Quantum redactiones paginae "Integrale" differant

Content deleted Content added
m clarify first line a bit
No edit summary
Linea 1:
'''Integrale''' [[functio]]nis est una ex his duabus notionibus [[mathematica|mathematicis]]:
'''Integrale''' in [[mathematica]] est [[functio]] cuius alia quaedam functio est [[derivativum]], aut est magnitudo spatii sub lineam quae functionem repraesentat. [[Theorema fundamentale calculi]] dicit has duas notiones easdem esse. Methodus integrale alicuius functionis inveniendi ''integratio'' vel ''calculus integralis'' (seu ''calculus summatorius'' (''[[littera s longa|ſ]]ummatorius'')<ref>[http://www.zedler-lexikon.de/index.html?c=blaettern&seitenzahl=0115&bandnummer=05&view=150&l=de Zedler], vol. 5, p. 115</ref>) appellatur.
* [[functio]] quae est [[derivativum]] functionis datae (''integrale indefinitum'');
* numerus qui totum effectum functionis in certo [[intervallum (mathematica)|intevallo]] describit (''integrale definitum''). Exemplum est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et limites intervalli.
'''Integrale''' in [[mathematica]] est [[functio]] cuius alia quaedam functio est [[derivativum]], aut est magnitudo spatii sub lineam quae functionem repraesentat. [[Theorema fundamentale calculi]] dicitrelationem inter has duas notiones easdem esseindicat. Methodus integrale alicuius functionis inveniendi ''integratio'' vel ''calculus integralis'' (seu ''calculus summatorius'' (''[[littera s longa|ſ]]ummatorius'')<ref>[http://www.zedler-lexikon.de/index.html?c=blaettern&seitenzahl=0115&bandnummer=05&view=150&l=de Zedler], vol. 5, p. 115</ref>) appellatur.
 
==Integrale indefinitum==
SiSit <math>f(x) est</math> functio, in [[numerus realis|<math>\mathbb{R}</math>]]. <math>g(x) = \int f(x) dx</math> est integrale etfunctionis <math>f</math> si <math>\left.\frac{d g(x)}{dx}\right|_{x=y} = f(xy)</math>.
Ex hac definitione sequitur etiam <math>g(x)+C</math>, designante <math>C</math> quemcumque numerum realem, integrale functionis <math>f</math> esse. Quia <math>C</math> est quantitas constans, hoc est <math>\frac{d C}{dx} = 0</math>, hic terminus nihil addit integrali.
 
Exempli gratia, si <math>f(x) = x<sup>^2</supmath>, tum <math>\int f(x) dx = \frac{x^3}{3} + C</math>. C est quantitas constans; quia <math>\frac{d C}{dx} = 0</math>, hic terminus nullum addit integrali. Hoc dicitur ''integrale indefinitum.''
 
==Integrale definitum==
[[File:Integral_approximations.svg|thumb|Approximatio integralis f(x) = &radic;x inter 0 et 1]]
''Integrale definitum'' <math>\int_a^b f(x) dx</math> est quasi summa collationum functionis <math>f</math> in omnibus punctis intervalli <math>[a, b]</math>.
''Integrale definitum'' est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat et alias lineas x = a et x = b. Scribimus <math>\int_a^b f(x) dx</math>. In imaginem vides <math>\int_0^1 \sqrt{x} dx</math>. Possumus [[magnitudo|magnitudinem]] aestimare si parva [[rectangulum|rectangula]] facimus, quorum latera sunt eadem, et [[altitudo|altitudines]] sunt f(x<sub>i</sub>), valor functionis uno latere.
Geometrice, integrale est magnitudo spatii inter lineam quae functionem repraesentat, x-axin et lineas <math>x = a</math> et <math>x = b</math>, si functio <math>f</math> est positiva in hoc intervallo. Si autem est negativa, ea magnitudo quoque negativa esse intellegitur.
Ad integrale definitum computandum, numerum infinitum functionis collationum infinitesimalium (hoc est omnibus numeris positivis inferior) addere opportet, quod per [[limes (mathematica)|limitem]] definitur.
 
Exemplum hoc illustrabit. In adumbratione vides <math>\int_0^1 \sqrt{x} dx</math>. Possumus [[magnitudo|magnitudinem]] aestimare si parva [[rectangulum|rectangula]] facimus, eisdem latitudinibus, [[altitudo|altitudinibus]] autem <math>f(x_i)</math>, valores functionis in sinistris aut dextris lateribus intervallorum.
Talia rectangula in [[adumbratio]]ne reperiuntur. Sunt quinque rectangula, [[color]]e [[flavus|flavi]], quorum latus est 1/5, et altitudines sunt &radic; 1/5, &radic; 2/5, &radic; 3/5, &radic; 4/5, et &radic; 1. Magnitudines rectangulorum igitur sunt (1/5) x &radic; 1/5, (1/5) x &radic; 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.74974.
 
SuntTalia etiamrectangula in [[adumbratio]]ne reperiuntur. Sunt duodecimquinque rectangula, colore[[color]]e [[viridisflavus|viridiflavi]], quorum latuslatitudo est 1/125, et altitudines sunt &radic; 01/5, &radic; 12/125, &radic; 3/5, &radic; 4/5, et cetera&radic; 1. SiMagnitudines magnitudinesrectangulorum horumigitur rectangulorumsunt addimus(1/5) x &radic; 1/5, habemus(1/5) x &radic; 2/5, et cetera; summatio earum magnitudinum est (fere) 0.6202974974.
 
Sunt etiam duodecim rectangula, colore [[viridis|viridi]], quorum latitudo est 1/12 et altitudines sunt &radic; 0, &radic; 1/12, et cetera. Si magnitudines horum rectangulorum addimus, habemus (fere) 0.62029.
Integrale (per definitionem) est [[limes]] magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit P = {a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, . . . a<sub>n</sub>} copia numerorum inter a = a<sub>0</sub> et b = a<sub>n</sub>, sicut a<sub>i</sub> < a<sub>i+1</sub>. Deinde [[summatio Riemanni]] est
 
Integrale (per definitionem) est [[limes]] magnitudinum talium rectangulorum. Hoc est: Sit <math>P = \{a<sub>0</sub>a_0, a<sub>1</sub>a_1, . . . a<sub>na_n\}</submath>} copia numerorum inter <math>a = a<sub>0a_0</submath> et <math>b = a<sub>na_n</submath>, sicut a<sub>i</submath>a_i < a<sub>a_{i+1}</submath>. Deinde [[summatio Riemanni]] est
 
:<math>\sum_{i=1}^n (a_{i}-a_{i-1})f(a_i)</math>
 
et integrale est limes huius summationis dum i<math>n</math> ad infinitatem it (aut, dum semper plures rectanguli sunt).<ref>Spivak, cap. 13; Hardy, sectio 240; haec non est definitio accuratissima.</ref> [[Bernardus Riemann]] hanc definitionem invenit.
 
Saepe autem facilius est integrale alio modo computare. [[Theorema fundamentale calculi]] enim dicit:
 
:<math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>, si <math>\left.\frac{dF{(x})}{dx}\right|_{x=y} = f(xy)</math>
[[Theorema fundamentale calculi]] dicit:
Ita integrale definitum computari potest si integrale indefinitum cognoscitur.
 
==Usus==
:<math>\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</math>, si <math>\frac{dF{x}}{dx} = f(x)</math>
* In [[physica]], [[velocitas]] est derivativum loci, et [[acceleratio]] est derivativum velocitatis. Ergo, quia secundum [[Leges motus Newtoni]] acceleratio et [[vis]], quae est quasi fundementum [[mechanica]]e, aequabiles sunt, locus alicuius rei ex vires bis integrando computari potest.
* [[Massa]] alicuius rei est integrale [[densitas|densitatis]] eius.
* In theoria probabilitatum [[probabilitas]] variabilis continui ex [[distributio probabilistica|densitate probabilistica]] integrando computatur.
 
== Notae ==