Vicipaedia

Quantum redactiones paginae "Derivativum" differant

Browse history interactively
← Differentia superiorDifferentia proxima →
Content deleted Content added
VisualWikitext
m +Bib ex en, ut res > 8K sit (10K)
Simplificationes
Linea 2:
[[Fasciculus:Tangency Example 2.svg|thumb|Haec functio <math>f</math> imminutur usque ad minimum, tum crescit usque ad maximum, postremo rursus imminutur: derivatum eius <math>f'</math> igitur, qui clivum lineae tangentis indicat, negativum deinde positivum denique negativum est.]]
'''Derivativum''' est [[quantitas]] [[mathematica]] quae cuiusdam [[functio]]nis <math>f</math> variationem indicat prope locum <math>x</math> amplitudinemque huius variationis: si <math>f</math> prope <math>x</math> crescit, derivativum positivum est, negativum si imminutur. Cum derivativum ab <math>x</math> definiatur, ipse functio est quae <math>f'</math> dicitur et a functione <math>f</math> derivatur per formulam
:<math>f '(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math>
ut clivum lineae tangentis curvae <math>y = f(x)</math> loco ''<math>x''</math> det: si <math>f'(x)</math> magna est, functio <math>f</math> valde crescit cum clivum lineae tangentis magnum sit. Functio quae derivativum habet (hoc est, functio pro qua hic limes exstat) nominatur functio [[calculus differentialis|differentiabilis]].

[[Theorema fundamentale calculi]] dicit derivativum et [[integrale]] processus inversos esse.
 
==Calculus infinitesimalis==
Line 10 ⟶ 12:
:<math>f'(x) = \frac{df(x)}{dx}</math>
ubi [[calculus differentialis|differentiale]] <math>dx</math> aequat infinitesimalem differentiam inter duas proximas quantitas <math>x</math> et <math>x+dx</math> ut <math>dx</math> minimum sit sed positivum,
et <math>df</math> est differentia in functione ''<math>f''</math> quae producitur ab hac differentia: <math>df(x)=f(x+dx)-f(x)</math>. Cum hac methodo, derivatum functionis <math>f(x)=x^2</math> exempli gratia est
 
:<math>f'(x)=\lim_{dx\to 0}\frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}</math>
Line 22 ⟶ 24:
 
==Fluxiones==
Derivatum, cum variabilis ''<math>x''</math> functio sit temporis ''<math>t''</math>, fluxio secundum [[Isaacus Newtonus|Newtonum]] appellatur, quia <math>f'</math> commutationis (aut variationis aut fluctuationis) celeritatem dat cuisdam quantitatis <math>f</math>. Scripsit quidem Newtonus:
<blockquote>Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinite considero, quo distinguam ab aliis quantitatibus quae in aequationibus quibuscunque pro determinatis et cognitis habendae sunt ac initialibus literis a, b, c, &c. designatur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates quibus singulae a motu generante fluunt et augentur (quos possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis l, m, n, et r. Nempe pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatam x, y, et z ponam m, n, et r respective. His praemissis e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositorum problematum solutionem exhibiturus.<ref>[[Isaacus Newtonus]], ''De methodis serierum et fluxionum'' (1671).</ref></blockquote>
 
Line 37 ⟶ 39:
Omnis functio differentiabilis est [[continuitas_(mathematica)|continua]], sed sunt functiones continuae non differentiabiles.
 
Cum functionibus differentiabilibus <math>f</math> et <math>g</math>:
Facile est demonstrare
* <math> \frac{d(a f[af(x))}{dx} ]'= a \frac{dfaf'(x)}{dx}</math>, etcum <math>a</math> constante quantitate
:quod <math>[af(x)]'= \frac{d faf(x+dx) + g-af(x)}{dx} =a \frac{d f(x+dx)-f(x)}{dx} + \frac{d g=af'(x)}{dx}</math>,
* <math>[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)</math>
si functiones ''f'' et ''g'' differentiabiles sunt.
:quod <math>[f(x)+g(x)]'= \frac{d([f(x+dx) +g(x+dx)]-[f(x)+g(x)]}{dx} = \frac{dff(x+dx)-f(x)}{dx}+ \frac{g(x) + f(xdx) \frac{dg-g(x)}{dx} =f'(x)+g'(x)</math>, et ▼
 
:* <math>\frac{d [f(x) +\times g(x)}{dx} ]'=f'(x) \lim_{h\totimes 0}\frac{fg(x+h)+g'(x) \times f(x+h)}{h}</math>
::* <math>= \lim_{h\to 0}\frac{[f(g(x))]'=g'(x+h)}{h} + \lim_{h\totimes 0}\frac{f'(g(x+h)}{h})</math>
::<math>= \frac{d f(x)}{dx} + \frac{d g(x)}{dx}</math>
 
si functiones ''f'' et ''g'' differentiabiles sunt,
▲<math> \frac{d(f(x) g(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dx} g(x) + f(x) \frac{dg(x)}{dx} </math>, et
<math> \frac{d(f(g(x)))}{dx} = \left(\frac{d(f(y))}{dy}\right)_{y=g(x)} \frac{dg(x)}{dx} </math>.
 
Similiter, si <math>f(x) = ax^b</math> (a, b quantitates constantes), derivatum <math>f'(x) = abx^{(b-1)}</math>
Receptum de "https://la.wikipedia.org/wiki/Derivativum"