Signatura (logica)

Signatura in logica mathematica est copia signorum alicuius linguae logicae.

Sit, exempli gratia, formula arithmetica ut $\forall x\,x+0=x$ (quae dicit $x+0=x$ cuique numero $x$). In hac formula $\forall$, $x$ et $=$ sunt signa logica, quia omnes formulae logicae his utuntur, sed non sunt $+$ et $0$, quae sunt signa in hac tantum lingua. Igitur signatura huius linguae haec signa continet.

Cura ut natura rerum quas continet signatura bene decernatur, quod signatura non constantes, functiones, relationes ipsas continet, sed tantum earum signa.

Definitio

Signatura et lingua definiendae sunt, ut exemplares definiantur. Signatura $S$ est copia huiusmodi rerum:

• Signa constantis, ut $c$;
• Signa functionis et cuique signo numerus naturalis, ut $(f,n^{f})$;
• Signa relationis et cuique signo numerus naturalis, ut $(R,n^{R})$.

Cuique signaturae $S$ est lingua $L_{S}$ sic definita:

• Res primae sunt in copia minima quae:

• Omnia signa constantis continet, et
• Omnia signa variabilis, id est $\{v_{i}\}_{i\in \omega }$, continet, et
• Si $(f,n^{f})$ est in copia signorum functionis et $t_{0},\dots ,t_{n^{f}-1}$ sunt res primae, tum $f(t_{0},\dots ,t_{n^{f}-1})$ continet.

• Formula sunt in copia minima quae:

• Si $t_{0},t_{1}$ sunt res primae, tum $t_{0}=t_{1}$ continet, et
• Si $(R,n^{R})$ est in copia signorum relationis et $t_{0},\dots ,t_{n^{R}-1}$ sunt res primae, tum $R(t_{0},\dots ,t_{n^{R}-1})$ continet, et
• Si $\phi ,\psi$ sunt formulae, tum $(\phi \land \psi )$ et $(\phi \lor \psi )$ et $\neg \phi$ continet, et
• Si $v_{i}$ est signum variabilis et $\phi$ est formula, tum $\exists v_{i}\,\phi$ et $\forall v_{i}\,\phi$ continet.

• Denique lingua $L_{S}$ definita est copia omnium formularum.

Exempla

• Signatura catervarum est $(1,\cdot )$, in qua $1$ est signum constantis, $\cdot$ est signum functionis duarum variabilium.
• Signatura arithmetica est $(0,+,\cdot ,<)$, in qua $0$ est signum constantis, $+,\cdot$ sunt signa functionis duarum variabilium, $<$ est signum relationis unius variabilis.