Theorema bipolare

Theorema bipolare in mathematica est theorema in explicatione convexa quod condiciones necessarias et satis adhibet ut conus aequet suum bipolare. Theorema bipolare videri potest proprius theorematis Fenchel-Moreauani casus.

Pronuntiatum theorematis

In quaque copia non vacua, $C\subset X$ in nonnullo spatio lineari $X$, tum conus bipolaris $C^{oo}=(C^{o})^{o}$ datur a

$C^{oo}=\operatorname {cl} (\operatorname {co} \{\lambda c:\lambda \geq 0,c\in C\})$

ubi $\operatorname {co}$ corticem convexum denotat.

Casus proprius

$C\subset X$ est non vacuus conus convexus clausus si et solum si $C^{++}=C^{oo}=C$ cum $C^{++}=(C^{+})^{+}$, ubi $(\cdot )^{+}$ denotat conum dualem positivum.

Generatim, si $C$ sit conus convexus, tum conus bipolaris datur a

$C^{oo}=\operatorname {cl} C.$

Coniunctio cum theoremate Fenchel–Moreauano

Si $f(x)=\delta (x|C)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in C\\+\infty &{\text{else}}\end{cases}}$ sit functio propria coni $C$, tum coniugatum convexum $f^{*}(x^{*})=\delta (x^{*}|C^{o})=\delta ^{*}(x^{*}|C)=\sup _{x\in C}\langle x^{*},x\rangle$ est functio firmamenti pro $C$, et $f^{**}(x)=\delta (x|C^{oo})$. Ergo, $C=C^{oo}$ si et solum si $f=f^{**}$.

Notae

Haec stipula ad mathematicam spectat. Amplifica, si potes!