Quantum redactiones paginae "Aequatio trigonometrica" differant

2 461 octeti additi ,  abhinc 15 annos
amplificatio paginae
Content deleted Content added
fundamentum paginae novae
 
amplificatio paginae
Linea 15:
<math> \sin{x} = \frac{1}{2} </math>.
 
Nunc is angulus, cuius sinus 0,5 aequat, reperiendus est. Una solutionum est <math> x_{1} = \arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6} </math>. Sed una regularum trigonometricarum dicit sinum cuiusdam anguli x sinum anguli <math> \pi - x </math> aequare. Praeterea, sane anguli <math> x </math> et <math> x + 2k\pi; k \in \mathbb{Z} </math> etiam eundem sinum habent, quod iidem sunt.
Sed una regularum trigonometricarum dicit sinum cuiusdam anguli x sinum anguli <math> \pi - x </math> aequare. Praeterea, sane anguli <math> x </math> et <math> x + 2k\pi; k \in \mathbb{Z} </math> etiam eundem sinum habent, quod iidem sunt.
 
Ergo altera solutio in intervallo <math> [0; 2\pi[ </math> est <math> \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} </math>.
 
Solutiones aequationis sunt igitur aut formae <math> \frac{\pi}{6} + 2m\pi; m \in \mathbb{Z} </math> aut formae <math> \frac{5\pi}{6} + 2n\pi; n \in \mathbb{Z} </math>.
 
==Aequationes difficiliores solutu==
 
===Exemplum primum===
 
<math> \sin{x} = \cos{x} </math>
 
Iam scimus angulum x inter <math> 0 </math> et <math> \frac{\pi}{2} </math> vel <math> \pi </math> et <math> \frac{3\pi}{2} </math> esse debere, quod tantum his in intervallis sinus cosinusque aequalis signi sunt.
 
Ad hanc aequationem solvendam, hac relatione uti possumus: <math> \cos{x} = \pm\sqrt{1 - \sin{x}^2} </math>. Terminus in aequatione substituitur:
 
<math> \sin{x} = \pm\sqrt{1 - \sin{x}^2} </math>,
 
ergo <math> \sin{x}^2 = 1 - \sin{x}^2 </math>,
 
ergo <math> 2\sin{x}^2 = 1 </math>,
 
ergo <math> sin{x} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} </math>
 
Nunc angulos reperire possumus: <math> x_{1} = \frac{\pi}{4}; x_{2} = \frac{3\pi}{4}; x_{3} = \frac{5\pi}{4}; x_{4} = \frac{7\pi}{4} </math>. Horum angulorum autem <math> x_{2} </math> et <math> x_{4} </math> excludendi sunt, quod in intervallis memoratis siti non sunt.
 
Ergo solutiones intervalli <math> [0; 2\pi[ </math> sunt <math> \frac{\pi}{4} </math> et <math> \frac{5\pi}{4} </math>. Si solutiones e tota copia <math> \mathbb{R} </math> venire licet, aut formae generalis <math> \frac{\pi}{4} + 2m\pi; m \in \mathbb{Z} </math> aut <math> \frac{5\pi}{4} + 2n\pi; n \in \mathbb{Z} </math> sunt.
 
===Exemplum secundum===
 
<math> \sin{2x} = \frac{1}{2}; G = [0; 2\pi[ </math>
 
Ut iam computatum est, anguli sinum <math> \frac{1}{2} </math> habentes sunt <math> \frac{\pi}{6} </math> et <math> \frac{5\pi}{6} </math>. x igitur est <math> \frac{\pi}{12} </math> et <math> \frac{5\pi}{12} </math> (dimidia angulorum).
Sed non solum ii anguli, sed etiam anguli, qui obtinentur, cum ad angulos computatos valor <math> 2\pi </math> additur, hunc valorem sinus habent; quod verae solutiones aequationis dimidia horum angulorum sunt, hic etiam anguli maiores quam <math> 2\pi </math> spectandi sunt.
 
<math> \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} = 2x </math>, ergo <math> x = \frac{13\pi}{12} </math>. Hic angulus dum in intervallo <math> [0; 2\pi[ </math> situs est!
 
<math> \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} = 2x </math>, ergo <math> x = \frac{17\pi}{12} </math>
 
<math> \frac{13\pi}{6} + 2\pi = \frac{25\pi}{6} = 2x </math>, ergo <math> x = \frac{25\pi}{12} </math>, sed hic angulus non iam in intervallo situs est, ergo omnes solutiones aequationis repperimus.
 
Qui sunt <math> \frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}; \frac{13\pi}{12}; \frac{17\pi}{12} </math>.
 
==Vide etiam==
 
*[[functio trigonometrica]]
*[[sinus (mathematica)|sinus]]
*[[cosinus]]
*[[tangens]]
180

recensiones