Theoremata Gödel de imperfectione

Theoremata Gödeliana de imperfectione sunt duo theoremata theoriae facultatis calculandi a Curtio Gödel inventa, quae imperfectam omnium theoriarum de numeris naturalibus naturam demonstrant.

Monumentum in aedibus ubi Gödel Vindobonae annis 19371939 habitabat.

Theorema primum recensere

Expositio recensere

Theorema. Sit theoria  , quae est copia sententiae primi ordinis, signatura  . Si   est perfecta et congruens, in qua continentur axiomata PA, tum   non est copia RE.

Nota bene:

  •   perfecta dicitur, si cuique sententia primi ordinis  , aut   aut  .
  •   congruens dicitur, si non est sententia primi ordinis  , ut  .

Demonstratio brevis recensere

Numeri Gödel recensere

Sit signatura primi ordinis ut  , quae est countabilis. Lingua igitur huius signaturae quoque countabilis est.

Lemma a Gödel monstratum est, quod functionem   esse dicat, ut sit functio arithmetica uni cuique operationi formularum in  . Ut, exempli gratia, operatio  , quae duas formulas colligat. Hoc lemma ait functionem arithmeticam esse, quae tantum signis in   utens numerus formulae   calculat ab numeris formularum   et  . Responsa huius functionis numeri Gödel nominata sunt.

Sit autem   formula. Demonstratio formalis est series finita formularum quae   ab formulis in   concipiunt. Si demonstratio formalis est formulae  , dicamus  . Scilicet igitur cuique demonstrationi formali est series finita numerorum Gödel, quae in unum numerum imponi potest. Formulam igitur   nancisci possumus, ut

 

Quare? Haec formula tantum dicit numerum seriei formularum esse, quae est demonstratio formalis formulae  .

Lemma de puncto immobili recensere

Sit theoria   congruens et RE, axiomata Peano continens. Tum fieri potest ut sententiam   nanciscamur, ut  .

Demonstratio theorematis recensere

Sit theoria   congruens, RE et perfecta, ita ut cuique sententiae  , aut   aut  . Sit   ut dixi. Sed,

  • Si  , igitur  . Sed est scilicet demonstratio formalis formulae  , igitur  . Igitur   non est congruens.
  • Si  , igitur  . Ergo est demonstratio formalis formulae  , ergo  . Ergo   non est congruens.

Ergo nulla theoria   est, quod erat demonstrandum.

Theorema secundum recensere

Expositio recensere

Theorema. Sit theoria RE  , quae axiomata PA continet. Si   se esse congruentem demonstrat, tum   non est congruens.

Nota bene:

  •   est congruens, si nulla formula   inveniri potest, ut  .
  • Ergo,   se esse congruentem demonstrat, si  , in quo   sententia est ut:
 
ubi   cuique  . Hoc igitur theorema alio modo exponitur:
"Si  , tum   non est congruens."

Bibliographia recensere

Theoremata ipsa recensere

  • Gödel, Kurt. "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931): 173-98.

De theorematis recensere

  • Baaz, Matthias, Christos H. Papadimitriou, Hilary W. Putnam, Dana S. Scott, et Charles L. Harper, Jr. 2011. Kurt Gödel and the Foundations of Mathematics: Horizons of Truth. Novi Eboraci: Cambridge University Press. ISBN 9780521761444.
  • Berto, Francesco. 2008. Tutti pazzi per Gödel!: la guida completa al teorema di incompletezza. Romae: Laterza. ISBN 9788842085904.
  • Delessert, André. 2000. Gödel: une révolution en mathématiques: essai sur les conséquences scientifiques et philosophiques des théorèmes gödeliens. Lausannae: Presses polytechniques et universitaires romandes. ISBN 9782880744496.
  • Deutsch, Michael. 2003. Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Aufzählbarkeit über Nachfolgerbereichen. Bremae: Universitätsdruckerei Bremen. ISBN 9783887225780.
  • Díaz Estévez, Emilio. 1975. El teorema de Goedel. Pompelone: Ediciones Universidad de Navarra. ISBN 9788431303938.
  • Nagel, Ernst, et James R. Newman. 1958. Gödel's Proof. Novi Eboraci: New York University Press. OCLC 523475.

Nexus interni