Quantum redactiones paginae "Arithmetica modularis" differant
Content deleted Content added
de operas Caroli F. Gauss |
Better notation and intro; new section for properties |
||
Linea 1:
{{L}}
[[Fasciculus:Clock_group.svg|thumb|[[Horologium]] tempus monstrat secundum modulum 12.]]
'''Arithmetica modularis''' est systema arithmeticum [[Numerus integer|numerorum integrorum]]. Theoria arithmeticae modularis a [[Carolus Fridericus Gauss|Carolo Friderico Gauss]] in [[Disquisitiones arithmeticae|Disquisitionibus Arithmeticis]] (anno 1801) edita est.
Numeri integri ''a'' et ''b'' dicuntur ''congrui secundum m'' si differentia ''b - a'' per numerum ''m'' dividi potest (sive numerus ''m'' differentiam ''b'' - ''a'' metitur, sive (''b'' - ''a'')/''m'' est integer). ''Modulum'' appellamus ''m'', et congruentiam notatione<math display="block">a \equiv b \pmod{m}</math>denotamus.
Exempli causa, pone modulum 6. Tunc <math>5 + 2 \equiv 1</math>, quia 5 + 2 = 7, et 7 ≡ 1 secundum modulum 6. Numeros ergo addimus hoc modo:▼
== Proprietates ==
Numeri congrui in arithmetica modulari sunt similes numeris aequalibus in [[arithmetica]] ordinaria:
* <math display="inline">a \equiv a</math>
* Si <math display="inline">a \equiv b</math>, erit <math display="inline">b \equiv a</math>
* Si <math display="inline">a \equiv b</math>et <math display="inline">b \equiv c</math>, erit <math display="inline">a \equiv c</math>
* Si <math display="inline">a \equiv b</math>et <math display="inline">c \equiv d</math>, erit <math display="inline">a+c \equiv b+d</math>
* Si <math display="inline">a \equiv b</math>et <math display="inline">c \equiv d</math>, erit <math display="inline">ac \equiv bd</math>
* Si <math display="inline">a \equiv b</math>, erit <math display="inline">a^k \equiv b^k</math>(ubi <math display="inline">k \ge 0</math>)
At si <math display="inline">ka \equiv kb \pmod{m}</math>, poterunt ''a'' et ''b'' esse incongrui.
* Si autem <math display="inline">ka \equiv kb \pmod{m}</math>et ''k'' ad ''m'' est primus, erit <math display="inline">a \equiv b</math>.
Si <math display="inline">a \equiv b \pmod{m}</math>, poterunt <math display="inline">c^a</math>et <math display="inline">c^b</math>esse incongrui secundum modulum ''m''.
* Si autem <math display="inline">a \equiv b \pmod{\varphi(m)}</math>(ubi φ est [[Euleri functio φ]]) et ''c'' ad ''m'' est primus, erit quidem <math display="inline">c^a \equiv c^b \pmod{m}</math> ([[theorema Euleri]]).
== Exemplum ==
▲Exempli causa,
Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:
{| class="wikitable" style="text-align: right;"
Line 57 ⟶ 80:
|}
Quod 6 est [[numerus compositus]], habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0:
Si autem modulus est
== Nexus externi ==
| |||