Emendatio ex 13:31, 8 Ianuarii 2022 recensere Tzknt (disputatio \| conlationes) 27 edits Simplificationes ← Differentia superior		Emendatio ex 22:42, 8 Ianuarii 2022 recensere abrogare Tzknt (disputatio \| conlationes) 27 edits Additamenta ad clarescendam paginam (index variationis = rate of change, differentialis operator = differential operator) Differentia proxima →
Linea 1: {{L}} [[Fasciculus:Tangency Example 2.svg\|thumb\|Haec functio <math>f</math> imminutur usque ad minimum, tum crescit usque ad maximum, postremo rursus imminutur: derivatum eius <math>f'</math> igitur, qui clivum lineae tangentis indicat, negativum deinde positivum denique negativum est.]] '''Derivativum''' est [[quantitas]] [[mathematica]] quae cuiusdam [[functio]]nis <math>f</math> variationem indicat prope locum <math>x</math> amplitudinemque huius variationis: si <math>f</math> prope <math>x</math> crescit, derivativum positivum est, negativum si imminutur. Cum derivativum ab <math>x</math> definiatur, ipse functio est quae <math>f'</math> dicitur (voce 'f prima') et a functione <math>f</math> derivatur ~~per formulam~~ ut clivum [[Linea tangens\|lineae tangentis]] curvae <math>y = f(x)</math> loco <math>x</math> det: si <math>f'(x)</math> magna est, functio <math>f</math> valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit. Functio quae derivativum habet (hoc est, functio pro qua hic limes exstat) nominatur functio [[calculus differentialis\|differentiabilis]].▼ :<math>f '(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>▼ ▲ut clivum lineae tangentis curvae <math>y = f(x)</math> loco <math>x</math> det: si <math>f'(x)</math> magna est, functio <math>f</math> valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit. Functio quae derivativum habet (hoc est, functio pro qua hic limes exstat) nominatur functio [[calculus differentialis\|differentiabilis]]. [[Theorema fundamentale calculi]] dicit derivativum et [[integrale]] processus inversos esse. == Facile exemplum cum indico variationis == [[Fasciculus:Guyana population.svg\|thumb\|Numerus millium incolarum [[Guiana]]e (1960-2017).]] Derivativum <math>f'</math> amplitudinem incrementi aut decrementi functionis <math>f</math> indicat. Exempli gratia, crescit numerus incolarum [[Guiana]]e magis a 1960 ad 1965 quam a 2010 ad 2015 (cf. imaginem). Ad hoc metiendum, incrementum numerare incolarum per annum opportet: cum sint fere 570 millia incolarum anno 1960 et 650 anno 1965, incrementum his quinque annis 80 millia est, hoc est <math>\frac{80}{5}=16</math> millia per annum. Derivativum igitur a variatione definitur inter duas quantitates in ratione spatii ad aliam ex altera: haec prima approximatio derivativi index variationis dicitur. Si functio <math>f</math> ad quemque annum numerum incolarum Guianae hoc anno destinat (ut e. g. <math>f(1960)=570</math> millia), index variationis inter duos annos <math>x</math> et <math>x_2</math> est ▲:<math>~~f '(x)=\lim_{h\to 0}~~\frac{f(~~x+h~~x_2)-f(x)}{hx_2-x}</math> sive cum exemplo supra <math>\frac{f(1965)-f(1960)}{1965-1960}=\frac{650-570}{1965-1960}=\frac{80}{5}=16</math> millia novorum incolarum per annum. ==Calculus infinitesimalis== [[Fasciculus:Derivada.gif\|thumb\|Derivativum functionis, ubi spatium <math>dx</math> inter duas quantitates (<math>h</math> in imagine) minor minorque fit ad aequandum clivum lineae tangentis loco <math>x</math>.]] Hoc tamen modo approximatio est derivativi, quod [[Valor medius arithmeticus\|valor medius]] incrementi in intervallo quodam est nec amplitudo fluxionis functionis loco definito. Ad hoc emendandum spatium inter <math>x</math> et <math>x_2</math> minui opportet, ut index variationis propius derivativum loco <math>x</math> sit. Hoc minimum nec nullum spatium <math>dx</math> dicitur. Inde <math>x_2</math> fit <math>x+dx</math> et fit igitur index variationis In [[calculus infinitesimalis\|calculi infinitesimalis]] lingua, ▼ :<math>\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math> quod derivativum <math>f'(x)</math> magis magisque appropinquat cum <math>dx</math> minor minorque fiat. :<math>f'(x) = \frac{df(x)}{dx}</math>▼ ubi [[calculus differentialis\|differentiale]] <math>dx</math> aequat infinitesimalem differentiam inter duas proximas quantitas <math>x</math> et <math>x+dx</math> ut <math>dx</math> minimum sit sed positivum, ▲In [[calculus infinitesimalis\|calculi infinitesimalis]] lingua, hoc saepe abbreviatur in et <math>df</math> est differentia in functione <math>f</math> quae producitur ab hac differentia: <math>df(x)=f(x+dx)-f(x)</math>. Cum hac methodo, derivatum functionis <math>f(x)=x^2</math> exempli gratia est :<math>f'(x) = \frac{d}{dx}f(x)</math> ubi <math>\frac{d}{dx}</math> [[differentialis operator]] dicitur. Cum hac methodo, est e. g. derivativum functionis <math>f(x)=x^2</math> :<math>f'(x)=~~\lim_{dx\to 0}~~\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math> :<math>f'(x)=~~\lim_{dx\to 0}~~\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}</math> :<math>f'(x)=~~\lim_{dx\to 0}~~\frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx}</math> :<math>f'(x)=~~\lim_{dx\to 0}~~\frac{2xdx+dx^2}{dx}</math> :<math>f'(x)=~~\lim_{dx\to 0}~~2x+dx</math> :<math>f'(x)=2x</math> ~~cum~~quod <math>dx</math> tam ~~parvus~~parvum est ut omitti possit. Loco <math>x=3</math>, clivum lineae tangentis functionis <math>f(x)=x^2</math> igitur <math>f'(3)=2 \times 3=6</math> est. ==Fluxiones== ~~Derivatum~~Derivativum, cum variabilis <math>x</math> functio sit temporis <math>t</math>, fluxio secundum [[Isaacus Newtonus\|Newtonum]] appellatur, quia <math>f'</math> commutationis (aut variationis aut fluctuationis) celeritatem dat cuisdam quantitatis <math>f</math>. Scripsit quidem Newtonus: <blockquote>Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinite considero, quo distinguam ab aliis quantitatibus quae in aequationibus quibuscunque pro determinatis et cognitis habendae sunt ac initialibus literis a, b, c, &c. designatur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates quibus singulae a motu generante fluunt et augentur (quos possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis l, m, n, et r. Nempe pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatam x, y, et z ponam m, n, et r respective. His praemissis e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositorum problematum solutionem exhibiturus.<ref>[[Isaacus Newtonus]], ''De methodis serierum et fluxionum'' (1671).</ref></blockquote> Line 39 ⟶ 48: Omnis functio differentiabilis est [[continuitas_(mathematica)\|continua]], sed sunt functiones continuae non differentiabiles. Cum constante quantitate <math>a</math> et functionibus differentiabilibus <math>f</math> et <math>g</math>: * <math>~~[af~~(xa)]'=~~af'(x)</math> cum <math>a~~0</math> ~~constante quantitate~~ ▲:quod <math>f'(xa) '= \frac{~~df(x)~~a-a}{dx}=0</math> * <math>f[af(0x) ]'= 1af'(x)</math>▼ :quod <math>[af(x)]'= \frac{af(x+dx)-af(x)}{dx}=a \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}=af'(x)</math> * <math>[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)</math> Line 46 ⟶ 57: * <math>[f(x) \times g(x)]'=f'(x) \times g(x)+g'(x) \times f(x)</math> * <math>[f(g(x))]'=g'(x) \times f'(g(x))</math> * <math> f(x^a) '= eax^x{a-1}</math> si ▼ ~~Similiter,~~Exempli sigratia sit <math>f(x) = axx^~~b</math> (a, b quantitates constantes), derivatum <math>f'~~2(x~~) = abx~~^~~{(b-1~~3+2)}</math>: :<math>f'(x)=(x^2)'(x^3+2)+x^2(x^3+2)'</math> propter legem [[multiplicatio]]nis :<math>f'(x)=(x^2)'(x^3+2)+x^2[(x^3)'+(2)']</math> propter legem [[additio]]nis [[Aequatio differentialis]] est [[aequatio]] in qua est derivativum functionis cuiusdam; solutio talis aequationis est vel functio ipsa vel approximatio valorum. Exemplum:▼ :<math>f'(x)=2x(x^3+2)+x^2(3x^2+0)</math> propter legem [[Potentia (mathematica)\|potentiae]] et legem constantis quantitatis :<math>~~\frac{d~~ f'(x)~~}{dx}~~ = ~~f(x)~~2x^4+4x+3x^4=5x^4+4x</math> ~~Solutio huius aequationis est [[functio exponentialis]]:~~ ▲<math> f(x) = e^x</math> si ▲<math>f(0) = 1</math> ▲[[Aequatio differentialis]] est [[aequatio]] in qua est derivativum functionis cuiusdam; solutio talis aequationis est vel functio ipsa vel approximatio valorum. ~~Exemplum~~Cum exemplo <math>f'(x)=f(x)</math>, si <math>f(0)=1</math>, solutio est [[functio exponentialis]]: <math>f(x)=e^x</math>. ~~{{NexInt}}~~ * [[Numerus infinitesimalis]] == Notae ==

Quantum redactiones paginae "Derivativum" differant