Quantum redactiones paginae "Continuitas (mathematica)" differant
Content deleted Content added
No edit summary |
m bot addit: de:Stetigkeit; mutationes minores |
||
Linea 2:
Idea '''continuitatis''' est: [[Functio]] [[numerus realis|realis]] [[functio|dominii]] <math>f: I\to\mathbb{R}</math> super [[Intervallum (Mathematica)|intervallo]] reali <math>I\subseteq\mathbb{R}</math> continua est, si [[Graphum (mathematica)|graphum]] functionis <math>f</math> stilo non sublato describi potest.
== Definitio ==
Sunt duae definitiones continuitatis quae aequae sunt:
# ''Regula Epsilon-Delta''<ref>Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. '''Definition 34.6'''</ref>:<math> f\colon D \to \R</math> ''continua in <math>x_0 \in D</math>'' est, si <br/> omnibus <math>\epsilon>0</math> est <math>\delta > 0</math>, ut omnibus numeris dominii <math>x \in D</math>, qui obtemperent <br /> <math>|x - x_0| < \delta</math>, valeat <math>|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon </math>.
# ''Regula [[sequentia (mathematica)|sequentiarum]]''<ref>Harro Heuser, ''Lehrbuch der Analysis. Teil 1.'' 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 212</ref>: <math> f\colon D\to \R</math> est ''continua in <math>x_0 \in D</math>'', si, cum quaelibet sequentia <math>(x_k)_{k\in\N}</math>
Functio appellatur ''continua in <math>D</math>'', si est continua in locis omnibus dominii.
Linea 13:
Si est <math> x_0 \in D </math>, ubi functio continua non est, ibi ''discontinua'' appellatur.
==== Exempla ====
* Functiones <math>\sin\colon \R \to \R,\; x \mapsto \sin x</math> et <math>\cos \colon \R \to \R,\; x \mapsto \cos x</math> continuae sunt in <math>\R</math>.
* [[Signum (functio)|Functio signi]] <math>\ \operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x<0\ ,\end{cases}</math> <br /> in omnibus locis <math>x \in \R\setminus \{0\}</math> continua est, sed loco 0 discontinua: limes laevus est −1, dexter autem +1 ideoque [[Analysis#Limes|limes]] <math>\lim_{x\to 0}\,\operatorname{sgn}(x)</math> non est.
* Functio Dirichlet
*:<math>f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.</math>
Linea 27:
</gallery>
== Theoremata ==
*Si functiones <math> f </math> et <math> g </math> continuae in [[Analysis#Functio|dominio]] communi <math>D</math> sunt, tum et <math> f + g </math> et <math> f - g </math> et <math> f \cdot g </math> continuae super <math> D </math> sunt; si functioni g insuper nulli loci valoris 0 (id est: nullus est numerus <math> x_0 \in D </math> ut <math> g(x_0)=0 </math>) sint, tum et <math> \frac{f}{g} </math> continua est.
Linea 33:
* '''Continuitas functionis inversae''':
:Si <math>I</math> est intervallum in <math>\mathbb{R}</math> et <math>f\colon I\rightarrow\mathbb R</math> est functio continua, rigide crescens aut cadens, tum imago intervalli <math>I</math> sub <math>f</math> est intervallum <math>J</math>, <br /><math>f\colon I\to J</math> est [[functio biiectiva|biiectiva]], et functio inversa <math>f^{-1}\colon J\to I</math> est continua.</br>
*'''Theorema valorum omnium acceptorum''':
Linea 44:
:: <math>f(t)\leq f(x)\leq f(h)</math> omnibus numeris <math>x\in[a,b]</math> valeat.
== Vide etiam ==
*[[Analysis]]
*[[Functio differentiabilis]]
== Notae ==
<references/>
== Nexus externi ==
* [http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/lexikon/S/stetigkeit.html nexus ad paginam theodiscam continuitatem explicantem]
Linea 66:
[[cs:Spojitá funkce]]
[[da:Kontinuitet]]
[[de:Stetigkeit]]
[[el:Συνέχεια συνάρτησης]]
[[en:Continuous function]]
| |||