Quantum redactiones paginae "Derivativum" differant
Content deleted Content added
Additamenta ad clarescendam paginam (index variationis = rate of change, differentialis operator = differential operator) |
Additamenta et demonstrationes in notas positae ad leniendam paginam |
||
Linea 2:
[[Fasciculus:Tangency Example 2.svg|thumb|Haec functio <math>f</math> imminutur usque ad minimum, tum crescit usque ad maximum, postremo rursus imminutur: derivatum eius <math>f'</math> igitur, qui clivum lineae tangentis indicat, negativum deinde positivum denique negativum est.]]
'''Derivativum''' est [[quantitas]] [[mathematica]] quae cuiusdam [[functio]]nis <math>f</math> variationem indicat prope locum <math>x</math> amplitudinemque huius variationis: si <math>f</math> prope <math>x</math> crescit, derivativum positivum est, negativum si imminutur. Cum derivativum ab <math>x</math> definiatur, ipse functio est quae <math>f'</math> dicitur (voce 'f prima') et a functione <math>f</math> derivatur
ut clivum [[Linea tangens|lineae tangentis]] curvae <math>y = f(x)</math> loco <math>x</math> det: si <math>f'(x)</math> magna est, functio <math>f</math> valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit
[[Theorema fundamentale calculi]] dicit derivativum et [[integrale]] processus inversos esse.
Linea 8:
== Facile exemplum cum indico variationis ==
[[Fasciculus:Guyana population.svg|thumb|Numerus millium incolarum [[Guiana]]e (1960-2017).]]
Derivativum <math>f'</math> amplitudinem incrementi aut decrementi functionis <math>f</math> indicat. Exempli gratia, crescit numerus incolarum [[Guiana]]e magis a 1960 ad 1965 quam a 2010 ad 2015 (cf. imaginem). Ad hoc metiendum, incrementum numerare incolarum per annum opportet: cum sint fere 570 millia incolarum anno 1960 et 650 anno 1965, incrementum his quinque annis 80 millia est, hoc est <math>\frac{80}{5}=16</math> millia per annum. Derivativum igitur a variatione definitur inter duas quantitates in ratione spatii ad aliam ex altera: haec prima approximatio derivativi '''index variationis''' dicitur. Si functio <math>f</math> ad quemque annum numerum incolarum Guianae hoc anno destinat (ut e. g. <math>f(1960)=570</math> millia), index variationis inter duos annos <math>x</math> et <math>x_2</math> est
sive cum exemplo supra <math>\frac{f(1965)-f(1960)}{1965-1960}=\frac{650-570}{1965-1960}=\frac{80}{5}=16</math> millia novorum incolarum per annum.
==Calculus infinitesimalis==
[[Fasciculus:Derivada.gif|thumb|Derivativum functionis, ubi spatium <math>dx</math> inter duas quantitates (<math>h</math> in imagine) minor minorque fit ad aequandum clivum lineae tangentis loco <math>x</math>.]]
Hoc tamen modo approximatio est derivativi, quod [[Valor medius arithmeticus|valor medius]] incrementi in intervallo quodam est nec amplitudo fluxionis functionis loco definito. Ad hoc emendandum spatium inter <math>x</math> et <math>x_2</math> minui opportet, ut index variationis propius derivativum loco <math>x</math> sit. Hoc minimum nec nullum spatium <math>dx</math> dicitur. Inde <math>x_2</math> fit <math>x+dx</math>, et
quod derivativum <math>f'(x)</math> magis magisque appropinquat cum <math>dx</math> minor minorque fiat. Hic processus mathematicus [[Limes (mathematica)|limes]] nominatur, quo aestimetur quaedam quantitas (hic derivativum <math>f'(x)</math>) cum altera ex qua pendet (hic <math>dx</math>) certum numerum appropinquet (hic 0) quamvis numquam ad eum perveniat.
Talis limes autem interdum definiri non potest (si [[Infinitas|infinitatem]] appropinquat aut secundum methodum computationis mutatur &c.) Inde functio quae derivativum habet, i.e. cui hic limes loco <math>x</math> definitur, [[functio differentiabilis]] nominatur. Omnis functio differentiabilis est [[continuitas_(mathematica)|continua]], sed sunt functiones continuae non differentiabiles.
In [[calculus infinitesimalis|calculi infinitesimalis]] lingua, hoc saepe abbreviatur in
Line 46 ⟶ 48:
==Formulae utiles==
Cum constante quantitate <math>a</math> et functionibus differentiabilibus <math>f</math> et <math>g</math>:
* <math>(a)'=0</math> (constans quantitas)<ref>quia <math>(a)'= \frac{a-a}{dx}=0</math></ref>
* <math>[f(x) \times g(x)]'=f(x) \times g'(x)+g(x) \times f'(x)</math> (multiplicatio functionum)<ref>quia <math>[f(x) \times g(x)]'= \frac{[f(x+dx)g(x+dx)]-[f(x)g(x)]}{dx}= \frac{f(x+dx)g(x+dx)-f(x+dx)g(x)+f(x+dx)g(x)-f(x)g(x)}{dx}</math></br><math>=f(x+dx) \frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}+g(x) \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=f(x) \times g'(x)+g(x) \times f'(x)</math></ref>
▲:quod <math>[af(x)]'= \frac{af(x+dx)-af(x)}{dx}=a \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=af'(x)</math>
* <math>[f(g(x))]'=g'(x) \times f'(g(x))</math> ([[Compositio (mathematica)|compositio]] functionum)<ref>quia <math>[f(g(x))]'= \frac{f(g(x+dx))-f(g(x))}{dx}= \frac{dg}{dx} \times \frac{f(g(x)+dg)-f(g(x))}{dg}=g'(x) \times f'(g(x))</math> cum <math>dg=g(x+dx)-g(x)</math> (<math>dg</math> 0 appropinquat)</ref>
* <math>(x^a)'=ax^{a-1}</math> ([[Potentia (mathematica)|potentia]] quantitatis <math>x</math> cum constante exponente)
▲:quod <math>[f(x)+g(x)]'= \frac{[f(x+dx)+g(x+dx)]-[f(x)+g(x)]}{dx}= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}+ \frac{g(x+dx)-g(x)}{dx}=f'(x)+g'(x)</math>
Exempli gratia sit <math>f(x)=x^2(x^3+2)</math>:
:<math>f'(x)=(x^2)'(x^3+2)+x^2(x^3+2)'</math> propter legem
:<math>f'(x)=(x^2)'(x^3+2)+x^2[(x^3)'+(2)']</math> propter legem
:<math>f'(x)=2x(x^3+2)+x^2(3x^2+0)</math> propter legem
:<math>f'(x)=2x^4+4x+3x^4=5x^4+4x</math>
| |||