Quantum redactiones paginae "Systema aequationum" differant

2 671 octeti additi ,  14 years ago
amplificatio paginae
(amplificatio paginae)
(amplificatio paginae)
Hoc systema lineare variabilium u et v repraesentat. Quod quadam ratione memorata solvimus, tum per valores u et v valores x et y ([[radix|radices]] eorum) computare possumus. Si u vel v negativus est, nulla puncta communia sunt. Si unus valorum 0 est (ambos 0 aequare impossibile est, quod summa eorum <math> r^2 > 0 </math> est), tantum duo talia puncta, aliter quattuor sunt.
 
==Systemata duarumtrium aequationum triumqueduorumque variabilium==
 
:<math>\begin{matrix}
(1) & a_{1}x & + & b_{1}y & + & c_{1}z & = & d_{1} \\
(2) & a_{2}x & + & b_{2}y & + & c_{2}z & = & d_{2}
\end{matrix}</math>
 
Talia systemata aequationum numquam exacte unam solutionem (trium partium) habent, quod ut hoc possibile sit, numerus varibilium eum aequationum aequare aut eo minor esse debet.
 
Haec interpretatio graphica est: Singulae aequationes superficies planas repraesentant. Ergo graphice demonstrari potest etiam hic tres casus solutionum esse:
 
#Si superficies planae parallelae sunt, nullum punctum commune habent, ergo systemati etiam nulla solutio est. Hic casus fit, si coefficientes variabilium neque valores absoluti duarum aequationum aequalis proportionis sunt (id est, <math> \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = \frac{c_{1}}{c_{2}} = k \neq \frac{d_{1}}{d_{2}} </math>
#Si duae aequationes eandem superficiem planam describunt, omnia puncta huius solutiones systematis sunt. Hoc fit, si non solum coefficientes, sed etiam valores absoluti aequalis proportionis sunt.
#Si autem altera superficierum alteram secat, omnes solutiones in quadam directione sitae sunt; tum coefficientes variabilium aequalis proportionis non sunt.
 
Omnes casus admodum facile cognitu sunt neque casus primi secundique copia solutionum difficilior repertu est. Sed quomodo possumus reperire directionem solutionum casus tertii?
 
Quaedam ratio est duo variabilium per tertium exprimere; hoc perfecto directio per parametrum realem describi potest.
 
Exempli gratia:
 
:<math>\begin{matrix}
(1) & 5x & + & 2y & + & 3z & = & 10 \\
(2) & 2x & + & 3y & - & z & = & 5
\end{matrix}</math>
 
Hic varibilia y et z per x describuntur. Primum aut y aut z in utraque aequatione explicite exprimitur, quod dat, exempli gratia:
 
:<math>\begin{matrix}
(1) & z & = & -\frac{5}{3}x & - & \frac{2}{3}y & + & 10 \\
(2) & z & = & 2x & + & 3y & - & 5
\end{matrix}</math>
 
Nunc duo termini dexteri aequantur:
 
<math> -\frac{5}{3}x - \frac{2}{3}y + 10 = 2x + 3y - 5 </math>
 
y per x exprimitur:
 
<math> y = -x + \frac{45}{11} </math>
 
In uno terminorum z pro y substituitur:
 
<math> z = 2x + 3y - 5 = 2x - 3x + \frac{135}{11} - 5 = -x + \frac{80}{11} </math>
 
Parametro x aequatio directionis constituitur:
 
<math> \vec x = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 + x \\ \frac{45}{11} - x \\ \frac{80}{11} - x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{45}{11} \\ \frac{80}{11} \end{pmatrix} + x \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} </math>
 
Ergo:
 
<math> g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{45}{11} \\ \frac{80}{11} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}; \lambda \in \mathbb{R} </math>
 
==Systemata trium aequationum triumque variabilium==
180

recensiones