Quantum redactiones paginae "Theorema fundamentale arithmeticae" differant

[[Fasciculus:PrimeDecompositionExample.svg|thumb|864 = 2⁵ × 3³, nec est productum aliorum numerorum primorum.]]

'''Theorema fundamentale arithmeticae''' dicit omnem [[numerus naturalis|numerum naturalem]] maiorem quam [[1|unum]] esse productum [[numerus primus|numerorum primorum]], et hunc productum unicum esse: numquam sunt duae copiae factorum eiusdem numeri quae inter se differunt. Quae est [[notio (philosophia)|notio]] magni momenti [[arithmetica]]e ac [[theoria numerorum|theoriae numerorum]].

Haec est [[demonstratio mathematica|demonstratio]].<ref>Ore, p. 51 sqq.</ref> Sit N numerus aliquis. Si N est primus, factores eius sunt N et 1, et nequimus alios factores invenire. Si N est [[numerus compositus|compositus]], habet factores. Sit ''a'' minimus numerus qui illum N dividit; ''a'' debet esse numerus primus (nam, si ''a'' esset compositus, ''a'' ipse haberet factores, minores quam ''a'', sed hi factores quoque N dividerent). Nunc scimus N = ''ab''; si ''b'' est compositus, pone ''b'' = ''cd,'' et similiter. N igitur est productus factorum primorum.

Nunc debemus demonstrare hunc productum unicum esse. Supponamus dari duos productos,

et omnes numeros ''p'' et ''q'' primos esse. Quia ''p_i'' dividit productum numerorum ''q'', debet dividere unum factorem ''q_j'', sed, quia primi sunt, hoc significat <math>p_i = q_j</math>. Hoc est, omnis numerus ''p_i'' est inter numeros ''q''; similiter, omnis numerus ''q'' est inter numeros ''p''. Sed fortasse primus aliquis praeest saepius inter ''p'' quam inter ''q'' (vel saepius inter ''q'' quam inter ''p'') – exempli gratia, quid si haberemus N = 2x2x3 = 2x3x3? Ut vides, hoc nequit esse. Divide utrumque productum per ''p₁'', deinde per ''p₂'', et per omnes numeros ''p''. Si restarent numeri ''q'' postquam diviseris per omnes ''p'', aequatio esset <math>1 = q_a q_b ...</math>, quod est impossibile; similiter, non potest esse plures numeri ''p'' quam numeri ''q''. Sunt igitur tot ''p'' quot ''q'' et duo producti sunt eidem.

[[Euclides]] hoc theorema non affirmavit, sed in libro septimo ''Elementorum'' sunt omnes notiones quae pertinent ad theorema. [[Carolus Fridericus Gauss|Gauss]] id probavit, quamquam theorema quod ille nominavit theorema fundamentale non erat hoc theorema, sed lex de reciprocitate quadratica.

* [[Carolus Fridericus Gauss|Gauss, C. F]]. [[1801]] ''[[Disquisitiones arithmeticae]].'' Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.

* Ore, Oystein. [[1948]]. ''Number Theory and Its History.'' Novi New YorkEboraci: McGraw-Hill.