Quantum redactiones paginae "Theoria copiarum" differant

1 989 octeti additi ,  4 years ago
Sunt autem multa problemata amplissima e theoria copiarum orta, quorum praecipuum et notissimum est [[hypothesis continui]] vel saepius CH, quae nullam copiam esse maiorem quam copiam [[integer|numerorum integrorum]], minorem quam copiam [[numerus realis|numerorum realium]] vult, aut notis cardinalium <math>2^{\omega}=\omega_1</math>. Hypothesis est quoque continui expansa, quae <math>2^\kappa=\kappa^+</math> omnibus cardinalibus <math>\kappa</math> vult.
 
== TheoremataDisciplina et ProblemataTheoriae ==
=== Exemplaria interiora ===
Theoremata theoriae copiarum saepius probanda per ''exemplar'' axiomatum. [[Theoria exemplarum]] est doctrina mathematica quae exemplares tractat. Exemplar axiomatum quorundam est copia cum operationibus, ubi haec axiomata vera sunt. <math>(\mathbb{Z}, +, x)</math> est exemplar axiomatum [[anellus|anelli]]. <math>\mathbb{R} \text{ et } \mathbb{C}</math> sunt exemplares axiomatum [[corpus (mathematica)|corporis]]. Ut propositio non ab axiomatis quibusdam pendere demonstretur, exemplar horum axiomatum facimus, ubi propositio data est falsa.
[[Fasciculus:ContinuumHypothesis.svg|thumb|Hypothesis continui: quid est cardinalitas <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>?]]
Copiae rite ab imo structae quia diversas theorias mathematicae aemulari possunt, a [[David Hilbert]] et aliis pro [[fundamentum mathematicae|fundamento huius doctrinae]] sumptae et nobis eis finibus traditae sunt. Nonne verum comprobare fundamentum mathematicum sibi congruere volumus, ne quid [[antinomia]]e comprobet? Profecto nequimus: anno [[1931]] a [[Kurt Gödel]] edita sunt [[theoremata Gödel de imperfectione|theoremata de imperfectione]], quae nos nullam probationem congruentiae axiomatum quorumvis per ipsa dare posse monstravit, nisi haec axiomata sibi non congruunt. Ut exemplo est, si Con(ZFC) congruentiam axiomatum ZFC signat, tum
:<math>\mathrm{ZFC}\nvdash\operatorname{Con}(\mathrm{ZFC})</math>
Nihilominus, si Con(ZFC) asciscimus atque per consequentiam exemplari eorum utimur, exemplaria aliorum axiomatum intus inveniri possunt. Pars exemplaris aliqui exemplar interius appellatur, si et ZF axiomata satisfacit et omnes cardinales exemplaris primigeni continet. Primum exemplar huius generis Gödel anno [[1938]] prodidit, nomine <math>L</math>: exemplar non solum axiomatum ZFC est ab exemplar ZF definitum, sed etiam hypothesin continui expansam satisfacit, quare comprobavit
:<math>\operatorname{Con}(\mathrm{ZF})\vdash\operatorname{Con}(\mathrm{ZFC+GCH})</math>
Axiom V=L igitur omne exemplar primigenum in L inesse vult.
 
=== Modus coercens ===
Quod axioma electionis ab aliis axiomatis ZF non pendet. [[Paulus J. Cohen]] anno [[1963]] hoc demonstravit.
Exemplari ZFC posito fortasse Con(¬GCH) comprobare volumus aut Con(¬AC), id est axioma electionis, cuius per consequentiam GCH et AC non in ZF pendere videamus. Quid agamus? Certe nullum erit exemplar interius quod ¬GCH aut ¬AC satisfaciat, quia si V=L in exemplar primigenum, tum nullum est exemplar interius nisi quod iam habemus.
 
Anno [[1963]] praeclarissimus a [[Paul Cohen]] [[modus coercens]] ([[anglice]] "forcing") inventus est, qui id problema resolvit. Hoc modo functiones in exemplari addi possunt, ut cardinalitas <math>2^{\omega}</math> mutetur et aequam ac, ut exemplo est, <math>\omega_2</math> faciatur, nec minus axiomata ZFC satisfaciantur. Porro autem [[W. B. Easton]] modum excoluit ut cardinalitas copiarum partium cardinalium omnino libere mutari possint, nisi leges simplices (incrementum continuum, theorema Cantor, theorema König) contradictentur.
[[Fasciculus:ContinuumHypothesis.svg|thumb|Hypothesis continui: quid est cardinalitas <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math>?]]
 
Quid sit cardinalitas continui. [[Hypothesis continui]] dicit nullam copiam esse maiorem quam copiam numerorum integrorum, minorem quam copiam numerorum realium. Quod <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> maior est quam ipsa <math>\mathbb{N}</math>, hypothesis etiam dicit cardinalitatem <math>\mathcal{P}(\mathbb{N})</math> = cardinalitatem <math>\mathbb{R}</math>. Haec hypothesis non pendet ab axiomatis ZF, nec ab axiomatis ZFC.
=== Cardinales permagni ===
[[Cardinales permagni]] sunt eiusmodi numeri cardinales infiniti, qui ob suam immanitatem plus praebeant facultatis monstrandi.
 
Ut exemplo est, cardinalis regularis <math>\kappa</math> eiusmodi sumamus, ut <math>2^{<\kappa}<\kappa</math>. Hoc cardinalis "inaccessus" appellatur, quod nullo modo accedi potest a minoribus cardinalis, porro enim monstrari potest <math>V_{\kappa}</math> esse exemplar axiomatum ZF. Suntne verum cardinales inaccessi? In axiomatibus ZF non pendet hoc problema: alia sunt exemplaria quae cardinales inaccessos contineant, alia sunt in quibus nulli sint hi cardinales.
De numeris cardinalibus magnis. Numeri infiniti maiores quam cardinalitas copiae numerorum realium sunt numeri cardinali magni.
 
Sit T theoria formalis extendens ZF+DC (id est [[axioma electionis consequentis]]) quae "omnes copias numerorum realium [[metrum Lebesgue|metro Lebesgue]] metiri posse" vult. Monstratum est a [[Saharon Shelah|Shelah]] (1984) nec Con(T) nec ¬Con(T) a Con(ZFC) sequi, etsi [[Robert M. Solovay|Solovay]] (1970) iam Con(T) a Con(ZFC+"est cardinalis inaccessus") consequi monstravit, quippe igitur cardinales inaccessi plus facultatis monstrandi praebent.
Applicatio vis (vel ''forcing,'' verbum Anglicum) est constructio exemplaris axiomatum ZF (saepius ZFC) in quo est numerus cardinalis quidam magnus.
 
== Historia ==
449

recensiones