|
'''Vector''' (-oris, m.) est terminus [[mathematica|mathematicus]] qui etiam in [[physica]] usurpatur. Verbum inIn coniunctione directa inter duo puncta cui directio est positumpositus est, ergo fundamentum vectoris linea cum capite ac fine, qui exacte definitisdefiniuntur discretisquediscernunturque est. Saepissime graphice hoc sagitta exprimitur (apex sagittae finis eius est) atque etiam "sagitta" nominatur.
==Fundamenta mathematica==
Omnia puncta per coordinata sua exprimi possunt, velut punctum <math> P(2|3) </math>. Ad multa problema [[geometria|geometriae]] solvenda, figurae geometricae in [[systema coordinatorum]] locantur.
Exempli gratia, trianguli ABC (<math> A(0|0) </math>, <math> B(5|0) </math>, <math> C(2|4) </math>) altitudo puncti cC, <math> h_{c} </math>, sine ulla computatione cognoscitur: <math> h_{c} = 4 (e) </math>.
Sed multa talia problema non tam simpliciter solvi possunt, si terminus vectorvectoris cognitus nondum est; exempli gratia, si altitudo puncti Z trianguli XYZ (<math> X(0|0) </math>, <math> Y(3|2) </math>, <math> Z(2|4) </math>) computari debet, hoc sine vectoribus paene impossibile peractu est; problemumnam namqueproblemum est reperire punctum P in [[directio|directione]] <math> g_{1} </math> per X et Y situm, ut directio <math> g_{2} </math> per Z et P cum <math> g_{1} </math> angulum rectum circumcludat. Sed sine vectoribus solaetantum aequationes functionum directiones <math> g_{1} </math> et <math> g_{2} </math> graphia habitantes computari possunt atque per computationem generalem punctum P, veroquod directionem quaesitam dansdat, reperirereperiri potest.
Hoc autem vectoribus multummulto facilius peragitur; est solum unumtantum exemplum adquod introductionem usumque vectorum purgandospurget. Tota una categoria geometriae in usu vectorum versatur, isqueea est [[geometria analytica]], atque hoc ad illustrandam gravitatemmagnitudinem eorum pertinet.
====Definitio exacta====
Vector exacte definitur, ut copia omnium sagittarum (superficiei planiplanae aut spatii) parallelarum, atquequae aequaliseadem longitudinislongitudine directionisquedirectioneque sunt, sit. Plerumque vector uno elemento ipsius datur; haec sagitta "repraesentans vectoris" nominatur.
Vector ergo non sola sagitta, sed copia infinita sagittarum est. Saepe autem duo termini permiscentur: (id est, repraesentansRepraesentans vectoris vector ipse nominatur). DifferentiaQui maximasic estinter sagittasse localiterdifferunt, teneriut sagittae loco finito teneantur, ut vectores autem omnibus locis (globaliter) repraesentantibus eorum usurpari possepossint.
===Coordinata vectorum===
MathematiceIn mathematica vector significatur coordinatis duobus (si vector planus est) aut tribus (si spatialis est): isque eisiis quae carpenda sunt, si a puncto capitis repraesentantis vectoris ad punctum finis eundum est. Exempli gratia, sagittae a puncto <math> A(2|3) </math> ad <math> B(5|5) </math> coordinata sunt <math> \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} </math>, et haec etiam coordinata vectoris hanc sagittam repraesentantem habentis.
Vectores ergo sicutet puncta coordinata habent. Vector, qui eadem coordinata atque quoddam punctum P habet, repraesentantem ab origine <math> O(0|0) </math> ad hoc punctum patentem habet et vector positionis <math> \vec p </math> puncti nominatur.
In genereOmnino, puncto capitis atque finis dato coordinata cuiusdam sagittae computari possunt formula:
<math> \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} x_{B} \\ y_{B} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{A} \\ y_{A} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{pmatrix} </math> (regula "hasta de apice hastamsubtrahenda est").
===Operationes vectorum===
Regula "hasta de apice hastamsubtrahenda est" iam unamquandam operationem vectorum, namqueid est [[subtractio|subtractionem]], continet, cumsed talis operatio tandem primum definienda sitest. DefinitioCum definitio operationum vectorum in aspectibus graphicis posita estsit, et qua de causa haeoperationes ad multa problema solvenda usurpari possunt.
====Additio vectorum====
[[Additio]] duorum vectorum tertium vectorem dat. Haec ita definitur: Hasta repraesentantis uniuscuiusdam summandi in apicem alterius summandi ponenda est. Sagitta, quae ab hasta primae sagittae repraesentantis ad apicem secundae (cuius hasta eodem loco atque apex alterius sita est) patet, repraesentans summae duorum vectorum est.
In genere, summa vectorum <math> \vec a </math> ac <math> \vec b </math> computari potest formula:
====Subtractio vectorum====
QuaeSubtractio per additionem definiri potest: Subtractio <math> \vec a - \vec b </math> additionem vectoris <math> -\vec b = -\begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x_{b} \\ -y_{b} \end{pmatrix} </math> (vectoris adversi vectoris <math> \vec b </math>) ad vectorem <math> \vec a </math> significat. Ergo [[subtractio|differentia]] duorum vectorum est:
<math> \vec a - \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} - x_{b} \\ y_{a} - y_{b} \end{pmatrix} </math>
====Multiplicatio scalaris vectorum====
Vectoribus duae species [[multiplicatio|multiplicationis]] sunt, namque: multiplicatio scalaris atque crucis.
Scalaris multiplicatio duorum vectorum <math> \vec a \cdot \vec b </math> itasic definitur: Primum productum longitudinis repraesentantis vectoris <math> \vec a </math> atque proiectionis normalis repraesentantis vectoris <math> \vec b </math> in repraesentantem vectoris <math> \vec a </math> computandum est, deinde aut hoc signo positivo (+), si proiectio normalis eandem directionem atque repraesentans <math> \vec a </math> habet, aut signo negativo (-), si proiectio alterius directionis est, ornatur. Hic numerus productum scalaris vectorum <math> \vec a </math> et <math> \vec b </math> nominatur. Computari potest etiam formula:
<math> \vec a \cdot \vec b </math> = <math> \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \end{pmatrix} = x_{a} \cdot x_{b} + y_{a} \cdot y_{b} </math>.
Si duo vectores anguli recti sunt, productum scalaris eorum 0 aequatest.
====Multiplicatio crucis vectorum====
Altera multiplicatio vectorum multiplicatio crucis nominatur. Quae solumtantum vectoribus spatialibus definitur.
In genereOmnino, operationes iam dictae (id est, additio, subtractio atque multiplicatio scalaris duorum vectorum) pariter vectoribus spatialibus definitae sunt; exempli gratia, additio duorum vectorum spatialium ita fit:
<math> \vec a + \vec b = \begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \\ z_{a} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{a} + x_{b} \\ y_{a} + y_{b} \\ z_{a} + z_{b} \end{pmatrix} </math>.
Multiplicatio crucis vectorum spatialium <math> \vec a \times \vec b </math> productum dat vectorem tertium, cui proprietateshas sequentesproprietates sunt:
1.) Repraesentans vectoris <math> \vec a \times \vec b </math> et cum repraesentante vectoris <math> \vec a </math> et cum huiusrepraesentante <math> \vec b </math> angulum rectum circumcludit.
2.) Longitudo repraesentantis producti crucis aequalis areae est atque parallelogramma, quod a repraesentantibus factorum attenditurtenditur.
3.) Sunt semper duo vectores proprietatum 1.) atque 2.), quibus directiones adversae sunt; eorum vector iustus regulahac sequenteregula reperiri potest: Vectores <math> \vec a </math>, <math> \vec b </math> et <math> \vec a \times \vec b </math> easdem directiones habent atque primiprimus, secundus, trestertius digitidigitus manus dexterae, si hi omnes angulum rectum inter se habentes a manu attendunturtenduntur ("regula manus dexterae").
Productum crucis ita computatur:
===Aliquot problema, quae vectoribus solvi possunt===
====PunctumQuomodo punctum dimidii lineae reperirereperiri possit====
Punctis A et B datis, punctum dimidii lineae inter ea ita computari potest:
====Completio figurae geometricae; exemplum: parallelogramma====
Si uniuscuiusdam [[parallelogramma|parallelogrammatis]] puncta tria data sunt, quartum punctum figurae vectoribus reperiri potest.
Exempli gratia, puncta <math> A(1|1) </math>, <math> B(3|4) </math> et <math> C(2|5) </math> rectanguli cognita sintsunt punctumque D reperiendum est. Quod <math> \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} </math>, coordinata ita computantur:
<math> \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CD} </math>,
====Centrum gravitatis trianguli====
QuodCentrum gravitatis computatur per formulam <math> \vec s = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3} </math>, si [[triangulum|triangulo]] anguli in punctis A, B et C sunt.
Triangulum punctorum <math> A(1|1) </math>, <math> B(6|5) </math> et <math> C(2|12) </math> igitur centrum gravitatis <math> S(3|6) </math> habet.
==Vectores in physica==
Physici vectoribus utuntur ad multas magnitudines exprimendas, velut [[vis|vires]]. In genereOmnino, omnes magnitudines quibus non solum fortitudo, sed etiam directio est, ita exprimuntur.
[[Velocitas]], exempli gratia, directionem habet. Aliquid non solum celeriter aut lente se moveremoveri potest, sed etiam in directionem certam.
===Vires===
PhysiceIn physica vis definitur productum [[massa|massae]] et [[acceleratio|accelerationis]], quae in motiomotione uniuscuiusdam rei ab hac vi causatae observantur.
Exempli gratia, si res aequaliter accelerateaccelerata se movetmovetur (acceleratio <math> a = 5 \frac{m}{s^2} </math>) et huic rei massa <math> m = 20 kg </math> est, vis effecta fortitudinem <math> F = 100 N </math> habet (nota bene hoc non vim ipsam esse, sed solum fortitudinem eius; vis semper etiam directionem habet). Vectore directio, quaequam vis habet, exprimitur.
Si duae aut complures vires eiusdemeodem temporistempore rem movent, motio, quae vero peragitur, motionem, quae perageretur, si res a summa virium moveretur, aequat.
Exempli gratia, si res massam <math> m = 5 kg </math> habens atque in puncto <math> P(0|0) </math> sita a viribus <math> \vec F_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} </math> et <math> \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} </math> movetur, vis, veraquae vero rem movensmovet, est <math> \vec F = \vec F_{1} + \vec F_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} </math>. Si nunc una unitas longitudinis vectorum <math> 1 N </math> significat, fortitudines virium sunt: <math> F_{1} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \approx 3,61 N </math>, <math> F_{2} \approx 5,10 N </math> et <math> F \approx 7,28 N </math>. Hoc exemplum bene demonstrat vim effectam fortitudine summam summandorum non aequare, cum vectoribus ea vis summa plane sit.
===Labor===
Si res massae <math> m </math> in directionem datam moveri debet, sane optime laborabitur, si vis, quae adhibetur, <math> \vec F </math>, aequalis directionis est. Pessime laborabitur, si vis contrariae directionis usurpatur (id est, <math> -\vec F </math>), quia itahoc modo res in directionem contrariam trahetur!
Labor administratusqui administratur ergo non solum a fortitudine, sed etiam valde a directione vectoris, qui vim repraesentat, constituitur. PhysiceIn physica terminus [[labor|"laborlaboris"]] itasic definitur, ut productum scalaris cum factoribus [[spatium|spatio]] <math> \vec s </math> (quod ibi spatium vectore exprimitur!) atque vi <math> \vec F </math> aequet:
<math> W = \vec F \cdot \vec s = \pm F_{s} \cdot s </math>
Hac in formula <math> F_{s} </math> longitudinem repraesentantis eius vectoris, qui proiectio normalis vectoris <math> \vec F </math> in spatium <math> \vec s </math> est, atque <math> s </math> hanclongitudinem repraesentantis <math> \vec s </math> designat (vide etiam definitionem multiplicationis scalaris). Labor etiam negativus esse potest,; isquehic casus est, si <math> \vec F_{s} </math> directionem contrariam atque <math> \vec s </math> habet (resque igitur in directionem "falsam" movetur).
==Vide etiam==
**[[divisio]]
Vires atque labor solatantum duo exempla usus vectorum in physica sunt; sequenteshae magnitudines quoqueetiam itasic exprimuntur:
*[[acceleratio]]
*[[impulsus]]
Saneque informationes de viribus laboreque, quae hac in pagina dataedantur, plenissimae non sunt, qua de causa, si plus his de rebus scire vis, vide paginas:
*[[vis]]
| 