Aequatio trigonometrica

Aequatio trigonometrica sive aequatio goniometrica est aequatio, cuius variabile argumentum functionis trigonometricae (velut sinus) in ea apparet, velut $\sin {x}={\frac {1}{2}}$. Tales aequationes saepe faciles solutu non sunt, quod nonnumquam cognitio relationum inter functiones trigonometricas ad solutionem necessaria est. Praeterea, propter periodicitatem functionum trigonometricarum aequatio trigonometrica, si unam solutionem certe habet, numerus infinitus aliorum valorum etiam in numero solutionum duci potest.

Aequationes fundamentales

Hae sunt:

• $\sin {x}=c;c\in [-1;1]$
• $\cos {x}=c;c\in [-1;1]$
• $\tan {x}=k;k\in \mathbb {R}$

Solutiones simplicissimae harum aequationum per functiones inversas functionum trigonometricarum ($\arcsin {x}$; $\arccos {x}$ atque $\arctan {x}$) reperiri possunt.

Exempli gratia:

$\sin {x}={\frac {1}{2}}$.

Nunc is angulus, cuius sinus 0,5 aequat, reperiendus est. Una solutionum est $x_{1}=\arcsin {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{6}}$. Sed una regularum trigonometricarum dicit sinum cuiusdam anguli x sinum anguli $\pi -x$ aequare. Praeterea, sane anguli $x$ et $x+2k\pi ;k\in \mathbb {Z}$ etiam eundem sinum habent, quod iidem sunt.

Ergo altera solutio in intervallo $[0;2\pi [$ est $\pi -{\frac {\pi }{6}}={\frac {5\pi }{6}}$.

Solutiones aequationis sunt igitur formae ${\frac {\pi }{6}}+2m\pi ;m\in \mathbb {Z}$ aut formae ${\frac {5\pi }{6}}+2n\pi ;n\in \mathbb {Z}$.