Quantum redactiones paginae "Vector (mathematica)" differant

Content deleted Content added
correctio paginae
m Automaton: mutationes minores
Linea 1:
'''Vector''' (-oris, m.) est terminus [[mathematica|mathematicus]] qui etiam in [[physica]] usurpatur. In coniunctione directa inter duo puncta cui directio est positus est, ergo fundamentum vectoris linea cum capite ac fine, qui exacte definiuntur discernunturque est. Saepissime graphice hoc sagitta exprimitur (apex sagittae finis eius est) atque etiam "sagitta" nominatur.
 
== Fundamenta mathematica ==
 
=== Gravitas vectorum ===
 
==== Problemum, quod exemplo est ====
 
Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum <math> P(2|3) </math>. Ad multa problema [[geometria|geometriae]]e solvenda, figurae geometricae in [[systema coordinatorum]] locantur.
 
Exempli gratia, trianguli ABC (<math> A(0|0) </math>, <math> B(5|0) </math>, <math> C(2|4) </math>) altitudo puncti C, <math> h_{c} </math>, sine ulla computatione cognoscitur: <math> h_{c} = 4 (e) </math>.
 
Sed multa talia problema non tam simpliciter solvi possunt, si terminus vectoris cognitus nondum est; exempli gratia, si altitudo puncti Z trianguli XYZ (<math> X(0|0) </math>, <math> Y(3|2) </math>, <math> Z(2|4) </math>) computari debet, hoc sine vectoribus paene impossibile peractu est; nam problemum est reperire punctum P in [[directio|directione]]ne <math> g_{1} </math> per X et Y situm, ut directio <math> g_{2} </math> per Z et P cum <math> g_{1} </math> angulum rectum circumcludat. Sed sine vectoribus tantum aequationes functionum directiones <math> g_{1} </math> et <math> g_{2} </math> graphia habitantes computari possunt atque per computationem generalem punctum P, quod directionem quaesitam dat, reperiri potest.
 
Hoc autem vectoribus multo facilius peragitur; est tantum exemplum quod introductionem usumque vectorum purget. Tota categoria geometriae in usu vectorum versatur, ea est [[geometria analytica]], atque hoc ad illustrandam magnitudinem eorum pertinet.
 
==== Definitio exacta ====
 
Vector exacte definitur, ut copia omnium sagittarum (superficiei planae aut spatii) parallelarum, quae eadem longitudine directioneque sunt, sit. Plerumque vector elemento ipsius datur; haec sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.
Linea 21:
Vector ergo non sola sagitta, sed copia infinita sagittarum est. Saepe autem duo termini permiscentur: Repraesentans vectoris vector ipse nominatur. Qui sic inter se differunt, ut sagittae loco finito teneantur, ut vectores autem omnibus locis (globaliter) repraesentantibus eorum usurpari possint.
 
=== Coordinata vectorum ===
 
In mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est): iis quae carpenda sunt, si a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, sagittae a puncto <math> A(2|3) </math> ad <math> B(5|5) </math> coordinata sunt <math> \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math>, et haec etiam coordinata vectoris hanc sagittam repraesentantem habentis.
Linea 31:
<math> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix} </math> (regula "hasta de apice subtrahenda est").
 
=== Operationes vectorum ===
 
Regula "hasta de apice subtrahenda est" iam quandam operationem vectorum, id est [[subtractio|subtractionem]]nem, continet, sed talis operatio tandem primum definienda est. Cum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita sit, operationes ad multa problema solvenda usurpari possunt.
 
==== Additio vectorum ====
 
[[Additio]] duorum vectorum tertium vectorem dat. Haec ita definitur: Hasta repraesentantis cuiusdam summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) patet, repraesentans summae duorum vectorum est.
Linea 43:
<math> \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \end{pmatrix} </math>
 
==== Subtractio vectorum ====
 
Subtractio per additionem definiri potest: Subtractio <math> \vec a - \vec b </math> additionem vectoris <math> -\vec b = -\begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_{b} \\ -y_{b} \end{pmatrix} </math> (vectoris adversi vectoris <math> \vec b </math>) ad vectorem <math> \vec a </math> significat. Ergo [[subtractio|differentia]] duorum vectorum est:
Linea 49:
<math> \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} - x_{b} \\ y_{a} - y_{b} \end{pmatrix} </math>
 
==== Multiplicatio scalaris vectorum ====
 
Vectoribus duae species [[multiplicatio|multiplicationis]]nis sunt: multiplicatio scalaris atque crucis.
 
Scalaris multiplicatio duorum vectorum <math> \vec a \cdot \vec b </math> sic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris <math> \vec a </math> atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris <math> \vec b </math> in repraesentantem vectoris <math> \vec a </math> computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans <math> \vec a </math> habet, aut signo negativo (-), si proiectio alterius directionis est, ornatur. Hic numerus productum scalaris vectorum <math> \vec a </math> et <math> \vec b </math> nominatur. Computari potest etiam formula:
Linea 59:
Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalaris eorum 0 est.
 
==== Multiplicatio crucis vectorum ====
 
Altera multiplicatio vectorum multiplicatio crucis nominatur. Quae tantum vectoribus spatialibus definitur.
Linea 79:
<math> \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} </math>.
 
=== Aliquot problema, quae vectoribus solvi possunt ===
 
==== Quomodo punctum dimidii lineae reperiri possit ====
 
Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:
Linea 107:
Exempli gratia, si <math> A(2|1) </math> et <math> B(4|5) </math>, <math> \vec h = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}}{2} = \frac{\begin{pmatrix} 6 \\ 6 \end{pmatrix}}{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} </math>, ergo <math> H(3|3) </math>.
 
==== Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogramma ====
 
Si cuiusdam [[parallelogramma|parallelogrammatis]]tis puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.
 
Exempli gratia, puncta <math> A(1|1) </math>, <math> B(3|4) </math> et <math> C(2|5) </math> rectanguli cognita sunt punctumque D reperiendum est. Quod <math> \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} </math>, coordinata ita computantur:
Linea 123:
Quartum punctum igitur coordinata <math> D(0|2) </math> habet.
 
==== Centrum gravitatis trianguli ====
 
Centrum gravitatis computatur per formulam <math> \vec s = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3} </math>, si [[triangulum|triangulo]] anguli in punctis A, B et C sunt.
Linea 129:
Triangulum punctorum <math> A(1|1) </math>, <math> B(6|5) </math> et <math> C(2|12) </math> igitur centrum gravitatis <math> S(3|6) </math> habet.
 
== Vectores in physica ==
 
Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut [[vis|vires]]. Omnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.
Linea 135:
[[Velocitas]], exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente moveri potest, sed etiam in directionem certam.
 
=== Vires ===
 
In physica vis definitur productum [[massa|massae]]e et [[acceleratio|accelerationis]]nis, quae in motione cuiusdam rei ab hac vi causatae observantur.
 
Exempli gratia, si res aequaliter accelerata movetur (acceleratio <math> a = 5 \frac{m}{s^2} </math>) et huic rei massa <math> m = 20 kg </math> est, vis effecta fortitudinem <math> F = 100 N </math> habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quam vis habet, exprimitur.
Linea 145:
Exempli gratia, si res massam <math> m = 5 kg </math> habens atque in puncto <math> P(0|0) </math> sita a viribus <math> \vec F_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> et <math> \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} </math> movetur, vis, quae vero rem movet, est <math> \vec F = \vec F_{1} + \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} </math>. Si nunc unitas longitudinis vectorum <math> 1 N </math> significat, fortitudines virium sunt: <math> F_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3,61 N </math>, <math> F_{2} \approx 5,10 N </math> et <math> F \approx 7,28 N </math>. Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.
 
=== Labor ===
 
Si res massae <math> m </math> in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, <math> \vec F </math>, aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, <math> -\vec F </math>), quia hoc modo res in directionem contrariam trahetur!
Linea 155:
Hac in formula <math> F_{s} </math> longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris <math> \vec F </math> in spatium <math> \vec s </math> est, atque <math> s </math> longitudinem repraesentantis <math> \vec s </math> designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest; hic casus est, si <math> \vec F_{s} </math> directionem contrariam atque <math> \vec s </math> habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).
 
== Vide etiam ==
 
*[[systema coordinatorum]]
Linea 176:
 
*[[labor]]
 
[[Categoria:Geometria]]
 
[[ar:متجهة]]
Line 227 ⟶ 229:
[[zh:矢量]]
[[zh-min-nan:Hiòng-liōng]]
 
[[Categoria:Geometria]]