Aequatio differentialis

Solutiones aequationis . Lineae parvae virides clivum (dy/dx) monstrant. Tres lineae curvae sunt tres solutiones y = f(x) quae inter se numero constanti differunt.

Aequatio differentialis[1] est aequatio mathematica, in qua functiones unius aut multarum variabilium cum derivativis suis copulantur. Aequationibus differentialibus scribuntur multae leges in scientiis naturalibus. Theoria aequationum differentialium pars magni momenti est analysis. Saepe sunt solutiones functiones, quae illis functionibus satisfaciunt. Cum aliae solvi non possint, saepissime sunt approximandae, et rationes talium approximationum faciendarum sunt pars analysis numericae.[2]

HistoriaRecensere

Saeculo XVII, cum calculus infinitesimalis excogitabatur, coepit disciplina aequationis differentialis. Proposuit Isaacus Newtonus in opere suo Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum[3] tria aequationum differentialium genera:

 

Solutae sunt haec aequationes in eo opere.

ExempliRecensere

Ecce exempli aequationum differentialium ordinariarum,in quibus sunt u functiones incognitae, x variabiles indenpendentes, c,ω et ceteri constantes.

  • Aequatio differentialis gradus primi linearis non homogenea cum coefficientibus constantibus:
 
  • Aequatio differentialis gradus secundi linearis homogenea:
 
  • Aequatio differentialis gradus secundi linearis homogenea cum coefficientibus constantibus, quae motus harmonicum describit:
 
  • Aequatio differentialis gradus primi non linearis non homogenea:
 
  • Aequatio differentialis gradus secundi non linearis, quae pendulum longitudine L describit:
 

Ecce exempli aequationum differentialium partialium,in quibus sunt u functiones incognitae,x vel t vel y variabiles indenpendentes.

  • Aequatio differentialis partialis gradus primi linearis homogenea:
 
  • Aequatio Laplace,hoc est aequatio differentialis partialis ellipsis gradus secundi linearis homogenea cum coefficientibus constantibus.
 
  • Aequatio KdV,hoc est aequatio differentialis partialis gradus tertii non homogenea:
 

GeneraRecensere

Aequatio differentialis ordinariaRecensere

  Si plus cognoscere vis, vide aequatio differentialis ordinaria

Aequatio differentialis dicitur ordinaria, si modo functio incognita unius quantitatis variabilis et derivativa sua continet. Haec functio, quae ex x dependet, saepe y appellatur. Ita plerumque nominatur x variabilis independens.

Aequatio differentialis partialisRecensere

  Si plus cognoscere vis, vide aequatio differentialis partialis

In aequatione differentiale, partiale continentur non solo functiones incognitae multarum variabilium, sed etiam derivativa partialia sua.

Aequatio differentialis non linearisRecensere

Aequatio differentialis non linearis consistit ex productis functionium incognitarum et derivativis suis. Vix possunt solutiones accuratae illarum aequationum inveniri, nisi illae aequationes quaedam symmetrias habent. Cum solutae non sint, utuntur? nonnumquam aequationes differentiales lineares propriae, ut solutiones approximent.

Gradus aequationis differentialisRecensere

Gradus, sive ordo aequationis significat maximum gradus derivativorum in ea aequatione. Si modo derivativum gradus primi adest (hoc est,   vel  ), est aequatio gradus primi. Si derivativum gradus secundi adest ( ,   etc.), appellatur ea aequatio gradus secundi, et similiter sunt ceteri.[4]

UsusRecensere

Simul primum usae sunt aequationes differentiales in scientiis naturalibus, maxime in physica, biologia, et chemia.

PhysicaRecensere

BiologiaRecensere

NotaeRecensere

  1. Die Streitschriften By Jakob Bernoulli, Jean Bernoulli, Herman Heine Goldstine, P. Radelet-de Grave (Anglice, Latine).
  2. Braun 1978: 1.
  3. Newton, Isaac (c.1671), Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (1736) [Opuscula, 1744, 1: 66].
  4. Braun, p. 121.

BibliographiaRecensere

  • Braun, Martin. 1978. Differential Equations and their Applications. Novi Eboraci: Springer.
  • Abbott, P., et H. Neill. 2003. Teach Yourself Calculus.
  • Blanchard, P., Robert L. Devaney, et G. R. Hall. 2006. Differential Equations. Thompson.
  • Boyce, W., R. DiPrima, et D. Meade. 2017. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley.
  • Coddington, E. A., et N. Levinson. 1955. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill. Archivum.
  • Ince, E. L. 1956. Ordinary Differential Equations. Dover.
  • Johnson, W. 1913. A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations. John Wiley and Sons. In University of Michigan Historical Math Collection. Editio interretialis.
  • Polyanin, A. D., et V. F. Zaitsev. 2003. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. Ed. secunda. Boca Raton Floridae: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
  • Porter, R. I. 1978. Further Elementary Analysis.
  • Teschl, Gerald. 2012. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providentiae Insulae Rhodeesis: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. Editio interretialis.
  • Zwillinger, Daniel. 2014. Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0. Google Books.

Nexus externusRecensere