Continuitas (mathematica)

Continuitas in topologia est functio realis dominii $f:I\to \mathbb {R}$ super intervallo reali $I\subseteq \mathbb {R}$ continua est, si graphum functionis $f$ stilo non sublato describi potest. Pars mathematicae quae de functionibus continuis tractat est analysis; pars quae de rebus discretis tractat est mathematica discreta, in qua sunt calculus coniunctionibus vel "ars combinatoria," arithmetica integrorum, et probabilitas.

Graphum cuiusdam functionis differentiabilis continuaeque in intervallo [-1,1.5] definitae:
${\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$

Definitio pro functionis realibus

Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:

1. Regula Epsilon-Delta:$f\colon D\to \mathbb {R}$ continua in $x_{0}\in D$ est, si
   omnibus $\varepsilon >0$ est $\delta >0$, ut omnibus numeris dominii $x\in D$, qui obtemperent
   $|x-x_{0}|<\delta$, valeat $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$.
2. Regula sequentiarum: $f\colon D\to \mathbb {R}$ est continua in $x_{0}\in D$, si, cum quaelibet sequentia $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ $(x_{k}\in D)$ posita est, quae ad $x_{0}$ convergit, etiam $f(x_{k})$ ad $f(x_{0})$ convergit.

Functio appellatur continua in $D$, si est continua in locis omnibus dominii.

Si est $x_{0}\in D$, ubi functio continua non est, ibi discontinua appellatur.

Exempla

• Functiones $\sin \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \sin x$ et $\cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \cos x$ continuae sunt in $\mathbb {R}$.
• Functio signi $\ \operatorname {sgn} (x)={\begin{cases}1\ ,&x>0\ ,\\0\ ,&x=0\ ,\\-1\ ,&x<0\ ,\end{cases}}$
  in omnibus locis $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque limes $\lim _{x\to 0}\,\operatorname {sgn} (x)$ non est.
• Functio Dirichlet

  $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \ ,\ f(x):=\left\{{\begin{array}{ll}1\ ,&x\in \mathbb {Q} \ ,\\0\ ,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \ ,\end{array}}\right.$

ubique discontinua est.

Illustratio functionum discontinuarum:

• 
  Functio discontinua
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de laevo latere
• 
  Functio quidem discontinua, sed tamen continua de dextro latere

Definitio pro functionis spatiorum topologicorum

Est defintio usitata:

1. Regula copiarum apertarum: Sint $X$et $Y$spatia topologica, $f:X\rightarrow Y$ functio et $x_{0}\in X$. $f$continua in $x_{0}$est, si pro qualibet circumiecta $V$ a $f(x_{0})$est circumiecta $U$a $x_{0}$, ut $f(U)\subset V$ sit.

Theoremata

• Si functiones $f$ et $g$ continuae in dominio communi $D$ sunt, tum et $f+g$ et $f-g$ et $f\cdot g$ continuae super $D$ sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus $x_{0}\in D$ ut $g(x_{0})=0$) sint, tum et ${\frac {f}{g}}$ continua est.
• Compositio $f\circ g$ duarum functionum continuarum est continua.

• Continuitas functionis inversae:

Si $I$ est intervallum in $\mathbb {R}$ et $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli $I$ sub $f$ est intervallum $J$,
$f\colon I\to J$ est biiectiva, et functio inversa $f^{-1}\colon J\to I$ est continua.

• Theorema valorum omnium acceptorum:

Si $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ est functio continua, cui $a<b$ et $f(a)<f(b)$ valet, tum omnibus numeris $d\in [f(a),f(b)]$ est $x\in [a,b]$, ut $f(x)=d$ valeat.

Item in casu $f(a)>f(b)$ et $d\in [f(b),f(a)]$.

• Theorema extremitatum acceptarum:

Si $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ est functio continua, tum sunt numeri $t,h\in [a,b]$, ut

$f(t)\leq f(x)\leq f(h)$ omnibus numeris $x\in [a,b]$ valeat.

Nexus interni

• Analysis mathematica
• Functio differentiabilis
• Limes (mathematica)
• Polynomium
• Theoria copiarum
• Topologia

Nexus externi

• nexus ad paginam theodiscam continuitatem explicantem
• mathematik.de – explicatio visualis regulae Epsilon-Delta