . 240. Mutua radiorum actio : principium interferentiarum . n. 241 , 242, 243 . Ponnulla subjiciuntur ad mulyam radiorum actio nem nagis declarandam n. 244, 1 ... 11 . Ainuli colorati ex lumine normaliter incidente : ra tio iner undarum latitudinem et intervallum viciam, etc. n . 245 , 246 , 247. Annuli colorati ex lumine oblique incidente n. 248, 249 , 250. Retardatio motus in lumine ob interpositam lami nam v gr. vitream; haec retardatio motus aequivalet cer tac ciidam origiois recessioni: formulae huc spectantes ,515 Hinc desumitur explicatio scintillationis , seu illius tremoris quasi continui , qui in stellarum lumine obser vatar . n. 253. Irradiatio n. 254. Nonnulla circa luminis diffractionem explicantur tum in emissionis, tum in vibrationum systemate. pag. 170. In systemate emissionis ; fimbriarum efformatio , et cur vilinea earum propagatio ; item splendoris imminutio in fim briis luminosis , et imminutio nigredinis in obscuris. n. 255. Haec eadem in systemate vibrationum. n. 256 . Variae subjunguntur formulae ad magis declarandam dif fractionis doctrinam in systeinate vibrationum . n . 257,1 ... 8º . Amplificatio umbrarum ab exiguis corporibus proje ctarum : umbrae corporum fimbriatae etc. .. n. 258, 259. Aliquid notatur circa lumen per exigna foramina trans missum. 260. 10 ... 4º. De luminis polarizatione. pag . 181 . Quid lumen polarizatum ; quid planum , et quid an gulos polarizationis : lomipis polarizatio ex reflexione : 10 tensitas polarizati laminis reflexi, etc.'s . n . 261 ... 266. 1 Si luminosus radius sic incidit in superficiem medii ut reflexos radius existat polarizatus , reflexus cum refracto radio intercipier angolum rectum : pro eadem superficie non idem prorsus est angulus polarizationis quoad radios varie coloratos : radii contrarie polarizati etc. n. 267. 1 '... 4º.516 Luminis polarizatio e simplici refractione: transmissum lumen non acquirit completam polarizationem nisi postquam plures ex dato medio launinas permeaverit, n. 268.269.270 . 1 Luminosus fasciculas , jam polarizatus, cadens sub polarizationis angulo in primam ex iis laminis : congeries illarum lamellarum , ex quibus coalescunt laminae sic ex scissae ex tormalina ( crystallus dupliciter refringens) ut ha beant latera parallela axi crystalli : ratio sciendi utrum luminosos radius sit polarizatus necne. n. 271. 272. 273. Radii luminosi, ordinarius nempe atque extraordinarius, in quos dividitur naturale lumen quum permeat medium du pliciter refringens, exsistunt ambo polarizati ; respondentiaque polarizationis plana sunt invicem perpendicularia. n. 274. Lumen jam polarizatum incidens in superficiem cry stalli dupliciter refringeutis. n. 275. Lumen adveniens ex innubilo serenoque coelo est ex parte polarizatum etc. n. 276 . Aliquid subjungitur de vibrationum systemate ex luminis polarizatione. pag. 191 . In luminoso polarizatoque radio vibratorius aetherea rum particularum molus ait iransversim in ordine ad lon gitudinein radii : et ne alia species vibratorii motas admit tatur in lumine naturali, etiam in naturali lumine adstruun . tur transversae aetherearum particularum oscillationes ; ita tamen ut una et eadem sit transyersarum oscillationum di rectio in lumine polarizalo , omnimoda iu lumine natura li etc. n. 277, 278.517 Relatio inter intensitatem incidentis polarizatique luminis el intensitatem reflexi ; item inter intensitatem incidentis na turalisque luminis et intensitäiem reflexi etc. n. 279. 280. 281 . In crystallo dupliciter refringente aethereum fluidum non admittitur pollere eadem ubique elasticitatis vi etc. n. 282. De circulari luminis polarizatione. pag. 201 . Quid rectilinea , et quid circularis polarizatio lumi nis. n. 283 . Ellipticae aetherearum particularum excursiones resolvi possunt in bipas rectilineas. n. 284. 1 Quandonam excursio aethereae particulae erit circula ris, quandonam rectilinea etc. n. 285. 19 ... 69. Depolarizatio luminosi fasciculi ; et restitutio polariza tionis rectilineae . n. 286. 287. Luminoso fasciculo praedito polarizatione rectilinea sub stitui possunt duo fasciculi circulariter polarizali , alter dextrorsum, alter sinistrorsum : vicissim ex duobus ejusmo di fasciculis resultat luminosus fasciculus rectilinea affectus polarizatione etc. n. 288. Rotatio plavi polarizationis. n . 289. 290. 291 . Subjiciuntur nonnulla ex mutua radiorum polari. zalorum actione. pag . 210. Luminosi polarizatique fasciculi homogenei, permean tis laminam ex cristallo v.gr, montana islandicamque rhom boidem , resolutio in quatuor fasciculos : ex his fasciculis,518 duo conspirantibu's motibus polarizati dant imaginem ordi nariam , alii vero duo contrariis motibus polarizati suppedia tant imaginem extraordinariam : intensitas cujusque luminis homogenei in ordinaria atque extraordinaria imazine ; appli catio constructionis newlonianae etc. n. 292,293,294,1 °... 100. ! Colorati polarizatique annuli ; qui in tenuibus dupliciter. que refringentibus laminis observantur. n. 295. Z Luminosi polarizatique fasciculi homogenei, permean lis binas laminas excisas ex crystallis dupliciter refringen tibus islandicamque rhomboidem , resolutio in octo fasci culos : imagines inde provenientes : quid si binarum lami narum altera exscindatur ex crystallo positiva , altera ex crystallo negativa ; quid si exsciodantur ambae vel ex cry stallo positiva , vel ex crystallo negativa : etc. n. 296... 299. Aliquid obiter notatur circa rationem inter inciden tiae sinum ac sinum refractionis in crystallo dupliciter re fringente , binisque axibus praedita : circa luminis absor plionem : etc. n. 300. 10.... 70. 0 ASTRONOMIAE PRINCIPIA Notiones praeambulae. pag . 225 . 1 Conversio sphaerae coelestis circa unam e suis dia metris : axis mundi : poli mundi : astrorum divisio in fi xas errantesque stellas etc. n. 301 , 302, Aequator ; et circuli ad aequatorem paralleli : horizon : zenith et nadir : diurni nocturnique arcus : artificialis, na . turalisque dies. n. 303, 304, 305. i519 Tellus nostra spectari potest tanquam proxime sphae rica , habens cealrum in ipso sphaerae coelestis centro : spectanda veluti exiguissimum punctum comparate ad coe lestem sphaeram : duplex horizon , rationalis videlicet ac seasibilis : semidiameter terrestris etc. n. 306, 307. . Meridianus : verus oriens et verus occidens : punctum septentrionale et puuctum australe etc : lineam meridianam ducere. n. 308. Ecliptica ejusque obliquitas : puncta aequinoctialia : zodiacus ; ejusque signa : colurus aequinoctiorum , et colu rus solstitiorum : fixarum catalogi : longitudo et latitudo astri : ascensio recta et declinatio. . n. 309.... 313 . Praecessio aequinoctiorum : annus tropicus : putationis motus in aequatoris axe : varietas in eclipticae obliquitate. n. 314, 315 . Tempus medium , verum et sidereum : aequatio tem poris. n . 316, 317 , 318. Circuli verticales: azimuthum . n. 319. Tropici et polares circuli ... . n. 320, Circuli sphaerae coelestis in globum terrestrem trans lati. . n. 321. Longitudo et latitudo geographica : unde fiat ut ar cus diurnus astri vel major , vel minor , vel nullus exsistat. n. 322, 323. . Quinam dicantur coelestem spaeram habere rectam ; quinam obliquam ; quinam parallelam. Astrorum parallaxes n . 325. 19.... 10 °. 326 . n. 324.1 520 Refractio astronomica , et ejus effectus. n . 327. 10... 5º . N De relationibus inter quosdam sive arcus sive angulos in superficie sphaerae coelestis ad varias resolvendas quaestiones astronomicas. Aliq pag. 250. T Relationes inter astri declinationem , distantiam ab ze nith , azimuthum , angulum horarium et geographicam la titudinem

item inter astri longitudinem

, ascensionem re ctam , latitudinem , declinationem et eclipticae obliquitatem . n . 328... 331 . ta ips F si cir Correctio temporis in ordine ad trasitum astri per meridianum , debita variationi declinationis

aequatio alti

tudinum correspondentium . n . 332. fringen 0] erܐ luo Verticalis velocitas, qua sidus ascendit supra bori zontem

tempus effluens dum astrum ascendendo pertransit

datum circulum horizonti parallelum

ipsumque horizon

tem

ortus anticipatio

, et occasus retardatio ex refra ctione horizontali . EX n . 333. ato ex tate don Diuturnitas crepusculi apud datam latitudinem geogra . phicam , obtinepte sole datam declinationem

solis decli

natio respondens minimae crepusculi diuturnitati apud da . tam latitudinem geographicam . n . 334. Ing rationes Taria Variationes obvenientes ascensioni rectae et declina tioni stellarum ex aequinoctiorum praecessione

item ex

parallaxi

variationes longitudinis ac latitudinis ex eadem

parallaxi n . 335 ... 338 . ас hinc et retros ge major Duo solvuntur problemata in ordine ad eruendam ex quibusdam datis et latitudinem geographicam , et de clinationem ascensionemque rectam puucti se se exhiben tis in coelesti sphaera . Sys n. 339 , 340.521 70...3. Nonnulla ad Gnomonicam spectantia. 7. 341 . gulos das Aliquid annotatur de refractionum ' astronomicarum theoria juxta emissionis systema. pag . 263. 5. 258, ab zt Varia praemittuntur de viribus refractivis atmospbae de velocitate luminosae particulae apud diversa stra ta ipsius atmosphaerae , etc .. n, 342. 1 ... 7 ° . rae , nem tt uitatem. ... 331 Expediuntur, quae non dependent ab ulla hypothe si circa Jegem virium refringentium . n. 343... 348, 350. stripe cio alie 332 Evolv.unlur, quae dependent ab hypothesi virium res fringentiom proxime aequalium. n. 349, 351 ... 359. a borie Objecta terrestria sita intra atmosphaeram, et visa per luminosum radium a vi refractiva curvatum. n. 460. ertransit horizo I retro 33 Experimentum Hauxbeii de refractione luminis in tran silu ex vacuo , boyliano, in aerem alia alque alia densia late donatum. n . 361 . 7 geot is dar pudd Inquisitio in ' refractiones astronomicas per obser vationes n . 362. ... 365. n . 334 Paria philosophorum systemata circa coelestium corpo rum dispositionem . pag. 285. declina ilem er ereadea 3... 338 Quot numerentur planetae : suis motibus digrediuntar hinc et illinc ab ecliptica : planeta direclus , slationarius et retrogradus: salarni annulus : comelarum numerus lon ge major quam planetarum ; etc. n. 366. Systema ptolemaicum n. 367. ruendar I, el de eshika 139, 141 33522 Systema copernicanum n. 368. Systema tychonicum . n. 369. Semicopernicanum systema; et systema ptolemaicum reformatum n. 370. De phaenomenis corporum coelestium in systemate copernicano. pag . 291 . Polemaicum vel tychonicum systema obsoletum: ad copernicanum quod attinet , incipimus ab apparentia mo tus annui : sidereae planetarum periodi. n. 371 . Planetae superiores et inferiores: eorum latitudo geo centrica et heliocentrica : conjunctio et oppositio: para ) laxis annua : etc: indicatur methodas , qua potest inve niri heliocentrica planetae latitudo simul cum ejus di stantia a sole : inclinationes orbitarum planeticarum ad eclipticam . n . 372 , 373 . Planetarum inferiorum phases ; ubi et de phasibus Junaribus: quid de planetarum superiorum phasibus. n. 374, Sub qua elongatione venus prae se ferat maximum splendorem n. 375. . Solis et planetarum diametri, assumpta diametro ter restri pro unitate n. 376. Planetarum stationes , retrogradationes etc. n . 377. Diurnae conversiones solis , aliorumque coelestium cor porum : vicissitadines dierum ac noctium, itemque tem pestatum : praecessio aequinoctiorum . . n. 378. 10. 2• 3..523 Quid censuerit Copernicus de figara orbitarum pla neticarum: quid Keplerus: leges keplerianae: semiaxes tran sversi et excentricitales orbitarum planecicarum ; itemqne lon gitudines periheliorum . n. 379 . Ad binorum vel plarium planetarum motus inter se comparandos , reſertur eorum positio ad planum ecli pticae: varia subjunguntur in ordine ad ellipticum pla netarum inolum, n. 380, 1 °... 9°. Maculae et faculae solares: planeticae ac luna ras ma culae: rotatilis coelestium corporum motus circa proprios axes: libratio lunae . n. 381 , 382, 383. Valles et montes in luna et planetis : utrum luna caeterique planetae cingantur aliosphaera . n. 384, 385. Luminis aberratio in latitudinem, longitudinem, de clinationem et ascensionem rectam. n. 386. 1 ° ... 5°. Quaedam subjiciuntur in ordine ad stellas , ad CO metas, ad planetas secundarios. Ac primo : stellae duplae ; et stellae , quae inter du plas vocantur speciatim binariae: tempus periodicum , se miaxis transversus et excentricilas relate ad quatuor stel las bioarias: sunt stellae duplae, quae, dum altera vol vilur circa alteram , observantur devehi simul communi motu versus quasdam coeli plagas: parallaxis secularis: stel lae periodicae; elc. n. 387 , 1 ° ... 4° . Secundo : in quo consentiant cometae cum planetis, et in quo discrepent: ratio determinandi cometicam or hitam habitam ' pro parabolica: quo pacto aliquid certi af firmari possit de redilu cometarum: reversiones periodi. cae trium cometarum definitae nullae in cometis pha ses planeticis similes: cometarum caudae; solis atraosphae524 ra ; lumen zodiacale : sulci quidam oblongi in cometa rum caudis ; hujus phaenomeni militas ad stabiliendam cometarum 'rotationem circa proprios axes . n. 388,1 ' ... 12º. Tertio: luna in syzygiis et quadraturis: tempus syº nodicum: eclipses lunares: eclipses solares: tres tabellae , quae rum prima respicit satellites jovis , secunda satellites sa turni , tertia satellites urani n. 389. 1 ... 20 °. Aliquid annotatur de maris aestu. pag. 345 . Praecipua istius motus phaenomena: eorum explicatio. n. 390... 398. De motu planetarum turbato ex mutua eorum gravitatione. pag. 353. Nonnulla praemittuntur de constantium arbitrariarum que quantitatum variatione etc. n. 399. 19... 16”. Inquisitio in elementorum ellipticorum variationes ex virium perturbantium acrione. n. 400 ... 413. Pauca subjunguntur circa functionem perturbatricem : termini seculares et periodici etc. n. 414. 1 ...34° . De secularibus elementorum perturbationibus. pag . 398. Nulla exsistic perturbatio secularis in axe transver so orbitae variatae; vec proinde iste axis alias pati po terit perturbationes nisi periodicas , habilo videlicet respe ctu primae tantum dimensiouis massarum : id ipsum di cendum de molu medio. n. 415. Formulae pertinentes ad seculares perturbationes in excentricitate , in longitudine nodorum et in inclinatione i525 orbitae turbatae ad planum fixum : spectatis duabus mas sis . mutua orbitarum intersectio , quoad seculares pertur bationes , movebitur motu retrogrado in plano orbitae atti nentis ad massan turbairicem , quia tamen mulua orbita rum inclinatio ullam pariatur secularem perturbationem. n. 416 ... 419, Firmitas planetici systemalis. n. 420. 19... 16 . Secularis perturbatio in longitudine epochae. n. 421 . Disquiritur ulrum , habito respectu secundae dimensionis massarum , expressio molus medii admittat necne terminos seculares, pag . 411. Varia praemittuntur. . n . 422 , 1 ... 6 . Qualuor stabiliuntur assertiones; ex quibus consequi tur nullum terminuin secularem fore in expressione motus medii , etiam habito respecta secundae dimensionis massa rum : id ipsum dicendum de expressione axeos transversi: etc. n. 423... 427. Aliquid generaliter annotatur de perturbationibus periodicis sese restituentibus post breve longumve tempus. pag. 424. Ex quo pendeat longa vel brevis periodus : exemplum desumplum ex jove et saturno ; item ex mercurio ac tel lure elc. n. 428, 429, 430. Duorum planetarum se invicem turbantium, jovis v. gr. et salarni, altero accelerante motum suum, alter retardabit. n. 431 . Satellites jovis sese turbantes. n . 132.526 1 De motu planetarum turbalo ex tenuissimo medio resistente. pag. 430. Elipticorum elementorum variationes ex resistentia medii. . n. 433... 440. Ob medii resistentiam, axis transversus, excentricitas et angularis velocitas media indefinitis periodicisque subjiciuntor perturbationibus , reliqua elementa periodicis tantum : resi stentia medii perpetuo minuit axem transversum atque ex centricitatem; perpetuo auget velocitatem angularem : si me dium aliquod resistens diffundit se per coelestia spatia , poterit ejus effectus in cometarum praecipue motibus deprehendi. 1 n. 441 . De attractione ellipsoidum homogenearum in mate riale punctum ad telluris figuram ex aequilibrio determinandam . pag. 437. Varia praemittuntur. n. 442. 1 ... 8. Formulae generales ad praesentem quaestionem perti nentes, n. 443. Attractio in punctum internum. n. 444... 448. Ellipsoidis attractio in punctum externum traduci po test ad ellipsoidis attractionem in punctum internum , qui opus sit directe pertractare respondentes formulas gene rales. n. 449, 450. Haec quoad newtonianam attractionis legem ; quid si sumatur quaevis alia altractionis lex. n. 451. 1º, 2º, 3 .527 De figura spectante ad aequilibrium massae fluidae et homogeneae rotationis motu donatae; cujus par . ticulae se mutuo petunt in ratione reciproca duplicala distantiarum . pag. 458. Huc spectat telluris figura orta ex aequilibrio: aequatio ad superficiem massae fluidae libratae : baud potest a priori ex dicta aequatione deduci figura spectans ad aequilibrium ; as sumpla lamen aliqua figura, poterit ex aequatione illa sciri utrum assumpla figura satisfaciat necne conditionibus ae quilibrii : ponitur v . gr . massa fluida induere formam elli psoidis : satisfit iis conditionibus tribuendo massae fluidae figuram ellipsoidis orlae ex revolutione cujusdam ellipseos, etc. n. 452... 455. Gravitas in ellipsoidis superficie ; telluris ellipticitas. n. 456. 1º... 8º. De motu solidi corporis circa punctum fixum ad aliquid generaliter annotandum de coelestium corporum motu circa propria gravitatis centra. pag. 471 . Varia praemittuntur de transformatione coordinatarum , de momentis inertiae , de plano invariabili etc. n. 457.1°... 10 . Solvitur quaestio in hypothesi virium accelerantiam quarumcumque. n. 458 ... 463. . Transitur ad casum pullarum virium accelerantium. n. 464... 471 . Aliquid generaliter annotatur de coelestium corporum . motu circa propria gravitatis centra. pag. 49. Formulae huc spectantes . n. 472, 473 .528 Praecessio aequinoctiorum ; et nutatio axeos terrestris: inaequalitates in libratione lunari etc. n. 474. Perturbationes corporum coelestium ex mutua gravitate determinantur consimili ratione et in translalitiis, et in rota tilibus eorum molibus. n. 475, 476. Finem scribendi facimus explicando breviter illam aliam variationem , quae praeter varietatem ex nulatione axeos terrestris admittenda est ia eclipticae obliquitate. n. 477. 1ERRATA CORRIGE pag . lin . 1 . 21 . 11. 24 hor. 28 9 . 32, - xator 2r 3. in B 42 hor. 28 x0,2-02 + 2r 24. in B 2r2 33. 10. 2r 4 cos32 cos32 '. 4 9. KK' 2 Atr COS A cotbsina A ' 35. KK 2+ Ar 41 . 6. cosA 43. 9. cotósinb 50. 16. A 1 57. 23. A (n - 1 )0 = += ) 64. 8. A" +2 13. K' ". A + An +- ,1 — 136 A" +4, K" , A. R 69 , 13. K " K " K " K " R 22 = R 22 - R 71 . 6. (= B ") ( = \beta " ) = BA 1 Bo lailaz 1 \beta 9. sensicque sensimque 3. V =(x -1) = VA +( - 4 ) 73. x3 74. 4. K 75. 1 ... ultim . la 80. 1. qrk grik 33ERRATA CORRIGE pag. lin. in 80. 4. .. ma ) r'a 1 1 * 7. g'€ g'a 82 . 2. PQ P'll 1 1 83. 5 . é ( Q. R n 85. 12. omittit omiti k h 168. 13. с 120. 1. Dirimant Dirimat 124. 1 . 2zſz'dz Sz'dz 128. 25. Respodeat 142. 12. intensitatum 144. 17. BB', BB ' 189. 26: esse respondeat inteusitatem BB' ; BB" - sese 12 -1 198. . . ult.t ( ( ² nt- 1 n -t1 0 206. 20 + E + 1 + E + 236. 11. prevenilur 313. 21 154 327. 6. 329. 4. at g" 330. 25. reflectiones pervenitur 250 tolle cos et q '" reflexionesERRATA CORRIGE pag . lin . 361. 5. K k' 1.3 432. 4. 494. 8. 457 467 .U . ) rivsete Ecce et alias correctiones ad primum Volumen li spectantes. 3. Exp 10. ... terliult. 2gs = Q'R, 2gs Q'K 18 . ΣΡ 19. 24. Kf= VF ) in fig. loco F pone F' , et vi ceversa 20. 12. X K X: K 22. 8. disignante designante 23. 24. P , P PP 25 , c, a á 26. Q ', Q Q 25. 12. P - P 6. cosa ' C , - 41 . cosa 1 47 . 1 . COST cos2x 54. 4 - df , si . da ds . dsit!' , 5. dx ? L da 55. 10. decrescente te ' decre- decrescente x crescit f ( x ) scit f' (c) 4 tang? h 4 tangh 82. 14. x = 1+ apg h 1 + langh Ре? I 10.Per ! 93. ult.y = vosinh 2 2 y = votsinhERRATA . CORRIGE pag . lin . 100. 8. Dsinwcosa 103. 7. ydx xdy 115. 10. į st, mr 118. penult. ( 70) Dsinada ydx -xdy j st. mr ( 50. 8° ) 122. 10. 2V1 cena ricer a² - x²dx 4SVa - x ?dx 127. 6. k3 128. 7. 2ks 8. 2k " a k'3 26'3 2K " :3 131 . ult. f = mºk d'13 d'3 133. 2. (c) ( 6 ) 4. mk 2k3 m " k ' penult. ( 134. 2. N. 142. 12. intensitatum 155. 5. 42 169. 4. ( 62 ) 173. 7. ( 50. 8° ) 174. 9. casua 176. 26. ( 50. 6° ) 181. 30. subititati ....tertiült. GZ + FI ( 2k ": deest N in figura intensitatem A' ? ( 61 ) ( 50, 9 ° ) casu ( 50. 7° ) substitui CZ+FIERRATA CORRIGE pag . lin . 169, 4. ( 62) 190. 4 . hl...) k 197, 17. k + EQ 207. 23. ( 27 ) 208. 6. ( k " ) ( 61 ) h k k ( ) k ' + EQ ( 28 ) (k" ) 흥 2tri. 3 } 211. 32. Africa