Numerus irrationalis

Systemata Numerica Mathematicae

Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb {N}$ {0,1,2,3,...} sive {1,2,3,...} Primi $\mathbb {P}$ {2,3,5,7,11,...} Abundantes Amicabiles Compositi Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb {Z}$ {...,-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...,-2,0,+2,...} Impares {...,-3,-1,+1,+3,...} Rationales $\mathbb {Q}$ Reales $\mathbb {R}$ Irrationales Complexi ℂ Algebraici Transcendentes Numerus pi $\pi =3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e=2.718281828459045\ldots$ Numerus imaginarius $i={\sqrt {-1}}$ Quaterni $\mathbb {H}$ Octoni $\mathbb {O}$ Infinitas $\infty$
Variae radices
Radix binaria(2) Radix octalis(8) Radix decimalis(10) Radix sedecimalis(16)

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus $N$ est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles $a$ et $b$ tales ut

$N={\frac {a}{b}}$

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

Nonnulli irrationales numeri

Quod numerus pi est irrationalis, non est quadratum, cuius latera sunt quantitates rationales, et cuius area eadem est atque area circuli cuius radius est 1.

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, ${\sqrt {2}},\log _{3}2,{\sqrt[{3}]{5}},e^{\pi }$ esse irrationales.

Praeclara demonstratio

Numerum ${\sqrt {2}}$ esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$,

ubi $a,b$ factores primos aequales non habent. In sequentibus disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc $a^{2}=2b^{2}$, ergo $a^{2}$ est numerus par ideoque $a$ quoque est numerus par (si $a$ numerus impar esset tunc quoque $a^{2}$ numerus impar esset). Cum numerus $a$ sit par notum est numerum k esse talem ut $a=2k$, unde a prima aequatione sequitur $2b^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$, ergo $b^{2}=2k^{2}$. Simili modo comprobatur numerum $b$ esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros $a,b$ qui factores aequales non habeant. Ergo coniectura ${\sqrt {2}}={\frac {a}{b}}$ erat falsa ideoque ${\sqrt {2}}$ est numerus irrationalis QED.

An numeri isti irrationales sint?

Mathematici nondum sciunt si $\pi +e$, $\pi -e$, et generaliter si $m\pi +ne$, $m$ et $n$ numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem an $2^{e}$, $\pi ^{e}$, $\pi ^{\sqrt {2}}$ et constans Euleri-Mascheroni $\gamma$ etiam irrationales sint.

Historia numerorum irrationalum

Pythagoras dicitur numeros irrationales invenire, vel accuratius vir pythagoreus Hippasus Metapontus, qui (forsitan geometricis ratiocinationibus) irrationalitatem radicis 2 intellexit. Traditur Hippasus irrationales numeros invenire cum conaretur radicem 2 fractione scribere (vide demonstrationem, supra). Pythagoras autem, putans numeros res definitas esse, non accipit irrationales numeros esse. Hippasum cum demonstrationem irrefutabilem numerorum irrationalium monstravit, cui Pythagoras credere nec potuit nec voluit, morte demersione condemnavit, ut traditur.

Nexus interni

• Numerus transcendens